TD CHAPITRE MK.4 : OSCILLATIONS LIBRES

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1 Partie Mécanique Chapitre MK.4. : TD Oscillations libres Sonia Najid – Lycée Blaise Pascal - Rouen ATS 2020-2021

TD C HAPITRE MK.4 : O SCILLATIONS LIBRES

▪ C

APACITES EXIGIBLES

C1. Expliquer l’existence d’oscillations autour d’une position d’équilibre stable.

C2.Établir et reconnaître l’équation différentielle qui caractérise un oscillateur harmonique. La résoudre compte tenu des conditions initiales.

C3.Caractériser le mouvement d’un oscillateur harmonique non amorti en utilisant les notions d’amplitude, de phase, de période, de fréquence, de pulsation.

C4. Pour un oscillateur harmonique non amorti, prévoir à l’aide d’un graphe d’énergie potentielle l’amplitude des oscillations et la vitesse maximale.

C5. Interpréter un portrait de phase fourni ou relevé expérimentalement.

C6.Etablir l’équation différentielle d’un oscillateur harmonique amorti, la mettre sous forme canonique. Relier facteur de qualité et facteur d’amortissement.

C7.Identifier les différents régimes d’un oscillateur harmonique amorti, exploiter les courbes associées, commenter le cas où le facteur de qualité est grand devant 1.

▪ C

ONSEILS A SUIVRE

;

ERREURS A EVITER

1. Attention à bien distinguer la longueur l du ressort, sa longueur à vide l0, sa longueur à l’équilibre leq, son allongement algébrique l - l0 (souvent noté x, mais pas toujours !), l’écart à sa position d’équilibre (lui aussi souvent noté x mais as toujours !)

2. Il est souvent commode de choisir l’origine du repérage d’un point matériel au niveau de sa position d’équilibre stable (à moins que l’énoncé n’impose autre chose).

3. Commencer tout problème de mécanique avec un schéma suffisamment grand et clair.

4. L’équation différentielle de l’oscillateur harmonique doit être reconnue sans hésitation (le signe + est impératif, avec un coefficient 𝜔₀² > 0) : ^𝑑²^𝑋

𝑑𝑡²+ 𝜔₀²𝑋 = ⋯ (𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑒)

5. Les équations différentielles caractéristiques des oscillateurs harmoniques amortis et non amortis sont des équations différentielles du second ordre, qui impliquent donc la détermination de deux constantes d’intégration à l’aide de deux conditions initiales (généralement la position et la vitesse initiales).

6. Résolution d’une équation différentielle d’ordre 2 linéaire, à coefficients constants, avec second membre constant :

𝑑²𝑋 𝑑𝑡² +𝜔₀

𝑄 𝑑𝑋

𝑑𝑡 + 𝜔₀²𝑋 = 𝜔₀²𝑋_∞

- la solution de l’équation sans second membre introduit 2 constantes d’intégration, elle tend vers 0 quand 𝑡 ≫ 𝜏 , et elle correspond au régime transitoire.

- la solution particulière de l’équation avec second membre est constante, elle correspond au régime permanent ;

- la solution générale de l’équation avec second membre est la somme de ces deux termes ;

- la constante d’intégration ne se détermine qu’à la fin, grâce à 2 conditions initiales : 𝑋(0) et 𝑋̇(0) connues.

(2)

7. L’équation différentielle obtenue doit avoir des coefficients tous de même signe dans le premier membre (soit des signes + sous forme canonique) sous peine de conduire à une solution divergente (tendant vers l’infini).

8. Il faut parfaitement connaître les différentes formes des solutions générales à l’équation homogène d’une équation différentielle du second ordre. Il ne faut en particulier pas oublier la variable de temps dans les expressions !

9. Attention à ne pas confondre pseudo-pulsation et pulsation propre, pseudo-période 𝑇 et période propre 𝑇₀. Il faut en particulier avoir en tête que 𝑇 ≥ 𝑇₀ ; elles deviennent quasiment égales si 𝑄 dépasse quelques unités).

10.Lors de l’exploitation d’oscillations en régime pseudo-périodique, il faut se rappeler que les grandeurs accessibles graphiquement sont la pseudo-période 𝑇 et le décrément logarithmique 𝛿, dont les expressions théoriques dépendent de la pulsation propre 0 (ou période propre T0) et du coefficient d’amortissement

 (ou facteur de qualité 𝑄), qui sont généralement les grandeurs recherchées et pourront donc être déterminées à partir de 𝑇 et 𝛿.

11. La trajectoire de phase d’un oscillateur harmonique non amorti est une ellipse tandis que la trajectoire de phase d’un oscillateur harmonique amorti converge vers la position d’équilibre.

12. Garder en tête que si le facteur de qualité augmente, l’oscillateur tend vers l’oscillateur non amorti.

13. Pour un facteur de qualité qui dépasse quelques unités, le nombre d’oscillations observables donne un ordre de grandeur du facteur de qualité.

