II Espérance et variance

BCPST2

95 2 13 Variables aléatoires à densité

I Variables aléatoires à densité

A) Dénition Dénition :

Soit f :R→R. On dit que f est une densité de probabilité si et seulement si : G f est positive ou nulle.

G f est continue sauf éventuellement en un nombre ni de points.

G Z +∞

−∞

f(t)dtconverge etZ +∞

−∞

f(t)dt= 1 Remarque: Rappel

On notex1 < x2<· · ·< xnsont les points de discontinuité def,x0 =−∞etxn+1 = +∞

On dit que l'intégrale Z +∞

−∞

f(t)dt converge si et seulement si toutes les intégrales Z xi+1

xi

f(t)dtavec 0≤i≤n convergent.

Et on dénit :

Z +∞

−∞

f(t)dt=

n

X

i=0

Z xi+1

xi

f(t)dt Exemple :

©

Montrer que f est une densité de probabilité.

Dénition :

Soit X une variable aléatoire réelle dénie sur un espace probabilisé (Ω,A,P) et F sa fonction de répartition.

On dit que X est une variable aléatoire à densité s'il existe une densité de probabilité f telle que :

∀x∈R, F(x) = Z x

−∞

f(t)dt f est appelée densité de X

Remarque:

On notex1 < x2<· · ·< xnsont les points de discontinuité def,x0 =−∞etxn+1 = +∞

Soit x∈R. Il existe un unique k∈J0, nKtel que :x_k≤x < x_k+1. On a alors :

F(x) =

k−1

X

i=0

Z xi+1

xi

f(t)dt+ Z x

xk

f(t)dt Remarque:

Une telle fonctionf n'est pas unique. C'est pourquoi dit que f est une densité deX. En particulier, si g est une fonction qui ne dière de f qu'en un nombre ni de points, g est aussi une densité deX.

Proposition :

Soit f une densité de probabilité, on admet qu'il existe une variable aléatoire X admet f comme densité.

B) Fonctions de répartition Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité, de densitéf, etF sa fonction de répartion.

G F est croissante.

G lim

x→−∞ F(x) = 0, lim

x→+∞ F(x) = 1 G F est continue sur R.

G F est de classe C¹ sauf éventuellement en un nombre ni de points.

En dehors de ces points, on a F⁰=f. Démonstration :

Proposition : Réciproque

Soit X une variable aléatoire de fonction de répartitionF. On suppose : G F est continue sur R.

G F est de classe C¹ sauf éventuellement en un nombre ni de points.

AlorsX est à densité et une densité est donnée parf =F⁰ aux points oùF est dérivable, et par ce qu'on veut ailleurs.

Démonstration :

Comment montrer qu'une variable aléatoire est à densité ?

Méthode

G Calculer sa fonction de répartition de F. G Vérier que F est continue sur R.

G Vérier que F est C¹ sauf éventuellement en un nombre ni de points ;

G Aux points où F est dérivable, la densité est donnée parf =F⁰ et par ce qu'on veut ailleurs. (souvent on choisit0).

Proposition :

Soit X une variable aléatoire réelle admettant une densitéf. On a : G ∀a∈R, P([X=a]) = 0

G ∀a, b∈R², P([a≤X≤b]) = Z b

a

f(t)dt

C) Fonction d'une variable aléatoire à densité Positionnement du problème :

SoitX une variable aléatoire à densitéf etφ une fonction telle queX(Ω)⊂Def(φ). On considère Y =φ(X)et on souhaite savoir si Y est à densité.

Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densitéf et(a, b)∈R². On supposea6= 0. AlorsY =aX+best une variable aléatoire à densité.

Démonstration :

Remarque:

Sia= 0,Y est certaine, et donc elle n'est pas à densité.

Cas général

Méthode Siφest de classeC¹, étudierP(Y ≤y) =P(φ(X)≤y)(et sa dérivée) en faisant intervenir le sens de variation de φ.

Siφ n'est pas monotone, dresser le tableau de variation deφet s'aider du graphe de φ. Exemple :

©

Soit X une variable à densitéf et soitn un entier.

AlorsXⁿ est à densité.

