Thermodynamique industrielle

(1)

Table des matières

8 Thermodynamique industrielle 2

8.1 Exercices d’application 2

8.1.1 Perte thermique latérale. . . 2

8.1.2 Étude d’un détendeur calorifugé. . . 2

8.1.3 Étude d’un compresseur. . . 3

8.1.4 Étude d’une turbine . . . 3

8.1.5 Étude d’une tuyère. . . 3

8.1.6 Étude d’un échangeur thermique . . . 4

8.1.7 Étude d’un séparateur isobare. . . 4

8.1.8 Étude d’un mélangeur isobare. . . 5

8.2 Problèmes 5 8.2.1 Cycle frigorigène R22 . . . 5

8.2.2 Pompe à chaleur . . . 7

8.2.3 Cycle de Rankineen diagramme T−s. . . 7

8.3 Oral Banque PT 9 8.3.1 Tuyère calorifugée. . . 9

8.4 Annales 9 8.4.1 Étude d’une installation nucléaire REP. . . 9

8.4.2 Conditionnement d’air & fluide à glissement de température . . . 13

(2)

8 Thermodynamique industrielle

8.1 Exercices d’application

8.1.1 Perte thermique latérale

On considère un tuyau cylindrique de rayon R, horizontal, de longueur L R parcouru par un fluide caloporteur entrant à la température Te. Ce tuyau n’étant pas calorifugé, il échange une puissance thermique avec le milieu extérieur et on considère que sa température T = T(x) (les échanges conductifs radiaux sont négligés). La puissance échangée avec le milieu extérieur vérifie la loi de Newton δP =hdS(T_ext−T) où dS est la surface latérale d’un élément mésoscopique.

Le système est étudié en régime permanent, la conduction axiale est négligée.

1. Quelle(s) puissance(s) thermique(s) doit-on prendre en compte dans ce problème ? 2. Quelle est le système le plus adapté à l’étude de ce problème ?

3. En déduire l’équation différentielle vérifiée par la températureT(x), puis la température de sortie T_s.

8.1.2 Étude d’un détendeur calorifugé

Un fluide s’écoule dans une conduite où un détendeur calorifugé provoque une chute de pression importante. On néglige les variations d’énergie cinétique et potentielle et on étudie l’évolution de divers fluides à travers la vanne :

1. Quelles hypothèses courantes peut-on faire ici pour étudier ce détendeur ?

2. En déduire une expression simplifiée du premier principe de la thermodynamique en système ouvert.

(3)

8. Thermodynamique industrielle 8.1. Exercices d’application

3. Le fluide est un gaz parfait et entre dans le détendeur àTe = −20^◦C. Établir sa température de sortie.

4. Le fluide est du R134a, entre dans le détendeur sous forme de liquide saturant àP_e= 4,0 bar et en sort àPs= 1,0 bar. En déduire sa température de sortie, son état physique, et la fraction massique en vapeur.

8.1.3 Étude d’un compresseur

Un compresseur de turboréacteur admet un débit massique de D_m = 1,5 kg·s⁻¹ d’air. Les données thermodynamiques du fluide sont :

Pression (bar) Énergie interne (kJ·kg⁻¹) Volume massique (m³·kg⁻¹)

Entrée 1,00 289,6 0,242

Sortie 10 359,2 5,26×10⁻²

1. Quelles hypothèses courantes peut-on faire ici pour étudier ce compresseur ?

3. Calculer l’enthalpie massique en entrée et sortie du compresseur.

4. On suppose que le compresseur est également calorifugé, quelle est sa puissance ? Commenter le signe obtenu.

Le rendement isentropique du compresseur est η_isen= ^[^h^isen^]

s

[hréel]^see = 0,811.

5. En déduire l’enthalpie et le volume massique en sortie du compresseur réversible.

8.1.4 Étude d’une turbine

Une turbine à vapeur calorifugée (parfois appelée « turbine à gaz ») équipe une petite centrale élec- trique. Elle est alimentée en gaz par la combustion de déchets organiques. Les propriétés de la vapeur employée sont :

Pression (bar) Température (^◦C) Volume massique (m³·kg⁻¹) Énergie interne (kJ·kg⁻¹)

Entrée 45 400 0,0648 2914,2

Sortie 0,75 91,6 2,122 2316,3

1. Quelles hypothèses courantes peut-on faire ici pour étudier cette turbine ?

3. Quel est le travail indiqué massique délivré par cette turbine ? Commenter le signe obtenu.

4. Quel débit de vapeur doit-on faire circuler pour obtenir une puissance indiquée deP_i= 4,0 MW ? 8.1.5 Étude d’une tuyère

On s’intéresse à la tuyère d’un turboréacteur, dans laquelle l’écoulement d’air est compressible ce qui a pour conséquence que la pression de l’air chute tandis que sa vitesse augmente. Le débit massique d’air à travers la tuyère est deD_m= 26 kg·s⁻¹. Les données thermodynamiques sont les suivantes :

Vitesse (m·s⁻¹) Pression (bar) Température (K) Volume massique (m³·kg⁻¹)

Entrée 10 2,28 950 1,36

Sortie 1,00 780 2,55

On admettra que les propriétés thermodynamiques de l’air, notamment sa capacité thermique mas- siquec_v = 0,823 kJ·kg⁻¹·K⁻¹ restent inchangées.

