Über das Fließen in kapillaren Räumen

Physikalische

Über

das Fließen

in

_kapillaren

Räumen

Von H.Gbeinacher Mit 7

_Abbildungen

im Text

(Eingegangen

am 14. 8. 58) Zusammenfassung

Zunächst wurdendieStrömungsverhältnissein einer

_{zylindrischen Kapillare,}

als dem

_Prototyp

eines_{porösenKanals,}untersucht. Es wurden die

Bewegungs-gleichungen

fürdieFlüssigkeitsfront aufgestelltfür denFall, daß eine

_Kapillare

in eine Flüssigkeit eingetaucht wird; zunächst bei horizontaler

_Lage

_(reine

Kapillarwirkung),

sodannbei vertikalerLage (zusätzliche

Schwerewirkung).

In ähnlicher Weiseließ sich auch dieFormelfür das Kapillarmodelleinesporösen

Körpers

bei radialer Anordnung aufstellen. Mit den gewonnenen Resultaten konnten sodann die Strömungsverhältnissein zweidimensionalen _{Körpern (wie}

Papier und

_{Tonplättchen)}

verglichen werden. Besonders untersucht wurden

poröse Streifenmit einseitiger und Kreisscheiben mit zentraler

_Benetzung.

Es ließsich

_zeigen,

daß,wiebei

_Kapillaren,

die Fließfront mit Vtfortschreitet,hier

allerdings

erst bei größeren Wegstrecken. Bei radialer

_{Strömung ergaben}

sich

Abweichungen

von diesem Verhalten. Auf diese sowohl als auf den Umstand, daßbei linearer

_Strömung

am

Anfang

dasV¿-Gesetz nicht erfülltist,wurdenoch

besonders _eingegangen. Es_ergab sich ferner die _Frage, inwieweit der Verlauf

der Fließkurven bei vertikaler Lage auch quantitativ mit dem in

_Kapillaren

übereinstimmt. Zu diesem Zweck wurde eine _dynamische Methode zur Steig-höhenbestimmungin_{Kapillaren aufgezeigt} und ihreAnwendbarkeit auf_poröse Stoffegeprüft. Schließlichinteressierte noch die_Fragenach der_Strömungunter

alleiniger

Wirkungder Schwere, im einzelnennachder

_{Abhängigkeit}

der

Fließ-geschwindigkeit von _der Fließlänge. Inwieweit

überhaupt

_die Voraussetzung einergerichteten Strömungerfülltist, lassendie

_beigefügten

Stromlinienbilder erkennen.

Nach Duclaux undErrerax_{läßt sich die}

Kapillare

eines Viskosi-meters durch einen

_porösen

_Körper

ersetzen.

_Umgekehrt

kann man,

umdas Fließenin einem

_porösen

Körper

zu

beschreiben,

modellmäßig

dasBild einesBündels feiner Haarröhrchenverwenden. Da die Gesetze

für

_{zylindrische Kapillaren}

bekannt und einfach

_sind,

läßt sich der 1

Kapillardurchmesser

2r und damit die Porenweite unschwer

bestim-men. Dies wurde bereits von Bechhold2 nach zwei Methoden

ausge-führt.Die einebestandin der

_Messung

des

Druckes,

denes

braucht,

um

2a

eine

_Flüssigkeit

unter

Überwindung

des

_{Kapillardruckes}

_p =

—

durch eine

_Kapillare

hindurchzutreiben

_{(statische Methode),}

die anderefußte

aufder

_Anwendung

des Poiseuilleschen Gesetzes.

(dynamische

Methode).

Da die Porenweite des ausgemessenen Ultra-filtersnicht einheitlichwar,

ergab

dieersteMethodewesenthch

größere

Werte als die

zweite,

entsprechend

dem

_Umstand,

daß die erste die

größte

Porenweite,

die zweite aber nur einen

gewissen

Mittelwert

anzeigt.

Durch Kombination beider Verfahren

_gelang

es Erbe3 die

Größenverteilung

der Poren zu bestimmen. Diese Methoden wurden

dann weiter

_ausgebaut

durch

Manegold,

Komagata und

Albrecht4,

die sich auch

_eingehend

mit den verschiedenen

_{Kapillarsystemen}

be-faßten und aufdie beiden Grenzfälle der

_{Querschnittsform}

hinwiesen:

kreisförmig

und

_{schlitzförmig.}

Für den letzteren Fall ist Formel

₍₁₎

zu

ersetzen durch

yß-i^f-

<»>

2

_d=Weite,

6=Breite des Schlitzes. NachWicke5sind

_je

nachStruktur des

_porösen

_Körpers

3 verschiedene

_Porensysteme

zu unterscheiden.

