Corrigés des exercices et problèmes
Exercices d’application
1 - Si le triangle ABC est équilatéral alors :
Si le triangle ABC est rectangle isocèle en A alors :
2 - Un angle de 1 radian mesure degrés, soit 57° 18’ à une minute d’angle près.
3 - a) b)
c) .
D’où soit .
4 - a) . b) .
c) .
d)
e)
f)
5 - Pour placer le point D, remarquer que :
Le point D est donc aussi le point image de .
6 - Les mesures de sont les nombres égaux à où k décrit ⺪.
On résout soit
Donc et la seule mesure de dans est .
Autre méthode : .
7 - On résout :
soit
Donc et la seule mesure de dans est .
8 - n’est pas de la forme
avec . Donc et ne sont pas des mesures d’un même angle orienté.
9 - a) donc et
sont deux mesures en radians d’un même angle orienté.
b) donc
et ne sont pas des mesures d’un même angle orienté.
10 - et
donc est la mesure principale.
11 - a) b) c) d) π e) f) .
12 - a) b)
c) .
13 - a) b)
c) .
14 - 1. a) b) .
2. a) car
b) car
c) car .
degrés 60° 60° 60°
radians
degrés 90° 45° 45°
radians
BACm ABCm ACBm
π
3--- π
3--- π
---3
BACm ABCm ACBm
π
2--- π
4--- π
---4 180
---π
OI, OA
( ) π
3---
– rad
= (OI, OB) 29π
---36 rad
= OB, OA
( ) = (OB, OI)+(OI, OA) OB, OA
( ) 29π
---36
– π
3--- –
= (OB, OA) 41π
---36 rad –
= OA, OB
( ) π
---3
= (OA, OC) 3π
---4
= OD, OA
( ) π
---6
= OC, OD
( ) = (OC, OA)+(OA, OD) 3π
---4
– π
---6
– –11π
---12
=
= OC, OB
( ) π
3--- 3π ---4
– –5π
---12
= =
OB, OD
( ) π
6---
– π
---3
– –π
---2
= =
O
A
I J
C B D
1 2
1 1 2 –2 1 –2 11π
---3 12π ---3 π
3---
– 2 2( ) ππ –3---.
= =
π 3--- –
u ;v
( )
17π ---12 +k2π
3π 17π ---12 +k2π
⬍ ⭐5π k entier
19
24---⬍k 43 24---
⭐ k entier
k = 1 (u;v) ]3π; 5π ]
41π ---12
7π 12---
– +4π 41π
---12
= ∈ ]3π; 5π ]
4π 5π ---3
– +k2π
⬍ ⭐6π k entier
17π
---3 ⬍k2π 23π ---3
⭐ k entier
17
---6 ⬍k 23 ---6
⭐ k entier
⇔
k = 3 (u;v) ]3π; 5π ] 13π ---3 25π
---4 –17π ---4
– 21π
---2 10π π ---2 +
= =
k×2π k∈⺪ 25
---4 –17π ---4 31π
---12
– 65π
---12
– = –8π = –4×2π –31π
---12 65π ---12
784π ---9
– 515π
---9
–
– 269
---9 π
– –30π π
---9 +
= = –784π
---9 515π
– ---9
83π
---4 20π 3π ---4
+ 10×2π 3π
---4 +
= = –π 3π
---4
⬍ ⭐π 3π
---4 3π –
---4 2π ---3 2π
---3 5π
---6 –π ---3 v,u
( ) π
6---
= (–u,–v) π
6--- –
= u ,–v
( ) π
6---
– +π 5π
---6
= =
3u, 5v
( ) π
3---
= (–3v ,u) 2π
---3
= 2u
– , 3v
( ) –2π
---3
=
IB , IA
( ) π
2--- –
= (IB , ID) = π IB , CI
( ) π
2--- –
= CI = IA
BC , ID
( ) π
4---
= ID = BI
BA , CI
( ) π
4---
= BA = CD
15 - a) .
16 - 1.