(4)

8. Thermodynamique industrielle 8.1. Exercices d’application

1. Quelles hypothèses courantes peut-on faire ici pour étudier cette tuyère ?

3. Calculer alors la vitesse des gaz en sortie de tuyère.

4. Le débit volumique est-il inchangé ? Commenter.

8.1.6 Étude d’un échangeur thermique On considère un échangeur thermique constitué de deux circulations d’eau à contre-courant.

L’échangeur est supposé parfaitement calorifugé et les écoulements supposés isobares et en régime permanent. La capacité thermique massique de l’eau est supposée indépendante de la température et on note T₁_,₁ et T₁_,₂ les températures d’entrée dans l’échangeur et T₂,1 et T₂,2 les températures de sortie.

Le débit massique est noté D₁ dans la conduite (1,1) 7→ (2,1) et D₂ dans la conduite (1,2) 7→ (2,2). On donne T₁_,₁ = 350 K, T₂,1 = 290 K, T₁,2 = 280 K, T₂,2 = 340 K, c_p= 4,17 kJ·kg⁻¹·K⁻¹ et D₁ = 1 kg·s⁻¹.

Echangeur

1,1 2,1

2,2 1,2

Fig. 8.1 – Schéma d’échangeur à contre-courant

1. Quelles hypothèses courantes peut-on faire ici pour étudier cet échangeur thermique ?

3. Exprimer puis calculerD₂ en fonction des données du problème. Calculer sa valeur numérique.

4. Exprimer la variation d’entropie massique entre l’entrée et la sortie d’un écoulement de fluide isobare en fonction des données du problème.

5. Exprimer puis calculer le taux d’entropie ^d_d^S_t^c créée dans l’échangeur complet en fonction des données du problème. Commenter.

8.1.7 Étude d’un séparateur isobare

On considère un séparateur isobare parcouru par un écoulement de fluide R134a, dont le diagramme des frigoristes est donné en figure ??. Ce fluide entre en 3 à l’état diphasique à la température T₃ = −10^◦C dans les conditions d’équilibre liquide-vapeur. Le séparateur permet d’obtenir, en 1 , un écoulement de vapeur saturée, et, en 2 , un écoulement de liquide saturé. Le débit massique entrant est deD₃= 1,00 kg·s⁻¹.

Séparateur P_sat 1

2

3

Fig. 8.2– Schéma de séparateur isobare

1. Quelle pression règne dans le séparateur ?

2. Quelle valeur d’enthalpie massique peut-on en déduire pour les sorties 1 et 2 ? 3. On donneD₂= 0,80 kg·s⁻¹. En déduire la valeur d’enthalpie massique de l’entrée 3 .

(5)

8. Thermodynamique industrielle 8.2. Problèmes

8.1.8 Étude d’un mélangeur isobare

On considère un mélangeur parcouru par un écou- lement entrant en 1 à la températureT₁ = 10^◦C à l’état liquide et par un courant de vapeur d’eau entrant en 2 à la température T₂ = 150^◦C.

L’écoulement résultant du mélange isobare des deux fluides sort du mélangeur par la sortie 3 à la températureT₃= 50^◦C.

On note T₀ = 25^◦C la température du milieu ex- térieur. On suppose le régime permanent établi et on donne :D₁= 0,938 kg·s⁻¹,D₂ = 0,062 kg·s⁻¹ ainsi que les valeurs thermodynamiques suivantes :

Mélangeur àP =P_sat

1 2

3

Fig. 8.3– Schéma de mélangeur isobare

1. Quelles hypothèses courantes peut-on faire pour étudier ce mélangeur ?

3. Montrez que l’hypothèse de mélangeur adiabatique est raisonnable.

4. Établir l’expression littérale puis la valeur numérique du taux de création d’entropie ^dS_d_t^c dans le mélangeur. Commenter.

Données :

État h (kJ·kg⁻¹) s(kJ·kg⁻¹·K⁻¹)

1 42 0,151

2 2746 6,838

3 209,6 0,703

8.2 Problèmes

8.2.1 Cycle frigorigène R22

Le schéma de la figure 8.4 représente l’allure du cycle décrit par le fluide frigorigène d’un climatiseur dans le diagramme des frigoristes. On suppose le régime permanent établi et on néglige toute variation d’énergie cinétique et potentielle au cours du cycle.

Dans ce cycle, un compresseur aspire le fluide sous 2 bar, et le refoule à 10 bar de manière adiabatique et réversible. On nomme 1 l’état du fluide à l’entrée du compresseur. Le détendeur est calorifugé et sans pièce mobile et les évaporateurs et condenseurs sont des échangeurs thermiques isobares sans pièces mobiles. On suppose que les pressions sont uniformes dans les parties haute pression (HP) et basse pression (BP) du circuit.

Fig. 8.4– Allure du cycle d’un climatiseur

1. Établir le premier principe de la thermodynamique en système ouvert.