Désigne un exercice classique, qu’il est nécessaire de savoir refaire de façon rapide et rigoureuse

Difficulté des techniques et outils mathématiques nécessaires Difficulté d’analyse, de compréhension, prise d’initiatives

▪ A S

AVOIR

F

AIRE

Application 1 : Etude du système masse-ressort horizontal | 1 | 2 [C2]

Considérons une masse 𝑚 supposée ponctuelle reliée à un ressort horizontal de constante de raideur 𝑘 et de longueur à vide 𝐿₀, la masse pouvant se déplacer horizontalement sans frottements (par exemple à l’aide d’un système d’air pulsé venant compenser son poids).

1) Donner en fonction des données (𝑘, 𝐿₀, 𝑚) et de 𝑥(𝑡) l’énergie cinétique, l’énergie potentielle et l’énergie mécanique 𝐸_𝑚du système.

2) Appliquer le théorème de l’énergie mécanique et en déduire l’équation différentielle du mouvement.

Cette équation comporte un second membre, pourquoi ?

3) Déterminer, grâce à l’équation obtenue, la position d’équilibre 𝑥_é𝑞 de la masse 𝑀.

4) À l’aide d’un changement de variable 𝑋 = 𝑥 − 𝑥_é𝑞, établir l’équation canonique de l’oscillateur harmonique (coefficient 1 devant le terme d’ordre le plus élevé).

5) Déterminer la dimension du coefficient (qu’on notera 𝜔₀) devant le terme en 𝑋, et justifier l’appellation de pulsation propre de l’oscillateur.

6) Résoudre l’équation différentielle pour les conditions initiales suivantes :

a) Vitesse initiale nulle, élongation initiale 𝑥0 b) Vitesse initiale 𝑣0, élongation initiale nulle c) Cas général : vitesse initiale 𝑣0, élongation initiale 𝑥0

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Application 2 : Etude du pendule simple | 1 | 2 [C2]

Un point matériel M de masse 𝑚 est suspendu à une tige rigide de masse supposée négligeable et de longueur ℓ.

1) Etablir l’équation différentielle du mouvement du pendule simple à l’aide du théorème de la puissance mécanique.

2) Quelle est l’influence sur l’équation du choix de l’origine de l’énergie potentielle ?

3) Déterminer à l’aide de l’équation différentielle du mouvement les positions d’équilibre du pendule.

4) On limite la suite de l’étude au voisinage de la position d’équilibre stable. Cf. document de cours : au voisinage de 𝜃 = 0, on peut assimiler sin 𝜃 et 𝜃 (attention, 𝜃 en radians !) : on prendra donc dans la suite sin 𝜃 ≈ 𝜃. Simplifier l’équation différentielle au voisinage de l’équilibre ; commenter.

5) Définir la grandeur caractéristique de cet oscillateur

Application 3 : oscillations harmoniques autour des positions d’équilibre stable 2| 3 [C1]

Le système est de nouveau supposé conservatif, évoluant au voisinage d’une position d’équilibre stable en 0.

L’énergie potentielle présente donc un minimum en 𝑥 = 0, formant un puits de potentiel autour de 𝑥 = 0.

On pose 𝑘 = 2𝛼 = 2 (^𝑑

2𝐸𝑝 𝑑𝑥²)

𝑥=0

1) Etablir l’expression de l’énergie mécanique du système, et l’exprimer en fonction de 𝑚 (masse du système), 𝑥, 𝑥̇ et 𝑘 = 2𝛼 = 2 (^𝑑

2𝐸𝑝 𝑑𝑥²)

𝑥=0.

2) Appliquer le théorème de la puissance mécanique, et en déduire l’équation différentielle du mouvement.

3) La mettre sous forme canonique en ramenant à 1 le coefficient du terme de plus haut degré, et déterminer la dimension du coefficient intervenant alors. Conclure.

Application 4 : caractéristiques d’un système masse -ressort

1 |

¹

^[C3]

1) Un ressort s’allonge de 4 cm lorsqu’on lui suspend une masse de 15 g ; quelle est sa constante de raideur (unité ?) quelle est la période des oscillations du système placé horizontalement ? (on suppose les frottements négligeables).

2) On étudie les oscillations d’un système masse – ressort horizontal. La masse 𝑚 = 100 g effectue 10 oscillations en  = 4,4 s, quelle est la constante de raideur du ressort ?

Application 5 : Energies d’un oscillateur harmonique non amorti mécanique 1 | 3

Nous avons établi qu’au voisinage de toute position d’équilibre stable, un système mécanique de masse 𝑚 se comportait comme un oscillateur harmonique non amorti. Nous nous placerons dans le cas où cette position d’équilibre stable est 𝑥 = 0, et nous choisirons l’origine des potentiels telle que 𝐸_{𝑝 𝑚𝑖𝑛} = 𝐸_𝑝(0) = 0. L’énergie potentielle peut alors se mettre sous la forme 𝐸_𝑝(𝑥) =¹

2𝑘𝑥², avec 𝑘 une constante positive, et le mouvement est de la forme 𝑥(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔₀𝑡) + 𝐵 sin(𝜔₀𝑡) avec 𝜔₀= √^𝑘

𝑚 pulsation propre du mouvement. La position initiale est 𝑥(𝑡 = 0) = 𝑋₀ et la vitesse initiale est nulle.