2. a)
b)
c)
3. a)
b) c)
OA , OB
( ) 2π
---3
= (OA , OC) 2π
---3 –
=
O A
G H F
E
C
D B
OA , OH
( ) π
4--- –
= OA , OC
( ) π
---2
= OA , OF
( ) 3π
---4 –
= OB , OG
( ) 3π
---4 –
= OH , OD
( ) = π
OF , OD
( ) π
2--- –
=
17 -
Le triangle ACD est rectangle en A.
18 -
Or .
La mesure principale de est .
19 - a) b)
c) d)
e)
D’où .
20 - a) A est le point de image de .
donc
et le triangle OPA est rectangle isocèle en P.
D’où
et .
D’après le théorème de Pythagore :
et .
D’où
et .
21 - a)
b) .
c) .
22 - 1. donc .
On en déduit que .
mais .
Donc .
2. a)
. b)
et .
c)
.
d)
. 23 - 1.
2. a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
AC , AD
( ) = (AC , AB)+(AB , AD) AB , AC
( )
– +(AB , AD)
= π 12--- 5π
---12
+ π
2---
= .
=
A B
C D
– π/12 5π/ 2
DE , DC
( ) = (DE , BA)+(BA , BC)+(BC , CB) CB , CD
( ) (CD , DC)
+ +
π 2π
---3
–
π π
5--- π
+ + + + 38π
---15
=
= 38π
---15 2π 8π 15--- +
=
DE , DC
( ) 8π
15--- BC , AC
( ) π
4--- –
= (AN , AC) 7π ---12
= MA , AB
( ) 5π
---12
= (AN , AM) 11π
---12
= AM , CB
( ) = (AM , AC)+(AC , CA)+(CA , CB) AM , CB
( ) 11π
---12
=
O Q
45°
J
I P
A π
---4 IOAm π
4---rad
= IOAm 180
---4 45°
= =
OP = PA = OQ OA = 1
2×OP2 = 1 OP 1 2
--- 2
---2
= =
π 4---
cos OP
OA--- 2 ---2
= =
π 4---
cos AP
OA--- OP OA--- 2
---2
= = =
5π ---3
cos 2π π–---3
cos –π
---3
cos
= =
π 3---
cos 1
2---.
=
= 5π – ---6
sin 5π
---6
sin
– π π–---6
sin
– π
---6
sin
– 1
2--- –
= = = =
3π ---4
cos π
4--- π 2---
+
cos π
---4
sin
– 2
---2 –
= = =
π ---5 0 ;π
---2
∈ π
5---
sin ⬎0 π
5---
sin 1 cos2 π
---5
–
=
1 cos2 π ---5
– 1 5+1
---4
2
– 10–2 5
---16
= =
π 5---
sin 10–2 5
---4
= 4π ---5
cos π π–5---
cos π
---5
cos
– 5+1
---4 –
= = =
4π ---5
sin π π–5---
sin π
5---
sin 10–2 5
---4
= = =
π 5---
–
cos π
5---
cos 5+1
---4
= =
π 5---
–
sin π
5---
sin
– 10–2 5
---4 –
= =
6π ---5
cos cosπ π+5--- π 5---
cos
– 5+1
---4 –
= = =
6π ---5
sin π π+---5
sin π
5---
sin
– 10–2 5
---4 –
= = =
3π 10---
cos π
---2 π 5---
–
cos π
5---
sin 10–2 5
---4
= = =
3π ---10
sin π
2--- π 5---
–
sin π
---5
cos 5+1
---4
= = =
O J
I M
3 4
( )x
sin 1 9
16--- –
– – 7
---4
= =
x (– )
sin 7
---4
= π 2---–x
cos sin( )x 7
---4 –
= =
π–x
( )
cos –cos( )x 3
4--- –
= =
π 2---+x
sin cos( )x 3
4---
= =
x π 2---
–
sin π
2---–x
sin
– –cos( )x 3
4--- –
= = =
24 - 1.
On sait que .
La droite d’équation coupe en A et B, avec A point image du réel .
A et B sont symétriques par rapport à (OJ), B est donc le point image de .
Les réels x de tels que sont donc et . 25 - Les solutions de dans l’intervalle
sont et .
26 - 1. La solution de dans l’intervalle est .
2. Les solutions de dans l’intervalle sont et .
27 - 1. La solution de dans l’intervalle est .