Eines davon kann

_{modellmäßig}

durch ein Bündel

_{zylindrischer}

Kanäle

dargestellt

werden,

während für die beiden

_anderen,

das kombinierte

Makro-und

_Mikrosystem,

sowiefürdie Schaum- bzw. Schwammstruk-tur andere Modelle zu wählen sind. Immerhin kann die

zylindrische

Kapillare

als

_Prototyp

eines

_porösen

Kanals

_gelten,

und es ist dann im einzelnen Falle zu

prüfen,

inwieweit diefür

Kapillaren

abgeleiteten

Gesetze zutreffend sind.

Im

_folgenden

wurde das Verhalten von 2 dimensionalen

porösen

Gebilden wie

_Lösch-,

Filter- und

_{Chromatographiepapier,}

sowie von

Tonplättchen

beim

_Durchsaugen

von

Flüssigkeit

näheruntersucht und

2_{H.Bechhold,Z.}

physik.

Chem. 64(1908) 328.

3_F.

Erbe, Kolloid-Z. 63 (1933)277.

4_E.

Manegold, S. KomagataundE.Albrecht, Kolloid-Z. 93 ₍₁₉₄₀₎ 166. 5_E.

kapillaren

mit dem in

_Kapillaren

_verglichen.

Vor allem interessierte das Fort-schreiten der

_{Flüssigkeitsfront}

im

_Prüfobjekt,

wenndieses an

gegebe-ner Stehe mit

Flüssigkeit

in

Berührung

gebracht

wird. Es wurden

folgende

Anordnungen,

wie sie z.T. in ähnlicher Weise auch in der

Papierchromatographie vorliegen,

verwendet:

_la)

_{Papierstreifen}

in horizontaler

_Lage,

ameinenEnde

benetzt,

1

b) Papierstreifen

in verti-kaler

_Lage,

mit den beiden Varianten

_lbx)

_Benetzung

_oben,

_lb2)

Be-netzung

unten,

2)

kreisförmiges Papierblatt,

inder Mitte benetzt.

Fließenin

_Kapillaren

Zunächst seien die Verhältnisse im

_{Kapillarmodell}

für

_Anordnung

1)

näher untersucht. Die 3 Fälle

la,

lbx

und

_lb2

sind schematischin

Abb.1

_dargestellt.

Fallía. Hier wirktnurdie

kapillare

Saugkraft

K.Durch

diese wird einerseits die im Röhrchen befindliche und

andererseits diebei A in die

Kapillare

eintretendeFlüssig-keit

_{beschleunigt.}

Dieerstere erfährt die

_{Beschleunigung}

Ibl

mx = nr"_Qxx ,

die

zweite,

die durch dm

= _tir2

qdx

gegeben

ist,

wird

inderZeit dtvon o aufv

be-schleunigt.

Die

Beschleuni-gung ist somit

Î"

1a Ibi

II'

n_r2odx V dt tir2 q x2. Abb. 1.

Kapillar-Schema

Alsweitere Kraftwirkt dem

_Kapillarzug

nochdie der inneren

_Reibung

K{

entgegen,

sodaß wir fürdie

Bewegungsgleichung

der

Flüssigkeit

den Ausdruck erhalten

nr*q x x tir2 _{q x2}

K~KS

(3)

FürKistzusetzenK = 2jir

a(a

=

Kapillarkonstante). Kt

findenwir

ausdem

Poiseuilleschen

Gesetz

(1),

wennwir

bedenken,

daß

Kt=

n

r2p

unddie mittlere

_{Strömungsgeschwindigkeit}

v =

V/t-.nr2.

Es istdanach

(l

= _x

gesetzt)

Die

_{Bewegungsgleichung}

lautet somit

r2Q

(x

x -4-

x2)

= 2r a—8 rj _xx.

(5)

Das

_{Strömungsgesetz}

erweist sich also als

_komphziert,

und einfache Verhältnisse sind nur zu

erwarten,

wenn die Glieder links

vernach-lässigt

werden dürfen.Diesist der

_Fall,

wenn man nurden

Strömungs-verlauf nach

_längerer

Zeit ins

_Auge

faßt,

d. h. wenn sowohl die

Be-schleunigung

x als die

Geschwindigkeit

x

genügend

klein

geworden

sind.