1) Déterminer les constantes A et B.

2) Etablir les expressions de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle au cours du temps. Commenter (amplitudes, périodes)

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3) Déterminer les valeurs moyennes au cours du temps des énergies cinétiques et potentielles ; pour un signal 𝑠(𝑡) de période 𝑇, la valeur moyenne 〈𝑠(𝑡)〉 est 〈𝑠(𝑡)〉 = ∫_𝑡^𝑡+𝑇𝑠(𝑡)𝑑𝑡

4) Etablir l’expression de l’énergie mécanique. Commenter.

Application 6 : autour des énergies cinétique, potentielle et mécanique 2 | 2

Un système bloc-ressort effectue un mouvement harmonique simple à la fréquence f.

Combien de fois par cycle les conditions suivantes se produisent-elles ?

a) la vitesse est maximale b) l'accélération est nulle c) l'énergie cinétique est égale à 50% de l'énergie potentielle d) l'énergie potentielle est égale à l'énergie mécanique.

Application 7 : Etude du circuit LC 2 | 2 [C2]

1) Pour un circuit LC série en régime libre, établir l’équation différentielle caractéristique de l’évolution temporelle de la tension 𝑢(𝑡) aux bornes de 𝐶, la mettre sous forme canonique et proposer une analogie électromécanique associée.

2) Exprimer l’énergie magnétique ℰ_𝐿 =¹

2𝐿𝑖² et l’énergie électrostatique ℰ_𝐶 =¹

2𝐶𝑢² et compléter l’analoge

électromécanique. Quelles conclusions peut-on en tirer sur les caractéristiques énergétiques du circuit LC série ?

Application 8 : Portrait de phase 2 | 2 [C5]

Considérons un oscillateur harmonique d’équation horaire 𝑥(𝑡) =𝑋_𝑚cos(𝜔₀𝑡 + 𝜑) ; 𝑋_𝑚 et 𝜑 sont supposées déterminées en fonction des conditions initiales.

Complément mathématique :

Si 𝑎 et 𝑏 sont deux constantes telles que 𝑎 > 𝑏 > 0, alors l’équation ^𝑥²

𝑎²+^𝑦²

𝑏²= 1 est celle d’une ellipse centrée sur 𝑂 de demi grand-axe 𝑎 et de demi petit-axe 𝑏.

1) Etablir l’expression de la vitesse et en déduire le rectangle du plan de phase dans lequel s’inscrit la trajectoire de phase étudiée.

2) Etablir l’expression de la trajectoire de phase (sous la forme 𝑥̇ = 𝑓(𝑥))le portrait de phase d’un oscillateur harmonique non amorti et la représenter dans le plan de phase.

3) Etablir l’expression de l’énergie mécanique, et indiquer comment les trajectoires de phase évoluent lorsque l’énergie mécanique augmente.

4) À l’instant initial, l’oscillateur est écarté de sa position d’équilibre stable de 𝑥0 (avec 𝑥0 > 0) et lâché sans vitesse initiale (𝑥̇₀= 0). Placer le point 𝑀₀₁ correspondant dans le plan de phase. Quel est le signe de 𝑥̇

juste après qu’on lâche l’oscillateur ? En déduire le sens de parcours (qui peut être indiqué par une flèche).

5) À l’instant initial, l’oscillateur est à sa position d’équilibre stable (𝑥₀= 0) et on lui donne une vitesse initiale 𝑥̇₀ (avec 𝑥̇₀> 0). Placer le point 𝑀₀₂ correspondant. Quel est le signe de 𝑥 lorsque l’oscillateur quitte sa position d’équilibre ? En déduire le sens de parcours.

6) Si un point représentatif d’une trajectoire de phase (quelconque) se trouve au-dessus de l’horizontale, que pouvez-vous affirmer ? En déduire le sens de parcours de la trajectoire.

7) On se place à présent dans le plan de phase _𝜔^𝑥̇

0= 𝑓(𝑥)) ; que devient l’équation d’une trajectoire de phase quelconque ? quelle est alors son allure ?

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Application 9 : Etude du système masse-ressort horizontal amorti | 1 | 3 [C6]

Nous reprenons l’étude du système de l’application 3, en tenant cette fois-ci compte de la présence de frottements dont la puissance est : 𝑃_𝑛𝑐= −ℎ𝑣², avec 𝑣 vitesse du point matériel et ℎ coefficient positif indépendant de cette vitesse.

1) Exprimer l’énergie mécanique en fonction de 𝑚 (masse du système), 𝑥, 𝑥̇ et 𝑘.

