On considère qu'une grandeur a évolué d'une valeur initiale v1 vers une valeur finale v2. La valeur de référence est dans tous les cas v1, la valeur initiale.
La variation est égale à v2 - v1. Le taux de variation est le nombre v v
v
2 − 1 1
(le pourcentage vaut cent fois le taux).
Taux de variation de 20 vers 25 : Taux de variation de 50 vers 48 : Taux de variation de 28 vers 56 : Taux de variation de 56 vers 28 :
* Pourcentage de variation et proportion :
On formera ici un tableau de proportion mettant en rapport :
* la valeur initiale, * la variation, * la valeur finale
Exemple : Un article est vendu 35€. Puis il est soldé : "-40%". A combien se vend-il, soldé ? valeur pourcentage
valeur initiale (référence) 35 100
variation -40
valeur finale
"La remise vaut ……€ et le prix soldé est ……€. Le prix soldé représente…..% du prix initial."
* Coefficient multiplicateur :
Augmenter une valeur v1 de p% pour obtenir une valeur v2 revient à conduire le calcul : v2 = 100%×v1 + p%×v1 donc, v2 = (100% + p%)×v1.
On voit donc qu'appliquer un pourcentage de variation à une valeur, pour la diminuer ou pour l'augmenter, revient à la multiplier par un coefficient.
Exemple :
1. Une facture fait état d'un montant hors taxes (HT) de 248,5 € sur lequel devra être appliquée une TVA à 20%. Quel sera le montant TTC de la facture ?
2. Une autre facture affiche un prix à payer de 71,25 € après remise de 15%. Quel était le prix normal sans la remise ?
* Variations successives et taux moyen :
Exemple : le prix du baril de pétrole valait 32 $ à une date 1, puis il est monté à 96 $ à une date 2, 140 $ à une date 3, et enfin est redescendu à 40 $ à une date 4.
1. Donner le détail des pourcentages d'augmentation ou de baisse entre chaque date.
2. Donner le pourcentage global de variation entre les dates 1 et 4.
3. Donner alors le taux moyen de variation par période
Autres exemples :
1.Une grandeur A valait initialement 40 et vaut maintenant 50. Le pourcentage de variation est donc : 10/40 × 100 = 25. A a augmenté de 25%.
2. Une grandeur A valait initialement 50 et vaut maintenant 40. Le pourcentage de variation est donc : -10/50 × 100 = -20. A a diminué de 20%.
3. Augmenter de 8%, c’est multiplier par (1 + 8/100), donc par 1,08.
Diminuer de 15%, c’est multiplier par (1 – 15/100), donc par 0,85.
4. Le chiffre d’affaires a augmenté de 40% puis diminué de 30%. Quelle a été sa variation globale ? Le CA a été multiplié par 1,4, puis par 0,7, donc par 1,4×0,7 = 0,98. Globalement, le chiffre d’affaires a baissé de 2%.
5. Un article coûte 66,98€ TTC. Combien valait-il HT ? (taux de TVA : 19,6%) A2(TTC) = A1(HT)×(1 + 19,6%) = A1×1,196
donc A1 = 66,98 / 1,196 = 56€.
* Si l’on n’est pas à l’aise avec ces coefficients multiplicateurs, on peut bien sûr s’appuyer sur des tableaux de proportion, en retenant une règle simple : la valeur initiale est toujours en face de 100%.
exemple : reprenons le point n°5 des exemples ci-dessus :
valeurs pour cent
initiale (HT) 56 100
augmentation (TVA) 10,98 19,6
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EXERCICES
Exercice 27. Trouver les valeurs manquantes, en considérant un taux donné (1ère ligne) d'une valeur donnée (1ère colonne).
Exercice 28. Un grand hebdomadaire publie chaque année une grande enquête intitulée "Quel est le meilleur Lycée ???". il a réalisé cette enquête auprès d'une classe de terminale, afin de connaitre l'évolution du taux de réussite dans ce lycée :
année 2013 année 2014
inscrits reçus inscrits reçus
non redoublants 22 12 15 8
redoublants 3 3 10 9
Voici, à la suite de ce tableau, les commentaires du proviseur et d'un élève :
Le proviseur : "L'année 2014 marque une progression de plus de 13% de la réussite au bac dans cette classe - Je félicite les professeurs !"
Un élève : "Que l'on soit redoublant ou pas, cette année cela a moins bien marché. Bravo les profs !"
Ces avis sont pour le moins contradictoires... Et pourtant ils sont tous les deux justifiés!
Justifiez-les à votre tour et faites-vous une opinion sur les progrès de ce lycée.
Exercice 29. Une entreprise employait 1 365 personnes travaillant 39 h par semaine. Combien de personnes supplémentaires doit - elle engager si elle décide de réduire le temps de travail de 39 h à 35 h hebdomadaires. (on considère que le rythme de travail reste le même, ainsi que la quantité totale de travail à accomplir)
Exercice 30. J'ai ramassé des champignons contenant, frais, 90 % d'eau. Une fois séchés, ils ne contenaient plus que 30 % d'eau et pesaient 1,5 kg. Quelle était leur masse lorsqu'ils étaient frais ? Exercice 31. Calculer :
a) Le pourcentage de 25 par rapport à 30. b) Le pourcentage de 30 par rapport à 50.
c) Le pourcentage de 25 par rapport à 50. d) Le pourcentage de 30 par rapport à 25.
Exercice 32. Lu dans la presse... où tout est relatif...
Le "oui" l'emporte avec 66,3 % (contre 33,7 % pour le "non"), mais la participation des Niçois a été de 22,71 % seulement.
