Correction des exercices proposés

Correction des exercices proposés

ANALYSE

Primitives immédiates et quasi-immédiates

x c x x

x c

c x tg x

c x x

x x x x







 

















2

² 3

³ 4 4

1 8 3

7 7 3 1 3cos 2

1 2 7

³ 4 1 8 4

4

4 2 8

x c x x

x c

x c tg x

c x x x

x x x







 

















9

³ 4 4 4

9

) 2 6 ( 6

5 5

5 4

4 sin 3

2 8 ³

5

³ 3

2 4 7

9 4

5 4



1.

x c e c

c xe c x

x c x

e c x

x ^{x x x}

 

 







 



 



 (3 ² 5)²

; 1 9

2 3

; 2

³ ln 3

; 1 )

5 6

² 5 ( 6

; 1 4 2

²

; 3 6

6

sin ^{3 3}

3 4

2.

8 9 4 3 4 3 8 3 4 2 3

4cos 3 2

2 sin

3 ^/3

0









 



 



  ^  

x x x

3. f(x) et g(x) se coupent en (0,2) et (1,3) 6 ²

1 3

³ 2

² ²

1

0 1

0

x u dx x

x x

A  



 



 









4. ³

 

¹0 ^{( 3 1) ²} 3

1

0

3 dx e e u

e

A



^x  ^x  

5. f(x) s’annule en x = 4/5 et x = 3/2

² 9 . 30 2 12

² 23 3

³ 12 10

23

² 10 12

23

² 10

1 , 1

5 / 4 , 5 / 4 1

5 / 4 5

/ 4

1

u x x

dx x x

x dx

x x

A  



 



  

























 

6. ²

2 ln 3 2 ln3 2 ) 1 2 ln 3 2(ln 1 2

ln 2

1 ³

2 2

3

x u x dx

A     

























7. Entre 0 et , f(x) et g(x) se coupent en x = /4

 

) (0 1 0 1) 2 2 ²

2 2 2 ( 2 2 cos

sin cos

sin sin

cos _0,^{/4, /4}

4 / 4

/

0

u x

x dx

x x

dx x x

A



 



   ^{ }       







8. Sug : effectuer d’abord la primitive de tg x

 

^²

4 ln 2 2

ln 2 2 ln 1 ) 1 ln ( 2 2 ) ln 2 2 ln1 ( cos

ln _0,0^{/3, /4}

4 /

0 0

3 /

u x

dx tgx dx

tgx

A    ^        







^{ }





9. ( ) 2298 ³

4 )² 4

( ^{8 4}

2

1 2 4

1 4 2

1

2 e e e u

dx e dx e V

x x

x    











^



^



^{ }

10.voir ex 5

11.f(x) s’annule en

2 k

x et est positif entre les bornes 4 ²

)) 2 4 ( 2 0 2 (

2 2 cos

sin

4 /

8 / 4

/

8 /

x u dx

x

A     



 



















12. ²

2 2 6 2

2 2

6 2

2 4 2

4 1

2

1 2

1

x u dx

x

A 





 









 









PROBABILITES

1) a) x = 0.7 d’où 1.33 03

. 0

66 . 0 7 .

' 0  



x P = 0.5 – 0.4082 = 0.0918

b) x = 0.6 d’où 2

03 . 0

66 . 0 6 .

' 0  

 x

x = 0.72 d’où 2

03 . 0

66 . 0 72 .

' 0  

 x

P = 2 0.4772 = 0.9544

c) D’après la table, P = 0.20 (0.1985) correspond à x’ = -0.52 d’où x = (-0.52*0.03) + 0.66 = 0.6444

la taille maximum du sapin faisant partie des 30% les plus petits est de 64cm d) D’après la table, P = 0.30 (0.2996) correspond à x’ = -0.84 d’où

x = (-0.84 * 0.03) + 0.66 = 0.6348

la taille minimum du sapin pour qu’il soit considéré comme faisant partie des 80%

des plus grands est 63 cm

2) Par la loi binomiale : C₁₀₀₀₀₀¹⁰⁰⁰⁰ 0.35¹⁰⁰⁰⁰0.65⁹⁰⁰⁰⁰

3) On joue à pile ou face avec une pièce truquée. La probabilité de tomber sur pile est de 1/3. Si on jette 25 fois la pièce, calculer la probabilité de tomber 10 fois sur pile et 15 fois sur face

Par la loi binomiale :

15 10 10

25 3

2 3

1 



 



 



 

 C 

4) a) C₄₉¹⁵ b) C₄₉¹⁴ 5) a) P2 P6 P4

b) P5 P6

6) Sur 25 personnes, 14 lisent la revue A, 9 la revue B et 3 les deux revues. De combien de manières peut-on choisir 6 personnes parmi les 25 si

a. chacune des 6 lit au moins une revue

b. 4 d’entre elles lisent la revue A, 2 la revue B et chacune d’elles ne lisant qu’une seule revue

c. 5 d’entre elles lisent au moins la revue A

Sol : d’abord, faire un schéma qui répertorie les revues : (voir à la fin) Dans A inter B, on a 3 personnes d’où

Dans A mais pas dans B, on a (14 – 3) personnes = 11 personnes Dans B mais pas dans A, on a (9 – 3) personnes = 6 personnes Il y a donc (25 – 11 – 6 – 3) = 5 personnes qui ne lisent aucune revue.

