Germination à l’état solide

Germination à l’état solide

Benoît Appolaire

INPL

Les changements de phases à l’état solide

Parfois uninconvenient...

souvent un avantage.

Fragilisation

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 2 / 37

Les changements de phases à l’état solide

Parfois uninconvenient...

souvent un avantage.

Fragilisation

Sulfures dans un acier

Les changements de phases à l’état solide

Parfois un inconvenient ... souvent unavantage.

Fragilisation

Sulfures dans un acier

Durcissement

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 2 / 37

Les changements de phases à l’état solide

Parfois un inconvenient ... souvent unavantage.

Fragilisation

Sulfures dans un acier

Durcissement

Précipités dans un alliage Al-Cu

Deux grandes familles de transformations

Suivant le mécanisme

Les transformations diffusives (hautes T)

Les transformations displacives (bientôt)

Précipitésγ⁰dans un alliage base Ni.

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 3 / 37

Deux grandes familles de transformations

Suivant le mécanisme

Les transformations diffusives (hautes T) Les transformations displacives (bientôt)

Précipitésγ⁰dans un alliage base Ni. Plaquette de martensite dans un alliage Fe-Ni.

Les catégories de transformations diffusives

Précipitation

Eutectoïde Massive Mise en ordre

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 4 / 37

Les catégories de transformations diffusives

Précipitation Eutectoïde

Massive Mise en ordre

Les catégories de transformations diffusives

Précipitation Eutectoïde Massive

Mise en ordre

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 4 / 37

Les catégories de transformations diffusives

Précipitation Eutectoïde Massive Mise en ordre

Germination ou décomposition spinodale ?

Que se passe-t-il en dessous de 400˚C dans la « cloche » de coexistence ?=⇒Analyse de l’énergie de Gibbs du système.

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 5 / 37

Germination ou décomposition spinodale ?

G(cfc) versusc : T₀<T_c

T₁<T₀ T₂<T₁ T₃<T₂ etc.

1 Dans la spinodale∂²G/∂c² <0 : systèmes homogènes instables.

2 Entre la limite de solubilité et la spinodale∂²G/∂c² >0 : systèmes homogènes métastables.

Germination ou décomposition spinodale ?

G(cfc) versusc : T₀<T_c T₁<T₀

T₂<T₁ T₃<T₂ etc.

1 Dans la spinodale∂²G/∂c² <0 : systèmes homogènes instables.

2 Entre la limite de solubilité et la spinodale∂²G/∂c² >0 : systèmes homogènes métastables.

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 6 / 37

Germination ou décomposition spinodale ?

G(cfc) versusc : T₀<T_c T₁<T₀ T₂<T₁

T₃<T₂ etc.

1 Dans la spinodale∂²G/∂c² <0 : systèmes homogènes instables.

2 Entre la limite de solubilité et la spinodale∂²G/∂c² >0 : systèmes homogènes métastables.

Germination ou décomposition spinodale ?

G(cfc) versusc : T₀<T_c T₁<T₀ T₂<T₁ T₃<T₂

etc.

1 Dans la spinodale∂²G/∂c² <0 : systèmes homogènes instables.

2 Entre la limite de solubilité et la spinodale∂²G/∂c² >0 : systèmes homogènes métastables.

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 6 / 37

Germination ou décomposition spinodale ?

G(cfc) versusc : T₀<T_c T₁<T₀ T₂<T₁ T₃<T₂ etc.

1 Dans la spinodale∂²G/∂c² <0 : systèmes homogènes instables.

2 Entre la limite de solubilité et la spinodale∂²G/∂c² >0 : systèmes homogènes métastables.

Germination ou décomposition spinodale ?

G(cfc) versusc : T₀<T_c T₁<T₀ T₂<T₁ T₃<T₂ etc.

1 Dans la spinodale∂²G/∂c² <0 : systèmes homogènesinstables.

2 Entre la limite de solubilité et la spinodale∂²G/∂c² >0 : systèmes homogènes métastables.

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 6 / 37

Germination ou décomposition spinodale ?

G(cfc) versusc : T₀<T_c T₁<T₀ T₂<T₁ T₃<T₂ etc.

1 Dans la spinodale∂²G/∂c² <0 : systèmes homogènes instables.

2 Entre la limite de solubilité et la spinodale∂²G/∂c² >0 : systèmes homogènesmétastables.

Germination ou décomposition spinodale ?

