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UAA4 : Fonctions exponentielles et logarithmes

1) Calcule sachant que 𝒍𝒐𝒈 𝟐 ≅ 𝟎, 𝟑 et 𝒍𝒐𝒈 𝟑 ≅ 𝟎, 𝟓.

a) log 30 = b) log³⁰⁰₂ = c) log √2700 = d) log 0,02 =

e) log 12 = f) log₂90 = g) log √0,008 = h) log₃0,02 =

2) Calcule.

a) log381 = b) ln √𝑒³ = c) log₅5⁷= d) log₄ ¹

16=

e) log100010 = f) log₄ ¹

4√16= g) ln ¹

𝑒⁴=

h) ln(log₃3^𝑒2) =

3) Transforme en 𝒍𝒏 𝒂, 𝒍𝒏 𝒃 et 𝒍𝒏 𝒄.

a) ln(𝑏𝑐²) = b) ln(𝑎³𝑏³𝑐²𝑒) = c) ln(𝑎²√𝑒) =

d) ln^𝑎_𝑏²₃^𝑒_𝑐= e) ln √_𝑏^𝑎₂³_𝑒=

4) Calcule si tu sais que 𝒍𝒐𝒈

𝟑 ≅ 𝟏, 𝟔 ; 𝒍𝒐𝒈

𝟓 ≅ 𝟐, 𝟑 et 𝒍𝒐𝒈

𝟕 ≅ 𝟐; 𝟖.

a) log215 = b) log₂105 = c) log270 =

d) log260 = e) log₂100 =

5) Dérive les fonctions suivantes.

a) 𝑓(𝑥) = ln(3𝑥²+ 6𝑥 − 2) b) 𝑓(𝑥) = log₂(7𝑥²+ 8𝑥) c) 𝑓(𝑥) = ln³𝑥

d) 𝑓(𝑥) = ln(7𝑥)

e) 𝑓(𝑥) = 2^2𝑥2+6𝑥 f) 𝑓(𝑥) = 𝑒^6𝑥+5 g) 𝑓(𝑥) = 𝑒^𝑥. ln 𝑥

6) Donne le domaine des fonctions suivantes

b) 𝑓(𝑥) = 2^√4𝑥 c) 𝑓(𝑥) = 𝑒^{𝑥2+4𝑥+2𝑥−1} d) 𝑓(𝑥) = ln(1 − 2𝑥)

e) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔_𝑥(−𝑥²− 𝑥 + 2) f) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔_0,5^1−𝑥

1+𝑥

g) 𝑓(𝑥) =_𝑒^𝑒_𝑥−𝑒^𝑥

7) Résous.

a) log_0,5(1 − 𝑥) − 1 = 0 b) log₃(𝑥²− 5𝑥) = log₃6 c) log_𝑥20 = 2

d) ln 𝑥 + ln 4 = 1

e) ln(3𝑥 − 4) + ln(𝑥 + 1) = ln(4𝑥 − 2) f) ln(−2𝑥 + 4) = 2 ln 𝑥

g) 6 log²𝑥 − 7 log 𝑥 − 20 = 0 h) 2 ln 2𝑥 − 8 ln 𝑥 = 0

i) ln(−𝑥 + 2) + ln 𝑥 = ln³ j) 8 log²𝑥 − 2 log 𝑥 − 3 = 0 4

k) ln^𝑥−1

𝑥+1+ ln 𝑥 = 0

l) 2 ln 2 + ln(𝑥²− 1) = ln(4𝑥 − 1) m) 2 ln³𝑥 − 9 ln²𝑥 − 2 ln 𝑥 + 9 = 0 n) ln(𝑥²+ 𝑥 − 2) = 1 + ln(𝑥 + 2) o) ln 𝑥 = 3

8) Le son

Le son se manifeste par des variations de pression de l’air. L’unité de mesure de la pression de l’air est le Pascal. La pression de l’air s’exerce sur le tympan de l’oreille humaine.

Pour une pression supérieure ou égale à 20.10⁻⁶ Pascals s’exerçant sur son tympan, l’oreille humaine perçoit un son dont le niveau se mesure en décibels.

On note 𝑝₀ = 20.10⁻⁶. Pour une pression de 𝑝 Pascals s’exerçant sur le tympan, avec 𝑝 ≥ 𝑝₀, le niveau sonore perçu est égale à 𝑓(𝑝) = ²⁰

ln 10. ln(50000𝑝)

a) Quel est le niveau sonore perçu pour une pression de 𝑝₀ Pascals ? 2 Pascals ? 0,2 Pascals ? 0,02 Pascals ?

b) A partir d’un niveau sonore de 120 décibels, on ressent une douleur. Détermine la pression 𝑝 correspondant à ce niveau sonore.

9) Le logarithme en chimie

Le 𝑃𝐻 d’une solution acide fort est donné par la formule : 𝑃𝐻 = − 𝑙𝑜𝑔 𝐶_𝑎

𝐶_𝑎 représente la concentration de l’acide fort exprimée en 𝑚𝑜𝑙/𝑙. Le 𝑃𝐻 mesure le niveau d’acidité ou de basicité d’une solution, le 𝑃𝐻 d’une solution neutre est 7.

1) Calcule le 𝑃𝐻 d’un acide fort de concentration 0,04 𝑚𝑜𝑙/𝑙.

2) Si le 𝑃𝐻 d’une solution est de 2, retrouve la concentration de l’acide fort.