Histoire d'une inconsistance
Claude Girard André Plante
10 avril 2015
Page 2 – 16 April, 2015
A New Terrain-Following Vertical Coordinate Formulation for Atmospheric Prediction Models
Schär et al. MWR 2002 U
N U
Nz0/ ; a/ Un profile de vent:
Un profile de température:
Une montagne, ,
deux nombres non-dimensionels:
10 1
ms U
K T
s ; S 288 01
.
0 1
N
w(vitesse verticale)
intervalles de contours:
~10 cm/s
'zoom'
Un problème théorique linéaire dont la solution stationaire analytique existe
z
SGEM en mode théorique: Courant d'air sur montagne idéalisée en deux dimensions: plan x-z
Montage pour l'onde de Schär
x km
l
km a
z
l x a
z x z
x
x S
8Δ m 250
4 5
cos exp
0
2 2
0
401
; 500
; 200
65
;
; 5 . 19
Ni m
x km
L
Nk km
H Δz 300m
N.B. : problème linéaire
z
0 z
l=1
l>1
l>>1
l: facteur d'aplatissement!
15 10 5 0 15 10 5
0 15 10 5 0
-75 -50 -25 0 25 50 75
Page 4 – 16 April, 2015
Solution correcte
depuis ~un an: fin 2013
Solution erronée (bosselée)
jusqu'à fin 2013
L'histoire
Une intégration de 4h avec 'éponge' près du toit, à l'entrée et à la sortie du domaine pour prévenir la réflexion d'ondes
b=.5
t=16s 2h40
L'onde de 'Schär'
La préhistoire : instable sans décentrage jusqu'en 2010
Qu'est-ce que le décentrage? b>.5
Arrivée Départe trajectoir
x b bx
x 1
Page 6 – 16 April, 2015
l=1
t=8s
t=16s
t=32s b=.6
4h
l=10
la préhistoire
l=Rcoef
Impact de l et t
avec décentrage
l: aplatissement de la coordonnée
Bosses sans doute dues à une inconsistance reliée à l'advection semi-Lagrangienne
L'onde de 'Schär'
b=.5
t=32s l=1
stabilité obtenue en 2010
avec changement de définition de
RT g p z g
RT g z
ln
RT g p
z
ln
sans décentrage la préhistoire
Page 8 – 16 April, 2015
avant 2010
solution instable sans décentrage
solution stable avec décentrage mais erronée
depuis 2010
avec nouvelle définition de
solution stable sans décentrage mais toujours incorrecte
l'hypothèse d'une inconsistance numérique comme cause du 'bosselage'
devient très plausible Fin de la préhistoire
ln 0
ln
dt p d dt
T
d
p dt
p dln
0 ln
*
p T
T dt
d
' 0
*
RT w g T
T dt
d
RT gw p
w g
p
' 2 0
*
T c
w g T
gT dt
d
p
T*
T c N g
p 2 2
*
' T g T b
2 0
N w dt
db
constant
: bouée
: fréquence de Brunt-Vaïsälä au carré
Équation thermodynamique et ondes de gravité internes
*
*
*
' 1 '
ln
ln T
T T
T T
T
relation classique en coordonnée-z
Commence l'histoire
Page 10 – 16 April, 2015
ln 0
ln
dt p d dt
T
d lnpln q qln(p/)
Bs A
Bs
ln ln
0ln
*
Bs q T
T dt
d T*
) / ln( S pref s
l
T S
B T
' 2 0
*
N w
T gT dt
d
0ln
*
Bs q T
T dt
d
constant
(prononcez zèta ou dzèta)
' 0
*
Bs T
T dt
d
dt
w dBs g
N2
un deux terme termes
un beau mélange en coordonnée-
L'histoire
l
T S
B T
1 10
l
*
' T T
ln 0
ln
0 ln
ln
* 0 0
* 0 0
T q T
T Bs T dt
d
T T dt q d
T Bs T dt
d
T
0
0ln
*
Bs q T
T dt
d
Pourquoi une erreur? D'où provient-elle?
Dans le cas présent, la température varie beaucoup à la verticale:
K T
K T
s ; 288 ; 143 01
.
0 1 max min
N
; 10 1
ms U
a) Il y a la possibilité d'avoir un atmosphère isotherme:
; 71
.
18 1
ms
U N0.01871s1; Tmax Tmin T* 273.16K et en effet , puisque 1, l'erreur disparaît
avec
b) On a vu, aussi: avec , l'erreur disparaît même si que la température varie beaucoup
c) Une troisième possibilité: une advection verticale Eulérienne
: température initiale
Il y a 3 termes!
Inconsistance SLI ?
L'histoire
Page 12 – 16 April, 2015
2 0
A D A Dt
0
dt
d
Semi-Lagrangienne Implicite
une
différence
une
moyenne
D
A futur
Arrivée passé Départ
0ln
*
Bs q T
T dt
d
Il n'y a vraiment que 2 termes!
L'histoire
2 0
A D A D t
...
t
t
A
A D
D
dt d
Comprendre la discrétisation SLI
2 0 ...
A A A D
t
t t
D A M
M M
A
2 2
/
2
D A D
A
t
Calcul des trajectoires:
Règle du point milieu
A M
D
A
2
Méthode trapézoidale oubliant
l'horizontale L'histoire
0
dt
d
Page 14 – 16 April, 2015
Règle du Point Milieu Méthode Trapézoidale
Calcul des trajectoires
méthodes équivalentes
2 0
A D A D t
...
t
t
A
A D
D
dt d
Discrétisation SLI
2 0 ...
A A A D
t
2 2
/
M M M
A
t
2
D A D
A
t
Calcul des trajectoires:
Règle du point milieu Méthode trapézoidale oubliant
l'horizontale
Calcul SLI
Page 16 – 16 April, 2015
Point Milieu / interp. linéaire Trapèze / interp. linéaire
Trapèze / interp. cubique Point Milieu / interp. cubique
Calcul des trajectoires
Scores globaux 44 cas d'hiver Prévisions de 6 jours
Gem Yin-Yang Résolution: 15 km Calcul des trajectoires
Bleu: Point Milieu / interp. linéaire Rouge: Variations (ps_adjust)
Point Milieu / interpolation cubique
Trapèze / interpolation linéaire
Trapèze / interpolation cubique Impact d'une inconsistance résolue
Page 18 – 16 April, 2015
L'impact pour GEM, un modèle complexe, cependant toujours avec décentrage,
n'est pas aussi négligeable qu'attendu!
Il est plutôt positif en fait!
Plusieurs éléments étaient nécessaires à la convergence:
stabilité
+ même méthode de moyennage: trapézoidale + même ordre d'interpolation: cubique
+ absence de décentrage
La solution de l'onde de 'Schär' convergeait trop lentement lorsqu'on diminuait t
Ici, on a vu que:
Un système d'équations numériques est inconsistant lorsque la solution ne converge pas ou mal vers la vraie solution.