Décomposition dans la spinodale

Amplification de fluctuations faibles et délocalisées.

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 7 / 37

Germination ou décomposition spinodale ?

Décomposition dans la spinodale

Amplification de fluctuations faibles et délocalisées.

Germination ou décomposition spinodale ?

Décomposition dans la spinodale

Amplification de fluctuations faibles et délocalisées.

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 7 / 37

Germination ou décomposition spinodale ?

Décomposition dans la spinodale

Amplification de fluctuations faibles et délocalisées.

Germination ou décomposition spinodale ?

Germination hors de la spinodale

Fluctuation hétérophase (composition et/ou structure) de taille suffisante pour croître.

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 8 / 37

Germination ou décomposition spinodale ?

Germination hors de la spinodale

Fluctuation hétérophase (composition et/ou structure)

Germination ou décomposition spinodale ?

Germination hors de la spinodale

Fluctuation hétérophase (composition et/ou structure) de taille suffisante pour croître.

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 8 / 37

Germination ou décomposition spinodale ?

Germination hors de la spinodale

Fluctuation hétérophase (composition et/ou structure)

La décomposition spinodale

Énergie de Gibbs d’une solution solide homogène :

développement autour de l’énergie de Gibbs d’un état initialc₀ g(c)=^g(c₀)+ ∂g

∂c _c

0

(c−c₀)+¹ 2

∂²g

∂c² _c

0

(c−c₀)²+O

(c−c₀)³ (1)

Énergie de Gibbs totale

(2) Énergie de Gibbs du système initial

G₀ =Z

g(c₀) dV (3)

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 9 / 37

La décomposition spinodale

Énergie de Gibbs d’une solution solide homogène :

développement autour de l’énergie de Gibbs d’un état initialc₀ g(c)=^g(c₀)+ ∂g

∂c _c

0

(c−c₀)+¹ 2

∂²g

∂c² _c

0

(c−c₀)²+O

(c−c₀)³ (1)

Énergie de Gibbs totale G =

Z

g(c(x))+ ^K

2 |∇c|²dV (2)

Énergie de Gibbs du système initial G₀ =

Z

g(c₀) dV (3)

La décomposition spinodale

Énergie de Gibbs d’une solution solide homogène :

développement autour de l’énergie de Gibbs d’un état initialc₀ g(c)=^g(c₀)+ ∂g

∂c _c

0

(c−c₀)+¹ 2

∂²g

∂c² _c

0

(c−c₀)²+O

(c−c₀)³ (1)

Énergie de Gibbs totale G=Z

g(c₀)+ ∂g

∂c _c

0

(c−c₀)+ ¹ 2

∂²g

∂c² _c

0

(c−c₀)²+^K

2 |∇c|²dV (2)

Énergie de Gibbs du système initial G₀ =

Z

g(c₀) dV (3)

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 9 / 37

La décomposition spinodale

Énergie de Gibbs d’une solution solide homogène :

développement autour de l’énergie de Gibbs d’un état initialc₀ g(c)=^g(c₀)+ ∂g

∂c _c

0

(c−c₀)+¹ 2

∂²g

∂c² _c

0

(c−c₀)²+O

(c−c₀)³ (1)

Énergie de Gibbs totale G=Z

g(c₀)+ ∂g

∂c _c

0

(c−c₀)+ ¹ 2

∂²g

∂c² _c

0

(c−c₀)²+^K

2 |∇c|²dV (2) Énergie de Gibbs du système initial

G₀ = Z

g(c₀) dV (3)

La décomposition spinodale

Conservation des espèces chimiques Z

(c−c₀)dx =^{0 (4)}

Énergie de Gibbs totale du système

(5) Variation due aux fluctuations

∆^G= ¹ 2

Z ∂²g

∂c² _c

0

(c−c₀)²+^K |∇c|²dV (6)

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 10 / 37

La décomposition spinodale

Conservation des espèces chimiques Z

(c−c₀)dx =^{0 (4)}

Énergie de Gibbs totale du système G=

Z

g(c₀)+ ∂g

∂c _c

0

(c−c₀)+ ¹ 2

∂²g

∂c² _c

0

(c−c₀)²+^K

2 |∇c|²dV (5)

Variation due aux fluctuations

∆^G= ¹ 2

Z ∂²g

∂c² _c

0

(c−c₀)²+^K |∇c|²dV (6)

