Solution stationnaire de l'équation de coagulation de gouttelettes en chute avec le vent horizontal

Solution stationnaire de l'eÂquation de coagulation de gouttelettes en chute avec le vent horizontal

MERIEMMERAD(*) - HANANEBELHIRECHE(*) - HISAOFUJITAYASHIMA(**)

ABSTRACT- Weconsidertheequationwhichdescribesthecoagulationprocessofwater drops which fall in the air. The equation is considered in a two-dimensional domain and the density of water drops entering the domain is supposed to be given. Under the hypothesis of the constancy of the horizontal wind and some suitable condi- tions, we prove the existence and the uniqueness of the stationary solution.

REÂSUMEÂ- On consideÁre l'eÂquation deÂcrivant le processus de coagulation des gout- telettes qui tombent dans l'air. L'eÂquation est consideÂreÂe dans un domaine de dimension 2 et la densite des gouttelettes aÁ l'entreÂe du domaine est supposeÂe donneÂe. Sous l'hypotheÁse que la vitesse de l'air est constante dans la direction horizontale et quelques autres conditions convenables, on prouve l'existence et l'unicite de la solution stationnaire.

MATHEMATICSSUBJECTCLASSIFICATION(2010). 45K05, 45G10, 86A10.

KEYWORDS. Integro-differential equations, coagulation of droplets, fall of droplets.

1. Introduction

Comme il est bien connu, des nuages formeÂs dans l'atmospheÁre, les gouttelettes suffisamment grandes vont tomber comme pluie, ce qui deÂ- montre le roÃle essentiel du processus de coagulation des gouttelettes dans

(*) Indirizzo degli A.: Laboratoire de MatheÂmatiques appliqueÂes et de modeÂ- lisation, Universite 8 mai 1945, Guelma, AlgeÂrie.

E-mail: mrad.meriem@gmail.com hanane.belhireche@gmail.com

(**) Indirizzo dell'A.: Laboratoire de MatheÂmatiques appliqueÂes et de modeÂli- sation, Universite 8 mai 1945, Guelma, AlgeÂrie et Dipartimento di Matematica, UniversitaÁ di Torino, Torino, Italia.

E-mail: hisao.fujitayashima@unito.it

l'apparition de la pluie. L'eÂquation dite eÂquation de Smoluchowski, pro- poseÂe par Smoluchowski (voir [16]) et MuÈller (voir [11]), deÂcrit le processus de coagulation; cependant cette eÂquation dans sa version communeÂment consideÂreÂe ne tient pas compte de l'effet de la chute des gouttelettes.

Malgre que l'eÂquation de Smoluchowski ait eÂte eÂtudieÂe par plusieurs au- teurs (voir [17], [9], [3], [10], [5], [4], [12], etc...), aÁ notre connaissance la description matheÂmatique du processus de coagulation des gouttelettes dans leur deÂplacement et en particulier le deÂplacement duà aÁ la force gra- vitationnelle n'est pas encore bien eÂlucideÂe.

Dans ce preÂsent travail nous allons consideÂrer des gouttelettes qui, se coagulant avec une certaine probabiliteÂ, tombent avec une vitesse qui sera deÂtermineÂe par la force gravitationnelle, la friction entre ces gouttelettes et l'air ainsi que la vitesse de ce dernier. Les gouttelettes consideÂreÂes doivent eÃtre distribueÂes selon la massemde chacune d'elles, tandis que la friction avec l'air, ainsi que la probabilite de coagulation, deÂpend de la masse m. Ici nous nous limitons aÁ consideÂrer l'eÂtat stationnaire avec un vent horizontal constant, en renvoyant l'analyse de cas plus geÂneÂraux aux eÂtudes futures.

Du point de vue technique, nous allons consideÂrer une eÂquation inteÂgro- diffeÂrentielle pour une fonction inconnue sˆs(m;x;z) repreÂsentant la densite (par rapport au volume de l'air) de l'eau liquide contenue dans les gouttelettes de masse m. Nous consideÂrons s comme une fonction deÂ- pendante de la masse (de la gouttelette) m et de la position (x;z)2R²; comme nous supposons que le mouvement de l'air en consideÂration est un vent horizontal constant, la position dans la direction horizontale et or- thogonale aÁ la direction du vent ne nous inteÂresse pas particulieÁrement.

L'eÂquation dans la forme preÂcise va eÃtre formuleÂe dans le paragraphe suivant (voir (2.4)).

Dans ce qui suit, nous allons deÂmontrer l'existence et l'unicite de la solution de l'eÂquation avec une condition aux limites dans les cas respec- tivement de l'absence du vent (vitesse du vent nulle) et de la preÂsence du vent (vitesse du vent non nulle). Nous espeÂrons que l'ulteÂrieure analyse donnera des caracteÂrisations plus inteÂressantes du point de vue physique.

2. Position du probleÁme

DeÂsignons pars(m;x;z;t) la densite de l'eau liquide contenue dans les gouttelettes de massemau point (x;z)2V(R²) aÁ l'instantt2R, c'est- aÁ-dire, la masse de l'eau liquide contenue dans les gouttelettes de massem

qui se trouvent dans l'unite de volume de l'air. Le nombre, au sens pure- ment statistique, des gouttelettes de massemdans l'unite de volume sera alors donne par

~n(m;x;z;t)ˆs(m;x;z;t)

m :

L'eÂquation de Smoluchowski est normalement formuleÂe par rapport au nombre ~nˆ~n(m;t) de gouttelettes de masse m. Mais nous preÂfeÂrons utiliser la densiteÂspour la commodite pour la modeÂlisation geÂneÂrale des pheÂnomeÁnes meÂteÂorologiques (voir [6], [1], [14]).

