Thermodynamique industrielle

BLAISE PASCAL PT 2020-2021

DM 15 – à rendre lundi 15 février Correction

Thermodynamique industrielle

Procédé Linde de liquéfaction de l’azote

. adapté Mines PSI 2015 .

• A

• B

C •• D E•

Figure 1– Diagramme enthalpique du diazote complété.

A - Diagramme enthalpique du diazote

1 La courbeC1 est uneisotherme. À basse pression, elle se trouve dans le domaine gazeux : le diazote peut être approximé par un gaz parfait, et d’après la loi de Joule

dh=cPdT .

L’isotherme (dT = 0) se trouve donc confondue avec l’isenthalpe (dh= 0) et est doncverticale.

2 La courbeC2 est uneisentrope. D’après l’identité thermodynamique, dh=Tds+vdP =vdP donc dP

dh = 1 v >0, ce qui justifie que la courbe soit croissante.

3 Voir figure 1. Dans le séparateur, le diazote est diphasé sous 1 bar. Ainsi, au pointD, il est à l’état de vapeur saturante sèche sous cette pression.

1/4 Étienne Thibierge, 16 février 2021,www.etienne- thibierge.fr

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B - Production de diazote liquide

4 L’azote entre dans le séparateur avec un débitDet un titre en liquidex. On récupère seulement la phase liquide en sortie de l’installation et seulement la phase gazeuse enD, on a donc tout simplement

Dm=xD et D⁰ = (1−x)D.

Une démonstration plus rigoureuse utilise le premier principe industriel et le théorème des moments, mais ne me semble pas nécessaire ici. En revanche, il faut absolument expliquer par une phrase : « les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte » !

5 L’échangeur (E) est globalement calorifugé et sans pièce mobile. En négligeant les variations d’énergie mécanique devant les variations d’enthalpie, le premier principe industriel s’écrit donc

D⁰(h_E−h_D) +D(h_B−h_A) =

P_i,(E)+

P_th,(E)= 0 d’où on déduit

h_B =h_A−D⁰

D(h_E−h_D) d’où h_B=h_A+ (1−x)(h_D−h_E). 6 Appliquons le théorème des moments au pointC pour exprimer le titre en liquidex,

x= hC−hvap

hliq−hvap

soit hC=hvap+x(hliq−hvap).

Comme la détente dans la vanne (V) est isenthalpique, alorsh_C=h_B, et d’après les deux questions précédentes, h_C=h_A−(1−x)(h_E−h_D) =h_A−(1−x)(h_E−h_vap).

En identifiant les deux expressions, il vient

hvap+x(hliq−hvap) =hA−(1−x)(hE−hvap) h_vap+x(h_liq−h_vap) =h_A−h_E+

h_vap+x(h_E−h_vap) x(hliq−

hvap−hE+

hvap) =hA−hE

ce qui conduit bien à

x= hE−hA

h_E−h_liq.

Méthode alternative :d’après le premier principe industriel appliqué au séparateur,

D⁰hD+Dmhliq− DhC = 0 soit (1−x)DhD+xDhliq− DhC= 0

On obtient alors une deuxième expression dehC=hB, que l’on peut identifier avec celle obtenue à la question précédente pour aboutir au résultat.

On lit sur le diagramme

h_E= 515 kJ·kg⁻¹ h_A= 500 kJ·kg⁻¹ h_liq=h_D= 285 kJ·kg⁻¹ ce qui permet de conclure que

x= 0,065 = 6,5 %. On en déduit le débit d’azote liquide produit,

Dm=xD= 3,2·10⁻²kg·s⁻¹.

7 Pour placer le pointC, on connaît la pression et le titre en liquide. Le pointB s’obtient à partir de la pression et de la conditionhC=hB. Au pointB, l’azote est à l’état defluide supercritiqueà la températureTB=−115^◦C.

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C - Dimensionnement des étages de compression et réfrigération

8 Comme démontré à la question 1, si le diazote se comportait réellement comme un gaz parfait alors les isothermes seraient verticales. On observe sur le diagramme que c’est raisonnablement le cas autour du point E, mais plus vraiment au niveau du pointA. L’hypothèse est donc discutable sur le plan quantitatif, mais elle va permettre au moins des prévisions qualitatives.

