A220 - Une fonction en affinité avec la base 3 Solutions
Deux solutions sont données : la première classique repose sur l’analyse exhaustive des valeurs de f(n) à partir des premières valeurs de n=1, 2, 3, 4, …. avec recherche d’une formule générale pour n quelconque. La deuxième beaucoup plus élégante est fondée sur la
représentation en base 3 de n.
1ère solution
Le tableau ci-après donne les premières valeurs de f(n) en fonction de n : Commentaires :
Calcul de f(1)
-f(1) ne peut pas être égal à 1.
Si oui f(f(1)) = f(1) = 1 est contradictoire avec f(f(n)) = 3n = 3 pour n = 1.
-f(1) ne peut pas être égal à 3.
Si oui f(f(1)) = f(3) = 3 est incompatible avec f(3) > f(2) > f(1) -f(1) ne peut pas être égal ou supérieur à 4.
Si oui f(1) = a >= 4 f(f(1)) = f(a). Comme f(f(1)) = 3, on aurait f(a) = 3 incompatible avec a >= 4.
Donc f(1)=2
Calcul de f(2)
Comme f(2) = f(f(1)) et f(f(1))=3, il en résulte f(2) = 3
Calcul de f(3) et de certains multiples de 3 f(3) = f(f(2)) = 3.2 = 6
puis f(6) = (f(3)) = 3.3 = 9, puis f(9) = f(f(6)) = 3.6 =18, puis f(18) = f(f(9)) = 3.9 = 27 etc..
Les entiers n = 3,6,9,18,27,54,81…sont repérés par leurs cases colorées en bleu.
Calcul de f(4), f(5) et de plusieurs valeurs intermédiaires
Comme f(6) = 9 > f(5) > f(4) > f(3) = 6, les seules valeurs possibles de f(4) et de f(5) sont f(4) = f(3)+1 = 7 et f(5) = f(4)+1 = 8.
De la même manière on observe qu’entre f(9)=18 et f(18) = 27, il y a 8 valeurs possibles de f(n) pour 8 valeurs de n. On a donc pour 0<m<9, f(9+m)=18+m. Même constat pour les valeurs comprises de f(n) pour n compris entre 27 et 54.
Les cellules correspondantes sont identifiées en jaune.
n f(n) n f(n) n f(n) n f(n) n f(n) n f(n) n f(n) n f(n) n f(n)
1 2 11 20 21 36 31 58 41 68 51 78 61 102 71 132 81 162
2 3 12 21 22 39 32 59 42 69 52 79 62 105 72 135 82 163
3 6 13 22 23 42 33 60 43 70 53 80 63 108 73 138 83 164
4 7 14 23 24 45 34 61 44 71 54 81 64 111 74 141 84 165
5 8 15 24 25 48 35 62 45 72 55 84 65 114 75 144 85 166
6 9 16 25 26 51 36 63 46 73 56 87 66 117 76 147 86 167
7 12 17 26 27 54 37 64 47 74 57 90 67 120 77 150 87 168
8 15 18 27 28 55 38 65 48 75 58 93 68 123 78 153 88 169
9 18 19 30 29 56 39 66 49 76 59 96 69 126 79 156 89 170
10 19 20 33 30 57 40 67 50 77 60 99 70 129 80 159 90 171
Calcul de f(7), f(8) et de plusieurs valeurs intermédiaires Enfin f(7) = f(f(4)) = 3.4 = 12
puis f(8) = f(f(5)) = 3.5 = 15
puis f(19) = f(f(10)) = 3.10 = 30 ….
On observe que pour n compris entre 6 et 9, puis entre 18 et 27, puis entre 54 et 81,.. f(n) varie par pas de 3.
Les cellules correspondantes sont identifiées en vert.
On en déduit les formules de récurrence suivantes dont la démonstration découle des observations faites précédemment:
q et
p tels que 0q3p,f(3p+q) = 2. 3p + q et f(2. 3p + q) = 3p1+3.q
Comme 2004 = 2.36+ 546, on en déduit f(2004) = f(2.36+ 546) = 37+3.546 =
3825
2ème solution
Soit x1x2...xk la représentation en base 3 de n. i1,2,...,k, x =0,1 ou 2 sauf i x =1 ou 2. Par 1 exemple n = 50 en base 10 s’écrit 1212 en base 3 avec x =1, 1 x =2, 2 x =1 et 3 x =2. 4
Si x =1, alors f(n) = 1 2x2...xk et si x =2, alors f(n) = 1 1x2...xk0. Ces deux formules se vérifient aisément pour n = 1, 2, 3, 4, 5…
On vérifie que les deux formules sont bien fidèles à la relation de base f(f(n)) = 3n.
Si n=1x2...xk, alors f(n) = 2x2...xk et f(2x2...xk) = 1x2...xk0et ce dernier terme est tout simplement 3n et l’on a bien f(f(n))=3n
De la même manière si n=2x2...xk, alors f(n) = 1x2...xk0 et f(1x2...xk0) = 2x2...xk0 et ce dernier terme est à nouveau 3n et l’on a toujours f(f(n))=3n.
Comme 2004 =2.362.352.332.31, son écriture en base 3 est 2202020. On en déduit f(2202020) = 12020200 dont la transcription en base 10 donne 1.372.362.342.32 =