D) Somme de variables aléatoires à densité indépendantes Dénition : Produit de convolution

Soit f etg deux densités de probabilités surR.

On appelle produit de convolution de f et de g l'application : f ? g:z7→

Z +∞

−∞

f(x)g(z−x)dx Cette intégrale impropre est eectivement convergente pour tout z∈R.

Théorème :

SoientX etY des variables aléatoires indépendantes de densité respectives f_X etf_Y. AlorsZ =X+Y est une variable à densité dont une densité est

f_X ? f_Y Ainsi, une densité deZ est :

f_Z:t7→

Z +∞

x=−∞

f_X(x)f_Y(t−x)dx et sa fonction de répartition est :

P(Z ≤z) =F(z) = Z z

t=−∞

Z +∞

x=−∞

f_X(x)f_Y(t−x)dxdt

Corollaire :

Si de plusX etY sont à valeurs positives ou nulles, alors une densité deX+Y est l'application f : R → R

z 7→





 Z z

0

fX(x)fY(z−x)dx siz>0

0 sinon

E) Minimum et maximum de variables aléatoires à densité indépendantes

Soit(Xk)_16k6n nvariables aléatoires à densité indépendantes. On note fk une densité deXk etFk sa fonction de répartition.

On s'intéresse àM_n= max

16k6n X_n etm_n= min

16k6n X_k. Maximum

Méthode

G Soit x∈R, on étudieF(x) =P(Mn6x) en remarquant : P(Mn6x) =P(X1 6x, X2 6x, . . . , Xn6x)

=P(X₁ 6x)P(X₂6x). . .P(X_n6x)

=F₁(x)F₂(x). . . F_n(x)

G On remarque que F est continue sur R etC¹ sauf en un nombre ni de points car F1, . . . , Fn le sont.

G On conclut que Mnest à densité et on obtient une densité par dérivation de F. Minimum

Méthode

G Soit x∈R, on étudieF(x) =P(m_n6x) en remarquant : P(m_n> x) =P(X₁> x, X₂> x, . . . , X_n> x)

=P(X₁> x)P(X₂ > x). . .P(X_n> x)

= (1−F1(x))(1−F2(x)). . .(1−Fn(x)) G On a alors F(x) = 1−(1−F₁(x))(1−F₂(x)). . .(1−F_n(x))

G On remarque que F est continue sur R etC¹ sauf en un nombre ni de points car F₁, . . . , F_n le sont.

G On conclut que m_n est à densité et on obtient une densité par dérivation deF.

II Espérance et variance

A) Dénition

Dénition : Espérance

Soit X une variable aléatoire réelle de densitéf. Si

Z +∞

−∞

tf(t)dtest absolument convergente, on dit queX admet une espérance.

Dans ce cas, on appelle espérance de X et on noteE(X) la valeurZ +∞

−∞

tf(t)dt.

B) Linéarité de l'espérance Proposition :

Soit X variable aléatoire à densité surRadmettant une espérance. Soient αetβ deux réels.

Alors, αX+β admet une espérance. De plus :

E(αX+β) =αE(X) +β

Théorème : Linéarité de l'espérance

SoientX etY deux variables aléatoires à densité admettant toutes deux une espérance.

On suppose que X+Y est aussi à densité.

AlorsX+Y admet une espérance et on a :

E(X+Y) =E(X) +E(Y)

Dénition :

Une variable aléatoire est dite centrée si elle admet une espérance et que celle-ci est nulle.

Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité admettant une espérance.

AlorsX−E(X)est centrée.

C) Théorème de transfert Théorème :

Soient X une variable aléatoire de densité f, et φ une fonction continue sur un intervalleI, sauf en un nombre ni de points.

On suppose que Y =φ(X)est une variable aléatoire à densité.

Y admet une espérance si et seulement siZ +∞

−∞

φ(t)f(t)dt est absolument convergente.

Dans ce cas,E(Y) = Z +∞

−∞

φ(t)f(t)dt. Exemple :

©

X une variable à densité f etY = exp(X). Montrer le théorème de transfert dans ce cas.

SiX admet pour densité la fonctionf dénie par f(t) = ¹₂exp(−|t|), étudierE(Y).