(6)

2. Reproduire la figure 8.4, y reporter le sens de parcours du cycle et préciser chacune des étapes ( compresseur , détendeur , condenseur , évaporateur ).

3. Préciser la nature de la transformation 17→2.

4. Après avoir rappelé les hypothèses usuelles de chacun des composants, évaluer littéralement tous les transferts énergétiques massiqueswi7→j etqi7→j en fonction des enthalpies massiques des points remarquables du cycle.

5. Donner la définition puis l’expression de l’efficacité e de l’installation en fonction des enthalpies massiques adéquates. Calculez sa valeur.

A la sortie de l’évaporateur, les vapeurs sont surchauffées de 5^◦C de façon isobare à la température T₁⁰ avant d’être aspirées par le compresseur.

6. A quoi peut servir cette surchauffe ?

7. Reporter le point 1⁰ sur le cycle fournie et en déduire le point 2⁰ représentatif du fluide à la sortie du compresseur.

8. Compléter le tableau ci-contre à l’aide du diagramme :

État du fluide 1’ 2’ 3 4

Pression (bar) Température (^◦C)

Enthalpie massique (kJ·kg⁻¹) Titre en vapeur

9. Donner la nouvelle expression deeet sa valeur. Commenter

(7)

8.2.2 Pompe à chaleur

Une habitation est équipée d’un pompe à chaleur au R22, qui prélève de l’énergie thermique à une source froide et la cède à une source chaude. Les variations d’énergie cinétique et potentielle massiques seront systématiquement négligeables devant les variations d’enthalpie.

Le cycle que décrit le R22 est le suivant :

– 1→2 : vaporisation dans l’évaporateur noté (E) jusqu’à l’état de vapeur saturante,

– 2→ 3 : compression calorifugée et réversible dans un compresseur noté (CP), jusqu’à la pression P₃,

– 3→4 : liquéfaction dans un condenseur noté (CD) jusqu’à l’état de liquide saturant, – 4→1 : détente brutale dans un détendeur noté D.

On donne par ailleurs le diagramme des frigoristes du fluide R22 :

1. Établir le premier principe de la thermodynamique en système ouvert.

2. On donneP₂= 5 bar et P₃ = 15 bar, placer les points 1 , 2 , 3 et 4 . 3. Compléter alors le tableau ci-dessous :

Points Pression Température Enthalpie massique Entropie massique (bar) (^◦C) (kJ·kg⁻¹) (kJ·K⁻¹·kg⁻¹) 1

2 3 4

4. En déduire la valeur des travaux indiqués massiques et énergies thermiques massiques échangées lors de chaque étape.

5. Montrer que la transformation subie dans le détendeur est irréversible.

6. Définir et calculer l’efficacité de cette pompe. La comparer à celle d’un cycle deCarnot passant par les mêmes températures « chaudes » et « froides ». Commenter.

8.2.3 Cycle de Rankine en diagramme T −s

Une centrale électrique reçoit de l’énergie thermique issue de la combustion de fioul et utilise un cycle à vapeur pour alimenter une génératrice électrique.

(8)

Dans la centrale l’eau évolue entre les pressions de 0,05 bar et 70 bar.

Le cycle est basé sur un cycle deRankineque l’on détaillera au fur et à mesure et le diagramme Ts de l’eau ci-dessous :

1. On commence l’étude du cycle au point A, liquide saturant à 306 K. Placer le point sur le diagramme température - entropie (Ts) fourni.

2.

A→B⁰: Une pompe adiabatique et réversible permet d’amener la pression du liquide incompressible de 0,05 bar à 70 bar de façon adiabatique et réversible. En utilisant l’identité thermodynamique, évaluer la puissance utile de la pompe, en déduire la température de l’eau en sortie de pompe. Comment peut-on alors placer le point B’ sur le diagramme Ts ?

3.

B→B⁰: Échauffement du liquide saturant de TB à T_B⁰ correspondant à la pression PB⁰ =PC. Placer le pointB⁰ sur le diagramme.

4.

B→B⁰→C : Le fluide passe dans l’évaporateur, où il subit un changement d’état isobare, qui l’amène à la forme de vapeur saturante, à la température de 559 K. Placer le point C, en déduire l’énergie thermique massique reçue par le fluideqB→C. La transformation est-elle réversible ? 5. C→D: Le fluide passe par la turbine, modélisée par une transformation adiabatique et réversible.

Placer le pointD, en déduire la fraction massique en gazxD, puis le travail massique utilewu. Quel problème peut-on évoquer ? Quelle(s) solution(s) peut-on y apporter ?

6. En supposant un rendement mécanique deη_méca = 0,9, en déduire le débit d’eau nécessaire pour atteindre une puissance de 60 MW.

7. Définir le rendement de l’installation, et calculer sa valeur.

Données :

– Capacité thermique massique de l’eau liquidecp = 4200 J·kg⁻¹.

