Syst Syst è è mes Boucl mes Boucl é é s s
1. Architecture 1. Architecture
A
B
e(t)
xR(t) ε(t) s(t)
Chaîne directe
Chaîne de retour
e(t) : entrée ou consigne s(t) : sortie
xR(t): retour ε(t) : erreur
2. Fonctions de transfert 2. Fonctions de transfert
Chaine directe :
Chaine de retour :
Système bouclé :
TBF est nommée transmittance en boucle fermée.
TBO = A.B est nommée transmittance en boucle ouverte.
ε A = S
S B = XR
B A A E
TBF S
. 1+
=
=
A
B
e(t)
xR(t) ε(t) s(t)
Chaîne directe
Chaîne de retour
3. Contre r
3. Contre ré éaction action – – R R é é action positive action positive
On compare |A| et |TBF| (modules)
- Contre réaction : |TBF| < |A|
(soit |1 + A.B| > 1)
La contre réaction affaiblit le gain d’un système (mais le stabilise)
- Réaction positive : |TBF| > |A|
(soit |1 + A.B| < 1) La réaction positive augmente le gain ;
(elle est à la base d’oscillateurs, pour lesquels |1 + A.B| = 0 )
4. Propri
4. Propri é é t t é é s d s d ’ ’ un syst un syst è è me boucl me boucl é é
Stabilité, rapidité, précision.
Stabilité : La réponse à une impulsion tend vers 0
Rapidité : Le régime transitoire est le plus court possible Précision : La sortie suit au mieux la consigne
Ces 3 caractéristiques sont souvent incompatibles et amènent à des compromis (Cf. diapo suivante)
0s 2.0s 4.0s 5.0s 0V
0.4V 0.8V 1.2V 1.6V 2.0V
0s 2.0s 4.0s 5.0s
0V 0.4V 0.8V 1.2V 1.6V 2.0V
0s 2.0s 4.0s 5.0s
0V 0.4V 0.8V 1.2V 1.6V 2.0V
Forte erreur
Erreur faible
Erreur quasi nulle Entrée
Entrée
Entrée Réponse
Réponse
Réponse
1. Système très stable, mais trop lent et très imprécis
2. Système assez précis, mais peu stable et trop lent
3. Le cas idéal : Système rapide, parfaitement stable et précis
Rappel : Stabilit
Rappel : Stabilit é é d d ’ ’ un systè un syst ème analogique me analogique
Système
e(t) s(t)
Si e(t) est impulsion de Dirac, E(p) = 1
La réponse à l’impulsion est S(p) = T(p)xE(p) = T(p) !
) p p (
M )
p p (
B )
p p .(
).
p p ).(
p p (
) z p .(
).
z p ).(
z p K ( )
p ( T
m ) 2
p1 p (
A m
2 1
n 2
1 2 ...
p 2. a p 1. 0 a a
2 ...
p 2. b p 1. 0 b b
+ −
− + +
− =
−
−
−
−
= −
= −
+ +
+
+ +
+ L
K K
Le retour à l’originale amène à la réponse impulsionnelle s(t) :
m t p 2 t
p 1 t
p B . e M . e
e . A ) t (
s = + + L +
s(t) doit tendre vers 0 quand t tend vers l’infini : Cela impose que les pi aient une partie réelle négative.
Un syst
Un systèème analogique est stable si les pôles de sa transmittance me analogique est stable si les pôles de sa transmittance opéopérationnelle T(p) sont àrationnelle T(p) sont à partie répartie réelle nelle néégativegative
(situés à gauche de l’axe imaginaire dans le plan complexe
)
Rappel : Stabilit
Rappel : Stabilit é é d’ d ’un syst un systè è me me échantillonn é chantillonné é
Système
{e
N} {s
N}
Si {eN} est une séquence impulsion , E(z) = 1
La réponse à l’impulsion est S(z) = T(z)xE(z) = T(z) !
) z z (
M 2 )
z z (
B 1 )
z z ( ) A
z ( T
... m z2 2. a z 1. 0 a a
2 ...
z 2. b z 1. 0 b b
+ −
− +
− +
=
=
+ + ++ +
+
L
Les transformées de Laplace (analogique) et en z (échantillonné) sont équivalentes avec l’analogie z ↔ epTe.
Si p= a + jb avec a < 0, alors z = eaTe.ejbTe a un module ρ = eaTe < 1 ! La réponse à la séquence impulsion tendra vers 0 si les modules des pôles zi sont inférieurs à 1.
Un syst
Un système ème ééchantillonnchantillonnéé est stable si les pôles de sa transmittance en zest stable si les pôles de sa transmittance en z ont tous un module strictement inf
ont tous un module strictement inférieur érieur àà 1. 1.
(situés à l’intérieur du cercle de rayon unité dans le plan complexe)
5. Stabilit
5. Stabilit é é d d ’ ’ un syst un syst è è me boucl me boucl é é analogique analogique
Un système bouclé est stable si les pôles de sont à partie réelle négative .
Il faut étudier les solutions de 1 + A.B = 0 , soit TBO = A.B = -1
Le comportement de TBO au voisinage de -1 renseigne sur la stabilité.
En pratique, on travaille avec TBO(jω) et ses représentations graphiques (Bode et Nyquist)
B A A E
TBF S
. 1+
=
=
Entr Entr é é e en oscillation e en oscillation :
Il existe s(t) périodique pour e(t) = 0 : TBF → ∞ , soit 1+TBO → 0, soit TBO → -1 D’où : Condition d’oscillation (sinusoïdale) d’un système bouclé:
Mod(T
BO) = 1 et Arg(T
BO) = 180°
20logTBO (dB)
0dB
ϕ= argTBO
-180°
Im(TBO)
Re(TBO) Point
critique
Crit Crit è è res de stabilit res de stabilit é é :
A la fréquence pour laquelle arg(TBO) = 180°, 3 situations peuvent se produire :
mod(TBO) = 1 : Le système va entrer en oscillation en boucle fermée ; il sera donc instable.
mod(TBO) < 1 : Le système sera stable en boucle fermée.
mod(TBO) > 1 : Le système sera instable en boucle fermée
.
(S’il n’existe pas f telle que arg(TBO) = 180°, le problème ne se pose plus
Im(TBO) Im(TBO)
Re(TBO) Re(TBO)
Système qui sera stable en boucle fermée Système qui sera instable en boucle fermée
Un système bouclé linéaire est stable en boucle fermée si,
lorsqu’on décrit le lieu de Nyquist de TBO(jω) dans le sens des fréquences croissantes, on laisse le point -1 à gauche
Stabilit
Stabilit é é à à partir du diagramme de partir du diagramme de Bode Bode de de T T
BOBOGBO(dB) GBO(dB)
-180° -180°
GBO< 0
GBO> 0
Système qui sera instable en boucle fermée Système qui sera stable en boucle fermée
Un système bouclé linéaire est stable en boucle fermée si son gain en boucle ouverte est négatif à la fréquence où l’argument de sa transmittance en boucle ouverte vaut 180°
