Modélisation Statistique Chapitre 3: Extensions de la régression

Modélisation Statistique

Chapitre 3: Extensions de la régression

Mohamed Essaied Hamrita

ISMAI, Université Kairouan. Tunisie mhamrita@gmail.com http://hamrita.e-monsite.com/

Avril 2016

Plan du chapitre

Les variables muettes

Les modèles à retards échelonnés Modèle dynamique général Multiplicateurs ou effets

Applications

Lesvariables muettes (ou indicatrice ou dummies)sont des variables explicatives de typequalitatif et qui sont représentées sous forme de code.

Exemple:

Y a-t-il une différence entre le salaire moyen des hommes et celui des femmes?

Considérons le modèle suivant:

Si=β0+β1X1i+β2Di+εi, i =1, . . . ,n (1) avec:

Si: le salaire,Xi =nombre d’années d’éducation etDi=1 si l’individui est un homme et 0 sinon.

Di est une variable indicatrice (ou binaire). On dit que l’individu de référence (catégorie omise) est la femme.

Applications

Lesvariables muettes (ou indicatrice ou dummies)sont des variables explicatives de typequalitatif et qui sont représentées sous forme de code.

Exemple:

Y a-t-il une différence entre le salaire moyen des hommes et celui des femmes?

Considérons le modèle suivant:

Si=β0+β1X1i+β2Di+εi, i =1, . . . ,n (1) avec:

Si: le salaire,Xi =nombre d’années d’éducation etDi=1 si l’individui est un homme et 0 sinon.

Di est une variable indicatrice (ou binaire). On dit que l’individu de référence (catégorie omise) est la femme.

Interprétation du paramètre β

Calculons l’espérance des salaires des hommes et celle des femmes.

E(Si |Di =1) =β₀+β₁Xi+β₂ E(Si|Di =0) =β0+β1Xi

D’oùβ2=E(Si|Di=1)−E(Si |Di =0) =⇒β2indique l’écart moyen entre le salaire des hommes et celui des femmes toutes choses étant égales par ailleurs.

Pour tester s’il y a une différence significative entre le salaire moyen des hommes et celui des femmes, on applique le test de student.

Il s’agit de testerH0:β2=0.

Modèle semi-logarithmique

Considérons la modélisation du log du salaire si =β₀+β₁Xi+β₂Di+ε_i

oùsi =lnSi. Soients_i^H ets_i^F le log des salaires des hommes et des femmes respectivement. D’où

s_i^H−s_i^F =ln S_i^H

S_i^F

=β2 =⇒ S_i^H

S_i^F −1=e^β2−1

=⇒le salaire moyen des hommes est dee^β2−1plus proportionnelleque celui des femmes.

Exemple: e^β2−1=1.25% =⇒le salaire moyen des hommes est de plus 1.25% que celui des femmes.

Remarque: Siβ₂ est proche de zéro, alorse^β2−1'β₂et dans ce cas, on peut interpréterβ2comme la différence proportionnelle entre les deux catégories.

Autres applications

Différence des pentes:

Considérons le modèle suivant:

Si =β0+β1Xi+β2DiXi+εi

oùDi =1 si homme et 0 sinon. Donc

S_i^H =β0+ (β1+β2)Xi+εi, et S_i^F =β0+β1Xi+εi

Afin d’interpréterβ2, prenons la dérivée deSi par raport àXi

∂S_i^H

∂Xi

=β1+β2 et ∂S_i^F

∂Xi

=β1

Doncβ2représente la différence des pentes entre le modèle des hommes et celui des femmes.

Siβ2>0, celà veut dire que le nombre d’années d’expériences a un effet positif sur le salaire moyenplus importantchez les hommes que chez les femmes.

Autres applications

Changement structurel Considérons le modèle suivant:

Yt =β₀+β₁Xt+β₂Dt+ε_t oùDt =1 sit>t^∗ etDt =0 sinon. D’où

Yt =

β₀+β₁Xt+ε_t sit ≤t^∗ (β₀+β₂) +β₁Xt+ε_t sit >t^∗

Siβ2est statistiquement significatif, alors, il existe un changement structurel à la pèriodet^∗.

Autres applications

Effets saisonniers On considère le modèle suivant:

Yt=β₀+β₁Xt+β₂D1t+β₃D2t+β₄D3t+ε_t

oùDit =1 si l’observation correspond au trimestrei etDit=0 sinon.

Pour tester l’abscence d’effets saisonniers, on peut effectuer le test de Ficher:

H0: β₂=β₃=β₄=0.

Autres applications

Effets saisonniers On considère le modèle suivant:

Yt=β₀+β₁Xt+β₂D1t+β₃D2t+β₄D3t+ε_t

oùDit =1 si l’observation correspond au trimestrei etDit=0 sinon.

Pour tester l’abscence d’effets saisonniers, on peut effectuer le test de Ficher:

H0: β₂=β₃=β₄=0.

Modèles dynamiques

Considérons le modèledynamique suivant:

Yt =β₀+β₁Xt+γYt−1+ε_t avec|γ|<1.

I Les observations à une période donnée sont liées à celles pour des pèriodes antérieures.

I Par exemple,Yt représente la consommation:

La consommation (Yt)d’aujourd’hui est explicitement liée à la consommation passée (Y_t−1).