Réponses : a) on choisit 6 personnes parmi 20 personnes (celles qui lisent soit seulement A, soit seulement B, soit les deux)

38760

! 14

!.

6

!

6 20

20  

C

b) on choisit 4 personnes parmi les 11 personnes qui ne lisent

que A d’où 330

! 7

!.

4

!

4 11

11  

C

c) on choisit 5 personnes parmi les 14 personnes qui lisent A et ensuite on choisit la 6^ème personne parmi toutes celles qui restent (à savoir (25-5)=

20 personnes) d’où

.20 40040

! 9

!.

5

! . ¹₂₀ 14

5

14 C  

C

7) 364 6

14 . 13 . 12

! 11

! 3

!

3 14

14   

C

GEOMETRIE

1) la conique   9x² - 18x + 25y² + 100y = 116 peut s’écrire   (3x – 3)² + (5y +10)²= 225

ou encore   1

9 )² 2 ( 25

)² 1

(  

  y x

on pose











 2 '

1 '

y y

x

x 1

9 '² 25

'² 



 x y

a) le type de conique : ellipse, les foyers : F(5,-2) F’(-3,-2), les sommets S1(6,-2) S2(-4,-2) S3(1,1) S4(1,-5), l’excentricité

5

 4

 a e c

b) le schéma

c) P(5, ?) il n’y a pas d’ordonnée positive car y = -1/5 ou -19/5

Prenons P(5,-1/5) ce qui donne dans le système S’ : P(4,9/5) et 1 5

' 25

'

4  

 x y

t ou encore

5 19 5

4 5

) 1 ( 4 2 25

5 ' ' 4

' 25  

 

 

 

 x ou y x

y dire à est x c y

d) t y3x 2259 ou y3x 234

e) les droites issues de A(1,2) ont pour équation y – 2 = a (x – 1)

Recherchons celles qui peuvent être tangentes à la conique c’est-à-dire qui n’ont qu’un seul point d’intersection avec la conique

613 . 2 613 . 0

547 . 1 453 . 0

...

613 . 0 ...

453 . 45000 0

24000 3600

579960000

0 tan

) 63 36

² 225 ( 100 6300 3600

² 22500

) 200 184

² 25

²)(

100 36 (

³ 20000 3600

² 1800

² 40000 2500

324

0 ) 200 184

² 25 ( ) 200

² 50 18 (

²

²) 25 9 (

116 ) 2 (

100 ) 4 4

² 2 4

²

²

² ( 25 18

² 9

116 100

² 25 18

² 9

2

2 1

4

















 











































































































x y

t

x y

t

ou a

ssi gente a

on

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

x a a

x a

a ax a

ax x a a

x a x x

y y

x x

a ax y

Points de contact de t1 : 131 60.8

453 . 0

* 2

) 453 . 0

* 200 (

²) 453 . 0

* 50 (

18   

 et y

x

Même raisonnement pour t2

2)   9x² - 18x - 25y² - 100y = 316 peut s’écrire (3x3)²9(5y10)²100316

ou 1

9 )² 2 ( 25

)² 1

(  

 



 x y

on pose











 2 '

1 '

y y

x x

a) le type de conique : hyperbole, les foyers F( 341,2)et F'( 341,2), les sommets S1(6,-2) et S2(-4,-2), l’excentricité

5

 34

 a e c b) le schéma

c) voir raisonnement e) de l’exercice précédent 3) , 2)

5 (2  A

5) ( 2 5

2 2 2

5) ( 2 5

2

2 2 ₂

1      





 y x et n y x

n

4)

a) équation param. du plan ABC



































 12 3 7

2 2

3 1

z y x

b) le point d’intersection avec OX :



































 12 3 7 0

2 2 0

3 1 x

























12 3 7

2 2















21 8 21 17





d’où ,0,0) 7 (1

c) le vecteur directeur de la droite perpendiculaire au plan ABC est donné par le vecteur normal de ABC. Il faut donc chercher son équation cartésienne

0 12 3 7

1 2 2

3 0 1













 z y x ABC

-21(x+1) – 9(y+2) – 6(z -7) = 0 ou -21x – 9y – 6z +3 = 0 ou 7x + 3y + 2z – 1 = 0 )

2 , 3 , 7 ( n

2 5 3

8 7

1 

 

 

 x y z

d

5) Rechercher le point d’intersection éventuel entre le plan  2x - 4y + z + 2 = 0 et la droite parallèle à d passant par (-1,2,-3) si x y z

d   

 

 5

4 2 3 3

1 2

1 3 3

4 2 2

3 ' 1



 

 

 x y z

d avec , 1) (9,8, 6)

3 ,4 2

(3  ou 

v











































 

6 3

8 2

9 1

0 2 4

2 : '

z y x

z y x d

10) , 3 5 , 12 20 ( 119 : ' 20

11

0 2 ) 6 3 ( ) 8 2 ( 4 ) 9 1 ( 2



 

 



















 d









6) Calculer l’angle entre les droites d et d’ si

























4 2 1 3

z y x

d 



et

3 1 9 4

2

' 









 z

y x

d

4) ,3 1 , 1 ( ) 0 , 1 , 1

( d' 

d v

v



























 

28

41 82 4 16 2 41

2 4)²

(3 )² 1 (

² 1

² 0

² 1 )² 1 (

) 4 / 3

* 0 ) 1 (

* 1 1

* cos 1

angle