2. Les solutions de dans l’intervalle sont et .
30 - a) La solution de dans est .
b) Les solutions de dans sont et .
c) La solution est . d) Les solutions sont et .
31 - ; ; .
O J
I A B
1/ 2 6
π 6
5π π
6---
sin 1
2---
=
y 1 2---
= π 6--- π π–6--- 5π
---6
=
] π– ;π ] sin( )x 1 2---
= π
6--- 5π ---6 ( )x
cos = 0 ] π– ;π ]
π
---2 π
2--- –
( )x
sin 2
---2 –
= π
---2
– ;π
2--- π 4--- –
( )x
sin 2
---2 –
= ] π– ;π ]
π ---4
– 3π
---4 –
( )x
cos 3
---2
= [0 ;π]
π 6---
( )x
cos 3
---2 –
= ] π– ;π ]
5π ---6
– 5π
---6
( )x
cos 2
---2 –
= ] π– ; 0]
3π ---4 –
( )x
sin 2
---2 –
= [0; 2π[ π
4--- – 3π
---4 –
3π ---4
π 4--- 7π
---4
A = 0 B = cos( )x C = –sin( )x –2cos( )x
K
Avant d’aller plus loin
QCM
63 - b) 64 - c) 65 - c) 66 - a) 67 - b) 68 - b) 69 - c) 70 - c) Vrai ou faux
71 -
une autre mesure de est 0. L’affirmation est vraie.
u,t
( ) = (u,v)+(v,w)+(w,t) 5π
---6 2π ---3 π
2---
+ + =2π
=
u,t
( )
72 -
L’affirmation est fausse.
73 - .
L’affirmation est vraie.
74 - équivaut à . Or
pour tout réel x. L’affirmation est fausse.
75 - et .
Donc et
mais donc .
L’affirmation est vraie.
76 - .
Les points O, A et B sont alignés.
.
Les points O, A et C sont alignés. L’affirmation est vraie.
77 - et les points et sont bien symétriques par rapport à (OI). L’affirmation est vraie.
78 - L’équation de ce plan est . L’affirmation est fausse.
79 - L’affirmation est vraie car les plans d’équation et sont respectivement parallèles à (OJK) et à (OIK).
80 - Une équation de cette sphère est et les coordonnées de A ne vérifient pas cette équation.
L’affirmation est fausse.
81 - . L’affirmation est vraie.
Exercices d’approfondissement
82 - a)
N est l’image de M dans la rotation de centre C et d’angle
donc et . On en déduit que le
triangle CMN est équilatéral.
D’autre part . Donc le triangle
OMN est rectangle en N. C’est un demi-triangle équilatéral.
CB, CD
( ) = (CB, CA)+(CA, CD) π
---4
– π
3---
– 7π
---12. –
=
=
CE, CB
( ) (CE, CF)+(CF, CB) π π 6---
– 5π
---6
= = =
3cos( )x = 4 = 0 cos( )x 4 3---
= 1
– ⭐cos( )x ⭐1
99π
---8 12π 3π ---8 +
= 97π
---8 = 12π π+---8 99π
---8
cos 3π
---8
cos
= 97π
---8
sin π
8---
sin
= π
2--- 3π ---8
– π
8---
= 3π
---8
cos π
8---
sin
=
OA, OB
( ) 7π
---3 π 3---
– 2π
= =
OA, OC
( ) 2π
---3
– π
3---
– –π
= =
7π
---4 = 2π π–4--- 5,π
---4
5, π
4---
–
y = 2
x = –1 y = 3
x2+y2+z2 = 2
OA= 42⬎6
O 1 2 3 4
C
M N
N'
3 π
3 π
π/12 i
π
3--- (CM, CN) π ---3
= CM = CM
OC = CM = CN = 2
On en déduit que :
et et que
(ON est la hauteur d’un triangle équilatéral de côté 4).
Un couple de coordonnées polaires du point N est donc .
b) est un triangle équilatéral. On en déduit que est également un triangle équilatéral.
D’où et .
