Solutions aux exercices 5
cours d’introduction à la logique, printemps 2019, UniL, Philipp Blum
1. (2 points) Manipulez les définitions de « tautologie », « contradiction » et « formule satisfai- sable ».
Solution:
(a) Voici comment on montre qu’une formule propositionnelle ϕ est une tautologie si et seulement si⌜¬ϕ⌝n’est pas satisfaisable :
=⇒ Siϕest une tautologie, alorsϕest vrai sous toutes les valuations. Siϕest vrai sous une valuation, alors ⌜¬ϕ⌝ est faux sous cette valuation. Alors : si ϕ est vrai sous toutes les valuations, alors ⌜¬ϕ⌝ est faux sous toutes les valuations. Alors il n’y a pas de valuation telle que⌜¬ϕ⌝soit vrai sous cette valuation. Donc ⌜¬ϕ⌝n’est pas satisfaisable.
⇐= Si⌜¬ϕ⌝ n’est pas satisfaisable, alors il n’y a pas de valuation telle que⌜¬ϕ⌝ soit vrai sous cette valuation. Alors⌜¬ϕ⌝est faux sous toutes les valuations, alorsϕest vrai sous toutes les valuations. Alorsϕest une tautologie.
Semi-formellement :
ϕest une tautologie ⇐⇒ ∀V(V(ϕ) =v)
⇐⇒ ∼ ∃V ∼(V(ϕ) =v)
⇐⇒ ∼ ∃V ∼(V(⌜¬ϕ⌝) =f)
⇐⇒ ∼ ∃V(V(⌜¬ϕ⌝) =v)
⇐⇒ ∼(ϕest satisfaisable)
(b) Pour montrer qu’une formule propositionnelleϕest satisfaisable si et seulement si⌜¬ϕ⌝ n’est pas une tautologie, on procède de manière analogue à (a), ou on dit simplement :
ϕest satisfaisable ⇐⇒ ∃V(V(ϕ) =v)
⇐⇒ ∼ ∀V ∼(V(ϕ) =v)
⇐⇒ ∼ ∀V(V(ϕ) =f)
⇐⇒ ∼ ∀V(V(⌜¬ϕ⌝) =v)
⇐⇒ ∼(⌜¬ϕ⌝est une tautologie) 2. (4 points) Prouvez les phrases données par la méthode des arbres.
✓ ¬(p→ ¬¬p)
✓ ¬¬¬p p
¬p
▽ (b) Un arbre pour «(p→q)↔ ¬(p∧ ¬q)» :
✓ ¬((p→q)↔ ¬(p∧ ¬q)) AA
AA
✓ p→q
✓¬¬(p∧ ¬q) ✓¬(p→q)
✓¬(p∧ ¬q)
✓p∧ ¬q
¬pq
¬pq
BB BB
¬p
▽ q
▽ BB
BB
¬p
▽
✓¬¬q
q
▽
Strictement parlant, la deuxième élimination de la double négation (à droite, la transfor- mation de « ¬¬q » en «q ») n’est pas nécessaire : même sans appliquer la règle, nous pouvons constater que la branche contient une phrase (à savoir «¬q ») et sa négation.
(c) Un arbre pour «(p→ ¬p)→ ¬p» :
✓ ¬((p→ ¬q)→ ¬p)
✓ p→ ¬p
✓ ¬¬p
p AA
AA
¬p ¬p
▽ ▽
(d) Un arbre pour «(p∧(p∨q))↔p» :
✓ ¬((p∧(p∨q))↔p) AA
AA
✓p∧(p∨q) ✓¬(p∧(p∨q))
¬p p
p p∨q
▽
BB BB
¬p✓¬(p∨q)
▽
¬p
¬q
▽ 3. (6 points) Soit «A» le nom d’une inférence :
(a) Si toutes ses prémisses sont vraies et sa conclusion l’est aussi,on ne peut rien conclure sur la validité de A : quelques-unes sont valides, mais « Socrate est un homme ; donc Socrate est un philosophe », par exemple, ne l’est pas.
(b) Si toutes ses prémisses sont vraies mais sa conclusion fausse,on peut conclurequeA est non valide : il n’est donc pas logiquement impossible que ses prémisses soient vraies et sa conclusion fausse.
(c) Si au moins une de ses prémisses est fausse et sa conclusion vraie, on ne peut rien concluresur la validité deA: « Socrate est un romain ; tous les romains sont mortels ; donc Socrate est mortel » est valide, mais « Socrate est un romain ; tous les romains sont mortels ; donc Socrate est un philosophe » ne l’est pas.
(d) Si au moins une de ses prémisses est fausse et sa conclusion fausse,on ne peut rien concluresur la validité deA: « Socrate est un romain ; tous les romains sont immortels ; donc Socrate est immortel » est valide, mais « Socrate est un romain ; tous les romains sont immortels ; donc Socrate n’est pas un philosophe » ne l’est pas.