Quel pourcentage de la population niçoise inscrite a effectivement voté pour le "oui" ?
Exercice 33. Le prix de revient d'une chemise, pour le fabricant, se décompose de la façon suivante : 60 % pour la main d'œuvre et 40 % pour le tissu et les boutons.
Pour cette nouvelle année, la main d'œuvre augmente de 10 % et les matériaux de 30 %.
a. De quel pourcentage augmente le prix de revient de la chemise ? b. Comment se décompose ce nouveau prix de revient ?
Exercice 34. Un magasin de vêtements propose des « soldes -40% ».
1. Le prix normal d’un jean est 48 € ; quel sera son prix soldé ? 2. Un t-shirt de prix normal 25 € est soldé à 15 €. Est-ce conforme ? 3. Une veste est soldée à 108 €. Quel était son prix normal ?
Exercice 35. Un magasin, à l'occasion d'une braderie, propose des soldes de 20% sur tous les articles qu'il vend. On donne dans le tableau ci-dessous les prix auxquels sont vendus divers articles avant les soldes.
article sucre baguette huile fromage salade
prix avant soldes (€) 0,85 0,6 1,8 1,4 0,7
prix pendant soldes (€)
a) Compléter ce tableau de valeurs compte tenu du pourcentage de diminution pratiqué pour les soldes.
b) Le prix pendant soldes est-il proportionnel au prix avant soldes ? Si oui, donner le coefficient de proportionnalité.
c) Représenter, dans un repère orthogonal, les points dont les coordonnées sont présentes dans ce tableau (abscisses : prix avant soldes ; ordonnées : prix pendant soldes). Relier ces points.
d) En utilisant votre graphique (uniquement), donner, avec la meilleure précision, les réponses aux questions suivantes :
d1) Quel est le prix pendant soldes d'un article qui coûte habituellement 1,00 € ? d2) Quel était le prix avant soldes d'un article qui coûte 1,00 € pendant les soldes ?
Exercice 36. Les experts disent que 25% des accidents graves de bicyclette entraînent des blessures à la tête et que, parmi toutes ces blessures à la tête, 80% sont fatales. Quel pourcentage des accidents graves de bicyclette entraînent des blessures mortelles à la tête ?
Exercice 37. Calculer les taux de variation dans les cas suivants : prix initial prix après
variation Taux
1) Les prix ont baissé de 15%. Pour connaître les nouveaux prix : a. On multiplie les anciens par 15/100
b. On soustrait 15/100 aux anciens prix c. On multiplie les anciens prix par 0,85
2) Les prix ont augmenté de 15%. Pour connaître les nouveaux prix : a. On multiplie les anciens par 15/100
b. On ajoute 15/100 aux anciens prix c. On multiplie les anciens prix par 1,15
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Exercice 41. Une société de presse propose à ses clients deux types d'abonnement pour un magazine bimensuel (deux éditions par mois) :
Première formule : Abonnement de 6 mois pour 24 €.
Deuxième formule : Abonnement d'1 an pour 43 €.
Sachant que le prix (hors abonnement) d'un magazine est 5 €, calculer les taux de réduction consentis dans ces deux formules.
Exercice 42. Un commerçant pratique en fin d'année des soldes de 20 %. Son chiffre d'affaires est sur la période de soldes de 15 000 €. Quel serait celui-ci s'il n'avait pas fait de soldes et avait vendu la même quantité de produits ? Quel serait-il si ses soldes avaient été de 30 % ?
Exercice 43.
Une marchandise dont le prix est 1600 F subit une hausse de 15% puis une nouvelle hausse de 5%.
Quel est le prix final ? Quel est le pourcentage global d'augmentation ?
Exercice 44. Voici deux affichages, vus chez deux vendeurs pour le même produit.
chez Jules chez TOTO
Ici, 20 % de produit en
plus ! Ici, 20 % de remise !!
Laquelle de ces promotions est la plus avantageuse pour l'acheteur ? Exercice 45. Production d'olives
25 kg d'olives fournissent en moyenne 17,5 litres d'huile d'olive.
a) Peut-on dire si la production d'huile d'olive est proportionnelle à la quantité récoltée ?
b) Calculer la quantité d'huile produite par kg d'olives récoltées. C'est le coefficient de proportionnalité.
La récolte a été cette année de 125 kg d'olives.
c) Quelle quantité d'huile pourra-t-on produire ?
d) Quel facteur d'échelle y a-t-il entre les 25 kg de l'exemple et la production de 125 kg ? e) Retrouve-t-on ce facteur d'échelle entre les quantités d'huile produites ?
L'année suivante, la récolte est de 150 kg.
f) Calculer de deux façons différentes la nouvelle production d'huile.
g) Combien représente en pourcentage la première récolte par rapport à la seconde ?
h) Quel a été le pourcentage d'augmentation des quantités entre la première et la deuxième année ? Exercice 46. Un agriculteur produit des pommes de terre. Cette année, il a récolté 40% de plus que l'an
dernier, en masse totale ; mais les prix auxquels il peut vendre sa production ont baissé dans la même période de 30%. Son chiffre d'affaires a-t-il augmenté par rapport à celui de l'an dernier ? Quel a été le taux de variation de ce chiffre d’affaires ?
Exercice 47. Dans un article de presse, on peut lire que le prix du gasoil à la pompe a augmenté successivement de 5%, 8% et 10%, puis a baissé de 15%. Entre les instants initial et final, quel a été le taux de variation du prix du gasoil ?