D30480. Boule en tétraèdre
a/ Le tétraèdre est construit à partir d’une feuille carrée ABCD de 12 cm de côté ; sa base est formée du triangle joignant le coin A de la feuille aux milieux E etF des côtésBC etCD; les faces latérales sont obtenues en pliant la feuille selon AE, AF, EF. Quel est le diamètre d’une sphère tangente aux quatre faces ?
b/ Même question pour un tétraèdre équifacial : ses 4 faces sont des tri- angles égaux de côtésa, b, cdéterminés dans un triangle acutangle de côtés 2a,2b,2c par les segments joignant les milieux des côtés.
Solution
Les 4 pyramides ayant les faces pour bases et le centre de la sphère inscrite pour sommet ont la même hauteur, égale au rayon de cette sphère ; ainsi le volume du tétraèdre est 1/6 du produit du diamètre cherché par la surface totale.
a/ La surface totale est 144 cm2. Dans le pliage, les sommets B, C, D se rejoignent enS qui se projette enH sur la faceAEF. L’aire de cette face est 54 cm2. Le volume du tétraèdre est 18.SH et le diamètre de la sphère (6×18/144)SH= (3/4)SH.
BH, CH, DH sont perpendiculaires respectivement à AE, EF, F A, axes des rotations amenant B, C, D en S. Les angles HCB = π/4, HBC = arctan(1/2), d’où tanBHC =−3 et par la loi des sinusCH =BCp2/9 = 4√
2. La distance de C et S à EF est 3√
2, la distance de H à EF est
√2, d’où SH =√
18−2 = 4 cm. Le diamètre de la sphère est (3/4)4 = 3 centimètres.
b/ Cette configuration a déjà été étudiée dans le problème “Pliage en volume” (D30348, paru dans La Jaune et la Rougede novembre 2010). Il en ressort que le volume est
q
(b2+c2−a2)(c2+a2−b2)(a2+b2−c2)/72.
L’aire totale étant 4 fois celle d’une face, le diamètre de la sphère inscrite est
s(b2+c2−a2)(c2+a2−b2)(a2+b2−c2) 2(2b2c2+ 2c2a2+ 2a2b2−a4−b4−c4) .
