Quelques sites Internet pour s’entraîner

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DU Assistant Clientèle

MATHEMATIQUES

________ Remise à niveau ________

Site web : http://jff-dut-tc.weebly.com - section Remise A Niveau

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Quelques sites Internet pour s’entraîner

www.ilemaths.net www.automaths.com wims.unice.fr/wims/

www.bibmath.net (dont un forum où des enseignants répondent à vos questions) www.sesamath.net

www.jaicompris.com/ associé à la chaîne Youtube « Jaicompris Maths »

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SOMMAIRE

1 NOTIONS ELEMENTAIRES : LANGAGE, NOMBRES, RIGUEUR 5

1.1 LOGIQUE 5

1.2 NOMBRES 5

1.2.1 ENSEMBLES DE NOMBRES, INTERVALLES ... 5

1.2.2 COMPARAISON, ENCADREMENT, SIGNE ... 9

1.2.3 ARRONDIS, CHIFFRES SIGNIFICATIFS ...11

2 CALCUL 13 2.1 LES FRACTIONS 13 2.2 PROPORTION 15 2.2.1 LISTES PROPORTIONNELLES ...15

2.2.2 FORMULES RECTANGULAIRES ...15

2.3 INTERPOLATION/EXTRAPOLATION LINEAIRE 17 2.4 INDICES 19 2.5 POURCENTAGES 20 2.5.1 POURCENTAGE FIXE ...20

2.5.2 POURCENTAGE DE VARIATION ...21

2.6 PUISSANCES D’UN NOMBRE 26 2.6.1 PUISSANCES ENTIERES POSITIVES ...26

2.6.2 PUISSANCES ENTIERES NEGATIVES ...26

2.6.3 PUISSANCES ENTIERES DE 10 ...27

2.6.4 FORMULES RELATIVES A LA NOTATION PUISSANCE ...28

2.6.5 RADICAUX ET PUISSANCES INVERSES ...28

2.6.6 PUISSANCES FRACTIONNAIRES...28

2.7 LOGARITHMES 30 3 INTRODUCTION AUX MATHEMATIQUES FINANCIERES 31 3.1 PROGRESSIONS ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES 31 3.1.1 GENERALITES ...31

3.1.2 SUITES ARITHMETIQUES...32

3.1.3 SUITES GEOMETRIQUES ...32

3.2 INTERETS SIMPLES 33 3.3 INTERETS COMPOSES 33 4 STATISTIQUES A UNE VARIABLE 37 4.1 INTRODUCTIONETHISTORIQUE 37 4.2 ACTIVITE ET VOCABULAIRE 38 4.3 DIFFERENTS MODES DE REPRESENTATION 40 4.3.1 LE TABLEAU DE DONNEES ...40

4.3.2 LE DIAGRAMME CIRCULAIRE ...40

4.3.3 VARIABLE DISCRETE OU QUALITATIVE : LE DIAGRAMME EN ETOILE ...41

4.3.4 VARIABLE DISCRETE : LES DIAGRAMMES « TIGES ET FEUILLES » ...41

4.3.5 VARIABLE DISCRETE OU QUALITATIVE : LE DIAGRAMME EN BARRES DES EFFECTIFS ...41

4.3.6 VARIABLE CONTINUE : L'HISTOGRAMME DES EFFECTIFS (OU DES FREQUENCES) ...42

4.3.7 VARIABLE CONTINUE : LE DIAGRAMME DES FCC(OU DES ECC) ...42

4.4 LES PARAMETRES DE POSITION 44 4.4.1 LE MODE, LA CLASSEMODALE...44

4.4.2 LA MEDIANE, LA CLASSEMEDIANE ...44

4.4.3 LA MOYENNE(ARITHMETIQUE) ...45

4.5 PARAMETRES DE DISPERSION 48 4.5.1 L’ETENDUE E ...48

4.5.2 LES QUARTILES ...48

4.5.3 L’ECART TYPE σ ...48

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1 Notions élémentaires : langage, nombres, rigueur

1.1 Logique

Vous vous promenez au Kenya et, stupéfait(e), voyez un zèbre de profil en train de boire et dont les rayures sont vertes et blanches ! Que pouvez-vous en déduire ?

* Les zèbres sont rayés vert et blanc.

* Au Kenya, les zèbres sont rayés vert et blanc.

* Au Kenya, il y a des zèbres rayés vert et blanc.

* Au Kenya, il y a au moins un zèbre rayé vert et blanc.

* Au Kenya, il y a au moins un zèbre dont au moins un côté est rayé vert et blanc.

Attention à ne pas dire plus que ce que l’on sait ! EXERCICES

Exercice 1. Tous les psychopathes aiment sortir la nuit. Certains étudiants aiment sortir la nuit. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont sûres ?

a. Certains étudiants sont psychopathes b. Certains psychopathes sont étudiants c. La nuit, un étudiant et un psychopathe peuvent se croiser

Exercice 2. Tous les chats aiment sortir la nuit. Certains animaux gris aiment sortir la nuit. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont sûres ?

a. Certains chats sont gris b. Certains animaux gris sont des chats c. Tous les animaux gris sont des chats

d. Les animaux qui ne sont pas gris n’aiment pas sortir la nuit e. Si un animal n’aime pas sortir la nuit, alors ce n’est pas un chat f. Si un animal n’aime pas sortir la nuit, alors il n’est pas gris

Exercice 3. Tous les enfants aiment les bonbons. Aucun bonbon n’est liquide. On peut en déduire que : a. Les enfants n’aiment pas ce qui est liquide b. Les adultes n’aiment pas les bonbons c. Certains adultes aiment les bonbons d. Tout bonbon est apprécié par tout enfant Exercice 4. Les étudiants se répartissent en trois catégories : premier cycle, deuxième cycle, troisième

cycle. Les étudiants du premier cycle sont plus nombreux que ceux de chaque autre catégorie, alors que ceux du troisième cycle sont deux fois moins nombreux que ceux du deuxième cycle. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont sûres ?

a. La répartition suivante est possible : 1er cycle : 58%, 2e cycle : 28%, 3e cycle : 14%

b. Les étudiants du premier cycle représentent plus de 50% du total des étudiants c. La répartition suivante est possible : 1er cycle : 46%, 2e cycle : 36%, 3e cycle : 18%

d. Les étudiants du premier cycle représentent plus du double des étudiants du troisième cycle

1.2 Nombres

1.2.1 Ensembles de nombres, intervalles

Nombre : notion fondamentale des mathématiques qui permet de compter, de classer des objets ou de mesurer des grandeurs, mais qui ne peut faire l’objet d’une définition stricte.

Nombre entier naturel, entier relatif, rationnel, irrationnel, etc.

Chiffre : chacun des caractères servant à représenter les nombres.

Nos chiffres, en « base 10 », sont 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Calcul : [du latin calculus, caillou] : mise en œuvre des règles élémentaires d’opérations (addition, soustraction, multiplication, division) sur les nombres

La somme est le résultat d’une addition ; quelle est la somme de a et b ?

La différence est le résultat d’une soustraction ; quelle est la différence de a et b ?

Le produit est le résultat d’une multiplication (que l’on pourra noter × ou

.

Le quotient, ou rapport, ou taux, est le résultat d’une division ; quel est le quotient de a et b ?