Un couple de coordonnées polaires de est donc . 83 -
L’ensemble des points M :
a) tels que est la demi-droite ]OC) (O exclu) ;
b) tels que est la droite (AB) privée du segment [AB] ;
c) tels que est le segment [BC] privé des points B et C ;
d) tels que est le demi-cercle γ (voir figure) privé de A et C.
84 - a) M et sont symétriques par rapport à (OA) si, et seulement si, est l’image de M par la réflexion d’axe (OA)
soit ,
c’est-à-dire avec et finale-
ment avec .
b)
.
Les points M et N sont symétriques par rapport à la droite (OA) où A est le point image sur du réel .
.
Les points Q et P sont également symétriques par rapport à la droite (OA).
Les droites (MN) et (QP), étant toutes deux orthogonales à (OA), sont parallèles et le quadrilatère MNPQ est un tra- pèze inscrit dans .
85 - a)
b) Les triangles OIM et sont directement sembla-
bles donc et .
On en déduit que et .
Un couple de coordonnées polaires de dans le repère
est .
c) En réitérant le même raisonnement, on obtient : un couple de coordonnées polaires de dans le repère
est .
d) est confondu avec I si, et seulement si, et avec .
Donc et avec .
86 - 1. Un couple de coordonnées polaires de A dans le
repère est .
2. a) et donc dans le
repère .
b) Les coordonnées cartésiennes de B dans le repère
sont .
3. dans le repère .
4. Le triangle OAB est rectangle isocèle en O.
D’où et
Un couple de coordonnées polaires de I dans le repère
est .
5. On en déduit que
et .
OM, ON
( ) π
6---
= i, ON
( ) π
12--- π 6---
+ π
4---
= = ON = 2 3
2 3,π 4---
CNN' OCN'
ON' = 2 (i, ON') π 12--- π
3---
+ 5π
---3
= =
N' 2,5π
---3
O
B A
γ C
π/3
OM, OA
( ) 2π
---3
= MA, MB
( ) = O
MB, MC
( ) = π
MA, MC
( ) π
2---
=
M' M' OA, OM'
( ) = –(OA, OM)
x'–a = –(x–a)+k2π k∈⺪ x'+x = 2a+k2π k∈⺪
O I
A J
N 4
3π
4 3π
3 π
Q18π M 3
π
P– 36 35π
–36 35π
π 3--- 3π
---4
+ 13π
---12 2 13π ---24
×
= =
13π ---24 π
18--- 35π ---36
– 11π
---12
– 13π
---12 –2π
= =
O I
M M1 M2
α
α α θ θ
θ
OMM1 OM
---OI OM1 ---OM
= (OI, OM) = (OM, OM) = θ OM1 = OM2 = ρ2 (OI, OM1) = 2θ
M1 O ; OI
( ) (ρ2, 2θ)
M4 O ; OI
( ) (ρ5, 5θ)
M4 ρ5 = ρ
5θ = k2π k∈⺪ ρ = 1 θ k2π
---5
= k∈⺪
O ;i
( ) 2,π
---3
OA = OB (OA, OB) π ---2
= B 2,5π
---6
O ;i
( )
O ; i, j
( ) (– 3; 1) I 1– 3
---2 ; 3+1 ---2
(O ;i, j)
OI OA 2
---2
× 2
= = (i, OI) π
---3 π 4---
+ 7π
12---
= =
O ; i
( ) 2,7π
---12
7π ---12
cos 2– 6
---4
= 7π
---12
sin 6+ 2
---4
=
88 -
1. θ 0 π
f(θ) 0 1 2 3 4
2. θ π 2 π
f(θ) 4 5 6 7 8
π 6--- π
4--- π ---3 π
---2 2π ---3 3π
---4 5π ---6 2
3--- 4 3--- 8
3--- 10 ---3 7π
---6 5π ---4 4π
---3 3π ---2 5π
---3 7π ---4 11π
---6 14
---3 16
---3 20
---3 22
---3
+ 4
3.
89 - a)
Donc .
b)
donc .
c)
et
D’où .
90 - 1. a) équivaut à :
ou
Les solutions dans ⺢ de cette équation sont les nombres de la forme ou avec .
b) Les solutions de dans ⺢ sont les nom-
bres de la forme ou avec .
c) admet les nombres ; ; ; ; et comme solutions dans .
admet les nombres ; ; ; ; ; ; ; et dans .