(9)

8. Thermodynamique industrielle 8.3. Oral Banque PT

8.3 Oral Banque PT

8.3.1 Tuyère calorifugée

Une tuyère est une simple conduite de section variable, dans laquelle un gaz se détend tout en étant accéléré. On étudie l’écoulement d’un gaz parfait dans une tuyère calorifugée. On suppose négligeable la vitesse d’entrée du fluide par rapport à sa vitesse de sortie. Les grandeurs d’entrée de la tuyère sont indicées 0.

P₀, ρ₀, v₀ vsv₀

x

1. Montrer que h(x) + ¹₂v(x)² = cste, où h est l’enthalpie massique du gaz et v la vitesse locale d’écoulement dans la tuyère.

2. En déduire que

v(x) = s 2γ

γ−1 P₀

ρ₀ −P(x) ρ(x)

oùρ est la masse volumique du gaz et γ son coefficient isentropique.

3. Dans l’hypothèse d’un écoulement réversible, établir la loi de Barré de Saint Venant:

v(x) = v u u u t

2γ γ−1

P₀ ρ₀



1− P(x)

P₀

γ−1 γ





8.4 Annales

8.4.1 Étude d’une installation nucléaire REP [2016 CCS MP]

La France compte 19 centrales nucléaires en exploitation, dans lesquelles tous les réacteurs (58 au total) sont des réacteurs à eau pressurisée. Actuellement, ces installations produisent près de 80% de l’électricité produite en France. Chaque centrale est soumise à un référentiel de normes de sureté et de sécurité évoluant en fonction des enseignements des incidents passés nationaux ou internationaux.

Le but de ce problème est d’étudier quelques aspects liés au fonctionnement d’une centrale nucléaire REP, ainsi que plusieurs dispositions prises en matière de sureté nucléaire : contrôle des rejets de la centrale et surveillance sismique d’un site nucléaire.

(10)

8. Thermodynamique industrielle 8.4. Annales

Fig. 8.5 – Schéma global d’une centrale nucléaire Circuit secondaire et enrichissement de l’uranium

Une centrale nucléaire est un site industriel destiné à la production d’électricité, qui utilise comme chaudière un réacteur nucléaire pour produire de la chaleur. Une centrale nucléaire REP (Réacteur à Eau Pressurisée) est constituée de deux grandes zones (voir figure8.5) :

– Une zone non nucléaire (salle des machines). Dans cette partie, semblable à celle utilisée dans les centrales thermiques classiques, s’écoule de l’eau dans un circuit secondaire. Cette eau est évaporée dans le Générateur de Vapeur (GV) par absorption de la chaleur produite dans la zone nucléaire, puis elle entraine une turbine (T) couplée à un alternateur produisant de l’électricité, ensuite elle est condensée au contact d’un refroidisseur (rivière ou mer ou atmosphère via une tour aéroréfrigérante) et enfin, elle est comprimée avant d’être renvoyée vers le générateur de vapeur ;

– Une zone nucléaire (dans le bâtiment réacteur), où ont lieu les réactions nucléaires de fission, qui produisent de l’énergie thermique et chauffent ainsi l’eau sous pression circulant dans le circuit primaire. Le transfert d’énergie thermique entre le circuit primaire et le circuit secondaire se fait dans le générateur de vapeur, où la surface d’échange entre les deux fluides peut atteindre près de 5000 m² (réseau de tubulures).

Description du circuit secondaire de la centrale Considérons une centrale nucléaire REP produisant une puissance électrique P_e = 900 MW. Le fluide circulant dans le circuit secondaire est de l’eau, dont l’écoulement est supposé stationnaire. Le cycle thermodynamique décrit par l’eau est un cycle ditherme moteur. L’eau liquide sera supposée incompressible et de capacité thermique massique isobare supposée constante. Le tableau en fin d’énoncé donne les diverses données thermodynamiques relatives à l’équilibre liquide-vapeur de l’eau.

Dans une première approche simplifiée, on considère le moteur ditherme de Carnot fonctionnant de manière réversible entre deux sources de températureT_ch etT_fr (T_fr< T_ch).

1. Donner, en la redémontrant, l’expression du rendement de Carnotassocié à ce cycle.

2. Donner la valeur numérique de ce rendement en prenant T_ch = 543 K et T_fr = 303 K, les deux températures extrême de l’eau dans le circuit secondaire.

(11)

3. Sachant qu’un réacteur REP fournit à l’eau du circuit secondaire, via le générateur de vapeur, une puissance thermique P_t = 2785 MW, que vaut le rendement thermodynamique réel de l’installation ? On supposera que la puissance mécanique transmise à la turbine est intégralement convertie en puissance électrique. Commenter.

L’eau du circuit secondaire subit les transformations suivantes (représentées dans la figure 8.6) – de A à B : dans le générateur de vapeur, échauffement isobare du liquide à la pression P₂= 55 bar

jusqu’à un état de liquide saturant (état noté A’), puis vaporisation totale isobare jusqu’à un état de vapeur saturante sèche (état B) ;

– de B à C : détente adiabatique réversible dans la turbine, de la pression P₂ à la pression P₁ = 43 mbar ;

– en C, le fluide est diphasé ;

– de C à D : liquéfaction totale isobare dans le condenseur, jusqu’à un état de liquide saturant ; – de D à A : compression adiabatique réversible, dans la pompe d’alimentation, de la pression P₁ à

la pression P₂, du liquide saturant sortant du condenseur. On négligera le travail consommé par cette pompe devant les autres énergies mises en jeu.