Modèle dynamique général

Le modèle linéaire général exprime la variable dépendente en fonction d’une combinaison linéaire des valeurs actuelles et antérieures de la variable dépendante et des variables explicatives: Yt =f(Yj,Xk,t−qi). Ce modèle est notéADL(p,q1,q2, . . . ,qk)(Autoregressive Distributed Lag model) c-à-d modèle autoregressive à retards échelonnés. Ce modèle est définit comme suit:

Φ(L)Yt =α+γ1(L)X1t+. . .+γk(L)Xkt+εt

avecΦ(L) =1−φ1L−. . .−φpL^p γi(L) =γ0i+γ1iL+. . .+γq_iiL^qi. oùLest l’opérateur retard (Lag) qui vérifie:

LXt=Xt−1 etL^jXt =Xt−j.

Exemple: modèle ADL(1,1)p=1, k=1, q1=1.

yt = α+φ1yt−1

| {z } partie autorégressive

+ γ0Xt+γ1Xt−1

| {z } partie retard échelonnée

+εt

Cas particuliers

I p=q1=. . .=qk=0:C’est le modèle statique.

I γi(L) =0:modèle autorégressive.

I modèle statique à erreurs autoregrégressive:

Yt =α^∗+

k

X

j=1

γjXjt+ut, ut= Φ(L)⁻¹εt

Multiplicateurs

I Effet (multiplicateur) court terme:

L’effet de court terme d’une variation deXt surYt est mesurée par:

ECT= ∂Yt

∂Xt

=γ0.

I Effets (multiplicateurs) intermédiaires (dynamiques): On peut exprimer la variableY en fonction des observations courantes et celles retardées de Y et de X pour déterminer la forme réduite du modèle:

Φ(L)Yt =α+γ(L)Xt+εt

=⇒Yt = Φ⁻¹(L)α+ Φ⁻¹(L)γ(L)Xt+ Φ⁻¹(L)εt

∂Yt

∂Xt

=γ0, ∂Yt

∂Xt+1

=γ1+φ1γ0, . . .

Ces valeurs représentent les effets dynamiques. L’effet intermédiaire de npremières périodes est définie par la somme partielle desn premiers effets dynamiques, soit:

EI =

n

X

j=1

∂Yt+j

∂Xt

Multiplicateurs

I Effet (multiplicateur) court terme:

L’effet de court terme d’une variation deXt surYt est mesurée par:

ECT= ∂Yt

∂Xt

=γ0.

I Effets (multiplicateurs) intermédiaires (dynamiques):

On peut exprimer la variableY en fonction des observations courantes et celles retardées de Y et de X pour déterminer la forme réduite du modèle:

Φ(L)Yt =α+γ(L)Xt+εt

=⇒Yt = Φ⁻¹(L)α+ Φ⁻¹(L)γ(L)Xt+ Φ⁻¹(L)εt

∂Yt

∂Xt

=γ0, ∂Yt

∂Xt+1

=γ1+φ1γ0, . . .

Ces valeurs représentent les effets dynamiques. L’effet intermédiaire de npremières périodes est définie par la somme partielle desn premiers effets dynamiques, soit:

EI =

n

X

j=1

∂Yt+j

∂Xt

Multiplicateurs

I Effet (multiplicateur) de long terme:

L’effet de long terme d’une variation deXt surYt est la somme infinie des effets dynamiques:

ELT =

∞

X

j=1

∂Yt+j

∂Xt

= γ(1) Φ(1).

I Retard (délai) moyen:

On définit le retard moyen par :

R=A⁰(1)

A(1) avec A(L) = γ(L) Φ(L)

Multiplicateurs

I Effet (multiplicateur) de long terme:

L’effet de long terme d’une variation deXt surYt est la somme infinie des effets dynamiques:

ELT =

∞

X

j=1

∂Yt+j

∂Xt

= γ(1) Φ(1).

I Retard (délai) moyen:

On définit le retard moyen par :

R=A⁰(1)

A(1) avec A(L) = γ(L) Φ(L)

Exemple 1

Soit le modèleADL(1,1)suivant:

yt =α+φyt−1+γ₀xt+γ₁xt−1+ε

⇐⇒(1−φL)

| {z }

Φ(L)

yt =α+ (γ0+γ1L)

| {z }

γ(L)

xt+εt

⇐⇒yt = α

1−φL +γ0+γ1L

1−φL xt+ εt

1−φL

avec 1

1−φL =1+φL+φ²L²+φ³L³+. . .+φ^jL^j+. . . γ₀+γ₁L

1−φL =γ0+(γ1+γ0φ)L+(γ1φ+γ0φ²)L²+. . .+(γ1φ^j−1−γ0φ^j)L^j+. . . D’où,

∂yt

∂xt

=γ0, ∂yt+1

∂xt

=γ1+γ0φ, . . . , ∂yt+j

∂xt

=γ1φ^j−1−γ0φ^j

Exemple 1

L’effet de court termede x sury est: γ₀.

L’effet de long termede x sury est la somme infinie (si elle existe) des effets dynamiques:

ELT =

∞

X

j=1

γ₁φ^j−1−γ₀φ^j

= γ(1)

Φ(1) =γ0+γ1φ 1−φ

Exemple 2

Soit le modèle: Yt =const +0.4Xt+0.3Xt−1+0.2Xt−2+ut, oùYt

indique le niveau de consommation pendant l’annéet etXt désigne le niveau de revenu.

L’effet de court termeest égale à 0.4. Ceci veut dire que: si le revenu augmente de 1 DT, le consommateur augmente ses dépenses de 400 millimes pendant l’année courante.

L’effet de long termeest égale à 0.4+0.3+0.2=0.9. Suite à une augmentation du revenu de 1 DT, le consommateur va augmenter son niveau de consommation de 400 millimes pendant l’année courante, de 300 millimes de plus pendant l’année qui suit et de 200 millimes de plus pendant l’année suivante.

Leretard moyen est:

R= 0.3+2×0.2

0.4+0.3+0.2 =0.7777.