D) Variance Dénition : Variance

Soit X une variable aléatoire à densité.

On dit que X admet une variance et on note

V(X) =E (X−E(X))² si cette espérance existe.

Remarque:

X² admet une espérance si et seulement siX admet une espérance et une variance.

Proposition : Formule de Koenig

Soit X une variable aléatoire à densité, admettant une espérance et une variance.

On a :

V(X) =E(X²)−(E(X))²

Démonstration :

Dénition : Ecart-type

Soit X une variable aléatoire à densité, admettant une variance.

On dénit l'écart-type de X parσ(X) =p V(X) Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité, admettant une variance. Soita, b∈R. Alors : V(aX+b) =a²V(X), σ(aX+b) =|a|σ(X)

Dénition :

Soit X une variable à densité admettant une variance.

On dit que X est centrée et réduite si E(X) = 0 etV(X) = 1.

Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité admettant une variance.

On appelle variable aléatoire centrée réduite associée àX, la variable aléatoireX^∗ dénit par : X^∗ = X−E(X)

σ(X) Elle est centrée réduite.

E) Inégalité de Bienaymé-Tchebychev Théorème :

Soit X une variable aléatoire à densité admettant une variance.

On notem=E(X) etσ=σ(X) =p

V(X). Soit ε >0. P([|X−m| ≥ε])≤ σ²

ε²

Démonstration :

Lemme : Inégalité de Markov

Soit Y une variable aléatoire positive et à densité, admettant une espérance.

Soit t∈R^∗+. On a :

P([Y ≥t])≤ E(Y) t Démonstration : Appliquer le lemme àY = (X−m)².

III Loi uniforme

A) Dénition Dénition :

Soit aetbdeux réels a < b.

On dit que X suit la loi uniforme sur [a, b]si elle admet pour densité la fonction f : R → R

x 7→

₁

b−a si x∈[a, b]

0 sinon On noteX ,→ U([a, b]).

B) Fonction de répartition Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité suivant une loi uniforme sur[a, b]. Notons F sa fonction de répartition. On a :

F : R → R

t 7→







0 si t < a

t−a

b−a si a≤t≤b 1 si t > b

− 1

→i

−

→j 1

a O f

b

1 b−a

− 1

→i

−

→j 1

a O F

b

C) Espérance et variance Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité suivant une loi uniforme sur[a, b]. On a :

E(X) = a+b

2 , V(X) = (b−a)² 12

IV Loi exponentielle

A) Dénition Dénition :

Soit λ >0.

On dit que X suit la loi exponentielle de paramètreλsi elle admet pour densité la fonction f : R → R

x 7→

0 six <0 λe^−λx six≥0 On note :X ,→ E(λ).

B) Fonction de répartition Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité suivant une loi exponentielle de paramètreλ. Notons F sa fonction de répartition. On a :

F : R → R

t 7→

0 si t <0

1−exp(−λt) si t≥0

− 1

→i

−

→j 1

O f

− 1

→i

−

→j 1

O F

C) Espérance et variance Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité suivant une loi exponentielle de paramètreλ. On a : E(X) = 1

λ, V(X) = 1 λ²

D) Invariance temporelle Théorème :

Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ. Soients, t∈R+.

P_[X>t](X>s+t) =P(X >t)

V Loi normale

A) Dénition Dénition :

On dit queXsuit la loi normale centrée réduite si elle admet pour densité la fonction

f : R → R

x 7→ 1

√2πexp

−x² 2

On note :X ,→ N(0,1)

Dénition :

Soit m∈Retσ ∈R^∗₊.

On dit que X suit la loi normale de paramètrem etσ² si elle admet pour densité la fonction f : R → R

x 7→ 1

√2πσexp

−(x−m)² 2σ²

On note :X ,→ N(m, σ²)

B) Fonction de répartition Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité suivant une loi normale centrée réduite.

Notons Φsa fonction de répartition. On a : Φ : R → R

t 7→

Z t

−∞

√1 2π exp

−x² 2

dx Φvérie les propriétés suivantes :

â Φ(0) = ¹₂

â ∀t∈R+, Φ(−t) = 1−Φ(t)

â φne s'exprime pas simplement, on utilise des tables de la loi normale.