Fig. 8.6 – Cycle deRankine

4. Représenter dans le diagramme deClapeyron(P, v), l’allure de la courbe de saturation de l’eau, ainsi que les isothermesTB,TD etT_critique, cette dernière température étant celle du point critique de l’eau. Préciser les domaines du liquide, de la vapeur, de la vapeur saturante. Représenter sur ce même diagramme l’allure du cycle décrit par l’eau du circuit secondaire. Indiquer le sens de parcours du cycle et placer les pointsA,A⁰,B,C etD.

5. D’après l’extrait de table thermodynamique donné en fin d’énoncé, quelles sont les valeurs des températures, des enthalpies massiques et des entropies massiques aux points A⁰, B et D? On pourra donnes les valeurs sous forme de tableau.

6. Dans le document réponse figure le diagramme enthalpique (P, h) de l’eau. Placer, avec soin et à l’échelle, les pointsA⁰,B,C,Ddu cycle. On explicitera la méthode.

7. Dans toute la suite, on négligera les variations d’énergie cinétique et potentielle dans les bilans énergétiques. Exprimer alors, sans démonstration, le premier principe de la thermodynamique pour un fluide en écoulement stationnaire recevant de manière algébrique le travail massique utilewu et le transfert thermique massiqueq.

8. Exprimer le travail massiquew_BC reçu par l’eau dans la turbine. Donner sa valeur numérique, en s’aidant du diagramme enthalpique.

9. Exprimer le transfert thermique massique q_AA⁰ reçu par l’eau liquide quand elle passe de manière isobare de la températureTA à la températureTA⁰ dans le générateur de vapeur. Donner sa valeur

(12)

numérique : on considèreraTA'TD.

10. Exprimer le transfert thermique massiqueq_A⁰_B reçu par l’eau quand elle se vaporise complètement dans le générateur de vapeur. Donner sa valeur numérique.

11. Calculer alors le rendement deRankinede l’installation. Comparer au rendement deCarnot et commenter. Comparer au rendement réel et commenter.

12. Dans quel état se trouve l’eau à la fin de la détente de la turbine ? Donner le titre massique en vapeur à l’aide du diagramme enthalpique. En quoi est-ce un inconvénient pour les parties mobiles de la turbine ?

Le cycle réel est plus compliqué que celui étudié précédemment (voir figure8.7). En effet, d’une part, la détente est étagée : elle se fait d’abord dans une turbine « haute pression » puis dans une turbine « basse pression ». D’autre part, entre les deux turbines, l’eau passe dans un « surchauffeur ». Les transformations sont maintenant modélisées par :

– de A à B : dans le générateur de vapeur, échauffement isobare du liquide à la pression P₂= 55 bar jusqu’à un état de liquide saturant (état noté A’), puis vaporisation totale isobare jusqu’à un état de vapeur saturante sèche (état B) ;

– de B à C’ : détente adiabatique réversible dans la turbine « haute pression », de la pressionP₂ à la pression P₃ = 10 bar ;

– de C’ à B’ : échauffement isobare à la pression P₃, dans le surchauffeur, jusqu’à un état de vapeur saturante sèche (point B’) ;

– de B’ à C” : détente adiabatique réversible dans la turbine « basse pression », de la pression P₃ à la pressionP₁ = 43 mbar ;

– de C” à D : liquéfaction totale isobare dans le condenseur, jusqu’à un état de liquide saturant ; – de D à A : compression adiabatique réversible, dans la pompe d’alimentation, de la pression P₁ à

la pression P₂, du liquide saturant sortant du condenseur. On négligera le travail consommé par cette pompe devant les autres énergies mises en jeu.

Fig. 8.7– Cycle de Rankineavec une détente étagée

13. Placer les nouveaux points C’,B’,C” sur le diagramme enthalpique du document réponse.

14. Comparer les titres massiques en vapeur des points C’ et C” au titre massique en vapeur du point C. Quel est l’intérêt de la surchauffe ?

15. A l’aide du diagramme enthalpique, déterminer le nouveau rendement du cycle. Commenter.

(13)

Données :

Capacité thermique massique de l’eau : c= 4,18 kJ·kg⁻¹·K⁻¹

Liquide saturant Vapeur saturante sèche

θ P_sat v_l h_l s_l vv hv sv

(^◦C) (bar) (m³·kg⁻¹) (kJ·kg⁻¹) (kJ·kg⁻¹·K⁻¹) (m³·kg⁻¹) (kJ·kg⁻¹) (kJ·kg⁻¹·K⁻¹)

30 0,043 1,0047 125,22 0,4348 32,892 2555,92 8,4530

180 10 1,1276 763,18 2,1395 0,119404 2777,84 6,5854

270 55 1,3053 1190,10 2,9853 0,03505 2788,46 5,9226

Tab. 8.1 – Extrait de table thermodynamique relatif à l’équilibre liquide-vapeur de l’eau

Fig. 8.8 – Diagramme des frigoristes du fluide R718

8.4.2 Conditionnement d’air & fluide à glissement de température [2017 Banque PT]

L’objet de ce problème est d’étudier un modèle simplifié de pompe à chaleur (PAC), destiné au conditionnement air-air et qui fonctionne avec le nouveau fluide frigorigène « R407C », mélange de fréons dont les propriétés sont adaptées aux nouvelles exigences environnementales.

