Élasticité d’une chaîne polymère (**)

Sujet 16

Élasticité d’une chaîne polymère (**)

Ce projet consiste à étudier numériquement à l’aide de simulations de dynamique brownienne les conformations à l’équilibre d’un polymàre en solution et sa réponse sous l’action d’une force extérieure.

Le polymàre flexible (ou gaussien) est un modàle simple des macromolécule biologique, telle que les acides nucléiques (ADN, ARN. . .) ou les protéines. Il est aussi le constituant principal des maté- riaux plastiques comme le caoutchouc. Comprendre comment un polymàre réagit sous l’action d’une contrainte est donc intéressant pour modéliser les macromolécules biologiques étirées ou comprimées par des machines moléculaires ou caractériser les propriétés élastiques extraordinaires du caoutchouc.

Une chaÃ^Rne polymàre est formée par la répétition linéaire deN monomàres identiques de lon- gueur a (cela peut Ã^atre une molécule simple comme l’éthylàne ou un ensemble moléculaire plus complexe comme une paire de base de l’ADN). Si les orientations spatiales de deux monomàres suc- cessifs sont indépendantes (ou décorrelées), le vecteur bout-à -bout du polymàre,R(N)~ est identique à la trajectoire d’une marche au hasard ou l’indice de polymérisationN joue le rôle du temps. En particulier, on a

hR(N)~ i= 0 et hR~²(N)i=a²N (1) On peut montrer qu’il est équivalent (pourquoi ?) de considérer une chaÃ^Rne de N ressorts en série de constantek(on prendrak'100kBT /a²oùkBT est l’énergie thermique). Si~ri est la position du monomàrei, le potentiel entre deux monomàres successifs s’écrit alors

V(~ri,~ri+1) =k

2(|~ri+1 ~ri| a])² (2)

Dans le cadre de ce projet nous proposons d’étudier un polymàre en solution à l’aide d’une dynamique brownienne et de s’intéresser en particulier à :

1. L’étude de la conformation du polymàre à l’équilibre, caractérisée parhR~²(N)i. On pourra, en partant d’un configuration initiale particuliàre, étudier le temps de mise à l’équilibre, le temps de Rouse⌧Rouse, en fonction deN.

2. L’étude de la réponse du polymàre sous force f. En pratique, on appliquera une force~ ±f /2ˆz à chaque bout et on étudiera l’extension du polymàre,hzi(f), en fonction du module def~. On s’intéressera au changement de comportement entre le régime de faible force f ⌧kBT /aet de grande forcef 'kBT /a.

Des études complémentaires pourront concerner :

1. L’étude d’une chaÃ^Rne polymàresemi-flexible, caractérisée par une énergie de courbure entre 2 monomàres successifs qui favorise leur alignement. En notant~ti=~ri+1 ~rietˆti=~ti/|~ti|cette énergie de courbure s’écrit :

Vcourbure(ˆti,ˆti+1) = 

2(ˆti+1 ˆti)² (3)

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Sujet 16. Élasticité d’une chaîne polymère (**)

oùest le module de courbure ('1 200kBT). On pourra étudier le vecteur bout-Ã -bout en fonction depour un N donné et étudier les modifications dans la courbe force-extension, hzi(f), par rapport au cas flexible.

2. L’étude d’une chaÃ^Rnes polymàre auto-évitante. Pour éviter le croisement de 2 monomàres i etj au mÃ^ame endroit,~ri=~rj, on introduit un potentiel de Lennard-Jones répulsif tronqué du type

VLJ=✏

"✓

a

~ ri ~rj

◆¹² 2

✓ a

~ri ~rj

◆⁶#

(4) lorsque|~ri ~rj|< a. Expliquer pourquoi le temps de calcul va beaucoup augmenter.

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