− 1

→i

−

→j 1

O f

− 1

→i

−

→j 1

O F

C) Espérance et variance Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité suivant une loi normale de paramètre metσ. On a : E(X) =m, V(X) =σ²

D) Loi de aX+b Proposition :

Soit X une variable aléatoire admettant une espérancem et une varianceσ² avec σ >0. Soit a∈R^∗ etb∈R. On a :

aX+b ,→ N(am+b, a²σ²)

Remarque:

Soit X une variable aléatoire. On suppose X ,→ N(m, σ²) AlorsX^∗ ,→ N(0,1)

E) Sommes de gaussiennes indépendantes Théorème :

Soit X etY deux variables aléatoires indépendantes. On suppose : X ,→ N(m, σ²) e tY ,→ N(m⁰, σ⁰²) Alors

X+Y ,→ N(m+m⁰, σ²+σ⁰²)

Ce résultat se généralise au cas denvariables aléatoires gaussiennes et indépendantes.

F) Table de la loi normale centrée réduite

On tabule ici les valeurs de la fonction de répartitionΦde la loi normale centrée réduiteN(0,1). Par dénition,

φ(x) = 1

√ 2π

Z x

−∞

e^−t2/2dt

Les décimales se lisent sur les lignes, et on ajoute les centièmes rangés en colonnes. Par exemple, la valeur de Φ(1,93) est donnée à l'intersection de la ligne 1,9 et de la colonne 0,03, et l'on peut lire Φ(1,93) = 0,9732, à 10⁻⁴ près. Au delà de la valeur x = 3,9, la valeur de Φ(x) est presque égale à 1 (toujours à10⁻⁴ près), elle n'est donc plus tabulée. Enn, pour les valeurs négatives de x, on utilise la relation Φ(−x) = 1−Φ(x)

x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 .5 .5039 .5079 .5119 .5159 .5199 .5239 .5279 .5318 .5358 0.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .5714 .5753 0.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .6141 0.3 .6179 .6217 .6255 .6293 .6331 .6368 .6406 .6443 .6480 .6517 0.4 .6554 .6591 .6628 .6664 .6700 .6736 .6772 .6808 .6844 .6879 0.5 .6915 .6950 .6985 .7019 .7054 .7088 .7123 .7157 .7190 .7224 0.6 .7257 .7291 .7324 .7357 .7389 .7422 .7454 .7486 .7517 .7549 0.7 .7580 .7611 .7642 .7673 .7703 .7734 .7764 .7793 .7823 .7852 0.8 .7881 .7910 .7939 .7967 .7995 .8023 .8051 .8078 .8106 .8133 0.9 .8159 .8186 .8212 .8238 .8264 .8289 .8315 .8340 .8365 .8389 1.0 .8413 .8438 .8461 .8485 .8508 .8531 .8554 .8577 .8599 .8621 1.1 .8643 .8665 .8686 .8708 .8729 .8749 .8770 .8790 .8810 .8830 1.2 8849 .8869 .8888 .8906 .8925 .8943 .8962 .8980 .8997 .9015 1.3 .9032 .9049 .9066 .9082 .9099 .9115 .9131 .9147 .9162 .9177 1.4 .9192 .9207 .9222 .9236 .9251 .9265 .9279 .9292 .9306 .9319 1.5 .9332 .9345 .9357 .9370 .9382 .9394 .9406 .9418 .9429 .9441 1.6 .9452 .9463 .9474 .9484 .9495 .9505 .9515 .9525 .9535 .9545 1.7 .9554 .9564 .9573 .9582 .9591 .9599 .9608 .9616 .9625 .9633 1.8 .9641 .9649 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .9706 1.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9761 .9767 2.0 .9772 .9778 .9783 .9788 .9793 .9798 .9803 .9808 .9812 .9817 2.1 .9821 .9826 .9830 .9834 .9838 .9842 .9846 .9850 .9854 .9857 2.2 .9861 .9864 .9868 .9871 .9875 .9878 .9881 .9884 .9887 .9890 2.3 .9893 .9896 .9898 .9901 .9904 .9906 .9909 .9911 .9913 .9916 2.4 .9918 .9920 .9922 .9925 .9927 .9929 .9931 .9932 .9934 .9936 2.5 .9938 .9940 .9941 .9943 .9945 .9946 .9948 .9949 .9951 .9952 2.6 .9953 .9955 .9956 .9957 .9959 .9960 .9961 .9962 .9963 .9964 2.7 .9965 .9966 .9967 .9968 .9969 .9970 .9971 .9972 .9973 .9974 2.8 .9974 .9975 .9976 .9977 .9977 .9978 .9979 .9979 .9980 .9981 2.9 .9981 .9982 .9982 .9983 .9984 .9984 .9985 .9985 .9986 .9986 3.0 .9986 .9987 .9987 .9988 .9988 .9989 .9989 .9989 .9990 .9990 3.1 .9990 .9991 .9991 .9991 .9992 .9992 .9992 .9992 .9993 .9993 3.2 .9993 .9993 .9994 .9994 .9994 .9994 .9994 .9995 .9995 .9995 3.3 .9995 .9995 .9995 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .9997 3.4 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9998 3.5 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 3.6 .9998 .9998 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 3.7 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 3.8 9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 3.9 .10000 .10000 .10000 .10000 .10000 .10000 .10000 .10000 .10000 .10000