(14)

Les documents précédents ont été établis à partir des sites Web suivants :

- « Techniques de l’Ingénieur » :http://www.techniques-ingenieur.frDiagrammes thermodynamiques & mélanges utilisés en réfrigération (Par R. Gicquel Professeur à l’école des Mines de Paris).

- « Wikipédia » :https://fr.wikipedia.org/wiki/Chlorodifluorométhane

(15)

Le principe d’une pompe à chaleur (PAC), destinée au chauffage d’une maison d’habitation, est de prélever de l’énergie dans l’atmosphère extérieure et de céder ensuite de l’énergie thermique à l’air inté- rieur de l’habitation (PAC air-air).

Dans cette machine, le fluide décrit un cycle à compression de vapeur, constitué des étapes décrites ci-dessous. Les valeurs numériques des principaux paramètres associés, notamment enthalpie et entropie massiques, sont précisées sur la figure 8.4.2, pour un fonctionnement en saison hivernale. Le système thermodynamique étudié est le fluide de la machine.

Description du cycle :

- Dans l’évaporateur F-A, le fluide achève, dans un premier temps, sa vaporisation en restant sous la pression de vaporisation (ou pression de vapeur saturante) P₂ constante et se retrouve à l’état de vapeur tout juste saturante (état G). Dans un second temps, toujours sous la pression P₂, le gaz subit une élévation de température ∆T = +5 K au-dessus de la température de rosée, ce qui l’amène à l’étatA.

- Le mélange R407C quitte alors l’évaporateur et rentre dans le compresseur A-B où il subit une compression. Le gaz sort du compresseur à la températureTB et sous la pressionP₁ (état finalB).

- Dans le condenseurB-Ele fluide subit un processus entièrement isobare, sous la pression de conden- sation (pression de vapeur saturante)P₁ constante. Le fréon gazeux se refroidit, dans un premier temps, jusqu’à la température de rosée (état C) puis, dans un second temps, se liquéfie complè- tement (état D) avant de subir, à l’état liquide, une baisse de température ∆T =−5 K, ce qui le conduit à l’étatE.

– Le corps pur, à l’état liquide (état E), pénètre dans le détendeur E-F où il subit une détente isenthalpique (ou isenthalpe), ce qui lui permet de passer de la pressionP₁ à la pressionP₂. Cette détente s’accompagne d’une vaporisation partielle du liquide caractérisée par la fraction massique x_v en vapeur (avec 0< x_v <1).

Fig. 8.9– vue d’ensemble des paramètres d’un cycle du fluide R407C (fonctionnement hivernal)

(16)

Hypothèses de travail :

- Les variations d’énergie cinétique macroscopique et d’énergie potentielle de pesanteur du fluide sont négligées dans tout le problème.

- L’installation fonctionne en régime permanent et stationnaire.

- La vapeur du fluide R407C est assimilée à un gaz parfait.

*Les calculs numériques seront menés en respectant le nombre de chiffres significatifs de l’énoncé.

Notations des constantes

– M (unité : kg·mol⁻¹ : masse molaire moyenne du mélange R407C ; – γ = ^C_C^p,m

v,m : caractéristiques énergétiques du fluide gazeux, avecC_p,metC_v,m(unité : J·mol⁻¹·K⁻¹), coefficients thermiques molaires (ou chaleurs molaires), respectivement àP etV constants ; – c_p,_vap (unité J·kg⁻¹·K⁻¹ : coefficient (ou capacité) thermique massique, à pression constante, du

fluide gazeux ;

– R (unité J·mol⁻¹·K⁻¹ : constante du gaz parfait, avec r= _M^R.

*De nombreuses questions peuvent être traitées de manière indépendante.

Analyse documentaire et culture générale

1. Les fluides frigorigènes ont une nomenclature spécifique approuvée par l’Union Internationale de Chimie Pure et Appliquée (IUPAC). Le code se compose de la lettre « R » suivie de 2 à 5 chiffres qui découlent de sa structure moléculaire (exemple : R32). Que signifie la lettre « R » ?

2. Comment se nomme le « bouclier », certes relativement mince, mais d’une remarquable efficacité dans la filtration des UV énergétiques solaires, qui se trouve détruit par la présence des atomes de chlore libérés, en altitude, par les CFC et HCFC (réponse en deux lignes maximum) ?

