APPROCHE D'UN SIGNAL PERIODIQUE PAR UN POLYNOME TRIGONOMETRIQUE
Le son synthétique. (Article pris du livre page 201)
La guitare électrique, instrument obligé des groupes de rock, utilise encore un élément naturel vibrant (la corde) pour produire le son. Celui-ci est ensuite grandement transformé par l'électronique des amplificateurs.
Dans le synthétiseur par contre, les courants qui alimentent les hauts-parleurs sont produits par l'électronique elle-même. Il n'y a plus d'élément naturel vibrant en amont. Le son devient objet de création de bout en bout.
Beaucoup de musiciens des années 80 étaient intéressés par cet instrument car ils voyaient en lui le moyen ultime de libérer leur art des contraintes de la nature.
Les sons représentés par un signal carré symbolisaient le son vraiment artificiel. Ils étaient alors très prisés par opposition au son parfaitement sinusoïdal du diapason considéré, lui, comme naturel.
Nous allons voir comment une machine peut fabriquer un signal carré avec, comme matière première, uniquement des fonctions sinusoïdales.
PARTIE 1.
La figure ci-dessous représente une fonction constante f0 et quatre fonctions sinusoïdales f1, f3, f5, f7 du type f(t) = a cos ωt
1) Déterminer graphiquement a et ω pour pour les quatre fonctions sinusoïdales.
Aide pour les fonctions f1 et f3 :
La fonction f1 est f1(t) = 3 cost car : la période T est égale à 2π or ωT = 2π donc ω = 2π /2π = 1 a = 3 représente la valeur de la fonction à l'instant t = 0 La fonction f3 est f3(t) = -1 cos3t car : il y a 3 périodes dans l'intervalle [0 ; 2π] donc T=2
3 donc ω= 3 a = -1 représente la valeur de la fonction à l'instant t = 0
2) Déterminer graphiquement la valeur de la fonction constante.
APPROCHE D'UN SIGNAL PERIODIQUE PAR UN POLYNOME TRIGONOMETRIQUE
3) Retracer les courbes f0, f1, f3, f5 et f7 sous le logiciel Géogébra (dans le dossier MATHS du bureau).
• Remplacer les « t » par des « x ».
• Mettre ωx entre parenthèses (exemple : écrire f1(x) = 3cos(x) ).
• Modifier les axes et la grille afin d'avoir la même représentation que sur la feuille.
Manipulation : clic droit n'importe où sur la feuille de travail, propriétés, onglets axe et grille.
Aide : si vous n'arrivez pas à modifier les axes et la grille, un fichier ApprocheRad_Repere.ggb est dans classes sur .../ Classe_Tproe / _echange. Le copier dans « Vos documents » avant de vous en servir.
• Modifier les couleurs des courbes : f0 en bleu, f1 en rouge ; f3 en vert, f5 en orange, f7 en bleu ciel.
Manipulation : clic droit sur le nom de la courbe, propriété, couleur … 4) Tracer la courbe s3(t) = f1(t) + f3(t). La mettre en jaune foncé.
5) Faire de même pour la courbe s5(t) = s3(t) + f5(t) (la mettre en gris) puis pour la courbe s7(t) = s5(t) + f7(t) (la mettre en rose)
6) Décrire ce que vous observez.
7) Tracer de même la courbe représentative de la fonction P7 (t) = f0(t) + s7(t). La laisser en noir.
8) Décrire l'effet de l'addition de la fonction constante f0(t) sur la fonction s7(t).
9) Enregistrer votre fichier dans vos documents sous la symbolique suivante : ApprocheRad_nom_Partie1 PARTIE 2.
10) Effacer toutes les fonctions sauf f0, f1, f3, f5 et f7.
11) Tracer de nouveau la fonction P7 (t) = f0(t) + f1(t) + f3(t) + f5(t) + f7(t). La laisser en noir.
12) a) Tracer les fonctions P9(t) = P7(t) + 3/9 cos9t (la mettre en jaune foncé) P11(t) = P9(t) – 3/11 cos11t (la mettre en gris) P13(t) = P11(t) + 3/13 cos13t (la mettre en rose) b) Écrire la formule entière de la fonction P13 P13(t) =
13) Décrire le signal que P13 approche. Que faudrait-il pour avoir un signal approché encore meilleur ?
14) a) Tracer pour n = 1, n = 2 puis n = 3 etc la fonction : Qn(t) = b0 + b1sint + b2sin2t + b3sin3t + … + bnsinnt avec b0 = 2 et les valeurs b1, b2, b3 étant données par la formule bk= 4
3,14 k , n et k étant entiers.
Exemple : Q1(t) = 2 + 4/3,14sint Q2(t) = Qn(t) + 4/(3,14*2)sin2t b) Décrire le signal que Qn approche.