_Günstig

wirkt sich dabei der Umstand _aus, daß die Glieder

links

_umgekehrtes

Vorzeichen

_ergeben

und sich so teilweiseaufheben. Ferner ist zu

beachten,

daß links der Faktor

r2,

rechts aber nur r1 auftritt. Manwird daher im Falle

_genügend

feiner

_{Kapillaren (Poren)}

ohne

_großen

Fehler die hnke Seitevon

(5)

gleich

0 setzen dürfen. Dies

führt dann zu dem einfachen Resultat

* -£•«•

<6)

Fall Ib. Bei vertikaler

_Lage

kommt als weitere Kraft noch das Gewicht der

_{Flüssigkeitssäule,}

das nr2 ggx

beträgt,

hinzu. Die

Be-wegungsgleichung

lautet daher

_jetzt

2nr a

±

nr2_{g g}x = 8

nr\x x

(7)

(—

bei

_Aufwärts-,

-4- bei

_{Abwärtsbewegung).}

Die

_{Integration ergibt}

für

_t

eA

_(Í-X)

=

e-al

(8)

für

_\

_e~x(l

+

_X)

=

e-al.

(9)

X _{T^ O^}O

Hier bedeutet X = -=-

(h

=

Steighöhe)

und _a =

-r¡r-^-

.

Da a =

-~hrr,g,

_so ist auch

ra new

a =

JW

(10)

Für die

_{Fließgeschwindigkeit}

X'

_folgt

für

_f

X- =

a(~—í\

0 < X < 1

(11)

kapillaren

Sie erreicht

_aufsteigend

bei X=

1,

d. h. bei x= hden Wert 0 und

ab-steigend

bei X = _co den Werta. D. h. dannwird

oder . _ x _ v _ rot h h 4r¡h2 r a. 4?7 rgg r'gg " ' et]h it] 2a " 8») "

(13)

Dies ist aber die

_{Geschwindigkeit,}

mit der sich der

_{Flüssigkeitsfaden}

in einer

_Kapillaren

unter

_{alleiniger Wirkung}

der Schwere nachunten

be-wegt.

Es

_folgt

diesunmittelbar auchaus

(7),

wenn mandaselbsta = 0

6001-1-1-1-1-1-1-rj-Abb. 2.

_{Fließgeschwindigkeit}

in

_Kapillaren

fürdie drei

_Richtungen

_f

1->

setzt. Der

_generelle

Verlauf der3 Kurven

_gemäß

den Gl.

_(6),

₍₈₎

und

₍₉₎

ist unter

_{Zugrundelegung}

der einfachen Zahlenwerte h = _a= 1 in

Abb.2

_dargestellt.

In Wirklichkeit wäre für Wasser mit den Werten _o^g =

72,8

dyn

cm-1 und _r¡20 =

0,0100

_{g cm-1 s-1} zu

_rechnen,

d. h. mit den Werten h = _—-cmunda=

8,26.104

r3 s-1. Wenn _man damit die Zeit

aus-r

rechnet,

die Wasser zum

Aufstieg

auf _z. B.

0,9

_h

benötigt

und diese

vergleicht

mit der Zeit

_V,

die es für dieselbe Strecke bei horizontaler

Lage gebrauchen

würde,

so findet man

folgende

Zahlen: r mm 1

0,1

0,01

0,001

h

1,48

cm

14,8

cm

1,48

m

14,8

m

0,9

A

1,33

cm

13,3

cm

1,33

m

13,3

m t

0,017

s 17 s

4,7

h 196 d t'

0,0049

s

4,88

s

1,35

A

56,4

d

Fall 2. Um den Fall radialer

_Strömung

durch einen

_porösen

_Körper

modellmäßig

zu

erfassen,

denken wirunsdiesen durch dicht

gepackte

radial

_angebrachte

_Kapillaren

ersetzt. Im Abstand x

(Abb.

3)

vom Zentrum seien aufdem Kranzeder Dicke

dx

nxRöhrchen

angebracht.

Ist_vxdie

_{Fließgeschwindigkeit}

andieser

Stelle,

soist die

Reibungskraft

in einem Röhrchen 8 _{7ir\ vx} dx und in allen Röhrchen zusammen

d

_Kt

= 8 ti_{r¡ vxnx dx.}

Bedeutet nR die Zahl der Röhrchenander Fließfront

_(R)

_{und vR die}

Fließgeschwin-digkeit

daselbst,

so lassen sich offenbar

folgende

Beziehungen

anschreiben

Abb. 3. Radiale

_Anordnung

nx =

nR-J[

und vx=

VR—

so daß wir haben

d

_Kt=

8 ti_{r\ vR nR}dx

und für die

_{Reibungskraft}

in sämtlichen Röhrchen biszur Fließfront

K{

= 8 _{n vvR}

nRJdx

= 8 _nr¡

vRnR

(R—R0)

.