(e) Si ses prémisses sont consistantes avec sa conclusion,Apeutêtre non valide : « Socrate est un homme ; donc Socrate est philosophe », par exemple, n’est pas valide.
(f) Si ses prémisses sont inconsistantes et sa conclusion fausse,Ane peut pasêtre non va- lide, parce qu’il est logiquement impossible que ses prémisses soient vraies et sa conclusion fausse.
(g) Si la prémisse est une vérité logique et sa conclusion vraie, A peut être non valide :
« Socrate dors ou il ne dors pas ; donc il est un philosophe », par exemple, n’est pas valide.
(h) Si ses prémisses sont consistantes entre elles, mais sa conclusion fausse, A peut être valide : « Socrate est un philosophe ; tous les philosophes sont romains ; donc Socrate est
(j) Si sa conclusion est inconsistante avec ses prémisses, mais ses prémisses consistantes entre elles,Ane peut pasêtre valide. Supposons le contraire : alors il serait possible que ses prémisses soient vraies (puisqu’elles sont consistantes entre elles) ; mais si l’inférence est valide, il s’ensuit alors que sa conclusion est vraie ; il est donc possible que ses prémisses etsa conclusion soient vraies ; mais alors elles ne sont pas inconsistantes.
(k) Si la négation de sa conclusion est consistante avec l’une de ses prémisses,A peutêtre valide : « Xanthippe est une femme ; toutes les femmes sont mortelles ; donc Xanthippe est mortelle » est valide, même si « Xanthippe n’est pas mortelle » est consistante avec
« Xanthippe est une femme ».
(l) Si la négation de sa conclusion est inconsistante avec la négation d’une de ses prémisses, A peutêtre valide : « Xanthippe dort et ne dort pas ; donc Xanthippe dort ou elle ne dort pas » est valide, même si la négation de sa conclusion est elle-même inconsistante, et donc inconsistante avec la négation de la prémisse. Un autre exemple est « Socrate n’est pas un philosophe mortel ; Socrate est un homme ; tous les hommes sont mortels ; donc Socrate est mortel » – l’inférence est valide, même si « Socrate n’est pas mortel » est inconsistant avec « Socrate est un philosophe mortel ».
(m) Si la négation de sa conclusion est inconsistante avec la négation d’une de ses prémisses, et siA ne serait pas valide sans cette prémisse,Ane peut pas être valide. Supposons le contraire : (i) que l’argument «p;q; doncr» est valide, (ii) que «q; doncr» est non valide et (iii) que « ¬r » est inconsistante avec «¬p ». Si (ii) est vraie, alors «q » est consistant avec « ¬r». Mais alors{ « p», «q», « ¬r»} ou{ «¬p», «q », «¬r »} doit être consistant. Mais si (iii) est vraie, alors{«¬p», «¬r»}est inconsistant, alors { « ¬p», « q », « ¬r »} l’est aussi Donc{ « p», « q », « ¬r »} doit être consistant.
Mais ceci veut dire que l’argument «p;q; doncr» n’était pas valide (¬(i)). On a dérivé une contradiction de (i), (ii) et (iii). Alors la supposition était fausse ; alors A ne peut pas être valide.
4. (4 points) À l’aide de la méthode des arbres, déterminez les valeurs de vérité des affirmations données.
Solution: Vérifier si les arguments donnés sont valides (si leurs conclusions sont des consé- quences logiques de leurs prémisses) revient à déterminer si ses prémisses sont consistantes avec la négation de leur conclusion. Pour tester si la phrase «{p, q, r} |=s» est vraie, c’est- à-dire si «s » est une conséquence logique de «p», «q » et de «r», il faut faire l’arbre pour la négation de l’implication correspondante «¬((p∧q∧r)→s)», c’est-à-dire l’arbre pour la conjonction «p∧q∧r∧(¬s)». Si une des branches de cet arbre reste ouverte, il y a une possibilité logique que la conjonction des prémisses et de la négation de sa conclusion soit vraie et alors l’argument n’est pas valide. Si, au contraire, toutes les branches se ferment, alors il n’y a pas de telle possibilité logique et l’argument initial est valide.
(a) Pour montrer que l’affirmation «{(p→ q) → r , ¬q → ¬p} |= r » est vraie, faisons l’arbre pour la négation de l’implication correspondante :
✓ ¬((((p→q)→r)∧(¬q→ ¬p))→r)
✓ ((p→q)→r)∧(¬q→ ¬p)
¬r
✓ (p→q)→r
✓ ¬q→ ¬p AA AA
✓ ¬(p→q) r
▽
¬pq AA
AA
¬¬q ¬p
▽ ▽
Toutes les branches se ferment, l’implication correspondante est une tautologie.