2) Appliquer le théorème de la puissance mécanique et en déduire l’équation différentielle liant 𝑥 et 𝑡.

3) La mettre sous forme canonique en ramenant à 1 le coefficient devant la dérivée d’ordre le plus élevé. Il apparait alors deux coefficients constants devant les deux autres termes ; déterminer la dimension de chacun d’entre eux.

4) L’équation différentielle obtenue peut se mettre sous l’une de ses formes canoniques : 𝑥̈ + ^𝜔⁰

𝑄 𝑥̇ + 𝜔₀² 𝑥 = 0. Quelles sont les dimensions de 𝜔₀, appelée pulsation propre, et 𝑄, appelé facteur de qualité ?

5) Pour chacun des trois régimes possibles :

a) Donner son nom ainsi que les différentes conditions associées.

b) Donner l’expression du discriminant et du discriminant réduit associés à l’équation caractéristique, ainsi que la forme de la solution générale à l’équation homogène.

c) Etablir l’expression complète de 𝑥(𝑡).

6) Lorsque le facteur de qualité 𝑄 est très élevé (𝑄 >> 1) : a) quelle approximation peut-on faire sur la pseudo-période ? b) Nombre d’oscillations visibles

7) Dans le cas du régime pseudo-périodique, établir la relation entre le décrément logarithmique et la pseudo-période après les avoir définis.

Application 10 : Circuit RLC série en régime libre 1 | 2 [C6]

On étudie un circuit RLC série en régime libre : à l’instant initial 𝑡 = 0^-, le circuit est ouvert et le condensateur chargé sous une tension 𝑢(0^-) = 𝐸, à l’instant 𝑡 = 0⁺, le circuit est fermé.

1. Etablir l’équation différentielle régissant la tension 𝑢 aux bornes de 𝐶. Définir et exprimer en fonction de 𝑅, 𝐿 et 𝐶 les grandeurs caractéristiques suivantes : coefficient d’amortissement, facteur de qualité, pulsation propre.

2. Pour des valeurs de 𝐿 et 𝐶 fixées, déterminer les plages de valeur de la résistance 𝑅 correspondant aux 3 régimes définis.

3. Compléter l’analogie électromécanique.

Application 11 : Analyse d’un tracé ; régime pseudo-périodique

| 1 | 2 [C7]

On réalise le relevé expérimental ci-contre.

Mesurer le décrément logarithmique pour chaque pseudo-période et évaluer sa valeur moyenne (on peut alors vérifier qu’on a bien affaire à un

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amortissement exponentiel, en constatant qu’il est constant aux erreurs de lecture près).

Déterminer la période propre, la fréquence propre, le facteur de qualité et le temps de relaxation de cet oscillateur amorti.

Application 12 : Exploitation d’un portrait de phase | 2 | 2 [C5]

On considère (ci-dessous) le portrait de phase d'un oscillateur harmonique amorti composé d'une masse 𝑚 = 500 𝑔, soumise à une force de rappel élastique (ressort de raideur 𝑘) et à une force de frottement fluide dont la puissance est 𝑃_𝑓= −𝜆𝑣², 𝑣 étant la vitesse de la masse 𝑚.

On note 𝑥 l'écart à la position d'équilibre ; l'étude est réalisée dans le référentiel galiléen du laboratoire.

1) Déterminer la nature du régime de l'oscillateur.

2) Déterminer, par lecture graphique :

• La valeur initiale de la position 𝑥₀.

• La valeur finale de la position 𝑥_∞.

• La pseudo-période 𝑇.

• Le décrément logarithmique 𝛿.

3) En déduire la pulsation propre 𝜔₀, le facteur de qualité 𝑄 de l'oscillateur, la raideur 𝑘 du ressort et le coefficient de frottement fluide 𝜆.

▪ V

RAI OU FAUX

1) La longueur à l’équilibre d’un ressort est toujours égale à sa longueur à vide.

2) Soient deux ressorts de même longueur, c’est le ressort de constante la plus faible qui est le plus facile à comprimer.

3) La pulsation propre d’un système masse-ressort est indépendant des conditions initiales et s’écrit √^𝑘

𝑚. 4) L’équation différentielle d’un oscillateur harmonique non amorti s’écrit ^𝑑²_𝑑𝑡^𝑥(𝑡)₂ +K 𝑥(𝑡) = 0.

5) La solution générale de l’équation différentielle vérifiée par un oscillateur harmonique peut s’écrire sous la forme 𝑥(𝑡) = 𝐴. 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) ; A et  dépendent des caractéristiques du système et des conditions initiales.

6) Il suffit de connaître une condition initiale pour résoudre entièrement l’équation du mouvement d’un oscillateur harmonique.

7) Pour les oscillations d’un ressort horizontal, si l’allongement initial 𝑥(0) = 𝑥₀ et la vitesse initiale 𝑣(0) = 0, avec 𝑥₀ < 0, alors l’allongement du ressort s’écrit sous la forme 𝑥(𝑡) = 𝑥₀. 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡).