(14)

Dies ist nun

gleich

dem

Kapillarzug

K an der

Fließfront,

für den wir schreiben können K = 2 n è

Kx,

wo ô die Dicke der Schicht und

Kx

den

_Kapillarzug

pro 1 cm2 bedeutet. Drücken wirnR durch n^ d. h. die

Zahl der Röhrchen_pro 1 cm2ausund setzensomit nR = 2 tiR ô nx, so führt GleichsetzenvonK und

K(

zuder

Beziehung

8 ti_{7]nx vR}

(R—R0)

=

Kx.

Da die

_{Fließgeschwindigkeit}

ander Front_vR dR

~dt

(15)

,so

ergibt

sichaus

(15)

oder

8 ti_r¡

jdR(R—R0)

=

Kx¡nx

t

Ro

4nrj

(R-R0)2

=

Kx¡nx

• t.

(16)

Da

_K-^n^

d. h. der

_Kapillarzug

_pro Röhrchen

_gleich

2 nr a

_ist,

so findet man schließlich

kapillaren

Es

_ergibt

sich also für die Fließstrecke

_(R—RQ)

bei radialer

_Strömung

genau derselbe Ausdruck wie für die Fließstrecke x bei

einseitiger

Strömung.

Die hier

_abgeleiteten

Resultate sind unter der Annahme eines

kreisförmigen

Querschnittes

der

_Kapillaren

_gewonnen. Esist indessen nicht

_anzunehmen,

daß sie für andere

_Querschnitte

wesentlich anders ausfallen.

_Legt

manz.B. den anderen Grenzfall eines

schlitzförmigen

Querschnittes

zugrunde,

so

ergibt

sich unter

Benützung

von

(2)

für

das Fheßen in horizontaler

_{Richtung (Schlitzbreite}

_groß

_{gegen Weite}

vorausgesetzt)

^=Í~t.

(18)

Dies

_entspricht

_{aber ganz dem Ausdruck}

_(6).

Nur ist der Zahlenfaktor

1 2

«- durch_-s- ersetzt. Die

Porengröße

2r bezw. 2d

ergibt

sich demnach

nahezu

_{gleich groß.}

Die

_Rechnung

ist daher für die anderen Fälle lb und 2nicht weiter

_{durchgeführt. Dagegen}

sei

_ergänzend

nochder Aus-druck für das Poiseuihesche Gesetz bei radialer

_Strömung

zwischen

zwei

_parallelen

Ebenen

_angegeben.

Zwei

_{Kreisscheiben,}

die in der Mitte

_{ausgeschnitten}

sind

_{(Radius :R0),}

seien koaxial übereinander im Abstand2d

_angebracht.

Dievon

R0

bis R strömende

Flüssigkeit

stehe

unterdem Druckp. Es

_ergibt

sich hierfür

«7<=sfrak-

(,9)

Fürden Druck im Abstandx vomZentrumerhält man

InR/x ,0„,

v* =

Vynm¡-

(20)

Ausdruck

₍₁₉₎

_geht

für R und

_R0

sehr

_groß,

wenn man

R—R0

= l

setztund

_V/t

_pro Schlitzbreite 6=1 cm

ausrechnet,

wie essein

muß,

inFormel

₍₂₎

über.

Fließen in

_porösen

Materialien

Fließenunter

_alleiniger

_Wirkung

der

_{Kapillarkraft}

A.Eindimensionale

_Strömung.

Vor allem interessierte die

_Frage,

inwieweit auch für

_poröse

Stoffe das

_quadratische

Gesetz

₍₄₎

Gültig-keit besitzt. Für die Versuche mit Wasser wurde die einfache

Anord-nung der Abb.4 verwendet. Der mit einer

Teilung

versehene

Papier-streifen8von

2,4

cm Breite wurde in eine

_transparente

PlastikhülleH

eingeschoben,

so daß er diesenurmit den Seitenrändern berührte. Im

Fond der Hülle befand sich ein mit Wasser

_getränkter

Wattebausch

_W,

um soeine

Verdunstung

des

eingesaugten

Wassers nach

Möglichkeit

zu

verhindern. Die

_rechteckige

Schale G wurde bis oben mit

Wasser

ge-füllt. Zu einem

_gegebenen

_{Zeitpunkt legte}

man nun die Hülle mit dem

0_5_10

i i i i I i i I i _s

GH U

Abb.4.