Opposé d’un nombre :

0 est l’élément neutre de l’addition : A + 0 = A

L’opposé de A est le nombre, noté –A, tel que A + (–A) = 0.

l’opposé de 3 est –3, celui de –3 est 3.

Dans l’antiquité, il était impossible de concevoir que deux nombres, alors considérés comme exprimant des quantités d’objets, additionnés puissent donner un résultat nul. Les entiers

« positifs » étaient tout simplement « naturels », et ces opposés ne l’étaient pas. Ils n’avaient pas de légitimité concrète. Bien sûr, la soustraction existait : on pouvait retrancher une quantité à une autre ; mais retirer à un nombre un nombre plus grand s’exprimait par une dette – par exemple, la situation suivante : « Tu as trois moutons, je dois t’en prendre cinq… Je prends les trois et tu m’en devras encore deux. » ne s’écrivait pas 3 – 5 = –2.

Il a fallu attendre que la géométrie devienne analytique pour que ces nombres « négatifs » prennent leur sens : repérer des points sur un plan, une carte, requiert une origine, et un point peut se trouver à gauche ou à droite de celle-ci. Les nombres ont alors exprimé autre chose que des quantités ou des longueurs : des déplacements (+ vers la droite, - vers la gauche). Additionner un nombre négatif est alors devenu naturellement « soustraire ». A + (-B) peut se noter A-B.

(définition de la soustraction)

Inverse d’un nombre :

L’inverse de A est le nombre, noté A^-1, tel que A × A^-1 = 1.

L’inverse de 5 est 0,2. L’inverse de 0,2 est 5.

1 est l’élément neutre de la multiplication.

Multiplier un nombre A par l’inverse d’un nombre B est appelé « diviser A par B » et A×B^-1 se notera A B^. 1

B est une fraction de l’unité, une portion, une part de 1, lorsque B est un entier supérieur ou égal à 1.

Par extension, A

B se nomme fraction… puisque c’est une fraction de A.

Inverse-opposé-contraire :

Michelle : « Hier, j’ai gagné beaucoup d’argent !

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Ensembles de nombres :

entiers naturels ℕ entiers positifs, y compris zéro.

utilisés dès l'antiquité pour compter des objets et mesurer des quantités.

Exemples : 0 ; 3 ; 125 sont des entiers naturels.

On peut écrire : 3 ∈ ℕ (le symbole ∈ signifie « appartient à » ) entiers relatifs ℤ ensemble des entiers positifs ou négatifs, y compris zéro.

Tout rentier naturel est un entier relatif : ℕ est inclus dans ℤ : ℕ ⊂ ℤ Exemples : −2 ; −1258 ; 3 ; 0 ; 1200 sont des entiers relatifs.

−2∈ℤ mais −2∉ℕ ( le symbole ∉ signifie « n’appartient pas à » ).

décimaux ⅅ Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire comme quotient d'un entier relatif par une puissance d'exposant positif de 10 :

Un nombre est décimal s'il peut s'écrire a/10ⁿ, a appartenant à ℤ et n à ℕ.

Exemples : 34,8 (= 348/10) ; -0,65 (= -65/100) ; 2 (= 2/1) sont des nombres décimaux.

Tout nombre relatif est un nombre décimal , donc ℤ est inclus dans ⅅ

Rationnels ℚ [ratio : rapport, division] ensemble des nombres qui sont fractions de deux entiers.

Les décimales des rationnels, lorsqu’elles sont en nombre infini, ont la propriété d’être périodiques : une même séquence de chiffres se répète indéfiniment : 9/7 = 1, 285714 285714 285714 28...(la séquence est infinie)

Irrationnels ℚ ensemble des nombres qui ne sont pas rationnels. √2 n'est pas rationnel (cherchez la preuve !), π ou e non plus (ne cherchez pas).

Réels ℝ ensemble des rationnels et des irrationnels, autrement dit tous les nombres simples existants.

Exemples : 3 ; – 27 ; 18,26 ; 5 ; 9 ; 3 ; π sont des réels.

Inclusion des ensembles :

Écriture d’un ensemble

• L’ensemble des entiers compris strictement entre -4 et 3 contient -3 , -2 , -1, 0, 1 et 2.

C’est un ensemble discret. On l’écrit entre accolades : { - 3 ; - 2 ; -1; 0 ;1; 2} .

• L’ensemble des réels compris strictement entre -4 et 3 contient une infinité de nombres.

C’est un intervalle, un ensemble continu. On le note entre crochets : ] - 4 ; 3[ .

x∈

]

[

De même, écrire les inégalités traduisant les intervalles donnés :

Le symbole ∞ désigne l’infini. Ce n’est pas un nombre ; on ne le fera pas figurer dans une inégalité.

Intersection et réunion

∩ est le symbole de l’intersection.

• [ - 4 ; 3 ] ∩ [-1 ; 4 ] est l’ensemble des réels qui appartiennent à la fois à [ - 4 ; 3 ] et à [-1 ; 4 ]

• Aucun réel n’appartient à la fois à [-4 ;1] et à [2 ;4]

[-4 ; 1] ∩ [2 ; 4] est l’ensemble vide noté ∅

∪ est le symbole de la réunion : on l’utilise pour regrouper plusieurs intervalles.

• [-4 ; 0] ∪ [2 ; 4] est l’ensemble des réels qui appartiennent à [-4 ; 0] ou à [2 ; 4]

• La réunion de deux intervalles se réduit parfois à un seul intervalle.

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1.2.2 Comparaison, encadrement, signe

un nombre réel est positif ou négatif (chacun inclut la possibilité qu’ils soit nul).

On dira : (choisir la bonne réponse)

a. Le signe de -4 est négatif b. -4 est négatif c. -4 a un signe négatif Comparaison de nombres en toutes lettres :

parmi les entiers de 0 à 10, lesquels valent…

a. au plus 4 ? b. plus de 4 ? c. au moins 5 ?

d. moins de 5 ? e. plus de 3 et au plus 6 ? f. moins de 5 et au moins 4 ?

Inégalités données sous symboles mathématiques :

2 est inférieur à 5 : 2 < 5 (on dira même « strictement » inférieur) 3 est supérieur à -5 : 3 > -5 (strictement supérieur)

Supérieur/inférieur, plus grand/plus petit ?

Comme on l’a vu, les nombres réels peuvent être rangés, ordonnés « sur » un axe orienté

(classiquement de gauche à droite, en repérant le 0 à un endroit qui marque la séparation entre les nombres négatifs et les nombres positifs)

Un nombre a est dit inférieur à un nombre b lorsque a se trouve à gauche de b dans ce schéma.

b est alors supérieur à a, c’est-à-dire à droite de a sur le schéma.

Par contre, un nombre est dit plus grand qu’un autre si sa distance à 0 est plus grande.

Exemple : -10 est inférieur à 5, mais -10 est plus grand que 5.

Encadrements

On dit qu’un nombre est compris entre deux autres lorsqu’il est supérieur à l’un et inférieur à l’autre.

Par exemple : 7 est compris entre 5 et 10, car 7 > 5 et 7 < 10.

