Chapitre 4. Phénomène de transport (diffusion & osmose)

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Chapitre 4. Phénomène de transport (diffusion & osmose)

1. Introduction :

Lorsque nous ouvrons une bouteille de parfum ou de tout autre liquide possédant une odeur caractéristique, l’ammoniaque par exemple, nous pouvons le sentir rapidement dans les endroits éloignés d’une salle fermée.

Nous disons que les molécules de parfum, après s’être évaporées, « diffusent » à travers l’air en se répandant dans tout l’espace environnant. Le même phénomène se produit lorsque l’on met une solution d’hémoglobine dans un verre d’eau pure. Au bout d’un certain moment toute la solution devient rouge. Ceci montre que les molécules d’hémoglobine se sont déplacées à travers les molécules d’eau et sont à la fin régulièrement distribuées dans le volume d’eau.

Ces exemples, comme beaucoup d’autres, montrent que les molécules de soluté dans le solvant diffusent des zones de concentrations maximales vers les zones de concentrations minimales jusqu’à rendre la solution homogène.

La diffusion est due principalement à l’agitation moléculaire mais en présence d’un gradient de concentration de molécules, c’est-à-dire d’une variation progressivement décroissante de la concentration en fonction de la distance : ^∂c

∂x.

Dans ce qui suit, nous ne considérons que la diffusion d’une substance à travers un autre milieu (liquide ou gaz) qui soit homogène et dont les molécules soient par définition fixes.

2. Notion de flux :

On appelle flux ϕ de particules (atomes, ions, molécules) à travers une surface S le nombre dN de particules (en mol) traversant cette surface par unité de temps. On a :

Φ = ^𝑑𝑁

𝑑𝑡 (mol.s^-1).

Supposons que les molécules d’une substance diffusent dans un tube cylindrique. La concentration décroit le long de l’axe X du tube, mais reste la même dans tout plan perpendiculaire à cet axe. Le nombre de molécules qui se trouvent dans le volume dV d’une portion du cylindre perpendiculaire à l’axe et d’épaisseur infinitésimale dx est :

dN = C.dV où C désigne la concentration molaire de la solution.

Si S est la surface d’une section droite du cylindre, nous aurons : dN = C.S.dx

Par conséquent, on a :

S X

x + dx x

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Φ =^𝑑𝑁

𝑑𝑡 = C.S ^𝑑𝑥

𝑑𝑡 = C.S.v

où v est la vitesse des molécules dans la portion considérée. Appelons j la densité de flux de molécules c’est-à- dire le nombre de molécules qui traversent par unité de temps une surface unité. Soit :

j = ^𝜙

𝑆 = C.v (en mol.m^-2.S^-1) et (en mol.m^-3) sous forme vectorielle, nous écrivons :

j = C.v

si v est constant en tout point de la surface S, on obtient : ϕ = j.S

3. Première loi de Fick :

Adolf Fick a montré, par l’expérience, que la densité de flux est proportionnelle à la variation de concentration C par unité de longueur ou gradient de concentration. Dans le cas où la diffusion est unidimensionnelle, on a :

j(x) = - D ^𝜕𝐶

𝜕𝑥

Le signe « - » indique que la diffusion est dans le sens des concentrations décroissantes.

Le coefficient D est appelé coefficient de diffusion ; il dépend de la grosseur des molécules diffusantes et de la nature du solvant.

L’expérience montre que la diffusion (et par conséquent D) augmente lorsque la température augmente (plus d’agitation moléculaire) ou lorsque la friction des molécules de soluté avec le solvant diminue. Ceci s’exprime par la loi d’Einstein :

D = ^𝐾^𝐵^𝑇

𝜋𝑟𝜂 en m²s^-1 où

KB = 1,38 x 10^-23 J.K^-1

η : la viscosité du milieu (en Pas)

r : le rayon de la molécule supposé sphérique (en m).