2. a) équivaut à :
ou
Les solutions dans ⺢ de cette équation sont les nombres de
la forme ou avec .
b) Les solutions de l’équation sont les nombres de la forme ou avec .
c) admet les nombres ; ; ;
comme solutions dans .
admet les nombres ; ; ; ; ; comme solutions dans .
1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 – 4 O
– 6 3π ---8
sin π
2--- π ---8
–
sin π
8---
cos
= =
5π ---8
sin π
2--- π ---8
+
sin π
---8
cos
= =
7π ---8
sin π π–---8
sin π
8---
sin
= =
π 8---
sin 3π
---8
sin
– 5π
---8
sin 7π
---8
sin –
+ = 0
3π ---8
cos2 π
2--- π ---8
–
cos2 π
---8
sin2
= =
5π ---8
cos2 π
---2 π 8---
+
cos2 π
8---
sin2
= =
7π ---8
cos2 cos2π π–8--- π 8---
cos2
= =
π ---8
cos2 3π
---8
cos2 5π
---8
cos2 7π
---8
cos2
+ + + = 2
3π ---8
cos π
8---
sin π
8---
sin2
= 25π
---8
cos 11π
---8
sin cos3π π+8--- 3π ---2 π
---8
–
sin
= π ---8
cos
– π
2---
– π
8---
–
×sin
= π ---8
cos
– π
2--- π 8---
+
sin
–
×
= π ---8
cos2
= 3π
---8
cos π
8---
sin 25π
---8
cos 11π
---8
sin
+ = 1
( )x
cos = cos( )4x 4x = x+k2π k∈⺪
4x = –x+k2π
k∈⺪
k2π
---3 k2π
---5 k∈⺪
( )2x
cos 2
---2 –
= 3π
---8 +kπ 3π
---8
– +kπ k∈⺪
( )3x
cos 1
2---
= 7π
---9
– 5π
---9
– π
9---
– π
---9 5π
---9 7π
---9 ] π– ;π ]
( )3x
cos 1
2---
= π
9--- 5π ---9 7π
---9 11π ---9 13π
---9 17π
---9 19π ---9 23π
---9 25π
---9 [0 ; 3π]
( )x
sin = sin( )3x 3x = x+k2π k∈⺪
3x = π–x+k2π
k∈⺪
x = kπ x π ---4 kπ
3--- +
= k∈⺪
( )x
sin 2x π
---4
+
sin
= π
4---
– +k2π π
4--- k2π ---3
+ k∈⺪
( )2x
sin 2
---2
= 7π
---8
– 5π
---8
– π
---8 3π ---8 ] π– ;π ]
( )2x
sin 2
---2
= π
8--- 3π ---8 9π
---8 11π ---8 17π
---8 19π
---8 [0 ; 3π]
92 - 1. a)
d’où .
b) car la somme des angles orientés d’un triangle vaut π si tous les angles sont orientés dans le même sens.
c)
2. .
Mais et donc
. L’angle de dérivation ne dépend pas de α. 3. a) . Les miroirs sont perpendiculaires.
b) ou .
93 - a) .
b) L’intervalle a pour amplitude 1.
c) Dans un intervalle d’amplitude 1 de ⺢ on ne trouve qu’un entier : k est unique.
IS, IJ
( ) = (IS, IA)+(IA, IM)+(IM, IJ) IS, IJ
( ) = π–2α JM, JI
( ) = π α– –a
JI, JR
( ) = (JI, JM)+(JM, JB)+(JB, JR) a+α π– +π+a+α π– =2a+2α π– .
= SI, JR
( ) = (SI, JI)+(JI, JR) IS, IJ
( ) = (SI, JI) = π–2α SI, JR
( ) = π–2α+2a+2α π– = 2a SI, JR
( )
a π
2--- –
=
a π
---4 –
= a 3π
---4 –
= x 2π---
– 1
2---
– ⬍k x
2π---
– 1
2---
⭐ + x 2π ---
– 1
2---
– ; x
2π ---
– 1
2--- +