Nous allons consideÂrer la densiteÂsdans le domaine VˆR]0;1[ ˆ f(x;z)2R²j0<z<1g:

(2:1)

On va consideÂrer eÂgalement la vitesse des gouttelettes qui se deÂplacent aÁ cause de la force gravitationnelle et du mouvement de l'air dans lequel elles se trouvent. Comme l'effet de la friction entre les gouttelettes et l'air deÂpend sensiblement de la masse de chaque gouttelette, la vitesse des gouttelettes doit eÃtre en fonction de la masse m. Nous admettons que la vitesse uˆu(m) d'une gouttelette de massemest donneÂe par

uˆu(m)ˆ

v; g a(m)

; (2:2)

ouÁ v et g sont des constantes (v2R, g>0), tandis que a(m) est une fonction de la masse m (a(m)>0). Si g, a(m) et v deÂsignent respecti- vement l'acceÂleÂration gravitationnelle, le coefficient de friction entre les gouttelettes et l'air et la vitesse de l'air (dans la direction de l'axe x), la relation (2.2) correspond, dans une bonne approximation, aÁ la vitesse reÂelle des gouttelettes dans l'atmospheÁre (voir par exemple [15], [1], [14]).

Si nous consideÂrons la variation des(m;x;z;t) due au deÂplacement avec la vitesseu(m) des gouttelettes et au processus de coagulation, nous au- rons

@ts(m;x;z;t)‡ r(x;z)(s(m;x;z;t)u(m))ˆ (2:3)

ˆm 2

Z^m

0

b(m m⁰;m⁰)s(m⁰;x;z;t)s(m m⁰;x;z;t)dm⁰‡

m Z¹

0

b(m;m⁰)s(m;x;z;t)s(m⁰;x;z;t)dm⁰;

ouÁr(x;z)ˆ(@x; @z), tandis queb(m1;m2) repreÂsente la probabilite de ren- contre entre une gouttelette de massem1et une gouttelette de massem2

(avec la valeur de la probabilite normaliseÂe par rapport aÁ la masse). Si dans l'eÂquation (2.3) on neÂglige la deÂpendance de (x;z)2V, l'eÂquation sera reÂ- duite aÁ l'eÂquation de Smoluchowski (dans une version avec la densite s(m;t)ˆm~n(m;t)).

En renvoyant l'eÂtude de l'eÂquation d'eÂvolution (2.3) aÁ des recherches futures, dans le preÂsent travail nous allons nous occuper du cas station- naire, c'est-aÁ-dire, nous allons consideÂrer l'eÂquation

r_(x;z)(s(m;x;z)u(m))ˆ (2:4)

ˆm 2

Z^m

0

b(m m⁰;m⁰)s(m⁰;x;z)s(m m⁰;x;z)dm⁰‡

m Z¹

0

b(m;m⁰)s(m;x;z)s(m⁰;x;z)dm⁰ avec la condition

s(m;x;1)ˆs(m;x):

(2:5)

Comme les gouttelettes tombent defzˆ1g versfzˆ0gavec la vitesse uˆu(m) (voir (2.2)), la condition (2.5) est une condition ``initiale'' (ou con- dition d'entreÂe) pour les gouttelettes qui partent de la position (x;1).

On rappelle que dans la Nature, aÁ cause de la courbure treÁs eÂleveÂe de la surface, les gouttelettes treÁs petites s'eÂvaporent immeÂdiatement (voir par exemple [13], [7]) et que d'autre part les gouttelettes treÁs grandes se fragmentent aÁ cause de la friction avec l'air environnant. Pour cela, nous nous inteÂressons aÁ la fonction de densiteÂs(m;x;z) avecmentre deux ex- treÂmiteÂsm_aetm_A,

0<mammA<1:

En ce qui concerne la fonctiona(m), qui repreÂsenterait l'effet de la friction entre les gouttelettes et l'air, dans le preÂsent travail nous sup- posons que a(m) est une fonction strictement positive et suffisamment reÂgulieÁre (par exemplea(m)2C¹(R_‡)). Il est utile de rappeler que dans l'eÂtat normal de l'atmospheÁrea(m) est une fonction deÂcroissante et ses valeurs varient sensiblement selon les valeurs de m (pour les donneÂes exprimentales, voir par exemple [15]). MeÃme si l'effet de la friction (par l'unite de masse) croõÃt rapidement quand m s'approche de 0, compte tenu de l'absence de gouttelettes treÁs petites (m<m_a), pour eÂviter le

raisonnement inutilement compliqueÂ, nous supposons que

m2Rsup‡

a(m)<1:

Pour la fonctionb(m1;m2) nous supposons que

b(;)2C(R_‡R_‡); b(m₁;m₂)0 8(m₁;m₂)2R_‡R_‡; (2:6)

b(m₁;m₂)ˆb(m₂;m₁) (2:7)

b(m1;m2)ˆ0 pour m1‡m2mA: (2:8)

Les conditions (2.6) et (2.7) sont des conditions naturelles de la fonction de probabilite de rencontre de gouttelettes. D'autre part, la condition (2.8) est une approximation motiveÂe par le fait que, comme nous l'avons deÂjaÁ eÂvoqueÂ, dans l'atmospheÁre les grandes gouttelettes subissent eÂgalement le processus de fragmentation, qui contrebalance la crois- sance de la population de gouttelettes de masse eÂleveÂe due aÁ la coa- gulation (cette approximation a eÂte adopteÂe meÃme dans [6], [1], [14]).