Remarques :

a) Dans le cas d’une diffusion unidimensionnelle, nous avons : ϕ(x) = j(x).S = - DS ^𝜕𝐶

𝜕𝑥

b) Flux de particules : ϕ =^𝑑𝑁

𝑑𝑡= -DS ^𝜕𝐶

𝜕𝑥 = => dN = - DS ^𝜕𝐶

𝜕𝑥 .dt c) Flux massique :

N = ^𝑚

𝑀 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡é 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑚𝑜𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡é

𝑑𝑁 𝑑𝑡 = ¹

𝑀.^𝑑𝑚

𝑑𝑡 = - DS ^𝜕𝐶

𝜕𝑥

C = ^𝐶𝑝

𝑀 = 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑛𝑑é𝑟𝑎𝑙𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑚𝑜𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒

Alors ^𝑑𝑁

𝑑𝑡 = ¹

𝑀.^𝑑𝑚

𝑑𝑡 = - DS

𝜕𝐶𝑝 𝑀

𝜕𝑥 = - ^𝐷𝑆

𝑀.^𝜕𝐶𝑝

𝜕𝑥

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Donc le flux massique : ϕm = ^𝑑𝑚

𝑑𝑡 = - DS ^𝜕𝐶𝑝

𝜕𝑥 = => dm = - DS ^𝜕𝐶𝑝

𝜕𝑥.dt

Dans le cas d’une diffusion stationnaire, c’est-à-dire à l’état où la concentration dépend de la position mais ne dépend pas du temps ( ^𝜕𝐶

𝜕𝑡 = 0) le flux est constant : ϕ(x) = ϕ0 = constante Donc ϕ(x) = - DS^𝜕𝐶

𝜕𝑥 = ϕ0 = => ^𝜕𝐶

𝜕𝑥 = - ^𝜙⁰

𝐷𝑆 = - K

Par conséquent, puisque C varie en fonction de x seulement, nous avons : dC = - K.dx

En intégrant

∫ 𝑑𝐶_𝐶^𝐶

0 = ∫ − 𝑘. 𝑑𝑥₀^𝑥 où C0 = C(x=0) Comme k = ^𝜙⁰

𝐷𝑆

On obtient

C – C0 = - kx ou C = C0 + kx

Figure2 . Variation de la concentration C(x) en régime stationnaire.

4. Deuxième loi de Fick :

Généralement, la concentration varie dans l’espace et dans le temps ( c'est-à-dire C = C(x,t)) . Pour simplifier, considérons une diffusion unidimensionnelle dans un tube rectiligne de section constante S

(Fig.3)

Figure 3.

Dans l’élément de volume dV = S.dx, le nombre de molécules diffusantes à l’instant t est C0

C(x)

0 C

x X

x x + dx

j(x) j(x + dx)

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dN= C.dV = C.Sdx A l’instant t, nous avons :

 Le flux entrant = ϕ(x) = j(x).S

 Le flux sortant = ϕ(x + dx) = j(x + dx).S

Comme la concentration décroit dans le sens de la diffusion nous avons : C(x, t) > C(x + dx, t) ce qui implique que le flux entrant est supérieur au flux sortant. Par conséquent, il y accumulation de molécules dans le volume dV (c’est-à-dire le nombre de molécules augmente). Cette variation du nombre de molécules dans le temps est ^𝑑𝑁

𝑑𝑡 = ^𝑑

𝑑𝑡 (CdV) = ^𝜕𝐶

𝜕𝑡.dV = ^𝜕𝐶

𝜕𝑡.S.dx Donc

^𝜕𝐶

𝜕𝑡.S.dx = j(x).S – j(x + dx).S D’où

^{𝜕𝐶(𝑥,𝑡)}

𝜕𝑡 = 𝑗(𝑥+𝑑𝑥)−𝑗(𝑥) 𝑑𝑥

et comme 𝑗(𝑥+𝑑𝑥)−𝑗(𝑥)

𝑑𝑥 = ^{𝜕𝑗(𝑥)}

𝜕𝑥

Nous pouvons écrire

^{𝜕𝐶(𝑥,𝑡)}

𝜕𝑡 = - ^{𝜕𝑗(𝑥)}

𝜕𝑥

Or, d’après la 1^ère loi de Fick, nous avons : j = dC/dx Donc :

^𝜕𝑗

𝜕𝑥 = - D ^𝜕²𝐶

𝜕𝑥²

Finalement :

^𝜕𝐶

𝜕𝑡 = D ^𝜕²𝐶

𝜕𝑥²

Cette équation est appelée 2^ème loi de Fick et elle exprime la conservation du nombre de particules diffusantes.