On dira que ce nombre est encadré par les deux autres, et on citera cet encadrement par une double inégalité portant sur les trois nombres, dans l’ordre croissant :

5 < 7 < 10 (5 est inférieur à 7, lui-même inférieur à 10)

Erreur(/horreur) classique : 5 < 7 > 10

EXERCICES

Exercice 5. Différentes manières de s’exprimer. Compléter le tableau suivant :

inégalités intervalle représentation graphique

-2 ≤ x ≤ 3

x ∈ ]-∞ ; 4]

-12 -6 x ≥ -2

x ∈ ]3 ; +∞[ Exercice 6.

La somme de deux nombres négatifs est

positive négative indéterminée inférieure à ces nombres supérieure à ces nombres La somme d’un nombre positif et d’un nombre négatif est…

positive négative indéterminée inférieure à ces nombres supérieure à ces nombres Si la somme de deux nombres est négative, alors…

tous deux sont tous deux sont on ne peut l’un d’eux est l’un d’eux est positifs négatifs pas savoir négatif positif Exercice 7.

a. Trouver un encadrement pour x + y sachant que x ∈ [4 ; 6] et y ∈ [1 ; 2].

b. Trouver un encadrement pour x − y sachant que x ∈ [4 ; 6] et y ∈ [1 ; 2].

Exercice 8. Vrai ou faux ?

1) x étant un nombre réel, si x≥2^{, alors :} a. 1 1

2

x≥ b. 1 1 2

x≤ − c. 1 1

0< ≤x 2 d. 1 1 2 x< ^. 2) x étant un nombre réel, si x≤ −4^{, alors :}

a. x² ≤16 b. x²≤ −16^{. c.} x² ≥16^{. d.} 0≤x² ≤16^.

Exercice 9. Un agriculteur possède un champ rectangulaire dont il décide de mesurer la longueur L et la largeur l. Il sait que pour chacune de ces deux mesures il aura une incertitude de 1m.

Ainsi, il sait que L est comprise entre 245 et 246 mètres, et que l est comprise entre 82 et 83 mètres.

a) Donner un encadrement pour la valeur du périmètre de ce champ (somme des longueurs des quatre côtés).

b) Quelle est la valeur de l'incertitude sur la mesure de ce périmètre ?

c) Donner un encadrement pour la valeur de l'aire de ce champ, et en déduire la valeur de l'incertitude sur celle-ci.

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1.2.3 Arrondis, chiffres significatifs

Définition : l’ordre de grandeur d’un nombre est la valeur 10ⁿ employée dans son écriture scientifique.

On sortira de ce cadre strict pour rechercher un arrondi grossier d’un nombre et nommer « ordre de grandeur du nombre » le résultat. L’objectif de ce paragraphe est de vous permettre d’obtenir une valeur approximative, suffisamment juste pour raisonner, ce, le plus rapidement possible pour pouvoir, sur le vif, sans machine, avoir un ordre de grandeur suffisant pour prendre une décision.

Il s’agit donc d’arrondir les valeurs issues d’un calcul à une précision « raisonnable » (d’ailleurs l’ordre de grandeur mathématique – voir définition - est rarement un arrondi de la valeur concernée).

Arrondi, valeurs approchées

Approcher ou arrondir un nombre suppose qu’on le cite d’une manière approximative, après avoir choisi une précision à respecter (« à l’entier », « au dixième », « au centième », …).

Exemple : soit le rapport 12/7

Donner le résultat affiché par la calculatrice : 12/7 ≈ Compléter le tableau suivant :

Exemples Arrondi à l’entier Arrondi au dixième à 10^-1 près

Arrondi au centième à 10^-2 près 12/7

2500/6 100/3

25/8

Calcul approché manuel ou de tête

Lorsqu’on veut multiplier deux valeurs, on peut imaginer prendre une valeur approchée inférieure de l’une et une valeur approchée supérieure de l’autre.

Exemple : Le taux horaire de la machine est 412,10 € ; vous allez devoir arrêter la machine pendant 2h25min pour mettre en œuvre une amélioration. Quel est le coût de l’arrêt ?

Le premier facteur dépasse légèrement 400 (en proportion de sa valeur) et le second est légèrement inférieur à 2,5 heures. On peut donc se permettre d’écrire :

412,10 × 2h25 ≈ 400 × 2,5 = 1000€. Le calcul exact donne : 995,91 €…

Lorsqu’on veut diviser deux valeurs, on s’attachera à les augmenter, ou bien à les diminuer, toutes les deux, de façon que le quotient ne soit pas trop modifié et que les nouvelles valeurs permettent un calcul rapide.

Exemple : Diviser 2327 par 579. On calculera le rapport 2400/600, qui vaut 4.

Une valeur plus précise de 2327/579 est 4,019…

EXERCICES

Exercice 10. Soit le rapport 12/7

Donner le résultat affiché par la calculatrice : 12/7 ≈ Compléter le tableau suivant :

v.a. par défaut arrondi v.a. par excès à l’unité

à 0,1 près à 0,01 près à 0,001 près

Exercice 11. Quelles sont les valeurs approchées à 0,01 près de 11/15 ? a. 0,72 b. 0,733 c. 0,734 d. 1 e. 0,73

Exercice 12. Encadrer les réels a, b, c sachant que : 5,784 approche a par défaut à 10^-3 près.

3,20 approche b par défaut à 5.10^-3 près.

2,156 approche c par excès à 4.10^-4 près.

Exercice 13. Soit le nombre 2,7091. Donnez sa valeur approchée ...

a. Par défaut à 0,001 près b. Par excès à 0,01 près c. Par défaut à 0,1 près Exercice 14. Vrai ou faux ?

Le nombre 2 3 ^:

a. est égal à 0,666666666 b. est égal à 0,666666667 c. peut s’arrondir à 0,66 d. peut s’arrondir à 0,67

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2 Calcul

2.1 Les fractions

Vous prenez la moitié d'une pizza, j'en prends le quart.

Combien en reste-t-il ? On peut réfléchir en % :

au départ on a 100%. Vous prenez 50%, je prends 25%, il reste naturellement 25%, donc le quart.

On peut aussi compter les parts, les portions, donc les fractions : au départ on a 1 pizza. Vous prenez 1/2 pizza (2×1/4), je prends 1/4 de pizza.

On a donc enlevé 3×1/4 = 3 quarts, il reste un quart.

D'où l'écriture :

1 1 2 1 2 1 3 4 3 1

1 1 1 1

2 4 4 4 4 4 4 4 4 4

 

− − = − − = − + = − = − =

 

Effectivement, faire ce calcul en utilisant des fractions, ce n'est pas nécessaire.

Mais la pizza peut prendre sa revanche :

Imaginons 3 personnes. La première prend un sixième de la pizza, la deuxième en prend un quart, et la troisième 3 parts d'un huitième.

Part totale prise :

1 1 3

6+ + =4 8 24+24+24= et il reste :

Additionner des fractions entre elles suppose qu’elles soient d’abord écrites au même dénominateur : + = +

a b a b

A A A

+ = +

a b aB bA

A B AB

On peut aussi vouloir multiplier ou diviser deux fractions, ou un nombre et une fraction :

a× =A aA

b B bB ¹ = ; = × = ; = × = ; = × =¹ A

A

b A A b Ab B A b Ab a A A

a a a a a a B a aB b a b ab

b b b

Enfin, deux fractions sont égales traduisent une proportion, d’où l’égalité des produits en croix :

= ⇔ =

a b

aB Ab A B

EXERCICES

Exercice 15. Compléter le tableau suivant, à l’image de sa première ligne.

littérale décimale fractionnaire pourcentage

un dixième un cinquième

un quart un demi deux tiers trois quarts

un cinq quarts

0,1

0,25

1

1 10

2 3

10 % 20 %

66,67%

Exercice 16. Effectuer les calculs proposés ci-dessous (réduire le résultat s’il y a lieu) – les fractions apparaissant en première ligne seront dans un deuxième temps traduites en pourcentages.

