2. Calcul de la charge de ruine d’un portique
Figure 1 : Portique soumis à deux charges concentrées de même intensité
On se propose d’évaluer par la méthode cinématique du calcul à la rupture la charge de ruine du portique représenté sur la figure 1 ci-dessus, soumis à deux charges ponctuelles d’égale intensité Q, et constitué de tronçons homogènes de même critère de résistance (mMm).
On peut dénombrer n=5 sections potentiellement critiques, notées de 1 à 5 comme indiqué sur la figure.
La structure étant hyperstatique d’ordre k=31, le nombre de mécanismes indépendants est donc égal à r n k 2. Soit:
un mécanisme de poutre mettant en jeu des rotules aux sections 2, 3 et 4 (figure 2);
Figure 2 : Mécanisme de poutre (a) du portique mettant en jeu des rotules dans les sections 2, 3 et 4
ainsi qu’un mécanisme de panneau faisant intervenir des rotules aux sections 1, 2, 4 et 5 (figure 3).
45 45
h
2 /
Q h
m M 2
/ h
Q
1
2 3 4
5
Q Q
2
3
4
ˆ
ˆ
Figure 3 : Mécanisme de panneau (b) mettant en jeu les sections des rotules dans les sections 1, 2, 4 et 5
On désigne par ˆ (respectivementˆ) le taux de rotation virtuel (compté positivement dans le sens trigonométrique) de la poutre 23 (resp. 12) dans le mécanisme de poutre (a) (resp.
panneau (b)). Les différentes discontinuités de taux de rotation sont calculées en orientant positivement le portique dans le sens12345. Le tableau ci-dessous récapitule alors, pour chacun des mécanismes de base, ainsi que pour toute combinaison linéaire de ces mécanismes, la valeur des discontinuités de taux de rotation aux différentes sections potentiellement critiques (1 à 5), celle de la puissance virtuelle des efforts extérieurs, ainsi que celle de la puissance résistante maximale.
1 2 3 4 5 Qq Prm
(a) 0 ˆ 2ˆ ˆ 0 Qhˆ / 2 4mˆ
(b) ˆ 3ˆ 0 3ˆ ˆ Qhˆ 8mˆ (a)
+
(b)
ˆ
3ˆ ˆ 2ˆ ˆ3ˆ ˆ Qh(ˆ/2ˆ)
ˆ ˆ ˆ 3
3ˆ
ˆ) ( ˆ 2
m m
m
L’application de l’approche cinématique pour un mécanisme quelconque caractérisé par le couple de paramètres ( , ) ˆ ˆ conduit à l’inégalité suivante, valable pour toutes les valeurs potentiellement supportables du chargement Q :
ˆ) 2 ˆ/ (
Qh 2m(ˆ ˆ)m3ˆˆ m3ˆˆ (2.1) Nous restreignant aux valeurs positives du paramètre de chargement Q, il convient alors de choisir les paramètres (ˆ,ˆ) de sorte que (ˆ/2ˆ) demeure strictement positif, de façon à obtenir un majorant de la charge de ruine Q. La majoration correspondante demeurant
ˆ
ˆ 2
ˆ
h 2
2 /
h 2
5 4
2
1 Q
Q
inchangée si l’on multiplie les paramètres ˆ et ˆ par un même facteur positif quelconque, il est alors toujours possible de choisir ces paramètres tels que ˆ/ 2 ˆ 1, de sorte que :
2 ˆ 2 ˆ 3 5ˆ/2 3 ˆ/2
ˆ,
h
Q m (2.2)
Il reste à rechercher le minimum de l’expression du second membre de (2.2) afin d’obtenir le meilleur majorant possible de la charge de ruine. Ce second membre étant une fonction continue et affine par morceaux, mais toujours positive, de ˆ, il suffit de prendre le minimum des valeurs calculées aux points où les valeurs absolues s’annulent, soit :
h Q m
h Q m
h Q m
h Q m
28
ˆ 6 5
28 5 / ˆ 6
8 ˆ 2
8 ˆ 0
(2.3)
Le plus petit majorant de Q est obtenu pour ˆ 6 / 5, et doncˆ 2 / 5. En vertu du résultat établi au chapitre VI du cours, la valeur correspondante du majorant n’est autre que la valeur exacte de la charge de ruine :
h Q m
5
28
(2.4)
Les valeurs des discontinuités de taux de rotation aux sections potentiellement critiques correspondant au mécanisme «optimal» sont données ci-dessous :
1 2 3 4 5
2/5 0 +12/5 12/5 +2/5
Il apparaît ainsi que, dans ce mécanisme, la discontinuité relative à la section 2 est nulle, de sorte que la partie 123 du portique est animée d’un mouvement de rotation pure autour de l’appui 1 : voir figure 4.
Figure 4 : Mécanisme optimal avec les discontinuités de taux de rotation aux sections potentiellement critiques
1:2 / 5
2 :0
3 :12 / 5
4 :12 / 5
1:2 / 5
On peut alors associer à ce mécanisme une distribution de moments fléchissants caractérisée par le vecteur M (Mi,i1,...,5) formé des valeurs des moments fléchissants aux sections potentiellement critiques, qui soit statiquement admissible avec la valeur Q28m/5h du chargement, tout en respectant le critère de résistance en tout point du portique. En vertu du résultat général établi au chapitre VI, cette distribution de moments est nécessairement telle que le critère de résistance est atteint dans les sections potentiellement critiques qui sont le siège d’une discontinuité du taux de rotation dans le mécanisme optimal, avec le signe correspondant.
Soit dans le cas présent:
m M M m M
M1 4 , 3 5 (2.5)
Il est alors possible de calculer la valeur du moment fléchissant au niveau de la section potentiellement critique n°2 en utilisant les deux équations d’équilibre reliant les moments Mi au chargement Q.Ces équations peuvent être établies en appliquant le principe des puissances virtuelles pour les deux mécanismes indépendants des figures 2 et 3. Soit:
5
2 3 4
1 5
1 2 4 5
1
ˆ, ( )ˆ ˆ/ 2 ˆ ( ˆ) ( 2 )ˆ ( ˆ)
ˆ, ( )ˆ ˆ ˆ ( ˆ) ( 3 )ˆ ( 3 )ˆ ( ˆ)
e i i
i
e i i
i
P v Qh M M M M
P v Qh M M M M M
(2.6)et donc en simplifiant par ˆ et ˆ:
2 3 4
1 2 4 5
/ 2 2
3 3
Qh M M M
Qh M M M M
(2.7)
Ces deux dernières équations deviennent alors compte tenu de (2.5) et du fait que 28 / 5
Q m h:
2 2
28m/ 55m3M et 14m/ 53mM (2.8) d'où découle la valeur de M2 m/ 5. Le diagramme correspondant des moments fléchissants est représenté sur la figure 5.
h m Q 28 /5
m M1
5
2 m/
M
m M3
m M4
m M5
Figure 5 : Distribution de moments fléchissants associée à la charge de ruine du portique
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