MPSIA 2012/2013 Programme de colles de math´ematiques, semaine 9 (du lundi 3 au vendredi 7 d´ecembre) lyc´ee Chaptal
Arithm´ etique dans Z (reprise) Le corps des nombres r´ eels
La construction et les propri´et´es ´el´ementaires de (R,+,×,6) sont admises.
1. Borne sup´erieure, borne inf´erieure: d´efinition, unicit´e, utilisation pratique. R´e- sultat d’existence surR.
2. Valeur absolue : d´efinition, propri´et´es. Interpr´etation en terme de distance, in´ega- lit´es triangulaires. Caract´erisation hhen ε ii de la nullit´e d’un r´eel, des bornes sup´e- rieures/inf´erieures d’une partie deR.
3. La droite r´eelle achev´eeR: d´efinition ; intervalles deR. D´efinition d’un ensemble convexe. Les convexes deRsont les intervalles.
4. Approximation des r´eels: caract`ere archim´edien deR, partie enti`ere d’un nombre r´eel. Application : approximation d’un r´eel par un rationnel `a 10−n pr`es. Valeurs approch´ees par d´efaut et par exc`es. D´efinition de la densit´e d’une partie de Rdans R; densit´e deQet deR\Q.
Suites de nombres r´ eels (cours seul)
I. Le vocabulaire des suites
D´efinition, notation d’une suite `a valeurs dansR, exemples des suites arithm´etiques et g´eo- m´etriques. Suites constantes et stationnaires ; suites extraites ; suites et relation d’ordre : suites major´ees, minor´ees, croissantes,. . . Exemples.
II. Suites convergentes ; notion de limite
Suites convergeant vers 0 ; suites convergentes : d´efinition et unicit´e de la limite ; suites divergentes. Exemples. Toute suite convergente est born´ee ; une suite convergeant vers un r´eel strictement positif est major´ee `a partir d’un certain rang par un r´eel strictement positif. Suites tendant vers l’infini. Caract`ere asymptotique de la notion de limite ; suite extraite d’une suite convergente. Application `a la d´emonstration de la divergence d’une suite.
III. Op´ erations sur les limites
R´esultats usuels sur les limites de sommes, de produits de suites admettant une limite.
Limites et in´egalit´es : passage `a la limite d’in´egalit´es ; th´eor`emes d’encadrement.
IV. Th´ eor` emes d’existence des limites
1. Suites extraites :lien entre la convergence de suites extraites et la convergence de la suite initiale.
2. Suites monotones :convergence d’une suite croissante major´ee. Exemples.
3. Segments emboit´es, suites adjacentes.Application `a la d´efinition des suites di- chotomiques.
4. Th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass
Questions de cours
Q1. D´emontrer que siAetB sont des parties non vides major´ees deR, alorsA+B= {a+b|(a, b)∈A×B}admet une borne sup´erieure, et sup(A+B) = sup(A)+sup(B).
Q2. D´emonstration de la caract´erisationhhenεiides bornes sup´erieures et inf´erieures.
Q3. D´emonstration de la densit´e deQ dansR(`a partir des propri´et´es de la partie en- ti`ere). En d´eduire celle deR\Q.
Q4. [facultative]D´eterminer les morphismes croissants de (R,+) dans (R,+).
Q5. D´emontrer que toute suite convergente est born´ee.
Q6. D´emontrer que le produit de deux suites convergentes est convergente et valeur de la limite.
Q7. Montrer que lim
n→+∞
„ n P
k=1 1 k
«
= +∞.
Q8. Etude de la suite (u´ n)n∈
N d´efinie par
( u0=aetu1=b
∀n∈N, un+2=un+un+1
2
, `a l’aide de la suite auxiliairevn=un−un−1.
Q9. D´emontrer que si les suites extraites (x2n) et (x2n+1) tendent vers la mˆeme limit´e
`∈R, alors la suite (xn) tend vers`.
Q10. Enoncer et d´´ emontrer les r´esultats sur les limites des suites r´eelles croissantes.
Q11. [facultative] D´emontrer le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass pour les suites `a valeurs r´eelles.
A venir : encore des suites `` a valeurs dansR, espaces vectoriels.