3. Cas de l'absence du mouvement de l'air

Dans le cas ouÁvˆ0, le probleÁme (2.4)-(2.5) se reÂduit aÁ une famille de probleÁmes dans le domaine 0<z<1, parameÂtriseÂe parx2R. En effet, si vˆ0,u(m) se reÂduit aÁ

u(m)ˆ

0; g

a(m)

;

ce qui nous permet d'envisager le probleÁme (2.4)-(2.5) seÂpareÂment pour chaque x2R. Donc, en posant s(m)ˆs(m;x) pour chaque x2R et en eÂcrivants(m;z) au lieu des(m;x;z), nous avons aÁ consideÂrer

@z

s(m;z) g a(m)

ˆm 2

Z^m

0

b(m m⁰;m⁰)s(m⁰;z)s(m m⁰;z)dm⁰‡ (3:1)

m Z¹

0

b(m;m⁰)s(m;z)s(m⁰;z)dm⁰; s(m;1)ˆs(m):

(3:2)

Comme a(m) ne deÂpend pas de z, l'eÂquation (3.1) peut eÃtre eÂcrite dans

la forme

@_zs(m;z)ˆ ma(m) 2g

Z^m

0

b(m m⁰;m⁰)s(m⁰;z)s(m m⁰;z)dm⁰‡ (3:3)

‡ma(m) g

Z¹

0

b(m;m⁰)s(m;z)s(m⁰;z)dm⁰:

Avant de nous occuper de la solution du probleÁme (3.1)-(3.2), rappelons une proprieÂte importante de l'opeÂrateur inteÂgral figurant au second membre de (3.1).

LEMME 3.1. Soit b(;) la fonction introduite dans le paragraphe preÂceÂdent. Alors, quelque soits()2L¹(R‡), on a

Z¹

0

m 2

Z^m

0

b(m m⁰;m⁰)s(m⁰)s(m m⁰)dm⁰dm‡ (3:4)

Z¹

0

m Z¹

0

b(m;m⁰)s(m)s(m⁰)dm⁰dmˆ0:

DEÂMONSTRATION. En faisant le changement de variables qˆm m⁰; rˆm⁰;

dont le deÂterminant jacobien est eÂgal aÁ 1, on a Z¹

0

m 2

Z^m

0

b(m m⁰;m⁰)s(m⁰)s(m m⁰)dm⁰dmˆ Z¹

0

Z¹

0

q‡r

2 b(q;r)s(q)s(r)drdq:

Par conseÂquent, compte tenu de la symeÂtrie de la fonctionb b(q;r)ˆb(r;q);

on a Z¹

0

Z¹

0

q‡r

2 b(q;r)s(q)s(r)drdqˆ Z¹

0

Z¹

0

qb(q;r)s(q)s(r)drdqˆ

ˆ Z¹

0

Z¹

0

mb(m;m⁰)s(m)s(m⁰)dm⁰dm;

d'ouÁ on obtient (3.4). p

L'eÂgalite (3.4) n'est autre que la loi de la conservation de la masse pour l'eau liquide contenue dans les gouttelettes.

PROPOSITION3.1. Soit s()2L¹(R‡)avecsupp(s)[ma;m_A]. Alors le probleÁme (3.1)-(3.2) admet une unique solution s2C([0;1];L¹(R_‡)) (c'est-aÁ-dire, l'application z7 !s(;z)est une fonction continue de[0;1]aÁ valeurs dans L¹(R_‡)).

DEÂMONSTRATION. Pour reÂsoudre le probleÁme (3.1)-(3.2), on consideÁre s(;z) comme eÂleÂment deL¹(R‡), de sorte que l'eÂquation (3.3) peut eÃtre eÂcrite dans la forme

ds

dzˆF(s);

(3:5) ouÁ

F(s)ˆF(s)(m)ˆ ma(m) 2g

Z^m

0

b(m m⁰;m⁰)s(m⁰)s(m m⁰)dm⁰‡

‡ma(m) g

Z¹

0

b(m;m⁰)s(m)s(m⁰)dm⁰: Posons

C_bˆmax

0<msup⁰<m<1

ma(m)

2g b(m m⁰;m⁰); sup

m;m⁰2R‡

ma(m)

g b(m;m⁰)

: (3:6)

Alors, en rappelant l'expression deF(s), on a, pours1,s22L¹(R‡), kF(s₁) F(s₂)k_L1(R‡)ˆ

Z¹

0

jF(s₁)(m) F(s₂)(m)jdm (3:7)

Cb

Z¹

0

Z^m

0

s1(m⁰)(s1(m m⁰) s2(m m⁰))‡

‡(s₁(m⁰) s₂(m⁰))s₂(m m⁰)dm⁰dm‡

‡C_b Z¹

0

Z¹

0

(s₁(m)(s₁(m⁰) s₂(m⁰))‡(s₁(m) s₂(m))s₂(m⁰)dm⁰dm C_b ks₁(js₁ s₂j)k_L1‡ k(js₁ s₂j)s₂k_L1

‡

‡C_b Z¹

0

(js₁(m)jks₁ s₂k_L1‡ js₁(m) s₂(m)jks₂k_L1)dm

2C_bks₁ s₂k_L1(ks₁k_L1‡ ks₂k_L1)

(pour la proprieÂte de la convolution, voir par exemple [2]), ce qui montre que F() veÂrifie localement la condition de Lipchitz dans la topologie deL¹(R‡).

