TD N 14 Equations locales de la dynamique pour les fluides parfaits.

TD N° 14 Equations locales de la dynamique pour les fluides parfaits.

I. Jet d'eau issu d'un robinet * (CCP)

On observe un jet d'eau à la sortie d'un robinet de cuisine. On observe nettement que la section du jet diminue avec l'altitude h. On a rempli 0,50L d'eau dans un verre mesureur en 8,0s. Le diamètre du tube d'arrivée vaut D=2,5cm.

On note vo la vitesse de l'eau, à la sortie du robinet (h=0), ainsi que do le diamètre du jet à cet endroit.

1. Exprimer la vitesse v(h) de l'eau dans le jet à une hauteur h en fonction de h, vo et g. En déduire le diamètre du jet d(h) à une hauteur h en fonction de do, h, vo et g.

2. Vérifier ce modèle avec les valeurs expérimentales proposées et de la photo.

II. Tube de Pitot simple * (écrit CCP)

Dans une canalisation où l’on désire mesurer une vitesse d’écoulement de fluide parfait homogène, on introduit deux tubes identiques comme indiqué sur le schéma ci-contre.

L’écoulement est de plus supposé incompressible, irrotationnel et permanent.

Déterminer la vitesse d’écoulement en fonction de h et g

Rép : v= 2.g.h

III. Clepsydre ** (CCP-Mines Telecom)

Soit un récipient de révolution autour de son axe vertical Oz, l’équation de la courbe engendrant le cylindre est donnée en coordonnées cylindriques par r=a.zⁿ . Il est percé en A par un trou circulaire de section s=1cm², au fond du récipient.

Calculer les coefficients a et n de façon à ce que le niveau d’eau placé dans ce récipient baisse régulièrement de 6cm/min au cours de sa vidange.

On fabrique ainsi une horloge à eau, appelée clepsydre.

IV. Serre soumise au vent ** (CCP)

Une serre est de forme demi-cylindrique, de rayon R petit devant sa longueur L. Loin d’elle souffle un vent de vitesse uniforme v v u_x

→

→= ₀ . On utilisera les coordonnées

cylindriques (r,) pour décrire l’écoulement d’air supposé parfait, incompressible de masse volumique µ et irrotationnel.

On rappelle le potentiel des vitesses en

coordonnées cylindriques : 









 +

=

 r

r R v

r _o

2

. cos . ) ,

(  

1. Donner le champ des vitesses à la surface du hangar.

2. Déterminer la pression P(M) en tout point M(r=R,) de la surface du hangar.

3. Le hangar est ouvert au niveau du point A, à la base de la serre face au vent. On suppose qu’en l’absence de vent la pression à l’intérieur vaut Po mais qu’en présence de vent la pression à l’intérieur est uniforme et vaut PA. Exprimer alors la résultante des forces de pression s’exerçant sur le hangar.

v0

 M x A

h D

h

v Po

z r

V. Oscillations de liquide dans un tube en U ** (CCP- Mines Telecom)

On considère un liquide en écoulement incompressible et parfait dans un tube en U de section S uniforme. Le tube est maintenu vertical dans le champ de pesanteur. Le volume de liquide est noté V =S*. A l’instant initial on provoque un léger déséquilibre et on laisse évoluer le fluide au cours du temps.

1. Le régime est-il stationnaire? Peut-on utiliser le théorème de Bernoulli?

2. Ecrire l’équation d’Euler puis l'intégrer sur une ligne de courant entre deux points bien choisi à un instant t. En déduire que z(t) vérifie l’équation différentielle suivante

0 . . 2

2

2 + g z=

dt z d

 ^.

VI. Echappement par un orifice (Mines ou Centrale)

On considère le récipient ci-dessous en rotation uniforme , autour d’un axe Oz

vertical. On le remplit avec de l’eau par un orifice supérieur et elle peut s’écouler par un autre orifice située à une distance L de l’axe. La pression extérieure est notée Po, supposée uniforme. On note la petite section s à la sortie et S la section près de l’axe Oz.

1. Dans que référentiel peut-on considérer l'écoulement stationnaire?

2. Montrer que dans ce référentiel la grandeur

2 . . .