VI Simulations de loi

A) Obtenir un tracé expérimental de la densité L'objectif est le suivant :

G On dispose d'un nombre important de simulations d'une variable aléatoire dont on soupçonne qu'elle puisse être à densité.

G On voudrait un tracé expérimental d'une densité.

On noteX la variable aléatoire,F sa fonction de répartiton, et f une densité.

Obtenir un graphique d'une densité

Méthode

G Soit L la liste comprenant les simulations de la variable aléatoire.

G On calcule le minimum m et le maximunM de la liste L

G On discrétise l'intervalle [m, M]en un certain nombreN de petits intervalles.

(Par exemple N = 30) On pose alors h= M−m

N et pour i∈J0, NK, on posexi=m+i∗h

G Une valeur approchée de la fonction de répartitionF enxest donnée par la fréquence des simulations vériant X6x.

G Une valeur approchée de la densité en xi est donnée par F(x_i+1)−F(x_i) h

G On compte donc le nombren_ide simulations dans l'intervalle[x_i, x_i+1]et on considère donc quef(xi)≈ ni

len(L)∗h G Faire un graphique !

from random import random

import matplotlib . pyplot as plt from math import ∗

import numpy as np def densite ( L ) :

m = min( L ) M = max( L ) h = ( M−m ) /30 f = [ 0 ]∗3 1

f o r x in L :

k = floor ( ( x−m ) /h ) f [ k ] += 1

f o r k in range(le n( f ) ) :

f [ k ] = f [ k ] / (l en( L )∗h ) return f

def densite_graphe ( L ) : f = densite ( L ) m = min( L ) M = max( L )

X = [ m + i∗(M−m ) /30 f o r i in range(31) ] plt . plot ( X , F )

plt . show ( ) On peut aussi faire :

histogramme tout fait import matplotlib . pyplot as plt

plt . hist ( s , 100 , normed=True ) # normed = True permet l a repr é s e n t a t i o n de l a d e n s i t é .

B) Loi uniforme

Loi uniforme def uniforme ( a , b ) :

return ( b−a )∗random ( ) +a

C) Loi exponentielle

Loi exponentielle def expon ( mu ) :

x=random ( )

return (−log(1−x ) /mu )

Loi exponentielle toute faite

np . random . exponential ( beta , N ) # simule N f o i s une l o i e x p o n e n t i e l l e

# de paramè t r e mu=1/beta

D) Loi normale

G On cherche à simuler une loi normale centrée réduite.

Pour le cas général, on utilise que si X ,→ N(0,1)alorsσX +µ ,→ N(µ, σ²).

G On peut utiliser la même idée que pour la loi exponentielle. Cependant, on ne connait pas de forme expliciteΦ⁻¹.

Il faudra utiliser des approximations : la fonction norm.ppf du module scipy.stats nous fournit la fonction.

