J108 - Un clone du morpion [* à ***** à la main]
Zig et Puce disposent d’une gigantesque feuille de papier quadrillé que l’on peut assimiler à un treillis de points à coordonnées entières.
Q₁[*] Puce le premier trace une croix rouge en un point de corrdonnées entières puis Zig trace une croix bleue en un deuxième point à coordonnées entières. En suite à tour de rôle ils placent alternativement une croix rouge puis une croix bleue, chaque fois en un point de coordonnées entières libre de toute croix.
Puce gagne la partie s’il parvient à tracer quatre croix rouges qui sont les sommets d’un carré. Prouver que Zig ne peut pas empêcher Puce de gagner la partie.
Q₂[*****] Comme précédemment Puce et Zig tracent alternativement des croix rouges et bleues mais à chaque tour pendant que Puce trace une croix rouge, Zig trace quatre croix bleues. Cette fois-ci Zig peut- il empêcher Puce de gagner la partie ?
Q₁ Solution de Mathieu Rupin
Q₂ Version française de la solution de Dmitry Fomin et d’Andy Liu
Remarque liminaire : on suppose que Zig et Puce ont une capacité de réagir et de jouer plus rapide que l’automate le plus puissant !
On sait trouver une mode opératoire qui permet à Puce de tracer quatre croix rouges aux sommets d’un carré. Il se décompose en 3 étapes :
1ère étape :
Puce choisit une ligne horizontale quelconque sur laquelle il trace (2.41)(41)(2.41)(41)19.546croix rouges puis il choisit une seconde ligne sur laquelle il trace des croix telles que chacune d’elles est sur la même verticale que l’une des croix figurant sur la première ligne. Comme Zig peut tracer 4 croix bleues, il en résulte qu’il peut colorier au moins un cinquième des 9.5 croix rouges de la première ligne,soit 46
9.5 croix rouges. 45
Puce continue le processus sur une troisième ligne initialement vierge de toute croix (rouge ou bleue) avec des croix rouges au nombre de 9.5 et ainsi de suite jusqu’au tracé de 45 croix rouges sur une 44 45ième ligne, Il en résulte 45 lignes horizontales et 45 lignes verticales à l’intersection desquelles se trouvent exclusivement des croix rouges au nombre de 45² = 2025.
Si la distance qui sépare deux lignes horizontales est égale à la distance qui sépare deux lignes verticales, Puce est arrivé à ses fins. On suppose que Zig a tracé ses croix bleues de telle manière qu’il n’y aucun couple de lignes horizontales dont la distance qui les sépare est égale à l’une des distances qui séparent deux lignes verticales quelconques.
2ème étape :
Puce trace une ligne diagonale Δ de pente égale à 45° située au dessus des 2025 croix rouges qui ont été tracées. Celle ligne Δ coupe en 45 points les 45 lignes horizontales ainsi que les 45 lignes verticales qui portent les 2025 croix rouges. Puce peut choisir un cinquième de ces points pour y tracer deux fois 9 croix rouges sans en être bloqué par Zig.
A ce stade, Puce a réussi à obtenir 9 lignes horizontales (en pointillés verts ci-après) et 9 lignes verticales (en pointillés violets ci-après ) à l’intersection desquelles il y a 81 croix rouges plus les 2*9 = 18 croix rouges tracées sur la ligne Δ.
3ème étape :
Puce identifie alors les 9 x 9 = 81 points qui sont situés au dessus de la diagonale Δ et constituent les sommets n°4 (Nord-Est) de 81 carrés dont les sommets n°1 (Sud-Ouest) sont les 81 croix rouges obtenues à l’issue de la 2ème étape et les sommets n°2 (Nord-Ouest) et n°3 (Sud-Est) sont sur la diagonale Δ.
Il n’y a aucune croix bleue tracée par Zig sur l’un quelconque de ces 81 points à l’issue de la première étape. Lors de la deuxième étape Zig trace au maximum 4*2* 9 = 72 croix bleues au dessus de Δ. Puce a donc toute libeté de choisir l’un des 81 – 72 = 9 points restants pour obtenir le sommet n°4 d’un carré (voir dans le figure ci-dessus le carré repéré avec quatre grandes croix rouges)
Le problème peut se généraliser aisément avec k croix bleues (k entier quelconque) tracées par Zig après chaque croix rouge tracée par Puce.
A la première étape, Puce considère (2k1)(k1)(2k1)(k1)1 points sur une première ligne horizontale afin d’obtenir (2k+1)(k+1) lignes horizontales et le même nombre de lignes verticales à l’intersection desquelles il trace (2k+1)²(k+1)² croix rouges.
Dans un deuxième temps, Puce obtient (2k+1)² points situés en dessous de la diagonale Δ ainsi que 2 fois 2k+1 croix rouges sur cette même diagonale. Enfin Puce n’a aucune difficulté à tracer une croix rouge sur le sommet n°4 d’un carré choisi parmi les (2k+1)² - 2k(2k+1) = 2k + 1 points qui ne portent aucune croix.