. . 2.

1 ₂ ²r²

z g v

P 



 + −

+ se conserve le long d'une

ligne de courant.

3. Montrer que la vitesse d’éjection de l’eau par rapport au récipient s’exprime par

2 2 2

) / ( 1

. S s

r v L

−

=  −

.

VII. Tuyère de Laval, limite d'écoulement incompressible ** (CCP-Mines Telecom)

On modélise l’écoulement dans une tuyère (figure ci-dessous) à la sortie de moteurs de fusée, par un écoulement parfait, quasi-unidirectionnel d'un gaz parfait dans une conduite cylindrique d'axe Oz et de section S(z). L'écoulement est décrit par un champ des vitesses de la forme approximative v v z uz

→

→= ( ). , un champ de pression P(z) et un champ de masse volumique (z). On donne le coefficient =Cp/Cv du gaz, supposé constant.

1. Ecrire le débit de masse Dm, dans une section droite en fonction de (z), v(z) et S(z) est une constante. Relier P(z) et (z) pour en déduire la relation suivante:

v dv S

dS P

dP =−. − .

2. On définit le nombre de Mach M=v/c où



P

c .

= est la vitesse du son à la cote z. A l'aide de l'équation d'Euler, en déduire que

( )

S dS v

v

d .

2−1 =

M .

Un écoulement subsonique entre (z<0) de la gauche dans la tuyère et ressort vers la droite en écoulement supersonique. Est-ce bien en accord avec la théorie. Quelle serait la vitesse au col?

3. Comment se simplifie la relation obtenue en 2) lorsque v<<c. Montrer alors que le débit de volume se conserve. Commenter.

VIII. Etude d’un syphon ** (CCP-Mines Telecom)

z O

col

z(t)

O z

r L

 eau

Pour vider un récipient non pourvu de bonde d'évacuation, on utilise un tuyau AB préalablement rempli de liquide selon le schéma ci-dessous. La section supposée uniforme du tuyau est très faible devant la section S du récipient (surface libre). Le fluide est supposé incompressible et non visqueux.

1. Étude statique : le tuyau est rempli de liquide et l'extrémité B reste bouchée. Déterminer la pression en B. pour quelles valeurs de zB cette pression est-elle supérieure à la pression atmosphérique ?

2. Étude dynamique :

a)Exprimer le débit du siphon Dv en fonction de S, g, h et zB. b) Calculer la pression en H.

c) A quelle condition fonctionne-t-il ?

IX. Naufrage d’un bateau *** (Mines-Centrale)

On considère un bateau qui coule dans la mer, considérée comme un

fluide parfait incompressible, de masse volumique . On note H=20m la hauteur du bateau, M=5.10⁴ tonnes sa masse et S=8500m² sa surface de base.

1. On considère que le bateau est rempli d'eau sur une hauteur h.

Quelle est la hauteur hm à partir de laquelle le bateau coule ?

2. On considère maintenant que le bateau est initialement vide et qu'il se remplit par un petit trou de surface s<<S situé dans la coque à une hauteur ℓ=4m du fond. On prendra S=2 m². a) Décrire les différentes étapes du remplissage.

b) Déterminer h(t) pendant la 1^ère phase et calculer sa durée t1. c) Déterminer h(t) pour t>t1.

d) Quelle est la durée totale du naufrage ?

X. Ecoulement dans une conduite forcée *** (Mines-Centrale)

On considère une conduite rectiligne de longueur L, de

section s, placée à la sortie d’un barrage. Une vanne placée à son extrémité permet de réguler la hauteur d’eau (fluide de masse volumique µ considéré comme incompressible). On désire étudier l’écoulement dans la conduite, lorsque la vanne est ouverte rapidement. On admet que l’écoulement est irrotationnel.

1. Montrer que la vitesse dans la conduite ne dépend pas de x. On la notera v(t).

2. Intégrer la relation d’Euler le long de la ligne de courant ABC en négligeant le terme  

^{→ →}

B A

t dl v . . Justifier cette approximation.