Par conseÂquent, l'eÂquation (3.5) avec la condition initiale (3.2) admet une solutions(;z) et une seule dans un intervalle 1 dz1 avec und>0 suffisamment petit.

D'autre part, du lemme 3.1 et de l'eÂquation (3.1) on deÂduit que Z¹

0

s(m;z) g a(m)

dmˆ

Z¹

0

s(m;1) g a(m)

dm;

(3:8)

pourvu que s(;z) existe. Or, la condition (2.8) et l'hypotheÁse supp(s)[m_a;m_A] impliquent que supp(s(;z))[m_a;m_A]. Donc, de la relation

0<c1 g

a(m)c2<1 8m2[ma;mA]

avec deux constantes c1,c2 (qui reÂsulte de l'hypotheÁse sura(m)), on deÂ- duit queks(;z)k_L1(R‡) est uniformeÂment borneÂe en z(pourvu que s(;z) existe), ce qui, joint aÁ la condition de Lipschitz locale, nous donne la so- lutions(;z) de l'eÂquation (3.5) dans tout l'intervalle [0;1]. La proposition

est deÂmontreÂe. p

4. PreÂliminaires pour le cas geÂneÂral

Pour reÂsoudre l'eÂquation (2.4) avec la condition (2.5) (s(m;x;1)ˆ

s(m;x)), nous allons utiliser l'ideÂe de transformer l'eÂquation (2.4) en une eÂquation diffeÂrentielle ordinaire, comme dans la deÂmonstration de la proposition 3.1, ouÁ on a transforme l'eÂquation (3.1) en (3.5). Pour cela, nous introduisons le changement de variables (m;x;z)7!(m;~ j;~z) deÂfini par

m~ ˆm;

jˆx va(m) g (1 z);

~zˆz:

8>

<

>:

et deÂfinissons

s(~m;~ j;~z)ˆs(m;x;z)ˆs

m;j‡va(m)

g (1 z);z

:

Dans la suite, toutefois, pour eÂviter la notation lourde, on va eÂcrire simplement m et z au lieu de m~ et ~z et encore s(m;j;z) au lieu de

s(~m;~ j;~z), ce qui ne cause pas d'eÂquivoque dans le calcul. Comme on peut le constater facilement, dans les coordonneÂes (m;j;z) l'eÂquation (2.4) se transforme en

@

@zs(m;j;z)ˆ ma(m)

2g

(4:1)

Z^m

0

b(m m⁰;m⁰)s(m⁰;h(m;m⁰;j;z);z)s(m m⁰;h(m;m m⁰;j;z);z)dm⁰‡

‡ma(m) g

Z¹

0

b(m;m⁰)s(m;j;z)s(m⁰;h(m;m⁰;j;z);z)dm⁰;

ouÁ

h(m;m⁰;j;z)ˆj‡v a(m) a(m⁰) g (1 z):

Pour reÂformuler l'eÂquation (4,1) en une eÂquation diffeÂrentielle ordinaire et eÂtablir des proprieÂteÂs utiles de l'opeÂrateur inteÂgral du deuxieÁme mem- bre de cette eÂquation, il nous convient, pour chaque z2[0;1] fixeÂ, d'in- troduire la famille de courbes

g_t ˆ

(m;j)2R_‡Rjjˆt v a(m) g (1 z)

; t2R

(4:2)

et de deÂfinir une mesure sur ces courbes.

DeÂsignons par P_R‡ la projection de g_t sur R_‡, c'est-aÁ-dire, pour les sous-ensemblesA⁰deg_t, on a

P_R‡A⁰ˆ fm2R_‡j 9jtel que (m;j)2A⁰g:

La reÂgularite de la fonctionj(m)ˆt va(m)

g (1 z) nous permet de deÂ- finir les ensembles mesurables deg_tet la mesurem_gsurg_tpar les relations suivantes :

i) A⁰g_test mesurable si et seulement siP_R‡A⁰est mesurable selon Lebesgue surR_‡,

ii) m_g(A⁰)ˆm_L;R‡(PR‡A⁰), ouÁm_L;R‡() est la mesure de Lebesgue surR‡. Comme les courbesg_t,t2R, sont paralleÁles (c'est-aÁ-dire, deÂfinies par la translation deg₀partdans la direction dej, on voit immeÂdiatement que la projectionP_R‡ et la mesurem_g() ne deÂpendent pas det2R.

La mesurem_g() eÂtant deÂfinie sur les courbesg_t, nous allons eÂclaircir les relations entrem_g() et la mesure surR‡R. Pour ce faire, on pose

t(m;j)ˆj‡va(m) g (1 z)

(c'est-aÁ-dire,t(m;j) estt2Rtel que (m;j)2g_t) et on consideÁre la famille Ades ensemblesAayant la forme

Aˆ f(m;j)2R_‡Rjm2[m₁;m₂[; t(m;j)2[t₁;t₂[;g (4:3)

avec 0m1m2<1, 1<t1t2<1. Si on deÂfinit la fonction

~

m:A!R_‡par la relation

~

m(A)ˆ(m₂ m₁)(t₂ t₁)

pour Aˆ f(m;j)2R‡Rjm2[m1;m2[; t(m;j)2[t1;t2[g, on constate que, de la meÃme manieÁre que la construction de la mesure de Lebesgue sur R_‡RaÁ partir de la famille des rectangles, le prolongement de~mdeÂfinit les ensembles mesurables selonm~deR_‡Ret la mesure sur eux, mesure que nous notons toujoursm, et que~ ~mcoõÈncide avec la mesure de Lebesgue m_L;R‡RsurR‡R; on a en effet

~

m(A)ˆm_L;R‡R(A) pourA2A.