; ; ; ;

; ; ; ; ;

; ; ; ; ;

1 3 1 3 5 1 1 3 1 2 1

4 4 10 10 10 2 4 2 2 5 10

2 3 3 9 2 9

3 2 9 3 9 2

9 9 2 2 3 3

1 5 3

1 1 5 1 3 2

1 2 1 4 2 9

2 4 9

+ + + + − +

× × × × × ×

Exercice 17. Un père donne en héritage à ses trois enfants toute sa fortune. Le quart de cette somme va à son premier enfant. Le tiers va à son deuxième enfant. Le reste, d'une valeur de 20 000 €, est attribué à son troisième enfant. Quelle est la valeur du total de l'héritage ?

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2.2 Proportion

2.2.1 Listes proportionnelles

Une liste L est un ensemble de valeurs citées dans un ordre bien précis.

On souhaite comparer deux listes A = (a1, a2, …, an) et B = (b1, b2, …, bn) formées du même nombre de termes (ici : « de longueur n »), tous non nuls.

Par définition, dire que deux listes A et B sont proportionnelles, c'est dire que pour tout entier i compris entre 1 et n le rapport bi/ai est constant.

Notons "c" ce rapport unique, lorsqu'il existe, et appelons-le "coefficient de proportion(nalité) de A vers B", nombre par lequel il faut multiplier les valeurs de A pour obtenir celles de B.

Exemple : Soit les listes A = (2, 4, 6, 10, 15, 20) et B = (7, 14, 21, 35, 52,5, 70).

2.2.2 Formules rectangulaires

Les formules rectangulaires montrent l’égalité de deux fractions, a c

b=d, b et d non nuls.

Elles font donc état d’une proportion respectée entre les listes (a, b) et (c, d) de longueur 2.

Dans ce cas, on a par équivalence l’égalité des produits en croix :

ad = bc

Mais on peut aussi placer ces quatre nombres dans un tableau de proportion et considérer de façon mécanique que chaque trait intérieur de ce tableau peut représenter un trait de fraction :

a c

b=d permet la notation a b c d ^, qui entraîne les égalités : a b b d c d

c =d, a = c, a = b

EXERCICES

Exercice 18. Compléter le tableau suivant constitué de deux listes proportionnelles

14 35 42 1

10 35 1 45

Exercice 19. Lesquels sont des tableaux de proportionnalité ?

a. 2 20 b. 20 1 c. 8,5 5,5

5 50 10 2 34 22

d. 2 5 e. 2 4 10 20 50

20 50 14 28 70 140 350

3 ...

1 2

1 2 3

n n

b

b b b

a =a =a = =a

Exercice 20. On veut réaliser une maquette de la ville de Paris avec ses monuments principaux.

On dispose d'une maquette de la Tour Eiffel de 30 cm de haut (hauteur réelle : 300 m).

a) Quelle sera l'échelle de la maquette ?

b) Sachant que Paris mesure d'est en ouest 12 km, quelle sera la taille de la maquette de la ville ? c) Quelles seront les dimensions de la maquette de l'Arc de Triomphe sachant qu'elles sont en réalité

de 55m × 50m × 20m ?

d) La place de l'Etoile est circulaire et mesure 200 m de diamètre. Les aires des places réelles et maquette respectent-elles le facteur d'échelle ? Pourquoi ?

Exercice 21. Le prix d'un diamant est proportionnel au carré de son poids.

Un diamant de 0,45 g vaut 3 000 €.

a) Combien coûte un diamant de 0,693 g ?

b) Quel est le poids d'un diamant valant 30 000 € ? Exercice 22.

Dire que deux grandeurs x et y sont proportionnelles, c'est dire que le rapport y/x est constant.

Notons donc y/x = K. Nous avons ainsi la possibilité de calculer y pour chaque valeur de x : y = Kx.

Graphiquement, l'ensemble des points (x, y) obtenus est une droite qui contient l'origine.

Placer les points correspondant au tableau de l’exercice 18, puis en déduire un tracé de la droite :

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2.3 Interpolation/extrapolation linéaire

Le thème de la proportionnalité – et son pendant graphique, le théorème de Thalès – nous permet de déterminer la position d’un point M aligné avec deux autres points repérés E et F.

Prenons par exemple E(2 ; 2) et F(5 ; 3,5), puis plaçons un point M(a ; b) sur le segment [EF].

La connaissance de l’une des coordonnées de M nous donnera l’autre ; il suffit pour cela d’appliquer le théorème de Thalès !

Ce théorème nous affirme en particulier que : ^{M E F E}

M E F E

y y y y

x x x x

− = −

− − ^. (en d’autres termes : les pentes des droites (EM) et (EF) sont égales) Traduisons avec l’exemple graphique ci-dessus : 2 1 5,

2 3

b a− =

−

Il vient : ^{a− =2 2}

(

)

(

)

On notera que cette dernière expression n’est autre que l’équation de la droite (EF) : y = 0,5x + 1.

Cette remarque entraîne la possibilité tout aussi directe de pratiquer une extrapolation linéaire : il n’est pas nécessaire que M se trouve entre E et F pour que le théorème de Thalès soit valable ! Récapitulons :

Soit deux points E(x1 ; y1) et F(x2 ; y2) et un point M(a ; b) aligné avec E et F.

Alors : ^{1 2 1}

1 2 1

y y y

x x x

− = −

− −

b

a , relation qui permet de déterminer b une fois a connu (ou le contraire).

EXERCICES Interpolation

Exercice 23. Le barème de l'impôt sur le revenu pour une famille composée de 2 adultes et de 2 enfants est défini de la façon suivante :

impôt de 0 € pour la tranche de revenu comprise entre 0 € et 7500 €. Puis, pour un revenu allant de 7500 € à 20000 €, croissance linéaire de l'impôt de 0 € à 2500 €. Puis, pour un revenu allant de 20000

€ à 40000 €, croissance linéaire de l'impôt de 2500 € à 8000 €.

(ce barème n'est pas réel, il a été simplifié pour la clarté de l'exercice)

1) Représentez graphiquement l'impôt I - valeurs en ordonnées - en fonction du revenu x - donc en abscisses. Echelle : 1 cm pour 4000 € de revenu ; 1 cm pour 1000 € d'impôt.

2) Par lecture graphique, donnez le montant de l'impôt pour une famille dont le revenu se monte à 10000 €, donc I(10000), puis pour une famille dont le revenu se monte à 30000 €, donc I(30000).

3) On souhaiterait obtenir les résultats demandés dans la question précédente sans avoir à tracer de graphique, et de manière plus précise (et même exacte).

a. Sachant que dans la tranche de revenus [7500 ; 20000], la différence I(x) - I(7500) est proportionnelle à la différence x - 7500, complétez le tableau de proportion suivant :

pour x = 10000 pour x = 20000

x - 7500

I(x) - I(7500)

Donnez alors la valeur de l'impôt I(10000).

b. Reprenez les mêmes étapes que ci-dessus pour le calcul de I(30000).

pour x = ……… pour x = ……….

x - …………

I(x) - I(……....)