Loi normale from scipy . stats import ∗

def normal ( mu , sigma ) : x = random ( )

return sigma∗norm . ppf ( x )+mu

Mais bien sûr, c'est déjà programmé dans python (avec des méthodes bien plus précises) : Loi normale toute faite

np . random . normal ( mu , sigma , N )

BCPST2

95 2 13 V. A. à densité

Je ne connais rien d'autre si propre à frapper l'imagination que cette merveilleuse forme d'ordre cosmique donnée par la Loi de Fréquence des Erreurs(*)... Elle règne avec sérénité et en toute abné- gation au milieu de la confusion sauvage. Francis Galton

(*) loi normale

©Exercice 1: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Vac/VAd07.tex

On note f la fonction dénie sur R par :

∀x∈R, f(x) = 1 π(1 +x²)

1^◦) Montrer quef est une densité de probabilité. SoitXune variable aléatoire admettantf comme densité : on dit que X suit la loi de Cauchy

2^◦) a) Déterminer la fonction de répartition deX .

b) Calculer les probabilités : P(X ≤0), P(X ≥0), P(X ≤ −1) etP(X ≥1). c) La variable aléatoire X admet-elle une espérance ? Si oui, la calculer.

3^◦) SoitV une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur

−^π₂,^π₂

Montrer que tanV suit la loi de Cauchy.

4^◦) a) On pose h la fonction dénie sur R\1 par h(x) = 1 +x 1−x Étudier les variations de h.

b) On dénit la variable aléatoireY = 1 +X

1−X. Montrer que Y suit également la loi de Cauchy.

©Exercice 2: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Vac/VAd04.tex

1^◦) SoitX une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [0,1].

On dénit Y = X². Montrer que Y est une variable aléatoire à densité et déterminer une densité de Y.

2^◦) Espérance et variance deY ?

©Exercice 3: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Vac/VAd05.tex

Soit X une va suivant une loi normale de paramètre m et σ. On pose Y = exp X. Déterminer la fonction de répartition deY, ainsi que son espérance et sa variance.

©Exercice 4: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Vac/VAd02.tex

Pour cet exercice, on utilisera une table de la loi normale centrée réduite.

Une société de service en informatique veut répondre à un appel d'ore pour réaliser le portail web

d'une entreprise. Le responsable de projet estime que la durée nécessaire, en jours de travail, pour réaliser le site demandé suit une loi normale de paramètres m et σ où m vaut 400 jours et σ, 20 jours.

1^◦) Quelle est la probabilité qu'il soit eectivement ni avant 400 jours ? Avant 410 jours ?

2^◦) Quelle durée devrait-il annoncer au client pour avoir 90% de chances de nir dans les temps ? 3^◦) Le commercial décide qu'on peut toujours travailler plus vite et annonce au client que le projet est réalisable en350jours. Quelle est la probabilité que le projet soit ni dans les temps ?

© Exercice 5: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Vac/VAd03.tex

La Société Anonyme B.-N. fabrique des nains (de jardin) d'une hauteur moyenne de 1 mètre.

Notons X la hauteur d'un nain en bout de la chaîne de fabrication. On supposera que X suit une loi normale de paramètres m et σ, telle queE(X²) = 1,01.

1^◦) Déterminer m et σ.

2^◦) Quelle est la probabilité qu'un nain mesure entre 98centimètres et 1,02m ?

© Exercice 6: Loi du χ² /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Vac/VAd06.tex

SoitY une variable aléatoire gaussienne centrée réduite. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire X =Y² et montrer que X admet une densité que l'on déterminera. Déterminer espérance et variance de X.

© Exercice 7: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Covac/Covad17.tex

Soit f(x) =xe^−x si x>0et f(x) = 0 sinon.

1^◦) Montrer que f est une densité de probabilité.

2^◦) Trois personnes A,B,C arrivent à deux guichets. C, par courtoisie, laisse passer A et B puis prendra la place du premier parti.

On noteT_AetT_Bles temps de passage au guichet deAetB. On suppose que ces deux variables aléatoires sont indépendantes et admettent f pour densité. Soit M le temps d'attente de C. T_A admet-elle une espérance ? Si oui, la calculer.

3^◦) Donner la loi de M .

4^◦) Soit Y la partie entière deT_A . Donner la loi de Y.