8) La valeur absolue de la vitesse d’un oscillateur harmonique non amorti mécanique est maximale quand celui-ci passe par une position d’équilibre.

9) Lorsque l’amplitude d’un oscillateur harmonique non amorti mécanique est doublée, toutes les grandeurs suivantes sont doublées : fréquence, pulsation angulaire, constante de phase, vitesse maximale,

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accélération maximale, énergie mécanique.

10) L’énergie mécanique d’un oscillateur harmonique non amorti ne dépend pas du temps car ni l’énergie potentielle ni l’énergie cinétique n’en dépendent.

11) Le facteur de qualité d’un oscillateur harmonique amorti augmente lorsque les phénomènes dissipatifs diminuent.

12) La solution de l’équation sans second membre d’un système du second ordre a toujours la même forme.

13) La solution particulière d’un système du second ordre est aussi la solution du régime permanent.

14) Lorsque 𝑄 > ½, le régime est apériodique.

15) Si le discriminant de l’équation caractéristique d’un système du second ordre est négatif, alors le régime est apériodique.

16) L’oscillateur harmonique amorti en régime pseudo-périodique oscille avec une pseudo-période 𝑇 = ^2𝜋

𝜔₀, avec 𝜔₀ la pulsation propre de l’oscillateur harmonique non amorti.

17) En régime transitoire pseudo-périodique, les solutions de l’équation homogène sont de la forme : 𝑠(𝑡) = 𝐴𝑒^{−𝑡 𝜏}^⁄ 𝑐𝑜𝑠(𝜔₀𝑡 + 𝜑).

18) Plus le facteur de qualité est grand, et plus la décroissance de l’amplitude des oscillations est rapide.

19) L’énergie totale d’un oscillateur harmonique est toujours constante.

20) Les trajectoires de phase d’un oscillateur harmonique sont toujours fermées.

21) La trajectoire de phase d’un oscillateur harmonique en régime pseudo-périodique permet d’évaluer son facteur de qualité.

▪ L

ES INCONTOURNABLES

Oscillateurs harmoniques non amortis

I) Quelle heure est-il ?

1 | 1

[C2 ; C3]

1) Oscillateur à quartz

La tension électrique 𝑣(𝑡) aux bornes d’un oscillateur à quartz (tel qu’on en trouve dans les montres) vérifie l’équation différentielle :

𝑑²𝑣

𝑑𝑡²+ 𝐴 𝑣(𝑡) = 0 avec 𝐴 = 4,239. 10¹⁰ 𝑈𝑆𝐼.

Quelle est l’unité de 𝐴 ? Quelle est la fréquence propre de cet oscillateur ? 2) Horloge franc-comtoise

Les horloges anciennes donnent l'heure grâce à un balancier qui oscille régulièrement et qui bat la seconde, c'est à dire qu'il fait un aller et un retour en 2 𝑠 (une oscillation). Le balancier d'une horloge franc-comtoise se comporte comme un oscillateur harmonique avec

𝑑²𝜃 𝑑𝑡² +𝑔

𝐿 𝜃(𝑡) = 0

avec 𝜃 l'angle que fait le balancier avec la verticale descendante, 𝑔 l'accélération de la pesanteur et 𝐿 la longueur du balancier.

a) Quelle est la période de cet oscillateur ?

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b) Quelle doit être la longueur du balancier pour que celui-ci batte la seconde ?

II) Détermination expérimentale des caractéristiques du mouvement

| 1 | 1

(sans calculatrice) On donne 𝜋²≈ 10.

Un objet attaché à un ressort vibre avec un mouvement harmonique simple décrit par la figure ci-contre.

Déterminer pour ce mouvement : (a) l'amplitude, (b) la période,

(c) la pulsation, (d) la vitesse maximale, (e) l’accélération maximale,

(f) une équation pour la position 𝑥(𝑡) en fonction du temps.

III) Ressort vertical | 2 | 2 [C2 ; C6]

On considère un ressort de masse négligeable, de raideur 𝑘 et de longueur au repos 𝐿₀, accroché à un point fixe 𝐴. Ce ressort pend verticalement et on fixe sur son extrémité libre un point matériel 𝑀 de masse 𝑚.

L’accélération de la pesanteur est notée 𝑔 ; le référentiel d’étude est supposé galiléen.

1) Exprimer l’énergie potentielle totale du système {masse + ressort}.

2) Exprimer l’énergie mécanique du système.

3) En supposant que les frottements sont négligeables, établir l’équation différentielle du mouvement.

4) Déduire de cette équation la position de 𝑀 à l’équilibre et la longueur 𝐿_é𝑞 du ressort à l’équilibre.

Si l’origine n’est pas imposée, il est souvent judicieux de fixer l’origine sur la position d’équilibre.

Si une autre origine est naturelle ou est imposée, la résolution de l’équation différentielle peut-être facilitée par un changement de variable du type 𝑿 = 𝒙 − 𝒙_é𝒒.