Dire que la représentation graphique d'une grandeur y (ici : ……….) en fonction d'une autre x (ici

………) se traduit par une portion de ………., c'est dire que la variation de y est ……….

.… à la variation de x.

extrapolation

Exercice 24. Laëtitia Assamémèr a reçu deux factures téléphoniques :

une première facture se montant à 45 € pour 10 heures de communications ; une deuxième facture se montant à 85 € pour 30 heures de communications ;

Elle sait que depuis, elle a téléphoné 40 heures en tout et voudrait connaître le montant de sa future facture.

1) Le montant de la facture est-il proportionnel au temps passé en communications téléphoniques ? 2) Représentez graphiquement (ci-dessous) les informations données par les deux premières

factures. On appellera x - en abscisses - les temps de communication, en heures ; échelle : 1 cm pour 4 heures. On appellera f (x) - en ordonnées - les montants des factures, en € ; échelle : 1 cm

____________________________________________________________________________

2.4 Indices

Lorsqu'on veut suivre l'évolution d'une valeur à intervalles réguliers, tout en gardant la possibilité d'une comparaison simple avec ce qu'elle était au départ, on peut utiliser un indice. La valeur initiale sert de référence ; pour cela, elle est transformée en une valeur « ronde », indice initial de référence, au choix : 1, 10, 100, 1000, 10000, … Puis les valeurs suivantes sont converties proportionnellement à ce choix, pour devenir des indices.

activité

Un exemple : l'évolution boursière par le suivi de l'indice CAC40.

A la suite du krach boursier de 1987, le CAC40 est mis en place le 15 juin 1988 pour représenter l'évolution de la valeur globale des actions des 40 entreprises françaises les plus performantes dans un ensemble représentatif des diverses branches d'activité principales.

On lui a attribué la valeur 1000 au 31 décembre 1987, qui représente un indice de départ (on aurait pu choisir 100 pour parler en pourcentage).

exemples de lecture :

au 31/12/2004, disons que l'indice valait 3700 points, soit 3,7 fois ce qu'il valait au départ.

Au cours de la semaine qui a suivi, l'indice a augmenté de 1,243%. Quelle est sa nouvelle valeur ?

Entre 2000 et 2003, lors de l'effondrement boursier dû à l'explosion de la bulle Internet, le CAC40 a chuté de 6800 points à 2400 points. De combien de % a-t-il baissé ?

EXERCICES

Exercice 25. Coût d’achat moyen du coton : 1,84 €/kg en 2006, 2,12 €/kg en 2007, 1,53 €/kg en 2008. En fixant l’indice initial du cours du coton à 1000 en 2006, calculer les indices du cours en 2007 et 2008.

Exercice 26. Une usine de métallurgie produit les quantités d'acier ci-dessous (en kilotonnes) : 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016

850 920 1100 1000 1020 1200 1250 1350 1300 1170 1) Donner les indices de production en prenant pour base 100 celle de 2007.

2) Quel est le pourcentage de variation de 2007 à 2010 ? de 2010 à 2015 ?

2.5 Pourcentages

2.5.1 Pourcentage fixe

* Le taux d'une valeur v par rapport à une valeur de référence V est le rapport t = v V ^. Taux de 20 par rapport à 25 : Taux de 50 par rapport à 48 :

Taux de 8 par rapport à 32 : Taux de 56 par rapport à 28 :

* Le "symbole" % :

* Pourcentage fixe :

Le pourcentage d'une valeur v par rapport à une valeur de référence V est le nombre p = v

V×100 . pourcentages…

de 20 par rapport à 25 : de 50 par rapport à 48 : de 8 par rapport à 32 : de 56 par rapport à 28 :

* Pourcentage fixe et proportion :

Calculer une valeur v égale à un pourcentage p d'une valeur V, c'est : calculer une valeur v qui a le même rapport à V que le rapport de p à 100.

Les listes (v ; V) et (p ; 100) sont proportionnelles.

Exemple :

valeur pourcentage

testée 20

référence 25 100

"20 représente …… % de 25".

valeur pourcentage

testée 8

référence 32 100

" …… % de 32 valent ……".

____________________________________________________________________________

2.5.2 Pourcentage de variation

On considère qu'une grandeur a évolué d'une valeur initiale v1 vers une valeur finale v2. La valeur de référence est dans tous les cas v1, la valeur initiale.

La variation est égale à v2 - v1. Le taux de variation est le nombre v v

v

2 − 1 1

(le pourcentage vaut cent fois le taux).

Taux de variation de 20 vers 25 : Taux de variation de 50 vers 48 : Taux de variation de 28 vers 56 : Taux de variation de 56 vers 28 :

* Pourcentage de variation et proportion :

On formera ici un tableau de proportion mettant en rapport :

* la valeur initiale, * la variation, * la valeur finale

Exemple : Un article est vendu 35€. Puis il est soldé : "-40%". A combien se vend-il, soldé ? valeur pourcentage

valeur initiale (référence) 35 100

variation -40

valeur finale

"La remise vaut ……€ et le prix soldé est ……€. Le prix soldé représente…..% du prix initial."

* Coefficient multiplicateur :

Augmenter une valeur v1 de p% pour obtenir une valeur v2 revient à conduire le calcul : v2 = 100%×v1 + p%×v1 donc, v2 = (100% + p%)×v1.

Mais comme % signifie /100 : p

v   v

= + ×

 

2 1 1

100

Diminuer une valeur v1 de p%, obtenant une valeur v2, revient à calculer : p

v   v

= − ×

 

2 1 1

100

On voit donc qu'appliquer un pourcentage de variation à une valeur, pour la diminuer ou pour l'augmenter, revient à la multiplier par un coefficient.

Exemple :

1. Une facture fait état d'un montant hors taxes (HT) de 248,5 € sur lequel devra être appliquée une TVA à 20%. Quel sera le montant TTC de la facture ?

2. Une autre facture affiche un prix à payer de 71,25 € après remise de 15%. Quel était le prix normal sans la remise ?

* Variations successives et taux moyen :

Exemple : le prix du baril de pétrole valait 32 $ à une date 1, puis il est monté à 96 $ à une date 2, 140 $ à une date 3, et enfin est redescendu à 40 $ à une date 4.

1. Donner le détail des pourcentages d'augmentation ou de baisse entre chaque date.

2. Donner le pourcentage global de variation entre les dates 1 et 4.

3. Donner alors le taux moyen de variation par période

Autres exemples :

1.Une grandeur A valait initialement 40 et vaut maintenant 50. Le pourcentage de variation est donc : 10/40 × 100 = 25. A a augmenté de 25%.

2. Une grandeur A valait initialement 50 et vaut maintenant 40. Le pourcentage de variation est donc : - 10/50 × 100 = -20. A a diminué de 20%.

3. Augmenter de 8%, c’est multiplier par (1 + 8/100), donc par 1,08.

Diminuer de 15%, c’est multiplier par (1 – 15/100), donc par 0,85.