Pour les mesures m_g et ~m ainsi deÂfinies et les mesures de Lebesgue m_L;R‡,m_L;R etm_L;R‡R respectivement surR‡,RetR‡R, on a les rela- tions suivantes.

LEMME 4.1. Soit A un ensemble mesurable (selon Lebesgue) de R_‡R. On pose

At ˆ fm2R‡j 9j2Rtel que(m;j)2g_t\Ag;

Amˆ ft2Rj 9j2Rtel que(m;j)2g_t\Ag:

Alors on a

(4:4) m_L;R‡R(A)ˆ~m(A)ˆ Z¹

1

m_g(At)dtˆ Z

g0

m_L;R(Am)m_g(dm)ˆ Z¹

0

m_L;R(Am)dm

(ici et dans la suite l'eÂleÂment d'inteÂgration par rapport aÁ la mesure de Lebesgue s'eÂcrit directement dm, dt etc... sans utiliser les notations m_L;R‡(dm),m_L;R(dt),m_L;R(dj) etc...).

LEMME4.2. Soits(m;j)2L¹(R‡R). Alors, pour presque toutt2R la restriction des(m;j)aÁg_t appartient aÁ L¹(g_t;m_g).

LEMME4.3. Soits(m;j)2L¹(R_‡R). Alors on a Z

R‡R

s(m;j)dmdjˆ Z

R‡R

s(m;j)d~mˆ

ˆ Z¹

1

Z

gt

s(m;j)m_g(dm)

dtˆ Z

g0

Z¹

1

s(m;j(m;t))dt

m_g(dm)ˆ

ˆ Z¹

0

Z¹

1

s(m;j)dj

dmˆ Z¹

1

Z¹

0

s(m;j)dm

dj;

ouÁj(m;t)ˆt va(m) g (1 z).

Pour la deÂmonstration des lemmes 4.1, 4.2 et 4.3, il suffit d'effectuer les modifications formelles neÂcessaires aux deÂmonstrations des theÂoreÁmes classiques sur le produit des mesures et de Fubini (voir par exemple [8]), en tenant compte de la deÂfinition formuleÂe ci-dessus des mesuresm_g et~m.

Maintenant on est en mesure de transformer l'eÂquation (4.1) en une eÂquation diffeÂrentielle ordinaire. Pour cela on pose

t(m;j;z)ˆj‡v a(m)

g (1 z); g^[0;m]_t ˆg_t\[0;m]R:

Cela eÂtant, on peut eÂcrire l'eÂquation (4.1) dans la forme

@

@zs(z)ˆFz(s(z)); s(z)ˆs(;;z);

(4:5) avec

Fz(s(z))ˆFz(s(z))(m;j)ˆ

ˆ ma(m) 2g

Z

g_t(m;j;z)^[0;m]

b(m m⁰;m⁰)s(m⁰;h⁰;z)s(m m⁰;h⁰⁰;z)m_g(dm⁰)‡

‡ma(m) g

Z

gt(m;j;z)

b(m;m⁰)s(m⁰;h⁰;z)s(m;j;z)m_g(dm⁰);

ouÁh⁰eth⁰⁰sont tels que

(m⁰;h⁰)2g_t(m;j;z); (m m⁰;h⁰⁰)2g_t(m;j;z):

L'eÂquation (4.5) doit eÃtre envisageÂe avec la condition (2.5), c'est-aÁ-dire s(1)ˆs(m;j;1)ˆs(m;j):

(4:6)

5. Existence et unicite de la solution dans le cas geÂneÂral

Pour deÂmontrer l'existence et l'unicite de la solution du probleÁme (4.5)- (4.6), nous avons besoin de preÂciser des conditions surs(m;j). Nous sup- posons que

s(;)2L¹(R‡R)\L¹(R‡R);

(5:1)

s(m;j)0 p.p. dansR_‡R;

(5:2)

supp (s)[ma;m_A]R;

(5:3)

ksk_L1(R‡R)< 1 M1(m_A ma); (5:4)

ouÁ

M₁ˆ sup

2mammA;mam⁰m ma

ma(m)

2g b(m m⁰;m⁰):

(5:5)

Ici ma et m_A (0<ma<m_A<1) sont les deux nombres que l'on a in- troduits dans le paragraphe 2. On a alors le reÂsultat suivant.

PROPOSITION5.1. Sis(m;j)satisfait aux conditions (5.1)-(5.4),alors l'eÂquation(4.5)avec la condition(4.6)admet une solutionset une seule dans la classe

s2C([0;1];L¹(R_‡R))\L¹(R_‡R[0;1]):

(5:6)

Pour deÂmontrer la proposition 5.1, commencËons par la proprieÂte de la convolution sur les courbesg_t.

LEMME5.1. Soient f et g deux fonctions appartenant aÁ L¹(g_t;m_g). On pose

(f g)(m)ˆ Z

gt

f(m m⁰)g(m⁰)m_g(dm⁰):

Alors on a f g2L¹(g_t;m_g)et

kfgk_L1(g_t;m_g) kfk_L1(g_t;m_g)kgk_L1(g_t;m_g):

Comme la mesurem_gne deÂpend pas det, le lemme 5.1 est veÂrifie de la meÃme manieÁre pour toust.