© Exercice 8: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Covac/Covad20.tex

Soit (X_i)_16i62n+1 une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toute une loi uniforme sur [0,1]. On les range dans l'ordre croissant et on dénit la médiane M_n, c'est-à-dire la n+ 1-ième valeur.

1^◦) Montrer : ∀x∈[0,1], P(M_n6x) =

2n+1

X

i=n+1

2n+ 1 i

xⁱ(1−x)²ⁿ⁺¹⁻ⁱ

2^◦) Montrer que M_n est à densité et qu'elle admet une espérance.

3^◦) CalculerE(M_n). On rappelle que Z 1

0

x^p(1−x)^qdx= p!q!

(p+q+ 1)!.

©Exercice 9: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Covac/Covad29.tex

Soit (X_n)_n>0 une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes de loiE(1). 1^◦) Loi de X_k

k ?

2^◦) Montrer que Z_n= max(X₁, . . . , X_n)et

n

X

i=1

X_i

i suivent la même loi.

3^◦) Montrer que Z_n admet une espérance et une variance.

Montrer que : 16E(Zn)6n et 1

n 6V(Zn)6n

©Exercice 10: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Covac/Covad05.tex

Roméo et une Juliette se donnent rendez-vous à minuit (sous un balcon). L'heure d'arrivée de la Juliette suit une loi normale d'espérance minuit et d'écart-type 4 minutes. L'heure d'arrivée de Roméo suit une loi normale d'espérance minuit et cinq minutes (il a envie de se faire attendre) et d'écart-type 3 minutes. Elle est prête à attendre au plus 10 minutes, lui au plus 5 minutes. Quelle est la probabilité que cette grande histoire d'amour ne commence jamais ?

©Exercice 11: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Vac/VAd26.tex

A l'aide de la loi normale, calculer les intégrales suivantes : 1^◦)Z +∞

−∞

e^{−2x2−4x−2}dx 2^◦)Z +∞

−∞

xe^{−2x2−2x−1}dx 3^◦)Z +∞

−∞

x²e^{−2x2−8x−1}dx

4^◦)Z +∞

−1

e^{−2x2−4x−1}dx 5^◦)Z +∞

−∞

x³e^{−2x2−4x−1}dx 6^◦)Z +∞

−∞

x⁴e^{−2x2−6x−1}dx

©Exercice 12: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Vac/VAd24.tex

Une usine a une chaine de montage. On commence à fabriquer des objets à l'instantt= 0.

Il y a n machines qui travaillent en parallèle. On note X_i le temps de fabrication d'un objet sur la i-ème machine. Lorsque l'objet est fabriqué, la machine s'arrête.

On suppose que X_i ,→ U([0,1]).

Soit .

1^◦) Soit N_t le nombre d'objet fabriqués à l'instant t. Reconnaitre la loi de N_t. 2^◦) Soit T_k le temps nécéssaire à la fabrication de k objets.

Montrer P(T_k6t) =P(N_t>k).

ExprimerP(Tk 6t) comme une somme.

3^◦) Montrer que T_k est à densité et qu'une densité est donnée par f_k(t) = n!

(k−1)!(n−k)!t^k−1(1−t)^n−k 4^◦) Déterminer l'espérance de T_k.

© Exercice 13: /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Vac/VAd32.tex

Soit n ∈N etf_n dénie par

f_n(t) =





 e^−ttⁿ

n! si t >0

0 sinon

1^◦) Montrer : ∀x∈R^∗+, Z x

0

f_n(t)dt= e^−xxⁿ n! +

Z x 0

f_n+1(t)dt. Montrer queZ +∞

0

f_n(t)dt= 1. En déduire que f_n est une densité de probabilité.

2^◦) Soit Xn admettant fn comme densité de probabilité. Montrer que Xn admet une espérance et une variance et les calculer.

3^◦) Soit Y_t ,→ P(t) le nombre de voiture arrivant à un péage entre l'instant 0 et l'instant t. Soit Z_n le temps nécessaire pour qu'il y ait n voitures de passées.

a) Montrer [Z_n6t] = [Y_t>n]

b) En déduire queZ_n admet une densité de la formef_k avec k à préciser.