4. Le chiffre d’affaires a augmenté de 40% puis diminué de 30%. Quelle a été sa variation globale ? Le CA a été multiplié par 1,4, puis par 0,7, donc par 1,4×0,7 = 0,98. Globalement, le chiffre d’affaires a baissé de 2%.

5. Un article coûte 66,98€ TTC. Combien valait-il HT ? (taux de TVA : 19,6%) A2(TTC) = A1(HT)×(1 + 19,6%) = A1×1,196

donc A1 = 66,98 / 1,196 = 56€.

* Si l’on n’est pas à l’aise avec ces coefficients multiplicateurs, on peut bien sûr s’appuyer sur des tableaux de proportion, en retenant une règle simple : la valeur initiale est toujours en face de 100%.

exemple : reprenons le point n°5 des exemples ci-dessus :

valeurs pour cent

initiale (HT) 56 100

augmentation (TVA) 10,98 19,6

____________________________________________________________________________

EXERCICES

Exercice 27. Trouver les valeurs manquantes, en considérant un taux donné (1ère ligne) d'une valeur donnée (1ère colonne).

1% 5% ……% 50% 150%

40

80

100

……

800

Exercice 28. Un grand hebdomadaire publie chaque année une grande enquête intitulée "Quel est le meilleur Lycée ???". il a réalisé cette enquête auprès d'une classe de terminale, afin de connaitre l'évolution du taux de réussite dans ce lycée :

année 2013 année 2014

inscrits reçus inscrits reçus

non redoublants 22 12 15 8

redoublants 3 3 10 9

Voici, à la suite de ce tableau, les commentaires du proviseur et d'un élève :

Le proviseur : "L'année 2014 marque une progression de plus de 13% de la réussite au bac dans cette classe - Je félicite les professeurs !"

Un élève : "Que l'on soit redoublant ou pas, cette année cela a moins bien marché. Bravo les profs !"

Ces avis sont pour le moins contradictoires... Et pourtant ils sont tous les deux justifiés!

Justifiez-les à votre tour et faites-vous une opinion sur les progrès de ce lycée.

Exercice 29. Une entreprise employait 1 365 personnes travaillant 39 h par semaine. Combien de personnes supplémentaires doit - elle engager si elle décide de réduire le temps de travail de 39 h à 35 h hebdomadaires. (on considère que le rythme de travail reste le même, ainsi que la quantité totale de travail à accomplir)

Exercice 30. J'ai ramassé des champignons contenant, frais, 90 % d'eau. Une fois séchés, ils ne contenaient plus que 30 % d'eau et pesaient 1,5 kg. Quelle était leur masse lorsqu'ils étaient frais ? Exercice 31. Calculer :

a) Le pourcentage de 25 par rapport à 30. b) Le pourcentage de 30 par rapport à 50.

c) Le pourcentage de 25 par rapport à 50. d) Le pourcentage de 30 par rapport à 25.

Exercice 32. Lu dans la presse... où tout est relatif...

Le "oui" l'emporte avec 66,3 % (contre 33,7 % pour le "non"), mais la participation des Niçois a été de 22,71 % seulement.

Quel pourcentage de la population niçoise inscrite a effectivement voté pour le "oui" ?

Exercice 33. Le prix de revient d'une chemise, pour le fabricant, se décompose de la façon suivante : 60 % pour la main d'œuvre et 40 % pour le tissu et les boutons.

Pour cette nouvelle année, la main d'œuvre augmente de 10 % et les matériaux de 30 %.

a. De quel pourcentage augmente le prix de revient de la chemise ? b. Comment se décompose ce nouveau prix de revient ?

Exercice 34. Un magasin de vêtements propose des « soldes -40% ».

1. Le prix normal d’un jean est 48 € ; quel sera son prix soldé ? 2. Un t-shirt de prix normal 25 € est soldé à 15 €. Est-ce conforme ? 3. Une veste est soldée à 108 €. Quel était son prix normal ?

Exercice 35. Un magasin, à l'occasion d'une braderie, propose des soldes de 20% sur tous les articles qu'il vend. On donne dans le tableau ci-dessous les prix auxquels sont vendus divers articles avant les soldes.

article sucre baguette huile fromage salade

prix avant soldes (€) 0,85 0,6 1,8 1,4 0,7

prix pendant soldes (€)

a) Compléter ce tableau de valeurs compte tenu du pourcentage de diminution pratiqué pour les soldes.

b) Le prix pendant soldes est-il proportionnel au prix avant soldes ? Si oui, donner le coefficient de proportionnalité.

c) Représenter, dans un repère orthogonal, les points dont les coordonnées sont présentes dans ce tableau (abscisses : prix avant soldes ; ordonnées : prix pendant soldes). Relier ces points.

d) En utilisant votre graphique (uniquement), donner, avec la meilleure précision, les réponses aux questions suivantes :

d1) Quel est le prix pendant soldes d'un article qui coûte habituellement 1,00 € ? d2) Quel était le prix avant soldes d'un article qui coûte 1,00 € pendant les soldes ?

Exercice 36. Les experts disent que 25% des accidents graves de bicyclette entraînent des blessures à la tête et que, parmi toutes ces blessures à la tête, 80% sont fatales. Quel pourcentage des accidents graves de bicyclette entraînent des blessures mortelles à la tête ?

Exercice 37. Calculer les taux de variation dans les cas suivants : prix initial prix après

variation Taux

120 € 114 €

120 € 126 €

120 € 60 €

120 € 240 €

Exercice 38. Vrai ou faux :

1) Les prix ont baissé de 15%. Pour connaître les nouveaux prix : a. On multiplie les anciens par 15/100

b. On soustrait 15/100 aux anciens prix c. On multiplie les anciens prix par 0,85

2) Les prix ont augmenté de 15%. Pour connaître les nouveaux prix : a. On multiplie les anciens par 15/100

b. On ajoute 15/100 aux anciens prix c. On multiplie les anciens prix par 1,15

____________________________________________________________________________

Exercice 41. Une société de presse propose à ses clients deux types d'abonnement pour un magazine bimensuel (deux éditions par mois) :

Première formule : Abonnement de 6 mois pour 24 €.

Deuxième formule : Abonnement d'1 an pour 43 €.

Sachant que le prix (hors abonnement) d'un magazine est 5 €, calculer les taux de réduction consentis dans ces deux formules.

Exercice 42. Un commerçant pratique en fin d'année des soldes de 20 %. Son chiffre d'affaires est sur la période de soldes de 15 000 €. Quel serait celui-ci s'il n'avait pas fait de soldes et avait vendu la même quantité de produits ? Quel serait-il si ses soldes avaient été de 30 % ?

Exercice 43.

Une marchandise dont le prix est 1600 F subit une hausse de 15% puis une nouvelle hausse de 5%.

Quel est le prix final ? Quel est le pourcentage global d'augmentation ?

Exercice 44. Voici deux affichages, vus chez deux vendeurs pour le même produit.

chez Jules chez TOTO

Ici, 20 % de produit en

plus ! Ici, 20 % de remise !!

Laquelle de ces promotions est la plus avantageuse pour l'acheteur ? Exercice 45. Production d'olives

25 kg d'olives fournissent en moyenne 17,5 litres d'huile d'olive.

a) Peut-on dire si la production d'huile d'olive est proportionnelle à la quantité récoltée ?

b) Calculer la quantité d'huile produite par kg d'olives récoltées. C'est le coefficient de proportionnalité.