9 La compression étant adiabatique réversible, on peut appliquer la loi de Laplace entre l’entrée et la sortie du compresseur,

T_e^γP_e^1−γ =T_s^γP_s^1−γ soit T_s^γ =T_e^γ Pe

P_s 1−γ

=T_e^γ 1

r^1−γ =T_e^γr^γ−1.

La température d’entrée du compresseur est égale à TE, et la température de sortie ne devant pas dépasser Tmax, donc

T_E^γρ^γ−1< T_max^γ soit ρ^γ−1<

Tmax

TE

γ

ce qui conduit au résultat voulu sur le rapport de compression,

ρ <

Tmax

TE

γ/(γ−1)

.

10 Comme les réfrigérants sont isobares, alors la pression d’entrée du compresseur n est égale à la pression de sortie du compresseurn−1. En sortie desN compresseurs, le rapport de compression totalρN s’écrit

ρ_N =P_s,N Pe,1

= Ps,N

P_s,N−1 ×P_s,N−1

P_s,N−2× · · · × Ps,2

P_s,1 ×Ps,1

P_e,1 ρ×ρ× · · · ×ρ×ρ

ρN =ρ^N On en déduit

lnρN =Nlnρ soit lnPA

PE

=Nlnρ donc N = ln(PA/PE) lnρ . D’après la question précédente,

lnρ < γ

γ−1lnTmax

T_E d’où on déduit

N > γ−1 γ

ln(P_A/P_E)

ln(Tmax/TE) = 4,57.

Il faut donc prévoir au moins cinq étages de compression et réfrigération, et dans ce cas la température de sortie d’un étage sera un peu inférieure à T_max.

11 Dans le cas le plus défavorable, le diazote quitte le compresseur et donc entre dans le réfrigérant à la tempéra- tureT_max. Il en sort à la température T_E. Supposons le réfrigérant (R) globalement calorifugé et sans pièce mobile.

En notant d’un prime les grandeurs relatives à l’eau, le premier principe s’écrit D_eau(h⁰_s−h⁰_e) +D h_N

2,s−h_N

2,e

=P_i+

P_th,ext= 0. Avec la loi de Joule,

Deauc⁰(T_s⁰−T_e⁰) +D γr

γ−1(TE−Tmax) = 0. On en déduit

T_s⁰=T_e⁰+ D Deau

γr

c⁰(γ−1)(Tmax−TE). Comme le cahier des charges imposeT_s⁰ < T_max⁰ , on en déduit

T_e⁰+ D Deau

γr

c⁰(γ−1)(Tmax−TE)< T_max⁰ D

D_eau γr

c⁰(γ−1)(Tmax−TE)< T_max⁰ −T_e⁰

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Correction DM 15 : Thermodynamique industrielle Blaise Pascal, PT 2020-2021 ce qui conduit à

Deau> γr c⁰(γ−1)

Tmax−TE

T_max⁰ −T_e⁰ D= 0,16 kg·s⁻¹.

12 En utilisant l’identité thermodynamique et la loi de Joule, dh=Tds+vdP = γr

γ−1dT . D’après l’équation d’état appliquée à une massemde gaz parfait,

PV m = n

mRT soit P v=RT

M =rT d’où v= rT P . On en déduit

γr

γ−1dT =Tds+rT

P dP d’où dT

T = γ−1

γr ds+γ−1 γ

dP P .

13 Comme le compresseur est adiabatique mais potentiellement irréversible, on a alor ds=δscréée. En intégrant la relation précédente entre l’entrée et la sortie du compresseur, il vient

lnTs

T_e = γ−1

γr s_créée+γ−1 γ lnPs

P_e =γ−1

γr s_créée+γ−1 γ lnρ . Dans le cas d’un compresseur isentropique,

lnTs,iso-S

Te

γ−1 γ lnρ . En soustrayant les deux équations, on obtient donc

ln T_s Ts,iso-S

= γ−1

γr s_créée>0 d’où T_s> T_s,iso-S.

Ce faisant, pour respecter le cahier des charges sur la température maximale du diazote, il faudraprévoir davantage d’étages de compression et refroidissementsi les compresseurs sont irréversibles.

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