Exercice n °3 sur les suites

(1)

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Exercice n °3 sur les suites

Exercice 3 :(avec solution)

On considère la suite (Un) définie par :

 

0

2 1

1 2

2

n n

U

U _ U n IN

 



    



1/ Montrer par récurrence que :



^{ }ⁿ ^IN



^;⁰Un ¹ 2/ Comparer et ; déduire la monotonie de

 

Un ^. 3/ On passe :

a/ Montrer que

 

Vn est une suite géométrique et déterminer sa raison et son terme initiale.

b/ Donner V et _n U en fonction de n. _n

c/ On pose pour tout nIN

Calculer Sn en fonction de n tel que : Correction Exercice 5 :

1/ Soit

Pour on a : Donc est vérifiée.

Pour supposons que est vérifiée pour .

On a : .

Calculons : (on multiplie par la partie conjugué)

1. Conclusion : On a montré par récurrence que :

2/ Calculons :

2

Un U_n²_₁

2 4 ( )

n n

V U   n IN

2 2 2 2

0 1 2 ...

n n

S U U U  U

 

0

2 1

1 2

2 2

n n

U

U _ U n IN

 



    



  

  



n IN



⁰Un ²



0

n 0 ₀ ¹ 2 U 2

  

 

^

nIN

 

^



ⁿ^¹



2

1 2 0

2

n n

U _  U 

1 2

Un_  ₁ ₂ ₂ ² ₂

2

n n

U    U 

      

2

2 2

2

2 2

1 1

2 4

2 2

2 2 2 2

2 2

4 or 2 0

2 2 2 2 2 2

2 2

2 0

0 2

n

n n

n

n n

U U



 

 

   

 

 

 

   

 

    

   

   

   

   

  

  



 n IN



⁰Un ²



Un²_1Un²



(2)

Donc : et puisque

On a : d’où : est une suite croissante.

3/

a/ calculons :

Conclusion : est une suite géométrique de raison et de premier Terme b /

On a :

c / Soit

On a : Donc : S_n V0  V1 ... V_n  4



n 1





0 1 ...



4



1



n n

S V V V n

       

  

   

 

2 2

2 2 2

1

2 2

2

2 2

1

2 2

4 1

2 2

0 Car 2 0 et 2 0

n

n n n

n n

n

n n

n n n n

U U U U

U U

U

U U U

U U U U



 

    

    

    

      



 n IN U



n²_1 Un²



 n IN U



n ⁰

   n IN U 

n_1

 U

n

 

Un



 n IN V



n Un² ⁴

1

V

n_

 

2

1 1

2 2

1 1

2

1 1

4

2 4 2

2 2

1 1

2 4 2

n n

n n n n

V U

U U

V V

V U V V

 

 

      

    

 

Vn 1

q 2

0

15 V   4

 

0

n

n IN V

n

V q

   

 

2

15 1 4 2 15 2

n n

n IN V

n IN V _

     

    

 

2 4

n n

V U   n IN

 

2

4 4 15

2

n n

U V n IN

U _ n IN

    

2 2 2

0 1

....

n n

S  U  U   U

2 2

4 4

n n n n

V U  U V 

(3)

 

  _ _

1

1 1

15 2

4 1

4 1 1 2 1 1

15 2

4 1

2

15 1

1 4 1

4 2

15 1 2

4 1

2

n

n n

n

n n

S n

S _ n

   

    

 

     

  

 

 

    

      

 

       

 

     