La décomposition spinodale

Conservation des espèces chimiques Z

(c−c₀)dx =^{0 (4)}

Énergie de Gibbs totale du système G=

Z

g(c₀)+ ¹ 2

∂²g

∂c² _c

0

(c−c₀)²+ ^K

2 |∇c|²dV (5)

Variation due aux fluctuations

∆^G= ¹ 2

Z ∂²g

∂c² _c

0

(c−c₀)²+^K |∇c|²dV (6)

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 10 / 37

La décomposition spinodale

Conservation des espèces chimiques Z

(c−c₀)dx =^{0 (4)}

Énergie de Gibbs totale du système G=

Z

g(c₀)+ ¹ 2

∂²g

∂c² _c

0

(c−c₀)²+ ^K

2 |∇c|²dV (5) Variation due aux fluctuations

∆^G= ¹ 2

Z ∂²g

∂c² _c

0

(c−c₀)²+^K |∇c|²dV (6)

La décomposition spinodale

Lorsque ∂²g/∂c² _c

0 >0 =⇒ ∆^G>0 amplification impossible Lorsque ∂²g/∂c²

_c

0 <0 =⇒ ∆^G<0 amplification possible

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 11 / 37

La décomposition spinodale

Lorsque ∂²g/∂c² _c

0 >0 =⇒ ∆^G>0 amplification impossible Lorsque ∂²g/∂c²

_c

0 <0 =⇒ ∆^G<0 amplification possible

La décomposition spinodale

Taille caractéristique de la modulation de concentration

Transformée de Fourier des fluctuations δc_k(t) =

Z

δc(r,t)exp(ık·r) dr (7) δc(r,t) =

Z

δc_k(t)exp(−ık·r) dk (8) Pour simplifierδc_k =^{A cos}(kx)aveck =²π/λ

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 12 / 37

La décomposition spinodale

Taille caractéristique de la modulation de concentration

Transformée de Fourier des fluctuations δc_k(t) =

Z

δc(r,t)exp(ık·r) dr (7) δc(r,t) =

Z

δc_k(t)exp(−ık·r) dk (8)

Pour simplifierδc_k =^{A cos}(kx)aveck =²π/λ

La décomposition spinodale

Taille caractéristique de la modulation de concentration

Transformée de Fourier des fluctuations δc_k(t) =

Z

δc(r,t)exp(ık·r) dr (7) δc(r,t) =

Z

δc_k(t)exp(−ık·r) dk (8) Pour simplifierδc_k =^{A cos}(kx)aveck =²π/λ

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 12 / 37

La décomposition spinodale

Taille caractéristique de la modulation de concentration Pour une fluctuation de vecteur d’ondek

∆^Gk = ^S 2

Z ∂²g

∂c² _c

0

A²cos²(kx)+^{K A2k2 sin2}(kx)dx (9)

La décomposition spinodale

Taille caractéristique de la modulation de concentration Pour une fluctuation de vecteur d’ondek

∆^Gk = ^A2V 4









∂²g

∂c² _c

0

+^{K k2}









(9)

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 13 / 37

La décomposition spinodale

Taille caractéristique de la modulation de concentration Pour une fluctuation de vecteur d’ondek

∆^Gk = ^A2V 4









∂²g

∂c² _c

0

+^{K k2}









(9)

k

∆G

k

k^c 0

∆^Gk <0 si

∂²g/∂c² _c

0+^{K k2}<0, c’est-à-direk² <k_c² avec

k_c =−

∂²g/∂c² _c

0

/K

Rappels sur la théorie classique de la germination

Aspects thermodynamiques

Fluctuation hétérophase

∆^G =^V∆^Gv+^Sγ (10)

Germe sphérique

∆^G = ⁴

3πR³∆^Gv+⁴πR²γ (11)

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 14 / 37

Rappels sur la théorie classique de la germination

Aspects thermodynamiques

Fluctuation hétérophase

∆^G =^V∆^Gv+^Sγ (10) V_m∆^Gv = ^c_A^βµ_A^β(c_A^β)+^c_B^βµ_B^β(c_B^β)

−c_A^βµ^α_A(^c_A⁰)−c_B^βµ^α_B(^c_B⁰) (11)

Germe sphérique

∆^G = ⁴

3πR³∆^Gv+⁴πR²γ (12)