Montrer alors que v(t) est solution de l’équation différentielle à t v t gh v

d v

Ld + ( )=

2 ) 1

( ² .

3. Déterminer la loi v(t) de l’écoulement dans la conduite. On donne la solution de l’équation différentielle (t) a bv(t)²

t d

v

d = − : v(t) = th(t ab) b

a .

4. AN : L = 300 m, g = 9.8 m.s^-2 et h = 50 m. Déterminer la vitesse de l’écoulement en régime permanent et la constante de temps du régime transitoire. Commenter les valeurs numériques obtenues et justifier l’hypothèse de la question 2.

XI. Phénomène de cavitation :

Sous l’effet de baisse de pression brutale, des bulles de gaz peuvent se former dans l’eau. Ce phénomène apparaît au niveau des hélices de navire et provoque une grande érosion.

A

z h

zB

O H

B

h L

B C x

A

On présente le modèle suivant. A l’instant t=0, une bulle de gaz sphérique, de centre O fixe dans le référentiel d’étude et de rayon ao se forme dans un volume d’eau supposé infini. On néglige la pesanteur et on suppose qu’au sein de la bulle la pression est nulle. L’évolution de son rayon a(t) met en

mouvement l’eau. On recherche alors le champ des vitesses en coordonnées sphériques sous la forme :

→

→v(M,t)=v(r,t).u_r .

Loin de la bulle les conditions aux limites sont p(∞,t)=p∞ et v(∞,t)=v∞. On appelle  la masse volumique de l’eau et on suppose l’écoulement non visqueux, incompressible et homogène.

1. On cherche à évaluer le temps d’implosion de la bulle lors de sa croissance par analyse

dimensionnelle. Justifier l’écriture T=k.ao^p∞ où les coefficients introduits son des réels et déterminer

. Calculer un ordre de grandeur de T pour ao=1mm, p∞1bar et =10³kg/m³.

2. En exploitant l’incompressibilité de l’écoulement et la condition aux limites à la surface de la bulle, montrer que ( ).₂ ( )

) ,

( r

t a t t a r v

•

= .

3. En exploitant une intégrale première du mouvement de l’équation d’Euler entre r=0 et r infini montrer que ^{+ }_^{ }_^{ =−}



^

p dt

t da dt

t a t d a

2 2

2 ( )

2. 3 ) ). (

( .

4. On effectue le changement d’inconnue (t)=a(t)/ao et le changement de variable t*=t/ pour obtenir des grandeurs adimensionnées. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par

(t*) et choisir une valeur de  en fonction de ao,  et p∞ telle que celle-ci devienne universelle, c’est à dire indépendante des fluides utilisées des conditions aux limites, bref l’équation ne fait intervenir que des réels et les grandeurs adimensionnées ci- dessus.

5. La solution de l’équation est donnée ci-contre, retrouver la valeur du temps d’implosion de la bulle obtenue en 1.

6. Dans le cas où a(t)=0,1 , la relation d’Euler impose une relation

approchée que l’on fournit : 

 



 −

 =





250 . .

15 . ) 2

( ₃

3

2 r

a r a p

p r

o

o . Montrer que la pression passe par un maximum pM pour une distance rM, effectuer les applications numériques et commenter le phénomène d’érosion.

Rép : 4. ( *) 1

2. 3

*)

*). ( (

2 2

2  =−



 

 + 

dt t d dt

t

t d  

 avec



= p a_o²

2 .

 6. rM=0,16mm pM=158 bars

XII. Régulation de débit ** (Centrale)

Le débit d’un canal est régulé par une vanne V le reliant à un réservoir d’eau. En amont de la vanne, la hauteur d’eau est h1 et la vitesse v1. En aval, la hauteur h et la vitesse v varient et à grande distance de la vanne, on suppose que le niveau de l’eau est établi à une hauteur constante h2. On fait les hypothèses suivantes : l’eau

est incompressible, et on désigne par µ sa masse volumique. On néglige les effets liés à la viscosité de l’eau et on se place en régime stationnaire. Soit L la largeur du canal.

a. Montrer en aval de la vanne, l'expression suivante ℎ+^𝑣2

2.𝑔= 𝐻 où H est une constante que l'on exprimera.

b. Déterminer alors le débit volumique DV dans le canal en fonction de L, h et H.

c. On envisage Dv comme une fonction de h. Exprimer la valeur de h en fonction de H qui donne un débit maximal Dvmax. Tracer Dv=f(h).

d. Montrer qu’il existe deux valeurs possibles de v pour un même débit DV lorsque DV < DV max. Ces deux valeurs correspondent à deux régimes d’écoulement dit fluvial et torrentiel. Identifier les.