5) Déterminer l’évolution temporelle 𝒛(𝒕) de la position de la masse si on a lâché le ressort depuis sa position d’équilibre avec une vitesse initiale vo ; exprimer la période du mouvement.

6) Reprendre cette étude à l’aide du repérage de votre choix en considérant l’existence d’une force de frottements fluides telle que la puissance associée soit 𝑷𝒏𝒄= −𝒉𝒗^𝟐, avec 𝒗 vitesse du point matériel et 𝒉 coefficient positif indépendant de cette vitesse.

 http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Oscillateurs/ressort.html

IV) Oscillations dans un cristal 2 [C2]

Dans un cristal, un atome de masse 1. 10⁻²⁶ 𝑘𝑔 effectue des oscillations harmoniques autour de sa position d'équilibre. La fréquence est égale à 𝑓₀= 1. 10¹² 𝐻𝑧 et l'amplitude à 𝑋_𝑚 = 0,05 𝑛𝑚. Déterminer :

1) Le module de la vitesse maximale.

2) Son énergie mécanique.

3) Le module de son accélération maximale

4) La constante de rappel du ressort modélisant les oscillations.

V) Lecture d’un diagramme de phase 1 [C5]

On donne ci-dessous deux trajectoires de phase :

(9)

Trajectoire de phase d’un oscillateur horizontal, de masse 𝑚 = 50 𝑔, dont la position est repérée sur un axe 𝑥’x.

Trajectoire de phase d’un pendule simple, de longueur 𝐿 = 20 𝑐𝑚, de masse 𝑚 = 50 𝑔, repéré par un angle 𝜃.

L’accélération de la pesanteur est 𝑔 = 9,8 𝑚. 𝑠⁻². À partir de ces trajectoires de phase, déterminer : 1) La position d’équilibre de chacun des oscillateurs ainsi que la stabilité de ces positions

2) La vitesse maximale du pendule et l’énergie mécanique de chacun des oscillateurs 3) La raideur du ressort équivalent à l’oscillateur horizontal

Oscillateurs harmoniques amortis

VI) Analyse d’un régime transitoire à partir d’un enregistrement temporel

2 | 1

[C7]

On s’intéresse à un système masse-ressort horizontal immergé dans un fluide, formant un oscillateur harmonique amorti.

L’enregistrement de sa position repérée à partir de sa position d’équilibre est donnée ci-contre.

1) Déterminer les conditions initiales avec lesquelles on a lâché la masse.

2) Donner les caractéristiques du régime permanent atteint.

3) Définir le type de régime observé en justifiant la réponse.

4) Donner l’allure du portrait de phase correspondant.

VII) Oscillateur amorti par frottement visqueux

| 1 | 2

[C6]

L'une des extrémités d'un ressort, de constante de raideur 𝑘 et de longueur à vide ℓ₀, est accrochée à support vertical fixe.

On vient attacher à l'autre extrémité une boule homogène de masse 𝑚.

Le tout est immergé dans l'eau et la boule est choisie de manière à ce que la poussée d'Archimède compense exactement son poids. Le poids du ressort et les forces de frottements sur celui-ci sont négligées.

1) La boule est écartée vers la droite d'une distance 𝒃 depuis sa position d'équilibre. Elle est ensuite lâchée sans vitesse initiale. Déterminer l'équation différentielle régissant l'évolution du mouvement de la boule en prenant en compte les frottements de l'eau conduisant à une puissance des interactions non conservatives −𝝀𝒗^𝟐.

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2) On se place dans le cas où 𝑚𝑘 > (^𝜆

2)²; quelle est la nature du mouvement de la boule ? Résoudre l'équation différentielle.

3) Représenter les allures de l'évolution temporelle de la position de la boule et du portrait de phase associé.

4) Question facultative : À quelle condition peut-on espérer que la poussée d'Archimède compense exactement le poids de la boule ?

VIII) Suspension de voiture

| 2 | 2

[C6 ; C7]

On modélise l’amortisseur d’une roue de voiture à l’aide d’un ressort de raideur 𝑘 et de longueur à vide ℓ₀, en parallèle avec un amortisseur de coefficient de frottement fluide h.

Une masse ^𝑚₄ est posée sur ce dispositif et peut se déplacer verticalement sur l’axe (𝑂𝑧) lié au référentiel terrestre ℛ_𝑇 supposé galiléen.

On donne m = 1 200 kg.

1) Lors du changement d’une roue, on soulève la masse ^𝑚₄ d’une hauteur 𝑑 = 25 cm, ce qui correspond au moment où la roue (de masse négligeable) ne touche plus le sol : la longueur du ressort vaut alors 40 cm, et on peut alors considérer qu’aucune force ne s’exerce plus sur le ressort (alors qu’à l’équilibre, le ressort est comprimé par le poids de la roue). Montrer que la constante de raideur du ressort vaut 𝑘 =^𝑚𝑔

4𝑑. 2) Déterminer et calculer ℎ afin que le dispositif fonctionne en régime critique (la roue étant sur le sol à l’arrêt

et la masse ^𝑚

4 en mouvement vertical).

