Chapitre 4. Lois de Probabilité
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Introduction
• Il est toujours possible d’associer à une variable aléatoire une probabilité et définir ainsi une loi de probabilité. Lorsque le nombre d’épreuves augmente indéfiniment, les fréquences observées pour le phénomène étudié tendent vers les probabilités et les distributions observées vers les distributions de probabilité ou loi de probabilité.
Identifier la loi de probabilité suivie par une variable aléatoire donnée est essentiel car cela conditionne le choix des méthodes employées pour répondre à une question biologique donnée (chapitre 5 et 6).
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Lois discrètes
Loi de Uniforme
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2 . ) 1 (
où d'
2 ) 1 (
1 ...
) 1 (
...
3 2 1 2 1
...
3 2 1 effet En
1 1
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=
∑
∑
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n n
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n n n
n
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n
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( )
[ ]
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−
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−
⇔
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X i E X
E X
V
n
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i n
i n
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i
que montrer donc
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( ) ( ) ( )
résultat!
le où d'
si 1 n pour vraie
est formule La
avoir doit
on
que supposons est
Posons
1.
n pour vraie
est
formule La
récurrence par
ion Démonstrat
6 0 1 2
1 3
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1 6 (
1 2 3
) 1 6 (
1 2 3
6 1 2 3
6 1 2 3
2 2
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1
2
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1 2
=
+ +
+ + +
− +
+
+ +
+ +
+
+ +
=
+ +
=
=
=
+ +
=
+
=
=
∑
∑
n n n
n n n n
n n n n
S
n n n
S
i :
S
n n n
i
n n
n
i n n
i
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Loi de Bernoulli
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Loi binomiale
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Espérance et variance pour la loi binomiale
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Stabilité de la loi binomiale
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Loi de Poisson
n.
réalisatio de
moyen nombre
le est où
contrainte la
sous ,
lorsque
, 1
: suivante propriété
la vérifie binomiale
loi la (fixé) 1
entier chaque
Pour
λ
λ np n
k!
e p) λ
( p C k) P(S
k
λ k k
n k
k n n
= +∞
→
→
−
=
=
≥
−
−
Remarque: Si on reprend l’exemple des rats, on pour n=100 rats on a p=1/4 et λ=25.
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Comparaison de la loi binomiale et la loi de Poisson pour n=100, λλλλ=1, p=0.01
Donc en pratique lorsque l’on a un « grand nombre » d’évènements qui suivent une loi binomiale et qu’on connaît la moyenne λλλλ, on peut utiliser une loi de Poisson.
Binomiale Poisson
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( )
( )
( )
k k n
n
k k n
n k n n
n
k k n n
n k
n k n
k n k k
k n k
k n k
k n
k e n n
k e n n k n n n
n k n
n
k e n
n k
n n k
n n
e πn n n!
n n k n
n k
n n
k n
n k
n n
k n k p n
p C
p n
−
−
+∞
→
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−
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→
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−
−
−
−
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−
−
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−
= −
−
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−
= −
−
=
λ
λ λ λ λ
λ λ
λ λ
λ
lim
1 lim )!
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1 (
donc
a on ) (i.e.
Striling de
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aprés d'
Mais
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Démonstration
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résultat.
le où d'
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que montrer a
reste il
conclure Pour
, 1
1 1
1 ln
lim
2
) 1 (
1 ln
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2
2 1
1 ln
) ( ln
) (
+∞
→
→
=
− + + −
− +
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−
− + −
− −
= −
− +
−
−
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=
−
−
=
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−
+
−
− +
− − + +
−
− +
−
− −
− +
−
− −
−
− −
−
−
−
− +∞
→
n e
e e
k n
k O λ
k n
k λ
k n
λ O n
k n
λ n k
n λ n
e k e
n n
e k e
n n
k k λ
n k O λ
k n k λ k
n k n n
k n k n k n
n k n k n
n
k k n
n
λ
λ λ
λ
λ λ
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Espérance et variance
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Comparaison de la loi binomiale et la loi de Poisson pour n=500, p=1/365, λλλλ=500/365
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Rappel: 1 litre=1000 cm3
Donc ici le nombre moyen de bactéries par boite est 5.
On suppose aussi que le nombre de colonie par boite
est le même que le nombre moyen de bactéries par boites
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Stabilité de la loi de Poisson
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Loi binomiale négative (des temps d’attente)
Sous les conditions de Bernoulli (épreuves identiques et indépendantes), on désire connaître la probabilité (d’attendre) de faire X=k épreuves indépendantes, pour avoir n succès.
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Espérance et variance
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Loi géométrique ou loi de Pascal ou binomiale négative avec n=1
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Lois continues
Loi Uniforme
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Espérance et variance
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Loi normale ou loi de Laplace-Gauss
usuelles.
méthodes des
par intégrale
cette calculer
pas peut ne
on car 1 )
( que
admettra On
-
∫ =
+∞
∞
dx x f
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Espérance et variance
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Stabilité de la loi normale
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Loi normale centré et réduite
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Relation avec la loi normale
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Lois déduites de la loi normale
Loi du χχχχ2 de Pearson
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Loi de Student
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Loi de Fisher-Snedecor
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Convergence en loi
Le théorème central limite
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