Rep : b. 𝐷_𝑣 = ℎ. 𝐿. √2. 𝑔. (𝐻 − ℎ) c. ℎ =²₃. 𝐻

O t*

*

0,8

g

h x V h1 v1

v

XIII. Ecoulement au-dessus d'un obstacle ** (CCP PC14 pts ou centrale)

On considère un liquide homogène de masse volumique  qui s'écoule au-dessus d'un obstacle.

L'écoulement est stationnaire, incompressible et invariant dans la direction perpendiculaire à la figure.

En amont de l'obstacle, la vitesse du fluide a pour module U et est dans la direction de l'axe (Ox) et l'épaisseur du fluide est H. On note u(x) et h(x) la vitesse et la hauteur du fluide à l'abscisse x, et e(x) la hauteur de l'obstacle en ce même point.

1.Déterminer une relation entre U, H, h(x) et u(x).

2. Appliquer la relation de Bernoulli sur une ligne de courant que l'on précisera et en déduire une relation entre u(x), g, du(x)/dx, dh(x)/dx et de(x)/dx.

3. On définit le nombre de Froude par

) ( .

) ) (

(

x h g

x x u

F_r = . Vérifier que ce nombre est sans dimension. En utilisant les relations obtenues aux questions précédentes, exprimer dh(x)/dx, d(h + e)/dx, du(x)/dx et dFr(x)/dx en fonction de de(x)/dx.

4. On suppose qu'en amont de l'obstacle U=1m.s^-1 et H=2,5m, calculer le nombre de Froude à cet endroit. Etudier les variations de la hauteur h(x)+ e(x) de l'écoulement en fonction de x. (Discuter en fonction de la valeur du nombre de Froude au sommet de l'obstacle).

Rép : 2. 𝑢.^{𝑑𝑢(𝑥)}

𝑑𝑥 + 𝑔. (^{𝑑ℎ(𝑥)}

𝑑𝑥 +^{𝑑𝑒(𝑥)}

𝑑𝑥 ) = 0

XIV. Oscillations d’une colonne de mercure **

1. On considère un baromètre à mercure, tel que celui du schéma ci-contre. On suppose que règne dans la partie supérieur le vide. Est-ce bien le cas et pourquoi cette hypothèse. Calculer la hauteur ho de mercure à l’équilibre, pour une pression atmosphérique Po.

A.N. Po=1,013.10⁵ Pa; g=9,81 m.s^-2; Hg=13,6.10³ kg.m^-3 2. Ce fluide est en mouvement dans le tube de section s, placé au-dessus d’une cuve de section S>>s. On repère la hauteur de la colonne de mercure par la variable h(t).

a) En intégrant l’équation d’Euler sur une ligne de courant bien choisie montrer que h(t) vérifie l’équation différentielle suivante : ℎ(𝑡). ℎ(𝑡)̈ +^ℎ(𝑡)2

2 =_^𝑃𝑜

𝐻𝑔

− 𝑔. ℎ(𝑡).

Voyez-vous d’autres méthodes pour obtenir cette équation ? b) On pose h(t)=x(t).ho, déterminer l’équation

différentielle vérifiée par x(t).

c) La résolution de cette équation donne pour différentes valeurs initiales de xo=x(t=0) les courbes suivantes, commenter ces courbes. Observe-t-on la propriété d’isochronisme des oscillations ?

d) On se place pour x au voisinage de 1 et on pose (t)=1+x(t). Retrouver la période des petites oscillations en fonction de g et zo. Comparer

numériquement avec la valeur lue sur les graphes.

H U

h(x)

e(x) x