DEÂMONSTRATION. La mesurem_g eÂtant bien deÂfinie surg_t, le lemme se deÂmontre de la meÃme manieÁre (avec des modifications purement formel- les) que dans le cas des fonctions sommables par rapport aÁ la mesure de

Lebesgue (voir par exemple [2]). p

A diffeÂrence du casvˆ0 (proposition 3.1) ouÁ on a consideÂre la solution s(;z) comme fonction dezaÁ valeurs dansL¹(R_‡), pour la proposition 5.1 on a besoin de construire la solution s(;;z) comme fonction dezaÁ valeurs dansL¹(R‡R)\L¹(R‡R). Pour ce faire, il nous convient d'examiner directement l'approximation successive avec laquelle on construit la solu- tions(m;j;z).

Posons

s^[0](m;j;z)ˆs(m;j) (5:7)

et deÂfinissonss^[n],nˆ1;2; , par les relations

@

@zs^[n]ˆF_z(s^{[n 1]}); s^[n](m;j;1)ˆs(m;j);

(5:8)

ouÁF_z() est l'opeÂrateur deÂfini dans (4.5).

LEMME5.2. Quelque soit n2N,s^[n]est bien deÂfinie dans la classe s^[n](;;z)2L¹(R_‡R)\L¹(R_‡R); 0z1;

et on a

supp (s^[n](;;z))[m_a;m_A]R pour 0z1;

(5:9)

(5:10) ks^[n](;;z)k_L1(R‡R) ksk_L1(R‡R)

1 (M₁‡M₂)(m_A m_a)ksk_L1(R‡R)(1 z) pour (M1‡M2)(m_A ma)ksk_L1(R‡R) 1

(M₁‡M₂)(m_A m_a)ksk_L1(R‡R) <z1, ouÁ M₂ˆ sup

m;m⁰2R‡

ma(m)

g b(m;m⁰):

(5:11)

DEÂMONSTRATION. Remarquons d'abord que, si s^[n] (n1) est bien deÂfinie par les relations (5.8) et si supp (s^{[n 1]}(;;z))[ma;mA]R pour 0z1, alorss^[n] veÂrifie la condition (5.9). En effet, la condition (2.8) implique que la premieÁre inteÂgrale de l'opeÂrateurF_z() (voir (4.5)) s'annule pour mm_A. D'autre part, si m<m_a, alors sous le signe d'inteÂgration s^{[n 1]}(m m⁰;;z) et s^{[n 1]}(m⁰;;z) s'annule et donc l'in- teÂgrale s'annule. En outre par hypotheÁse s^{[n 1]} s'annule pour m<ma

et m>m_A, ce qui implique que meÃme la seconde inteÂgrale de l'opeÂ- rateur F_z() s'annule pour m<m_a et m>m_A. On en deÂduit (5.9) pour s^[n].

Examinons maintenant l'opeÂrateurF_z() applique aÁs^{[n 1]}(;;z). En supposant que le support des^{[n 1]}(;;z) est contenu dans [ma;mA]R et en rappelant (5.5) et (5.11), on a (avec la notation h⁰, h⁰⁰ comme dans (4.5))

ma(m) 2g

Z

g^[0;m]_t(m;j;z)

b(m m⁰;m⁰)s^{[n 1]}(m⁰;h⁰;z)s^{[n 1]}(m m⁰;h⁰⁰;z)m_g(dm⁰)

M1(mA ma)ks^{[n 1]}(;;z)k²_L1(g_t(m;j;z);m_g); ma(m)

g Z

gt(m;j;z)

b(m;m⁰)s^{[n 1]}(m⁰;h⁰;z)s^{[n 1]}(m;j;z)m_g(dm⁰)

M2(mA ma)ks^{[n 1]}(;;z)k²_L1(gt(m;j;z);mg); ouÁM1etM2sont les constantes deÂfinies dans (5.5) et (5.11) respectivement.

On en deÂduit que, pours^[n]deÂfinie par

s^[n](m;j;z)ˆs(m;j) Z¹

z

F_z⁰(s^{[n 1]}(;;z⁰))(m;j)dz⁰; on a

ks^[n](;;z)k_L1(R‡R) (5:12)

ksk_L1(R‡R)‡(M₁‡M₂)(m_A m_a) Z¹

z

ks^{[n 1]}(;;z⁰)k²_L1(R‡R)dz⁰:

En outre, en utilisant le lemme 5.1 et en tenant compte de la condition (2.8), on a

ma(m) 2g

Z

g^[0;m]t

b(m m⁰;m⁰)s^{[n 1]}(m⁰;h⁰;z)s^{[n 1]}(m m⁰;h⁰⁰;z)m_g(dm⁰)

L¹(gt;mg)‡

‡ ma(m)

g Z

gt

b(m;m⁰)s^{[n 1]}(m⁰;h⁰;z)s^{[n 1]}(m;h;z)m_g(dm⁰)

L¹(gt;mg) Cks^{[n 1]}(;;z)

gtk²_L1(gt;mg); ouÁCest une constante indeÂpendante dez(eth,h⁰eth⁰⁰sont tels que (m;h), (m⁰;h⁰), (m m⁰;h⁰⁰)2g_tcomme dans (4.5)). Comme on a en outre

ks^{[n 1]}(;;z)

g_tk_L1(g_t;m_g)(m_A m_a)ks^{[n 1]}(;;z)

g_tk_L1(g_t;m_g)

(mA ma)ks^{[n 1]}(;;z)k_L1(R‡R) (pour presque tout t2R);

aÁ l'aide du lemme 4.3 on en deÂduit que kFz(s^{[n 1]}(;;z))k_L1(R‡R) (5:13)

C⁰ks^{[n 1]}(;;z)k_L1(R‡R)ks^{[n 1]}(;;z)k_L1(R‡R)

avec une constanteC⁰indeÂpendante dez.