Dans le cas d’un régime non stationnaire (c.à.d ^𝜕𝐶

𝜕𝑡 ≠ 0) et pour une diffusion linéaire, on peut vérifier qu’une fonction de distribution Gaussienne est solution de l’équation différentielle précédente, soit ;

C(x,t) = ^𝐶⁰

𝑆(4πDt) 1 2

exp(- ^𝑥²

4𝐷𝑡) L’évolution de C(x, t) est donnée sur la figure 5.

Figure 4. Distribution de C(x, t) à différents instants C(x, t)

C0 à t0 = 0

à t1 > t0

0

X

(5)

L’évolution de C(x, t) en fonction du temps, en un point donné de la solution, est donnée sur la figure 5.

Figure 5. C(t) en un point donné de la solution

Ceci montre que l’évolution de la concentration tend à rendre la solution homogène.

5. Osmose

L’osmose désigne le phénomène de diffusion de molécules de solvant (l’eau de façon générale) à travers une membrane semi-perméable qui sépare deux liquides de concentrations en soluté différentes. La différence de concentration provoque une différence de pression (appelée pression osmotique) qui engendre un déplacement du solvant à travers la membrane.

On peut mettre en évidence la pression osmotique à l’aide du dispositif des figures suivantes :

Etat initial Etat final Les compartiments (1) et (2) sont séparés par une membrane semi-perméable.

Spontanément, le solvant passe du compartiment (2) vers le compartiment (1) et lorsque l’équilibre est atteint, on observe une dénivellation h correspondant à une différence de « pression osmotique de la solution » donnée par :

π = ρs.g.h

ρs est la masse volumique de la solution à l’état final. On peut la confondre avec celle du solvant dans le cas des solutions très diluées.

D’autre part, Van’t Hoff a montré que lorsque le soluté se dissocie la pression osmotique peut s’écrire sous la forme :

π = ω.R.T

t C(t )

Soluté + solvant Solvant Soluté + solvant Solvant

Membrane

h

Soluté + solvant Soluté + solvant

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où

ω : osmolarité de la solution R : constante des gaz parfaits T : température absolue

Dans le cas d’un soluté non dissocié, l’osmolarité est égale à la molarité de la solution (ω = C) et l’expression de la pression osmotique peut s’écrire :

π = C.R.T Comme C = ^𝑛

𝑉 alors : π = ^𝑛

𝑉.R.T = => πV = n.R.T et l’on retrouve l’analogie avec la loi des gaz parfaits PV = n.R.T

6. Pression osmotique et pression hydrostatique :

La pression osmotique est aussi une pression mécanique exerçant une force sur la membrane. Si la différence de pression osmotique est suffisante, cela peut entrainer la rupture de la membrane. C’est le cas d’une endosmose (entrée de solvant) dans une membrane qui ne supporte pas la pression osmotique exercée intérieurement. L’endosmose peut entrainer la destruction des globules rouges par éclatement.

Le phénomène « d’osmose inverse » est observable sur les œufs de poissons d’aquarium qui peuvent éclater ou s’écraser selon la différence de pression osmotique de chaque côté de la membrane, la coquille.

L’osmose inverse est une technique de purification de l’eau. C’est aussi une technique de dessalement de l’eau de mer. Ces techniques consistent à exercer une pression mécanique sur la solution et l’eau sort à travers les pores de la membrane semi-perméable.

Types de memb(ranes :

Il existe essentiellement deux types de membranes :

 Membrane semi-perméable (ou hémiperméable).

Ce type de membrane laisse passer les molécules d’eau mais arrête complètement toutes les particules de solutés.

 Membrane dialysante.

Une telle membrane laisse passer librement l’eau et les petites molécules qui y sont dissoutes mais arrête les macromolécules (molécules de masses molaires supérieures à 10.000 g/mol = 10 kg/mol).

7. Applications biologiques : rein artificiel ( voir exercice 3 TD N⁰ 3).