La récolte a été cette année de 125 kg d'olives.

c) Quelle quantité d'huile pourra-t-on produire ?

d) Quel facteur d'échelle y a-t-il entre les 25 kg de l'exemple et la production de 125 kg ? e) Retrouve-t-on ce facteur d'échelle entre les quantités d'huile produites ?

L'année suivante, la récolte est de 150 kg.

f) Calculer de deux façons différentes la nouvelle production d'huile.

g) Combien représente en pourcentage la première récolte par rapport à la seconde ?

h) Quel a été le pourcentage d'augmentation des quantités entre la première et la deuxième année ? Exercice 46. Un agriculteur produit des pommes de terre. Cette année, il a récolté 40% de plus que l'an

dernier, en masse totale ; mais les prix auxquels il peut vendre sa production ont baissé dans la même période de 30%. Son chiffre d'affaires a-t-il augmenté par rapport à celui de l'an dernier ? Quel a été le taux de variation de ce chiffre d’affaires ?

Exercice 47. Dans un article de presse, on peut lire que le prix du gasoil à la pompe a augmenté successivement de 5%, 8% et 10%, puis a baissé de 15%. Entre les instants initial et final, quel a été le taux de variation du prix du gasoil ?

2.6 Puissances d’un nombre

2.6.1 Puissances entières positives

Plutôt qu’écrire beaucoup de facteurs identiques, ou des nombres longs, on note :

× × × × = ⋯

a a a a a

Quel que soit le nombre réel x :

a³ = a×a×a ; a² = a×a ; a¹ = a ; a⁰ = 1 (et donc 0⁰ = 1)

2.6.2 Puissances entières négatives

On peut remarquer que si m et n sont deux entiers naturels (donc positifs), alors a^m ×aⁿ = a^m+n En effet, par exemple : a² ×a⁴ = a×a × a×a×a×a = a⁶

Autorisons-nous à utiliser cette propriété avec des nombres négatifs, en cherchant en particulier le nombre n tel que a¹ ×aⁿ = a⁰ . Il vient n = -1 : a¹ ×a^-1 = a⁰ .

a^-1 n’est qu’une écriture symbolique, mais cette dernière égalité n’est autre que a ×a^-1 = 1.

a^-1 , définition de l’inverse de a, est conforme à la notation puissance !

−¹ =1

a a

De même, a^-2 est l’inverse de a², a^-3 est l’inverse de a³, et ainsi de suite.

Pour tout entier relatif n : a ⁿ _n a

− = 1 n facteurs

____________________________________________________________________________

2.6.3 Puissances entières de 10

On retiendra les préfixes associés à quelques puissances de 10, intervenant notamment dans l’écriture scientifique des nombres, dans divers domaines :

cent mille

million milliard

= =

= =

2 3

6 9

100 10 1000 10

1000000 10 1000000000 10

2 3 5 9

10 100 10 10

10 1000 100 10 10 100 10 10 10

10 100000 100 1000 10 10 10 10 10

10 1000000000 1000 1000 1000 10 10 10 10 10 10 10 10 10

= = ×

= = × = × = × ×

= = × = × × × ×

= = × × = × × × × × × × ×

10ⁿ possède n zéros.

10^-1 = 0,1 ; 10^-3 = 0,001 ; 10^-6 = 0,000 001 ….. 10^-n possède n zéros.

Puissances

de 10 Préfixe sens Symbole exemple écriture sans puissance de 10

10¹⁸ Exa E

10¹⁵ Péta P 10 Pfps : 10 pétaflops 10 000 000 000 000 000 flops 10¹² Téra T 2 TB : 2 térabytes 2 000 000 000 000 bytes

10⁹ Giga milliard G 1,2 GW : 1,2 gigawatt 1 200 000 000 watts 10⁶ Méga million M 53 Mo : 53 mégaoctets 53 000 000 octets 10³ Kilo millier k 25 k€ : 25 000 euros 25 000 euros 10² Hecto centaine h

12,5 hL : 12,5

hectolitres 1 250 L

10¹ Déca dizaine da 6 dam : 6 décamètres 60 m

10

= 1 : unité

de 10 Préfixe sens Symbole exemple écriture sans puissance de 10 10^-1 Déci dixième d

5,4 dg : 5,4

décigrammes 0,54 gramme

10^-2 Centi centième c 35 cm : 35 centimètres 0,35 mètre 10^-3 Milli millième m

12 mA : 12

milliampères 0,012 ampère 10^-6 Micro millionième µ

64 µg : 64

microgrammes 0,000 064 gramme 10^-9 Nano milliardième n 4 nm : 4 nanomètres 0,000 000 004 mètre

10^-12 Pico p

10^-15 Femto f

10^-18 Atto a

2.6.4 Formules relatives à la notation puissance

Des définitions et constatations précédentes découlent un ensemble de propriétés de la notation puissance : Pour tous entiers relatifs (+ ou -) n et p et pour tous réels a et b :

n p n p

a ×a =a ⁺ aⁿ_p ^{n p} a a

= −

( )

( )

n n

a × =b ab

n n n

a a

b b

=  

 

Attention : les formules sont valables lorsqu’elles font appel à des multiplications. On ne peut les transposer à des cas d’addition. Il suffit de constater par exemple que (2 + 3)² vaut 5², donc 25, et que 2² + 3² = 4 + 9 = 13. Ainsi, par exemple : (a + b)ⁿ≠ aⁿ + bⁿ

2.6.5 Radicaux et puissances inverses

Comme pour l’établissement des puissances entières négatives, nous pouvons travailler par convention à partir de la formule

( )

= = =

 

 

1 2 1

2 1

2 2 .

Or

( )

De même, a =a

1

3 3, et pour tout entier n positif : ⁿ

a = a

2.6.6 Puissances fractionnaires

De tout ce qui précède découle l’existence des puissances fractionnaires : Pour p entier relatif et q entier naturel,

p

aq n’est autre que

( )

Exemples : = =

3 2 3

4 4 8, x x

x

− = − =

5

3 5

3

3 5

1 , x x= ×x¹ x¹² =x^32.

Il est à noter que les formules données dans la partie I.2.3 sont valables pour ces puissances non entières.

____________________________________________________________________________

EXERCICES

Exercice 48. 2³ × 3³ = (2×3)³ = 4² + 5² = (4+5)² = (2²)³ =

; ; ; ; ; ;

3 5 2 2 4 2 4 2 4 2

2

2 2 5 3 3 3

2 5 5 5 3 5 3 2 4

2 2 4 2 5 5 2

−

−

× + ×

Exercice 49. Vrai ou faux : pour tout réel a :

a. a³ + a⁵ = a⁸ b. a³ × a⁵ = a⁸ c. a³ × a⁵ = a¹⁵ d. a³ + a⁵ = 2a⁸ Exercice 50. Vrai ou faux : (-3a)² est égal à…

a. -9a² b. (3a)² c. 9a² d. 6a² e. -3a²

Exercice 51.Ecrire en chiffres : 10², 10³, 10⁶, 10^-3, 10^-6.