3. Même si les atomes de chlore sont absents de leur formule chimique, certains fluides frigorigènes sont écartés car ils sont facteurs du changement climatique. La planète reçoit de l’énergie solaire et ré-émet, par rayonnement vers l’espace, de l’énergie. Simultanément, l’atmosphère absorbe et réflé- chit vers la planète une partie de ces rayonnements. Mais le bilan thermique ainsi obtenu se trouve modifié si l’atmosphère s’enrichit en gaz capables d’absorber et de ré-émettre une partie des infra- rouges, ce qui amplifie le phénomène d’élévation de la température de la surface terrestre. Comment se nomme cet effet qui contribue au réchauffement global (réponse en deux lignes maximum) ? 4. Dans la zone d’équilibre liquide-vapeur du fluide R407C à glissement de température, sous la courbe

de saturation du diagramme de Clapeyron P = f(v) (avec v volume massique), les isobares forcément horizontales (c’est-à-dire parallèles à l’axe des abscisses) croisent les isothermes non horizontales. Quel est le signe de la pente de ces isothermes, considérées, en première approximation, comme des segments de droite dans ce domaine diphasé ?

*Remarque : la réponse peut être présentée sous la forme d’un schéma Cycle et diagrammes

5. Compléter la figure8.10 de la feuille annexe en :

- identifiant clairement les principaux organes (numérotés de1 à 4) de la machine thermique : détendeur, compresseur, évaporateur et condenseur ;

- situant, sur le parcours du fluide et aux sommets du rectangle, quatre des sept points repré-

(17)

sentatifs des étatsA,B,C,D,E,FetG.

*Feuilles annexes à rendre avec la copie 6. Pourquoi ce cycle est-il qualifié de cycle récepteur ?

7. Quel est le rôle du condenseur ? Se trouve-t-il à l’intérieur ou à l’extérieur de l’habitation ?

8. A partir de l’identité thermodynamique sur l’enthalpie massique (dh=Tds+vdP), démontrer que dans la partie correspondant à l’état gazeux (parfait) du diagramme entropique (s en abscisse,T en ordonnée), une isobare est représentée par une exponentielle.

9. Représenter le cycle complet du fluide R407C sur les trois figures 8.11, 8.12 et 8.13 des feuilles réponses annexes, en repérant, à chaque fois, les sept points représentatifsA,B,C,D,E,FetG.

Les diagrammes à compléter sont les suivants :

(a) diagramme deClapeyronP =f(v) (avecv volume massique du mélange) (figure 8.11) ; (b) diagramme des frigoristes logP =f(h) (figure8.12) ;

(c) diagramme entropique θ=f(s), avecθ température en^◦C (figure8.13).

*Feuilles annexes à rendre avec la copie

10. Les échanges thermiques du fluide avec les sources sont-ils réversibles ou irréversibles ? - Justifier la réponse (trois lignes maximum).

- Si ces transferts thermiques sont jugés irréversibles, proposer un type d’échangeur susceptible de diminuer l’entropie créée par irréversibilité.

Étude de la compression

La compression est supposée adiabatique.

11. Exprimer le coefficient (ou capacité) thermique massique à pression constantec_p,_vap du fluide vapeur, en fonction der (défini dans l’énoncé) etγ.

12. Les températureT_Aet pressionsP_AetP_B des étatsAetBétant connues, établir, dans l’hypothèse d’une compression adiabatique et réversible (compresseur dit isentrope), l’expression littérale de la température de sortieTB du compresseur.

13. Montrer que les données (numériques et/ou graphiques) ne plaident pas en faveur d’une transfor- mationA-B réversible.

14. Pour cette question, les données de l’énoncé sont : P_A, P_B, T_A, T_B, r et γ. Établir, à l’aide de tout ou partie de ces grandeurs, l’expression littérale des variations d’enthalpie massique ∆h_AB et d’entropie massique ∆sAB du fluide.

15. Comment déterminer le travail massique indiqué w_i = w_AB reçu par le fluide, au cours de la compression ?

16. Application numérique : à partir des données numériques de l’énoncé, calculer : (a) le travail indiqué massiquew_i =w_AB du mélange R407C ;

(b) la variation d’entropie massique ∆s_AB correspondante ; Passage dans le condenseur

Le condenseur ne comporte aucune partie mobile.

17. Comment se nomme l’étapeB-C? 18. Même question pour l’étapeD-E?

19. Application numérique : à partir des données numériques de l’énoncé, calculer :

(a) l’enthalpie massique de vaporisation ∆h(P₁) du R407C sous la pressionP₁ fixée (mais à tem- pérature non constante) ;

(b) la chaleur massiqueq_cond échangée par le fluide dans le condenseur.

(18)

Passage dans le détendeur (laminage)

Le détendeur est un tube capillaire de cuivre, de 2 à 3 m de long, indéformable et qui n’échange pas de chaleur, chargé de créer une grande perte de charge entre le condenseur et l’évaporateur.

20. Démontrer que la transformation (ou laminage) dans le détendeur est isenthalpique.

21. Application numérique: à partir des données numériques de l’énoncé, calculer la variation d’entropie massique ∆s, ainsi que les entropies massiques échangée s_e et créée s_c correspondantes. Le signe de la variation d’entropie ∆sest-il prévisible sans calcul ?