3) On enfonce la masse ^𝑚

4 d’une hauteur 𝑑’ = 5 cm et on lâche le système à 𝑡 = 0 sans vitesse initiale.

Déterminer l’évolution de l’altitude 𝑧 de la masse ^𝑚

4.

4) On charge maintenant l’amortisseur au maximum : la masse totale du véhicule vaut 𝑚 = 1 700 kg.

Déterminer les paramètres 𝑄 et 0 de l’amortisseur.

5) Tracer l’allure de sa réponse lorsqu’on enfonce de 𝑥0 = 5 cm la masse ^𝑚₄ et qu’on lâche sans vitesse initiale.

Conclure.

IX) Portraits de phase

| 2

[C5]

Attribuer à chaque portrait de phase le bon facteur de qualité parmi les valeurs suivantes : 0,1 ; 0,2 ; 0,5 ; 1 ; 5 ; 50.

(11)

▪ E

XERCICES COMPLEMENTAIRES

X) Homogénéité et caractère harmonique

1 | 1

[C2]

Vérifier l’homogénéité des équations ou équations différentielles suivantes (en proposant une correction le cas échéant), et pour chacune d’entre elles indiquer s’il s’agit ou pas d’une équation caractéristique d’un oscillateur harmonique simple.

a) ^𝑑²^𝑥(𝑡)

𝑑𝑡² - ^𝑘

𝑚𝑥(𝑡) = 0 avec 𝑥 déplacement, 𝑚 masse et 𝑘 constante de raideur d’un ressort.

b) ^𝑑²_𝑑𝑡^𝑥(𝑡)₂ + _𝑚^𝛼^{𝑑𝑥(𝑡)}_𝑑𝑡 + ^𝑚_𝑘 𝑥(𝑡) = 0, avec 𝑥 déplacement, 𝑚 masse et 𝑘 constante de raideur d’un ressort,



coefficient de frottement tel que la force de frottement est 𝐹 = − 𝑣, avec 𝑣 vitesse.

c) ^𝑑²^𝜃(𝑡)

𝑑𝑡² +^𝐿

𝑔𝜃(𝑡) = 0 avec  angle de rotation et 𝐿 longueur d’un pendule, et 𝑔 accélération de la

pesanteur.

d) ^𝑑²^𝑥(𝑡)

𝑑𝑡² + ^𝑚

𝑘₁+𝑘₂𝑥(𝑡) = 0 avec 𝑥 déplacement, 𝑚 masse et 𝑘i constantes de raideur de ressorts.

e) 𝑣(𝑡) = ^𝐿

𝜔 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝑡) avec 𝑣 vitesse, 𝑓 fréquence,  fréquence angulaire et 𝐿 longueur.

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XI) Attention aux nids-de-poule

3 | 1

[C3]

Une voiture ayant une masse de 1,30 𝑡 est assemblée de façon telle que son châssis s’appuie sur 4 ressorts de suspension. La constante de raideur de chaque ressort est 2,00. 10⁴ 𝑘𝑔. 𝑠⁻².

Deux personnes assises dans la voiture ont une masse totale de 160 𝑘𝑔.

Déterminer la fréquence de vibration de la voiture après son passage sur un nid-de-poule.

XII) Vibration d’un diapason

2 | 1

[C3]

Un diapason vibre à la fréquence du La4 soit f = 440 Hz.

On mesure sur une photo l’amplitude du mouvement de l’extrémité des branches : 𝐴 = 0,5 𝑚𝑚.

Quelle est la vitesse maximale de l’extrémité du diapason ? quelle est l’accélération de ce point ?

XIII) Jeu de Jokari

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Le jokari est constitué d’une balle en caoutchouc M, de masse 𝑚 = 50 g, attachée à un socle par un élastique.

On frappe la balle à l’instant initial avec une raquette en bois et on considère dans cet exercice des déplacements uniquement verticaux. La balle M est supposée ponctuelle ; elle est repérée par sa cote 𝑧.

La masse de l’élastique est négligée et nous supposerons qu’il peut être modélisé par un ressort de raideur 𝑘 = 0,80 N.m^-1 et de longueur à vide 𝑙₀= 3,0 𝑚 lorsqu’il est étiré, c’est-à-dire lorsque sa longueur est supérieure à 𝑙₀. Dans le cas contraire, il n’exerce aucune force sur la balle. Les frottements sont négligés et nous prenons comme accélération de la pesanteur 𝑔 = 9,8 m.s^-2.

Trois trajectoires de phase ont été tracées pour trois vitesses initiales différentes de la balle.

1) A l’aide du portrait de phase, déterminer dans chaque cas les conditions initiales et la hauteur maximale atteinte. Quel est le sens de parcours dans l’espace des phases ?

2) La montée de la balle vers son point culminant se fait en deux étapes.