Rappels sur la théorie classique de la germination

Aspects thermodynamiques

Fluctuation hétérophase

∆^G =^V∆^Gv+^Sγ (10) V_m∆^Gv = ^c_A^βµ^α_A(c_A^αe)+^c_B^βµ^α_B(c_B^αe)

−c_A^βµ^α_A(^c_A⁰)−c_B^βµ^α_B(^c_B⁰) (11)

Germe sphérique

∆^G = ⁴

3πR³∆^Gv+⁴πR²γ (12)

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 14 / 37

Rappels sur la théorie classique de la germination

Aspects thermodynamiques

Fluctuation hétérophase

∆^G =^V∆^Gv+^Sγ (10) V_m^β

RT ∆^Gv = −c_A^βln(c_A⁰/c_A^αe)

−c_B^βln(c_B⁰/c_B^αe) (11)

Germe sphérique

∆^G = ⁴

3πR³∆^Gv+⁴πR²γ (12)

Rappels sur la théorie classique de la germination

Aspects thermodynamiques

Fluctuation hétérophase

∆^G =^V∆^Gv+^Sγ (10) V_m^β

RT ∆^Gv = −c_A^βln(c_A⁰/c_A^αe)

−c_B^βln(c_B⁰/c_B^αe) (11) Germe sphérique

∆^G = ⁴

3πR³∆^Gv+⁴πR²γ (12)

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 14 / 37

Rappels sur la théorie classique de la germination

Aspects thermodynamiques

∆G S γ

R

V ∆G v R^*

∆G*

0

Fluctuation supercritique

∂∆^G

∂R <0 (13)

Rayon critique (cf. TD)

R^∗∝ −γ/∆^Gv (14) Barrière de germination

∆^G∗∝γ³/∆^Gv² (15)

Rappels sur la théorie classique de la germination

Aspects thermodynamiques

∆G S γ

R

V ∆G v R^*

∆G*

0

Fluctuation supercritique

∂∆^G

∂R <0 (13)

Rayon critique (cf. TD)

R^∗∝ −γ/∆^Gv (14)

Barrière de germination

∆^G∗∝γ³/∆^Gv² (15)

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 15 / 37

Rappels sur la théorie classique de la germination

Aspects thermodynamiques

∆G S γ

R

V ∆G v R^*

∆G*

0

Fluctuation supercritique

∂∆^G

∂R <0 (13)

Rayon critique (cf. TD)

R^∗∝ −γ/∆^Gv (14) Barrière de germination

∆^G∗∝γ³/∆^Gv² (15)

Rapides rappels sur la théorie classique

Aspects cinétiques

Flux de germination I = dN

dt =νn_sn^∗ (16)

Fréquence d’attachement ν=ν₀ exp −Q

RT

!

(17) Nombre de germes critiques

n^∗=ⁿ0exp −∆^G∗ RT

!

(18)

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 16 / 37

Rapides rappels sur la théorie classique

Aspects cinétiques

Flux de germination I = dN

dt =νn_sn^∗ (16) Fréquence d’attachement

ν=ν₀ exp −Q RT

!

(17)

Nombre de germes critiques n^∗=ⁿ0exp −∆^G∗

RT

!

(18)

Rapides rappels sur la théorie classique

Aspects cinétiques

Flux de germination I = dN

dt =νn_sn^∗ (16) Fréquence d’attachement

ν=ν₀ exp −Q RT

!

(17) Nombre de germes critiques

n^∗=ⁿ0exp −∆^G∗ RT

!

(18)

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 16 / 37

Rapides rappels sur la théorie classique

Aspects cinétiques

Flux de germination I = dN

dt =νn_sn^∗ (16) Fréquence d’attachement

ν=ν₀ exp −Q RT

!

(17) Nombre de germes critiques

n^∗=ⁿ0exp −∆^G∗ RT

!

(18)

n*

J

T

ν

I=ν₀n_sn₀ exp −^Q+ ∆^G∗ RT

! (19)

Rapides rappels sur la théorie classique

Aspects cinétiques

n*

J T

ν

temps 1 %

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 17 / 37

Germination : exemples

Nano-précipité dans un alliage Al-Zn-Mg par

Simulation Monte-Carlo cinétique de la précipitation de carbures NbC dans un acier IF [D. Gendt, SRMP, CEA Saclay].

Germination : exemples

Nano-précipité dans un alliage Al-Zn-Mg par tomographie atomique [W. Lefebvre, GPM, Rouen].