22. Application numérique: après exploitation d’un des graphes (figures f.4 ou f.5), calculer la fraction massique moyennex_v en vapeur (égale à la masse de la phase vapeur, tous constituants confondus, rapportée à la masse totale des phases liquide et vapeur) à la sortie du détendeur, sachant que les volumes massiques des phases vapeur et liquide valent respectivement, en ce point : v_v = 5,00×10⁻²m³/kg etv_l = 8,30×10⁻⁴m³/kg.

Passage dans l’évaporateur

L’évaporateur ne comporte aucune partie mobile.

23. Comment se nomme l’étapeG-A?

24. Pourquoi le fluide ne doit-il pas pénétrer dans le compresseur dès l’étatG?

25. Application numérique : à partir des données numériques de l’énoncé, calculer la chaleur massique q_évap échangée par le fluide dans l’évaporateur.

Coefficient de performance (COP)

26. Le compresseur est entraîné par un moteur électrique de rendement électro-mécaniqueρ_él= 0,800.

Le rendement mécanique ρm du compresseur est supposé ici, pour simplifier, égal à 1. Comment définir, ici, le coefficient de performance (COP) de cette machine thermique ?

27. Bien que le coefficient de performance dépende du type d’installations, des conditions climatiques et de nombreux paramètres, proposer un ordre de grandeur habituellement admis pour leCOP des pompes à chaleur destinées au chauffage des maisons individuelles.

28. Application numérique : à partir des données numériques de l’énoncé (fonctionnement hivernal), calculer leCOP_hiver de la machine.

29. Quel(s) avantage(s) présente ce chauffage par rapport au chauffage électrique ? Quels peuvent être aussi les inconvénients d’une PAC air-air ?

30. Sur le diagrammeP =f(v) de la figure8.11, au cycle déjà représenté dans le cadre de la question 99a, superposer en pointillés le cycle du fluide imaginé sans les étapes G-A etD-E.

*Feuilles annexes à rendre avec la copie

31. D’un point de vue énergétique, montrer, sans calcul, que les étapesG-AetD-Efavorisent leCOP.

Fonctionnement de l’installation domestique

Cette pompe à chaleur sert à compenser l’énergie cédée, par une maison d’habitation, à l’atmosphère extérieure en saison hivernale, du fait d’une isolation non idéale. La PAC permet donc de maintenir l’air intérieur à la températureT_h constante, alors que la température extérieure, plus basse, vautT_e. Dans le but d’évaluer la puissance mise en jeu, le chauffage est interrompu : la température de l’air intérieur (sup- posée uniforme) passe alors, au bout d’une duréeτ, de la températureTh à la températureTτ = Th+Te

2 .

(19)

32. Au cours du refroidissement, la puissance thermique reçue algébriquement par l’air de la maison s’écrit : P_th,_pertes = −kC[T(t)−T_e], puissance comptée négativement. Dans cette expression, C désigne la capacité thermique de l’air intérieur,T(t) la température intérieure (supposée uniforme) à l’instantt etkune constante positive dépendant de l’isolation.

(a) Vérifier la cohérence de la loi définissant la puissance P_th,_pertes (en particulier, justifier la présence du signe « - » placé devant la constantek).

(b) Établir l’équation différentielle vérifiée par la températureT(t) de l’air intérieur de l’habitation.

(c) En déduire, en fonction de τ, l’expression de la constantek.

33. En régime permanent, une puissance électrique moyenneP_élest nécessaire pour faire « tourner » la PAC et maintenir la température de l’atmosphère intérieure à la valeur constante T_h. SoitD_{m,f l}, le débit massique moyen du fluide dans la machine.

(a) Relier la puissance électrique moyenneP_él reçue à la différence de températures (Th−Te).

(b) Même question pour le débit massique moyenD_{m,f l} du R407C dans la machine.

34. L’air du logement, qui traverse l’échangeur intérieur, subit une variation de température ∆T_a. La capacité thermique massique constante de l’air vautcp,a. Relier le débit massique moyen Dm,a de l’air à travers l’échangeur (composé, en réalité, de plusieurs échangeurs) au débit moyenD_{m,f l} du R407C.

35. Application numérique :

– τ = 6,93×10²s ;C = 1,00×10⁶J·K⁻¹; (T_h−T_e) = 10,0 K ; ∆T_a= 10,0 K ;c_p,a= 1,00 kJ·kg⁻¹·K⁻¹; – la chaleur massique libérée dans les échangeurs intérieurs vaut|q|= 2,00×10⁵J·kg⁻¹;

– le coefficient de performance est estimé à la valeur COP_hiver= 4,00 ; – aide au calcul : ln 2'0,693.

Calculer, en n’utilisant que les données numériques proposées dans cette question35et en respectant le nombre de chiffres significatifs, les quatre grandeursk,P_él,D_{m,f l} etDm,a.

Documents à rendre

Fig. 8.10 – Principe de l’installation

(20)

Fig. 8.11 – Diagramme P =f(v) du R407C

Fig. 8.12 – DiagrammelogP =f(h) du R407C

(21)

Fig. 8.13 – Diagrammeθ=f(s) du R407C