N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
J OSEPH M ARTELLI
Solution analytique de la question 361
Nouvelles annales de mathématiques 1resérie, tome 16 (1857), p. 255-258
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SOLUTION ANALYTIQUE DE LA QUESTION 361
(voir page 234);
PAR M. LE Dr JOSEPH MARTELLI, DE MILAN.
On donne un angle trièdre de sommet S et deux points fixes A et B situés sur une droite passant par le sommet S. Par le point B, on mène un plan quelconque déter- minant un tétraèdre T de volume V. Soit P le produit des volumes des quatre tétraèdres que l'on obtient enjoi- gnant le point A aux quatre sommets du tétraèdre T. On a la relation
P
— = constante.
Si nous désignons par x,, yn zs, xa, ya, za, xb,yb, zb
les coordonnées du sommet S et des deux points fixes A et B, celles des points Bt, B2, B3, où le plan mené par B coupe les arêtes du trièdre seront de la forme
x2 = xs -H fx^2, yi=Xs + P*2, z* = zs -h ph,
i > h 5 h 5 ^2 5 A* ^ 4 ? J*s ? #3 ? 4 étant des quantités données} 1, ^ , v trois indéterminées ; donc
Tétraèdre ASB,B2 = i
D
Tétraèdre ASB, B3 = ~ o
Tétraèdre ASB2 B3 = ^ o
Tétraèdre AB, B2B3 = ^ o
i i i
i
i i i i
i i i i i
xs Xi x2
Xa
Xt Xi
Xa
2
X
x2
Xa
Xs zs
Xi z« Xi z2
Xa Za
Xs zs
Xz z3
Ta Za
Xs zs
Xz z3
Xa Za
Xi zi
r* z7 Xz zz
r« za
~ 6
== 6"
i
x — xs Va— Xs Za — Zs Ji{ X' i / j
h, k, h
Xa Xs ya Xs za Zs
hh * /
=
h *3 h
=
x y. y y z z ^
h{ X-, /, p
th h /2 >v fh *z h
V
*i
l X3 ƒ j
Or, puisque les points B, B*, B2, B3 sont dans un même plan, on a
jr2 z2
73 «3 JTb H
c'est-à-dire
h,
mais les points S, A, B étant en ligne droite, on a aussi
I I I
x» Xs Xi X*
Xb Xb
I Xs
1 Xa
i xb Zs
Za
Zb
donc la relation précédente devient
Ta— Xs Za — «5
h
M a thema t., t. XVI. (Juillet 1857.)
d'où l'on a
( *58 )
i Xs Xa Xs za ~~" '
Â2 k2
h, h
ht kx /, h, k2 l2 Xh — Xs
et, par suite,
Tétraèdre A B, B2 B3 = Nous aurons ainsi
= OAp
N , 2 3.
quantité indépendante de X, p, v. Donc ona en effet P—- = constante.
V3
Observation. On peut de même très-facilement dé- montrer pour un angle plan un théorème analogue aux précédents, c'est-à-dire : Dans un angle plan de sommet S, on donne deux points fixes A, B situés sur une droite passant par le sommet S. Par le point B, on mène une droite quelconque déterminant un triangle T d'aire E.
Soit P le produit des aires des trois triangles que l'on obtient enjoignant A aux trois sommets du triangle T.
On a la relation P
— = constante.
Note du Rédacteur. M. Mannheim fait observer que le théorème de M. Faure s'obtient en exprimant par le procédé des polaires réciproques que des tétraèdres de même base et de hauteurs égales sont équivalents, une sphère étant la surface directrice.