(b) Voici un arbre pour «{(p∨ ¬q)∧q , (p∨((r→p)∧r))→r} |=q→r» :
✓ ¬((((p∨ ¬q)∧q)∧((p∨((r→p)∧r)))→r))→(q→r))
✓((p∨ ¬q)∧q)∧((p∨((r→p)∧r)))→r)
✓ ¬(q→r)
✓ (p∨ ¬q)∧q
✓ (p∨((r→p)∧r)))→r p∨ ¬q
q
@@
p ¬q
¬q ▽ r
@@
✓¬(p∨((r→p)∧r))
¬p r
▽
(c) Pour montrer que « {p→q , p→ ¬q} |=¬p» est vraie (c’est-à-dire pour montrer que
«¬p» est une conséquence logique des deux prémisses « p→q» et «p→ ¬q», faisons l’arbre pour la négation de l’implication correspondante :
✓ ¬(((p→q)∧(p→ ¬q))→ ¬p)
✓ (p→q)∧(p→ ¬q)
¬¬p
✓ p→q
✓ p→ ¬q AA
AA
¬p
▽
q AA
AA
¬p ¬q
▽ ▽
Toutes les branches pour la négation de l’implication correspondante se ferment, l’argu- ment est valide.
(d) Pour montrer que «{p∧(r∨q), ¬q→ ¬p} |=p∧r » est faux, faisons l’arbre pour la négation de l’implication correspondante :
✓ ¬(((p∧(r∨q))∧(¬q→ ¬p))→(p∧r))
✓ ((p∧(r∨q))∧(¬q→ ¬p)
✓ ¬(p∧r)
✓ p∧(r∨q))
✓ ¬q→ ¬p
✓(rp∨q) AA
AA
¬p
▽
¬r AA
AA
¬¬q AA
AA r
▽
q
¬p
▽
La branche contenant «q» reste ouverte et l’arbre est entièrement développé. La formule initiale est donc consistente et satisfaisable (peut être vraie), et sa négation n’est pas une tautologie et ne peut pas être prouvée. L’argument est invalide, parce qu’il est possible que ses prémisses soient vraies et sa conclusion fausse.
5. (3 points) (d’après Raymond Smullyan,The Riddle of Scheherazade) Les menteurs genevois et les honnêtes et infallibles Lausannois.
(a) Comme Edmond et Maurice sont des frères, et viennent d’une des deux villes, soit ils disent les deux la vérité, soit il disent les deux des faussetés. Comme les deux assertions sont contraires, elles ne peuvent pas être les deux vraies. Alors elles sont les deux fausses.
Alors Maurice est marié, et Edmond ne peut pas l’être.
(b) Si les deux assertions sont vraies, alors elles sont non-mariées les deux. Si les deux assertions sont fausses, alors Pascale est mariée et Marie ne l’est pas. Dans les deux cas, Marie n’est pas marié. Nous ne pouvons rien dire de Pascale.
(c) Si le cadet a dit qu’il était marié, alors il est possible que les deux assertions sont fausses (le cadet n’est pas marié, l’aîné non plus), soit que les deux assertions vraies (le cadet marié, l’aîné soit marié soit non). Si le cadet a dit qu’il n’était pas marié, cependant, il n’est pas possible que les deux assertions sont fausses – si le cadet est marié, l’assertion de l’aîné est vraie. Alors les deux assertions doivent être vraies dans ce deuxième cas, alors le caet n’est pas marié et l’aîné l’est. Comme nous savons que l’interrogateur a pu inférer lequel était marié, nous pouvons trancher les deux cas – le cadet a du dire qu’il était marié, et alors il ne l’est pas mais l’aîne l’est.
6. (1 point) (Smullyan, encore) Il est tentant d’argumenter comme suit :
Mon choix initial avait une probabilité de1/3de gagner le prix. Maintenant, qu’une des trois portes a été ouverte et était vide, ils restent deux portes. Soit je me suis décidé pour la bonne, soit pour la deuxième qui est vide. Il n’y a rien qui rend une de ces deux options plus probables que l’autre, alors la probabilité est de1/2dans les deux cas, alors je ne gagne rien en changeant.
Ce raisonnement, cependant, est fallacieux. La probabilité que le choix initial était le bon reste 1/3. Peu importe le choix, il est toujours possible pour moi d’ouvrir une porte vide (et vous savez ceci dès le début). Le fait que j’ouvre une porte n’apporte pas de nouvelle information, et ne change pas la probabilité que le choix initial était le bon. Si la probabilité que le prix est derrière la porte gauche est toujours de 1/3, alors la probabilité qu’il est derrière celle du milieu est de 2/3, puisqu’il n’est pas derrière la porte droite. Il est donc rationnel pour vous de changer.
Nous pouvons faire le même point ainsi : imaginez que vous jouez le jeux 100 fois, toujours
Pensez-vous réellement que mon acte a amélioré vos chances jusqu’à50/50? Si vous le faites, j’aimerais faire un pari avec vous…