Simulation Monte-Carlo cinétique de la précipitation de carbures NbC dans un acier IF [D. Gendt, SRMP, CEA Saclay].

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 18 / 37

Spécificités de l’état solide

Solides (contraintes) cristallins (anisotropie)

Interfaces (nature, anisotropie deγ, relations d’orientation . . .) Effet des contraintes élastiques Influence des défauts cristallins

=⇒Germination

Simulation de la précipitation dans un alliage Al-Zn [A. Zunger et al., NREL, Colorado].

Nature des interfaces

Interface cohérente

Sans désaccord paramétrique (misfit) :γ ∈[1−200] mJ/m²

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 20 / 37

Nature des interfaces

Interface cohérente

Avec désaccord paramétriqueδ= _(a+c)/2^{a−c :}γ∈[1−200] mJ/m²

Nature des interfaces

Interface semi-cohérente

Dislocations d’accomodation espacées deD ≈ ^b_δ :γ∈[200−500] mJ/m²

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 20 / 37

Nature des interfaces

Interface incohérente

γ∈[500−1000] mJ/m²

Anisotropie

Propriétés des interfaces fortement anisotropes

Considérons la portion d’interface de lon- gueurL, d’orientationθ ∈[−π/2;π/2], et∞ perpendiculairement à l’écran

Nombre de liaisons « verticales coupées » :n_v =^{L cos}θ/a Nombre de liaisons « horizontales coupées » :n_h =^{L sin}|θ|/a

Énergie due aux liaisons d’énergieε coupées :γ=

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 21 / 37

Anisotropie

Propriétés des interfaces fortement anisotropes

Considérons la portion d’interface de lon- gueurL, d’orientationθ ∈[−π/2;π/2], et∞ perpendiculairement à l’écran

Nombre de liaisons « verticales coupées » :n_v =^{L cos}θ/a

Nombre de liaisons « horizontales coupées » :n_h =^{L sin}|θ|/a

Énergie due aux liaisons d’énergieε coupées :γ=

Anisotropie

Propriétés des interfaces fortement anisotropes

Considérons la portion d’interface de lon- gueurL, d’orientationθ ∈[−π/2;π/2], et∞ perpendiculairement à l’écran

Nombre de liaisons « verticales coupées » :n_v =^{L cos}θ/a Nombre de liaisons « horizontales coupées » :n_h =^{L sin}|θ|/a

Énergie due aux liaisons d’énergieε coupées :γ=

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 21 / 37

Anisotropie

Propriétés des interfaces fortement anisotropes

Considérons la portion d’interface de lon- gueurL, d’orientationθ ∈[−π/2;π/2], et∞ perpendiculairement à l’écran

Nombre de liaisons « verticales coupées » :n_v =^{L cos}θ/a Nombre de liaisons « horizontales coupées » :n_h =^{L sin}|θ|/a

Énergie due aux liaisons d’énergieε coupées :γ= (n_h+ⁿv)ε/(2L a)

Anisotropie

Propriétés des interfaces fortement anisotropes

γ

θ

Considérons la portion d’interface de lon- gueurL, d’orientationθ ∈[−π/2;π/2], et∞ perpendiculairement à l’écran

Nombre de liaisons « verticales coupées » :n_v =^{L cos}θ/a Nombre de liaisons « horizontales coupées » :n_h =^{L sin}|θ|/a

Énergie due aux liaisons d’énergieε coupées :γ= (cosθ+^sin|θ|) ε/(2a²)

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 21 / 37

Anisotropie

Propriétés des interfaces fortement anisotropes

Diagramme de Wulffγvsθ Minimisation deR

γ(θ)dA

L’énergie élastique peut également contribuer à l’aniso- tropie de la forme.

Anisotropie

Propriétés des interfaces fortement anisotropes

Diagramme de Wulffγvsθ Minimisation deR

γ(θ)dA

L’énergie élastique peut également contribuer à l’aniso- tropie de la forme.

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 22 / 37

Anisotropie

Propriétés des interfaces fortement anisotropes

Diagramme de Wulffγvsθ Minimisation deR

γ(θ)dA

L’énergie élastique peut également contribuer à l’aniso- tropie de la forme.

Anisotropie

Propriétés des interfaces fortement anisotropes

Diagramme de Wulffγvsθ Minimisation deR

γ(θ)dA

L’énergie élastique peut également contribuer à l’aniso- tropie de la forme.