DeÂfinissons une suite de fonctions y_n(z), 0z1,n2N, par les re- lations reÂcursives

y₀(z)ˆ ksk_L1(R‡R) pour 0z1;

(5:14)

y_n(z)ˆ ksk_L1(R‡R)‡(M₁‡M₂)(m_A m_a) Z¹

z

y_{n 1}(z⁰)²dz⁰ (5:15)

pour 0z1; nˆ1;2; : On va deÂmontrer par l'induction matheÂmatique que, quelque soit n2N, la fonctions^[n]est bien deÂfinie et veÂrifie, outre la condition (5.9), les relations

ks^[n](;;z)k_L1(R‡R)yn(z);

(5:16)

0z1sup ks^[n](;;z)k_L1(R‡R)<1:

(5:17)

En effet, pour nˆ0, les relations (5.9), (5.16) et (5.17) reÂsultent im- meÂdiatement de la deÂfinition (5.7) et des hypotheÁses (5.1) et (5.3).

Supposons maintenant que s^{[n 1]} veÂrifie les relations (5.9), (5.16) et (5.17) (dans lesquelles on substitue naturellementn 1 aÁ la place den).

Nous avons deÂjaÁ remarque que, dans ces hypotheÁse,s^[n]veÂrifie la condition (5.9). D'autre part, comme on le constate facilement, l'ineÂgalite (5.16) reÂ- sulte de la deÂfinition dey_net de l'ineÂgalite (5.12). Enfin, l'ineÂgalite (5.13), jointe aÁ la deÂfinition (5.8) des^[n]et l'hypotheÁse surs^{[n 1]}, implique ques^[n]

veÂrifie eÂgalement (5.17).

On remarque que la suitefyn(z)g_n2N, 0z1, est une suite croissante et est l'approximation successive de la solutionY(z) du probleÁme de Cau- chy (pourz1)

Y⁰(z)ˆ (M1‡M2)(mA ma)Y(z)²; Y(1)ˆ ksk_L1(R‡R): La fonctionY(z) a la forme explicite

Y(z)ˆ ksk_L1(R‡R)

1 (M1‡M2)(m_A ma)ksk_L1(R‡R)(1 z) pour(M1‡M2)(mA ma)ksk_L1(R‡R) 1

(M1‡M2)(m_A ma)ksk_L1(R‡R) <z1, ce qui nous permet de deÂmontrer que (5.16) implique l'ineÂgalite (5.10). Le lemme est deÂmontreÂ. p

Maintenant nous allons deÂmontrer la proposition 5.1.

DEÂMONSTRATION DE LA PROPOSITION5.1. Nous allons deÂmontrer avant tout l'existence et l'unicite de la solution dans un intervalle [1 d;1] avec d>0 suffisament petit.

ConsideÂrons deux fonctions s1 et s2 appartenant aÁL¹(R‡R) et la diffeÂrenceFz(s1) Fz(s2). D'apreÁs le lemme 4.3 on a

kF_z(s₁) F_z(s₂)k_L1(R‡R)ˆ Z

R‡R

jF_z(s₁) F_z(s₂)jdmdjˆ (5:18)

ˆ Z¹

1

Z

g_t

jF_z(s₁) F_z(s₂)jm_g(dm)

dt:

Or, on a Z

g_t

jF_z(s₁) F_z(s₂)jm_g(dm)ˆ

ˆ Z

gt

ma(m) 2g

Z

g^[0;m]t

Q1(m;m⁰)m_g(dm⁰) ma(m) g

Z

gt

Q2(m;m⁰)m_g(dm⁰) m_g(dm);

ouÁ

Q1(m;m⁰)ˆb(m m⁰;m⁰)(s1(m⁰;h⁰)s1(m m⁰;h⁰⁰) s2(m⁰;h⁰)s2(m m⁰;h⁰⁰));

Q₂(m;m⁰)ˆb(m;m⁰)(s₁(m;h)s₁(m⁰;h⁰) s₂(m;h)s₂(m⁰;h⁰));

(m;h); (m⁰;h⁰); (m m⁰;h⁰⁰)2g_t (comme dans (4.5)):

Donc, en raisonnant de la meÃme manieÁre que dans (3.7) et en appliquant le lemme 5.1, on obtient

Z

gt

jFz(s1) Fz(s2)jm_g(dm) (5:19)

2Cbks1 s2k_L1(gt;mg) ks1k_L1(gt;mg)‡ ks2k_L1(gt;mg)

; ouÁCbest la constante deÂfinie dans (3.6). Encore une fois aÁ l'aide du lemme 4.3, on deÂduit de (5.18) et (5.19) que

kF_z(s₁) F_z(s₂)k_L1(R‡R) (5:20)

2C_bess sup

t2R ks₁k_L1(gt;mg)‡ ks₂k_L1(gt;mg)

ks₁ s₂k_L1(R‡R):

Maintenant on substitue s₁ˆs^[n] et s₂ˆs^{[n 1]} dans (5.20). Alors en vertu de (5.10) (voir aussi (5.9)) on a

kF_z(s^[n]) F_z(s^{[n 1]})k_L1(R‡R)L_s(z)ks^[n] s^{[n 1]}k_L1(R‡R); (5:21)

L_s(z)ˆ4C_b(m_A m_a) ksk_L1(R‡R)

