I133 ‒ L’arbre qui cache l’horizon [*** à la main]
Dans une grande forêt de résineux sur terrain plat, Zig est assis sur la souche d’un arbre prise pour origine.
Toute la forêt est plantée d’arbres assimilés à des colonnes cylindriques dont les axes passent par les points de coordonnées entières exprimées en mètres : (5i,5j) avec i et j entiers relatifs quelconques, i ou j non nul.
Dans le quadrant Nord-Est, les arbres sont des douglas de diamètre 40 centimètres. Dans le reste de la forêt les arbres sont des mélèzes plus jeunes.
Q₁ Démontrer que quel que soit le quadrant où Zig porte son regard, l’horizon est bouché.
Q₂ Déterminer les limites de cet horizon dans le quadrant Nord-Est.
Q₃ Un capteur de distances indique à Zig que le mélèze le plus éloigné lui bouchant l’horizon est à 475 mètres. Calculer le diamètre des mélèzes.
Solution proposée par Nicolas Petroff
(Q1 et Q2) Pour un angle donné, la visée est faite en plaçant l’œil de l’observateur à l’origine des coordonnées.
Considérons un angle quelconque repéré par le 1er couple de troncs : donc les axes ont les coordonnées suivantes (x,y) : (5k,5) et (5(k+1),5) . La visée va tout de suite limitée par un angle limite
. la visée va être limitée aussi limitée par les troncs suivants indicés par n de coordonnées (5nk,5n) et (5(nk+1),5n), mais seul le bord du tronc va intervenir pour limiter inférieurement l’angle de visée par un angle :
où r = rayon des arbres.
L’horizon va donc être atteint quand de positif devient négatif et l’horizon est donné par la dernière valeur positive atteinte par quand n augmente (se référer au tableau ci-dessous avec les différentes valeurs de k sous la 1ère bissectrice), l’horizon se calcule selon l’expression:
Horizon = (mètre) :
Il y aura toujours une valeur de n finie qui va obliger à devenir négatif l’angle de visée, l’horizon sera toujours limité.
Pour les valeurs de k les angles sont inférieurs à 45° . Pour des angles compris entre 45° et 90° on retrouve les mêmes valeurs des horizons (symétrie par rapport à la 1ère bissectrice en fonction de l’angle de visée).
Pour la visée autour de 0 degré faite dans le couloir composé par la 1ère rangée d’arbres parallèles à Ox et la rangée d’arbres situés sur l’axe Ox lui-même, l’horizon va être visible selon l’angle rasant le bord du 1er arbre sur Ox 2,292444712 degrés et c’est le bord du tronc de coordonnées (5n,5) qui va limiter l’angle de visée par l’angle :
la plus grande de n qui rend encore positif juste avant de s’annuler est n = 23 et l’horizon est donné par : horizon = m.
(Q3) En effectuant une visée dans le couloir composé par la 1ère rangée d’arbres parallèles à Ox et la rangée d’arbres situés sur l’axe Ox lui-même, la valeur maximum de n telle que
, or l’horizon = n
, en choisissant r = 0.052 m , on obtient :
= 0.60214 degré , donc le diamètre des mélèzes est 0.104 m.
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