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 22 / 37

Anisotropie

Propriétés des interfaces fortement anisotropes

Diagramme de Wulffγvsθ Minimisation deR

γ(θ)dA

L’énergie élastique peut également contribuer à l’aniso- tropie de la forme.

Anisotropie

Propriétés des interfaces fortement anisotropes

Diagramme de Wulffγvsθ Minimisation deR

γ(θ)dA

L’énergie élastique peut également contribuer à l’aniso- tropie de la forme.

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 22 / 37

Anisotropie

Propriétés des interfaces fortement anisotropes

Diagramme de Wulffγvsθ Minimisation deR

γ(θ)dA

L’énergie élastique peut également contribuer à l’aniso- tropie de la forme.

Anisotropie

Propriétés des interfaces fortement anisotropes

Diagramme de Wulffγvsθ Minimisation deR

γ(θ)dA

L’énergie élastique peut également contribuer à l’aniso- tropie de la forme.

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 22 / 37

Anisotropie

Propriétés des interfaces fortement anisotropes

Diagramme de Wulffγvsθ Minimisation deR

γ(θ)dA

L’énergie élastique peut également contribuer à l’aniso- tropie de la forme.

Anisotropie

Propriétés des interfaces fortement anisotropes

Diagramme de Wulffγvsθ

L’énergie élastique peut également contribuer à l’aniso- tropie de la forme.

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 22 / 37

Anisotropie

Propriétés des interfaces fortement anisotropes

Diagramme de Wulffγvsθ

L’énergie élastique peut également contribuer à l’aniso-

Relations d’orientation

Pour minimiser l’énergie d’interface, il est préférable de créer des interfaces cohérentes, voire semi-cohérentes

CFC/HC

{111}_CFC // {0001}_HC

<110>_CFC // <1120>_HC

CC/HC(Burgers)

{110}_CC // {0001}_HC

<111>_CC // <1120>_HC

a b

c a‘

b‘

c‘

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 23 / 37

Relations d’orientation

Pour minimiser l’énergie d’interface, il est préférable de créer des interfaces cohérentes, voire semi-cohérentes

CFC/HC

{111}_CFC // {0001}_HC

<110>_CFC // <1120>_HC

CC/HC(Burgers)

{110}_CC // {0001}_HC

<111>_CC // <1120>_HC

Plan A Plan B Plan C

Plan A Plan B Plan A

Relations d’orientation

Pour minimiser l’énergie d’interface, il est préférable de créer des interfaces cohérentes, voire semi-cohérentes

CFC/HC

{111}_CFC // {0001}_HC

<110>_CFC // <1120>_HC CC/HC(Burgers)

{110}_CC // {0001}_HC

<111>_CC // <1120>_HC

γ

γ c

b a

γ

c

a‘

b‘

c‘

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 23 / 37

Relations d’orientation

Pour minimiser l’énergie d’interface, il est préférable de créer des interfaces cohérentes, voire semi-cohérentes

CC/CFC

(Kurdjumov-Sachs) {110}_CC // {111}_CFC

<111>_CC // <011>_CFC

(Nishiyama-Wasserman) {110}_CC // {111}_CFC

<001>_CC // <101>_CFC

a‘

b‘

c‘

a b c

Relations d’orientation

Pour minimiser l’énergie d’interface, il est préférable de créer des interfaces cohérentes, voire semi-cohérentes

CC/CFC

(Kurdjumov-Sachs) {110}_CC // {111}_CFC

<111>_CC // <011>_CFC (Nishiyama-Wasserman)