Exercice 52.Ecrire les nombres 2 300 ; 55 000 ; 0,02 ; 0,00015 en notation scientifique (s’aider de la calculatrice)

Exercice 53.Calculer : 10⁵×10² ; 10⁵:10² ; 10^-3×10⁶ ; 10^-4×10^-2

Exercice 54.Faire les calculs suivants et écrire les résultats en notation scientifique : a. 2,5×10³ + 3×10² b. (2,5×10³) × (3×10²) c. 2,5×10³ - 3×10² d. (2,5×10³):(3×10²)

Exercice 55.La distance Terre-Soleil est environ 150 millions de kilomètres. Ecrire en notation scientifique (puissances de 10) le nombre de mètres correspondant. On appelle ce nombre "a".

Une feuille de papier a une épaisseur de 0,2 mm. Ecrire en notation scientifique cette épaisseur en mètres. On appelle ce nombre "b". Calculer, en utilisant seulement a et b le nombre de feuilles qu'il faudrait empiler pour atteindre le Soleil.

Exercice 56. La mésaventure du souverain indien Chiram

Ce souverain a promis de verser à l'un de ses compatriotes une quantité de grains de riz acceptable.

L'indien lui montra un échiquier et lui dit : "Versez donc un grain sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite en multipliant par deux en utilisant toutes les cases." Le souverain se mit à rire, croyant faire une bonne affaire, et accepta le marché.

Combien de grains dut-il ainsi donner ? Sachant qu'un grain pèse en moyenne 0,01 gramme, quelle masse de riz cela représente-t-il ? (un échiquier comporte 64 cases)

2.7 Logarithmes

Calculer le logarithme d’un nombre et calculer la puissance d’un nombre sont deux opérations réciproques : y=a^x ⇔ x=log_a y .

(on s’en tient à des valeurs de a strictement positives et différentes de 1) On a défini ainsi de manière naturelle le « logarithme de base a ».

Exemples :

logarithme de base 2

On sait que 8 = 2³ ; donc log2(8) = 3 ; 2 = 2¹ ; donc log2(2) = 1 On sait que 1024 = 2¹⁰ ; donc log2(1024) = 10

2^2,5≈ 5,656 ; donc log2(5,656) ≈ 2,5 ^{2log2( )x = x et log2}

( )

logarithme de base 10, souvent noté log (au lieu de log10), très présent en physique On sait que 1000 = 10³ ; donc log10(1000) = 3 ; 10 = 10¹ ; donc log(10) = 1

10^2,5≈ 316,23 ; donc log10(316,23) ≈ 2,5 ^{10log10( )x =x et log10}

( )

logarithme de base e : le logarithme népérien ln (e est l’« exponentielle » et vaut environ 2,718)

On sait que 100 ≈ e^4,605 ; donc loge(100) = ln(100) ≈ 4,605 ; e = e¹ ; donc ln(e) = 1 e^2,5≈ 12,18 ; donc ln(12,18) ≈ 2,5 ^{eln( )x =x et ln}

( )

Propriétés algébriques des logarithmes

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ^{( )}

( ) ( )

( { } ) ^{( )} _{( )} ^{( ) ( ) ( )}

*

*

*

*

, : log log log log log log

, : log log

: log ; log

, , \ : log ; log log log

log

2

3

et

1 0 1

1 1

a a a a a a

y

a a

a a

a a a b

b

x y xy x y x x y

y

x y x y x

x a

a b c b c b c

a

+

+

+

+

∀ ∈ = +   = −

 

∀ ∈ ∈ =

∀ ∈ = =

∀ ∈ = = ×

ℝ

ℝ ℝ

ℝ ℝ

En particulier : on montre que ^log_{( )}

( )

10 ln

10 x = x

« Raisons d’être » du ln et de l’exponentielle : 1) lnx est une primitive de 1/x

2) e^x est égal à sa dérivée !

EXERCICES

____________________________________________________________________________

3 Introduction aux mathématiques financières

3.1 Progressions arithmétiques et géométriques

L’objectif ici n’est pas de refaire un cours exhaustif sur les suites arithmétiques et géométriques, mais de faire une présentation succincte de quelques notations et résultats à des fins d’applications économiques.

3.1.1 Généralités

Une suite u de valeurs réelles est une liste finie ou infinie de telles valeurs.

A ce titre, ses valeurs, ou termes, doivent être données dans un ordre précis. On les nomme donc en se servant d’un indice : entier n qui est le rang d’un terme, c'est-à-dire son numéro dans la suite.

Les termes d’une suite u sont le plus souvent notés u0 (premier terme), u1, u2, …, un-1, un, un+1, … et ainsi de suite.

Tout est permis dans les suites : la liste des valeurs peut être parfaitement aléatoire, ou au contraire être logique. Dans ce dernier cas, la suite montre un lien bien déterminé entre un terme et le (ou quelques) précédent(s) – on dira que la suite est définie par récurrence -, ou alors chaque terme un se calcule directement à partir de son rang n – suite fonctionnelle.

Exemples

* Soit la suite u telle que u0 = 3 et pour tout entier naturel n, un+1 = un2. Elle est ainsi définie par récurrence.

Sans chercher à tout savoir sur cette suite, on constate que pour passer d’un terme au suivant, il faut le mettre au carré. On en tire quelques termes : u1 = 9, u2 = 81, u3 = 6561, …

* Soit la suite u telle que u0 = 100 et pour tout entier naturel n, un+1 = un + 7.

Elle est ainsi définie par récurrence.

On en tire quelques termes : u1 = 107, u2 = 114, u3 = 121, …

* Soit la suite u telle que un = 2n. (définie de façon fonctionnelle) Ici, c’est le rang lui-même qui intervient dans la valeur du terme : u0 = 1, u1 = 2, u2 = 4, u3 = 8, u4 = 16, u5 = 32, …

* Une même suite peut être définie des deux façons. Prenons la suite précédente et définissons-la par récurrence : soit la suite u telle que u0 = 1 et pour tout entier naturel n, un+1 = 2×un.

Il est clair qu’il s’agit bien de la suite précédente.

* définir d’une manière fonctionnelle la suite du deuxième exemple.

3.1.2 Suites arithmétiques

Une suite est dite arithmétique lorsque la différence entre un terme et le précédent est constante.

+1 − =

n n

u u r

Ce nombre fixé r est appelé raison de la suite.

L’évolution des valeurs, terme après terme, se fait donc à vitesse constante.

Si r < 0, la suite est décroissante, si r = 0, elle est constante, si r > 0, elle est croissante.

On a alors les résultats suivants :

0 .

n = +

u u n r

( )(

)

0

1

= 2

+ +

∑

k

n u u

u

pour calculer un terme pour calculer la somme des n+1 sans avoir à calculer les premiers termes

précédents

3.1.3 Suites géométriques

Une suite est dite géométrique lorsque le rapport entre un terme et le précédent est constant.

+1 =

n n

u q

u

Ce nombre fixé q est appelé raison de la suite.

L’évolution des valeurs, terme après terme, ne se fait donc pas à vitesse constante.

Nous ne parlerons que des raisons positives et d’un premier terme positif.

Si 0 < q < 1, la suite est décroissante, si q = 1, elle est constante, si q > 1, elle est croissante.

On a alors les résultats suivants :

= ×0 ⁿ

un u q .

1 0 0

1 1

+

=

= −

∑

k

u u q q

pour calculer un terme pour calculer la somme des n+1

sans avoir à calculer les premiers termes

précédents