1 (M₁‡M₂)(m_A m_a)ksk_L1(R‡R)(1 z): C'est-aÁ-dire, parmi les fonctionss^[n],n2N, l'opeÂrateurF_z() satisfait aÁ la condition de Lipschitz dans l'espace L¹(R_‡R) avec le coefficient de LipschitzLs(z). Donc, de la meÃme manieÁre que pour la deÂmonstration de l'existence et de l'unicite de la solution locale d'une eÂquation diffeÂrentielle ordinaire, on peut deÂmontrer qu'il existe und>0 tel ques^[n] converge, quandntend vers l'infini, vers une fonctionsdans la topologie de

C([1 d;1];L¹(R‡R))

et que la limitessatisfait, dans l'intervalle [1 d;1], aÁ l'eÂquation (4.5) et aÁ la condition (4.6). On voit aiseÂment que l'unicite de la solutionsdans l'in- tervalle [1 d;1] se deÂmontre d'une manieÁre analogue aÁ la deÂmonstration du theÂoreÁme classique.

Une fois obtenue la solution localesdans l'intervalle [1 d;1], exami- nons ses proprieÂteÂs. Avant tout on remarque que (5.9) pour tout n2N

implique que la limite de la suites^[n] jouit de la meÃme proprieÂteÂ, c'est-aÁ- dire on a

supp (s)[ma;m_A]R[1 d;1]:

(5:22)

D'autre part, pourvu que s0, la premieÁre inteÂgrale de l'opeÂrateur F_z() (voir (4.5)) est neÂgative (0), tandis que la seconde inteÂgrale de Fz() est de la forme

s(m;j;z)ma(m) g

Z

gt

b(m;m⁰)s(m⁰;h(m;m⁰;j;z);z)m_g(dm⁰):

Donc de manieÁre analogue aux cas des eÂquations diffeÂrentielles ordinaires, on peut deÂmontrer que

s0 p.p. dansR_‡R[1 d;1]:

(5:23)

Les relations (5.22) et (5.23) eÂtant deÂmontreÂes, on peut refaire l'esti- mation deks(;;z)k_L1(R‡R). Pour cela on consideÁre le deuxieÁme membre F_z(s(z)) de (4.5). En vertu de (5.23) on a

ma(m) g

Z

gt(m;j;z)

b(m;m⁰)s(m⁰;h⁰;z)s(m;j;z)m_g(dm⁰)0;

ce qui nous permet de deÂduire de (4.5) que

@

@zs(m;j;z) ma(m) 2g

Z

g^[0;m]_t(m;j;z)

b(m m⁰;m⁰)s(m⁰;h⁰;z)s(m m⁰;h⁰⁰;z)m_g(dm⁰);

ou

@

@zs(m;j;z) M₁

Z

g^[0;m]_t(m;j;z)

s(m⁰;h⁰;z)s(m m⁰;h⁰⁰;z)m_g(dm⁰) (5:24)

(icih⁰eth⁰⁰sont comme dans (4.5)). Donc, si on pose W(z)ˆ ks(;;z)k_L1(R‡R); alors, compte tenu de (5.22), il reÂsulte de (5.24) que

@

@zs(m;j;z) M₁(m_A m_a)W(z)² p.p. dansR_‡R;

(5:25)

ou

s(m;j;z)s(m;j)‡M1(m_A ma) Z¹

z

W(z⁰)²dz⁰ p.p. dansR‡R;

d'ouÁ

W(z) ksk_L1(R‡R)‡M₁(m_A m_a) Z¹

z

W(z⁰)²dz⁰: Cette ineÂgalite implique que

ks(;;z)k_L1(R‡R) ˆW(z)Y(z)~ (5:26)

pourz1 dans l'intervalle de l'existence des(;;z) et deY(z), ouÁ~ Y(z) est la~ solution de l'eÂquation inteÂgrale

Y~(z)ˆ ksk_L1(R‡R)‡M1(mA ma) Z¹

z

Y(z~ ⁰)²dz⁰;

ou, ce qui revient au meÃme, du probleÁme de Cauchy dY(z)~

dz ˆ M₁(m_A m_a)Y(z)~ ²; Y(1)~ ˆ ksk_L1(R‡R): On a d'ailleurs

Y~(z)ˆ ksk_L1(R‡R)

1 ksk_L1(R‡R)M1(mA ma)(1 z): (5:27)

On rappelle que la condition (5.4) implique que le deuxieÁme membre de (5.27) est bien deÂfini pour toutz2[0;1]. Donc l'ineÂgalite (5.26) est valable pour toutz2[0;1] tel ques(;;z) existe.

Rappelons que l'on a construit la solution locale s(;;z) dans un intervalle [1 d;1] et que l'on peut prolonger la solution s(;;z) pour tout l'intervalle ouÁ les conditions pour la construction de la solution locale continuent aÁ eÃtre veÂrifieÂes. Or, de (5.20) on deÂduit que, si ks(;;z)k_L1(R‡R) <1, alors on peut encore prolonger la solution. Par conseÂquent, en vertu de (5.26) et (5.27), la solution s(;;z) peut eÃtre prolongeÂe dans tout l'intervalle [0;1].

L'unicite de la solution reÂsulte de l'unicite de la solution locale, ce qui

acheÁve la deÂmonstration de la proposition. p

Remerciement. Les auteurs tiennent aÁ exprimer leur vive gratitude au Prof. M. Z. Aissaoui de l'Universite 8 Mai 1945 de Guelma pour les dis- cussions treÁs fructueuses qu'ils ont eues avec lui tout le long de la reÂali- sation du preÂsent travail.

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Manoscritto pervenuto in redazione il 22 Dicembre 2011.