{110}_CC // {111}_CFC

<001>_CC // <101>_CFC

a‘

b‘

c‘

a b c

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 23 / 37

Relations d’orientation

Description matricielle: exemple de Kurdjumov-Sachs [111]_γ // [011]_α

h101i

γ // h 1 11i

α

h121i

γ // h 211i

α

a‘

b‘

c‘

111 101

121

a b c

011 111

211

γ

α

α

α

γ

γ

Relations d’orientation

Description matricielle: exemple de Kurdjumov-Sachs [111]_γ // [011]_α

h101i

γ // h 1 11i

α

h121i

γ // h 211i

α

k = |[111]_γ|

|[011]_α| g = |h

101i

γ|

|h 1 11i

α| m = |h

121i

γ|

|h 211i

α|

a‘

b‘

c‘

111 101

121

a b c

011 111

211

γ

α

α

α

γ

γ

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 24 / 37

Relations d’orientation

Description matricielle: exemple de Kurdjumov-Sachs [111]_γ // [011]_α

h101i

γ // h 1 11i

α

h121i

γ // h 211i

α

k =

√ 3a_γ

√ 2a_α g = |h

101i

γ|

|h 1 11i

α|

m = |h 121i

γ|

a‘

b‘

c‘

111 101

121

a b c

011 111

211

γ

α

α

α

γ

γ

Relations d’orientation

Description matricielle: exemple de Kurdjumov-Sachs [111]_γ // [011]_α

h101i

γ // h 1 11i

α

h121i

γ // h 211i

α

k =

√ 3a_γ

√ 2a_α g =

√ 2a_γ

√ 3a_α m = |h

121i

γ|

|h 211i

α|

a‘

b‘

c‘

111 101

121

a b c

011 111

211

γ

α

α

α

γ

γ

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 24 / 37

Relations d’orientation

Description matricielle: exemple de Kurdjumov-Sachs [111]_γ // [011]_α

h101i

γ // h 1 11i

α

h121i

γ // h 211i

α

k =

√ 3a_γ

√ 2a_α g =

√ 2a_γ

√ 3a_α m =

√6a_γ

√

6a_α = ^aγ a_α

a‘

b‘

c‘

111 101

121

a b c

011 111

211

γ

α

α

α

γ

γ

Relations d’orientation

Description matricielle: exemple de Kurdjumov-Sachs [111]_γ // [011]_α

h101i

γ // h 1 11i

α

h121i

γ // h 211i

α

[^0kk]α = (αJγ) [111]γ

g gg

α = (αJγ)h 101i

γ

2mmm

α = (αJγ)h 121i

γ

où xyz

vecteur colonne

a‘

b‘

c‘

111 101

121

a b c

011 111

211

γ

α

α

α

γ

γ

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 24 / 37

Relations d’orientation

Description matricielle: exemple de Kurdjumov-Sachs [111]_γ // [011]_α

h101i

γ // h 1 11i

α

h121i

γ // h 211i

α













0 g 2m k g m k g m













=(αJγ)













1 1 1

1 0 2

1 1 1













a‘

b‘

c‘

111 101

121

a b c

011 111

211

γ

α

α

α

γ

γ

Relations d’orientation

Description matricielle: exemple de Kurdjumov-Sachs [111]_γ // [011]_α

h101i

γ // h 1 11i

α

h121i

γ // h 211i

α

(αJγ)= ^aγ a_α





















0 −

q2

3 2

q3

2 −

q2 3 −1 q3

2

q2

3 1

































1 3

1 3

1 3

−¹₂ 0 ¹₂

1

6 −¹₃ ¹₆













=⇒tenseur de déformation libre

a‘

b‘

c‘

111 101

121

a b c

011 111

211

γ

α

α

α

γ

γ

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 24 / 37

Relations d’orientation

Description matricielle: exemple de Kurdjumov-Sachs [111]_γ // [011]_α

h101i

γ // h 1 11i

α

h121i

γ // h 211i

α

(αJγ)= ^aγ a_α





















0 −

q2

3 2

q3

2 −

q2 3 −1 q3

2

q2

3 1

































1 3

1 3

1 3

−¹₂ 0 ¹₂

1

6 −¹₃ ¹₆













=⇒tenseur de déformation libre

a‘

b‘

c‘

111 101

121

a b c

011 111

211

γ

α

α

α

γ

γ

Contraintes

Précipité incohérent: contribution de la variation de volume

Variation de volume

∆ = ∆^V/V Élasticité isotrope + inclusion homogène indéformable (Nabarro)

E_el= ^E

3(1+ν)^f(c/a)∆^2V

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 25 / 37

Contraintes

Précipité incohérent: contribution de la variation de volume

Variation de volume

∆ = ∆^V/V

Élasticité isotrope + inclusion homogène indéformable (Nabarro)

E_el= ^E

3(1+ν)^f(c/a)∆^2V

Contraintes

Précipité incohérent: contribution de la variation de volume

Variation de volume

∆ = ∆^V/V Élasticité isotrope + inclusion homogène indéformable (Nabarro)

E_el= ^E

3(1+ν)^f(c/a)∆^2V

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 25 / 37

Contraintes

Précipité incohérent: contribution de la variation de volume

a c

c/a

f

0,75 1

1

Variation de volume

∆ = ∆^V/V Élasticité isotrope + inclusion homogène indéformable (Nabarro)