Pour 𝑧 < 𝑙₀, l’élastique n’est pas étiré, et a un mouvement de chute libre (avec vitesse initiale vers le haut) tel que 𝑧̈ = −𝑔, l’axe des 𝑧 étant orienté vers le haut, la balle n’étant soumise qu’à son poids.

Pour 𝑧 > 𝑙₀, l’élastique étiré se comporte comme un ressort.

Déterminer la hauteur maximale atteinte avec 𝑧(0) = 1,0 𝑚 et 𝑧̇(0) = 10 m.s^-1.

(13)

▪ R

ESOLUTION DE PROBLEME

: E

N VOITURE

Pour des fréquences inférieures à 0,5 𝐻𝑧, les organes internes du corps entrent en résonance (en particulier l’estomac) et le mal des transports apparaît.

Sera-t-on malade dans cette voiture ?

On donne deux photos d’une roue avec et sans cric :

G

RILLE D

’

EVALUATION RESOLUTION DE PROBLEME

Compétence Capacités exigibles associées

S’approprier le problème Faire un schéma modèle.

Identifier les grandeurs physiques pertinentes, leur attribuer un symbole.

Évaluer quantitativement les grandeurs physiques inconnues et non précisées.

Relier le problème à une situation modèle connue.

… Etablir une stratégie de résolution (analyser)

Décomposer le problème en des problèmes plus simples.

Commencer par une version simplifiée.

Expliciter la modélisation choisie (définition du système, etc.).

Déterminer et énoncer les lois physiques qui seront utilisées.

… Mettre en œuvre la stratégie (réaliser)

Mener la démarche jusqu’au bout afin de répondre explicitement à la question posée.

Savoir mener efficacement les calculs analytiques et la traduction numérique.

… Avoir un regard critique sur les résultats obtenus (valider)

S’assurer que l’on a répondu à la question posée.

Vérifier la pertinence du résultat trouvé, notamment en comparant avec des estimations ou ordres de grandeurs connus.

Comparer le résultat obtenu avec le résultat d’une autre approche (mesure expérimentale donnée ou déduite d’un document joint, simulation numérique, etc.).

Étudier des cas limites plus simples dont la solution est plus facilement vérifiable ou bien déjà connue.

Communiquer Présenter la résolution, en en expliquant le raisonnement et les résultats.

(14)

▪ A

SAVOIR

1. Quelle est la forme de l’énergie potentielle au voisinage d’une position d’équilibre stable ?

2. Quelle est la nature du mouvement au voisinage d’une position d’équilibre stable pour un système conservatif ? comment peut-on établir l’équation différentielle caractéristique de ce mouvement ?

3. Quelles sont les caractéristiques d’un oscillateur harmonique simple ? (variations temporelles de la grandeur 𝑥(𝑡) caractéristique du système, forme canonique de l’équation différentielle vérifiée par 𝑥).

4. Définir les notions suivantes pour un oscillateur harmonique simple (dimension ? unité ? représentation graphique ?) : Amplitude, amplitude crête à crête, fréquence, pulsation propre. Savoir en effectuer la détermination graphique.

5. Analogie électromécanique : dans le cas d’un circuit RLC série, à quelles grandeurs mécaniques peut-on associer les grandeurs suivantes : L, R, C, q (ou uC), i (ou uR), uL ? idem pour les grandeurs énergétiques.

6. Comment tient-on compte des conditions initiales ? quelle est leur influence ?

7. A quoi correspond la notion d’isochronisme ?

8. A quoi correspondent les notions suivantes ? plan de phase, trajectoire de phase, portrait de phase ? quelle est la trajectoire de phase d’un oscillateur harmonique ? l’influence des conditions initiales sur cette trajectoire de phase ?

9. Quelles sont les 2 formes canoniques usuelles des équations différentielles linéaires du 2^ndordre ? Quels sont les noms, dimensions et unités usuelles des grandeurs caractéristiques suivantes : 0, , Q ?

10. Quels sont les différents régimes possibles pour des systèmes du second ordre ? Quelles sont leurs conditions d’existence ? Quelle est l’allure de la réponse dans chaque cas ? Dans quel type de régime le système revient-il le plus rapidement à sa position d’équilibre ? Quelles sont les caractéristiques des systèmes ayant un facteur de qualité très élevé ?

11. Dans le cas d’un régime pseudo-périodique, expliquer la notion de modulation d’amplitude. Comment peut-on évaluer graphiquement l’ordre de grandeur du facteur de qualité ?

12. Définir la pseudo-période T, la pseudo-pulsation et le décrément logarithmique δ lorsqu’ils existent.

Quelle est l’expression de la pseudo-pulsation en fonction de 0 et _{, puis}0 et Q ? quelle relation relie T et δ ?

13. Quelle est la différence entre le portrait de phase d’un oscillateur harmonique amorti et celui d’un oscillateur harmonique non amorti ? Quelles sont les allures des portraits de phase des 3 différents régimes d’un oscillateur harmonique amorti ?