E_el= ^E

3(1+ν)^f(c/a)∆^2V

Contraintes

Précipité cohérent

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 26 / 37

Contraintes

Précipité cohérent

Continuité des réseaux

Désaccord paramétrique

δ= ^b−a

(a+^b)/2

Contraintes

Précipité cohérent

a

b

Continuité des réseaux Désaccord paramétrique

δ= ^b−a

(a+^b)/2

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 26 / 37

Contraintes

Précipité cohérent

Élasticité isotrope + inclusion homogène (Eshelby)

ε= ² 3δ E_elindépendante de la forme du précipité

E_el= ^E 1−νδ²V

Contraintes

Précipité cohérent

0

r

σ

rr

σθθ

Champs de contrainte dans le cas d’un précipité avecδ >0

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 26 / 37

Contraintes

Précipités cohérents : cas général

Contraste de constantes élastiques

1

1 a

c

+

-

matrice dure

matrice molle

Élasticité hétérogène

[Fischer et Bohm, 2005]

Élasticité anisotrope : facteur de Zener A =^2C44/(C₁₁−C₁₂) Interaction entre précipités

[Mori-Tanaka]

E_el^tot=^fv(1−f_v)E_el¹ (20)

Contraintes

Précipités cohérents : cas général

C=





























C₁₁ C₁₂ C₁₂ 0 0 0 C₁₂ C₁₁ C₁₂ 0 0 0 C₁₂ C₁₂ C₁₁ 0 0 0

0 0 0 C₄₄ 0 0

0 0 0 0 C₄₄ 0

0 0 0 0 0 C₄₄





























Élasticité hétérogène

[Fischer et Bohm, 2005]

Élasticité anisotrope : facteur de Zener A =^2C44/(C₁₁−C₁₂)

Interaction entre précipités

[Mori-Tanaka]

E_el^tot=^fv(1−f_v)E_el¹ (20)

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 27 / 37

Contraintes

Précipités cohérents : cas général

∆E due à l’anisotropie du tenseur des rigidités

Élasticité hétérogène

[Fischer et Bohm, 2005]

Élasticité anisotrope : facteur de Zener A =^2C44/(C₁₁−C₁₂)

Interaction entre précipités

[Mori-Tanaka]

E_el^tot=^fv(1−f_v)E_el¹ (20)

Contraintes

Précipités cohérents : cas général

Super-alliage base nickel [Snecma]

Élasticité hétérogène

[Fischer et Bohm, 2005]

Élasticité anisotrope : facteur de Zener A =^2C44/(C₁₁−C₁₂)

Interaction entre précipités

[Mori-Tanaka]

E_el^tot=^fv(1−f_v)E_el¹ (20)

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 27 / 37

Contraintes

Précipités cohérents : cas général

Élasticité hétérogène

[Fischer et Bohm, 2005]

Élasticité anisotrope : facteur de Zener A =^2C44/(C₁₁−C₁₂) Interaction entre précipités

[Mori-Tanaka]

E_el^tot=^fv(1−f_v)E_el¹ (20)

Variants cristallographiques

À une relation d’orientation correspondent différentes orientations

« morphologiques » appelées variant(e)s cristallographiques

1 seul variant si les groupes de symétrie des phases sont identiques plusieurs variants lorsqu’il y a changement de groupe de symétrie

cubique=⇒quadratique

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 28 / 37

Variants cristallographiques

À une relation d’orientation correspondent différentes orientations

« morphologiques » appelées variant(e)s cristallographiques

t=^{0 s t}=⁸·10⁶s t=2,4·₁₀⁷_{s t}=1,6·₁₀⁸_s

Simulations numériques des zones de Guinier-Preston dans Al-1% Cu [L.Q. Chen, Pennstate University]

Variants cristallographiques

À une relation d’orientation correspondent différentes orientations

« morphologiques » appelées variant(e)s cristallographiques

Zones de Guinier-Preston dans Al-1,4% Cu observées en champ sombre avec détecteur annulaire à grand angle [Konno et al., 2001]

Benoît Appolaire (INPL) Germination à l’état solide 29 / 37

Conséquences sur la décomposition spinodale

Les fluctuationsδc conduisent à des défor- mations « libres »

δ= ¹ a

da

dc δc=ηδc (21) correspondant à une énergie élastique

E_el= ^E

1−νη²δc²V_m (22)