_{Versuchsanordnung}

w

Streifen bei derMarke Null aufdenRand der

_{Wasserschale,}

wobeiman

durch eine

_{passende Unterlage}

U für horizontale

_Lage

des Streifens

sorgte.

Bei

_genügend

hoher

_{Luftfeuchtigkeit}

konnte

_je

nachUmständen

diePlastikhülleauch

_weggelassen

undderStreifen

_(Breite

zumeist3

_cm)

Abb.5. 1.

_{Fließgeschwindigkeit.}

Ibei

_Verhinderung

der

_Verdunstung;

IIohne

Verhinderung

der

Verdunstung.

2.

Prüfung

der

_{Beziehung x2/t}

= const,für

LLösch-, G

_{Chromatographie-}

und F

Filtrierpapier,

T

_{Tonplättchen}

direkt aufdie nicht benetzende

_Unterlage

U

_gelegt

werden. Ein

ge-wisses Interesse bot die

_Untersuchung

von

Tonplättchen

10X10

_cm2,

Dicke: 5 mm, da dieses Material die

Voraussetzung

zur

Herstellung

derneueren

Diffusionshygrometer6

bildet. Hier

erfolgte

die

Benetzung

6_H.

Greinacher, Helv.

_physica

Acta 17 (1944) 437. Chimia [Zürich] 7

kapillaren

der einen Seite des

_{quadratischen Objekts}

_dadurch,

daß man sie in

guten

Kontakt mit nassem

Löschpapier

brachte. In allen Fällen ließ

sich die

_{Gleichmäßigkeit}

des Versuchsmaterials daran

erkennen,

daß die Fließfront sich

_geradlinig

senkrecht zumFluß

fortbewegte.

In Abb.5 sind nun

einige Messungen zusammengestellt.

I und II

zeigen

den zeitlichen Verlauf für

_Löschpapier

mit und ohne

Plastik-hülle bei einer

_{Luftfeuchtigkeit}

von

30—40%.

II läßt eine deutliche

Verlangsamung

bei

_größeren

Fließstrecken erkennen. Weiter ist zur

Prüfung

der

_Gültigkeit

des

_{quadratischen}

Gesetzes

_x2/t

als Funktion von x

aufgetragen.

Man

erkennt,

daß für alle3

Papierproben (C,

F,

L)

bei nicht zu kleinen

_Wegstrecken

(etwa

von 5cm

_an)

annähernd

horizontale Gerade herauskommen. Beim

_{Tonplättchen (T),}

für das

x2/t

im zehnfachen Maßstab

_aufgetragen

_wurde,

ist das

_quadratische

Gesetz _{sogar über den ganzen} Bereich

_gut

erfüllt. Die Ordinaten der

Horizontalen

_entsprechen

also dem Ausdruck der Formel

_(6).

Rechnet man damit die

entsprechenden Kapillarweiten

2r aus, so erhält man

folgende

Werte: F

_{Filtrierpapier}

2r =

0,15

•

-^-

=

8,2

• 10"5_cm G Whatman 4

_0,16

.

^-

=

8,8-

10~5_cm a

Í

Löschblatt

[

Sihl

_Blotting

0,29

•

-^

₌

15,9

• 10~5 _cm T

_{Tonplättchen}

0,010

•

^-

₌

0,55

• 10~5 cm.

Ergänzend

sei

_bemerkt,

daß auch _{Fließversuche} mit

_Terpentinöl

und mineralischem Nähmaschinenöl konstante

Werte

für

_{x2/t ergaben.}

Infolge

des

_langsameren

Fließens fielen sie

_allerdings

kleiner aus

(0,004

bis

_0,006).

Charakteristisch an den

x2/i-Kurven

ist ihr

Ansteigen

bei kleinen

Wegstrecken.

Das

_Einsaugen

der

_{Flüssigkeit erfolgt}

auf den ersten

Zentimeter relativ rascher als

_später,

tist kleinerals dem

_{quadratischen}

Gesetz

_entspricht.

Damit

_parallel

_geht

die

Tatsache,

daß sich die

Streifen auf den ersten cm _wegs mit einer

zusammenhängenden

und

damit

_regelmäßig

_spiegelnden

Wasserschicht

_bedecken,

während der

übrige

Teil eine matt scheinende Oberfläche

_zeigt

und offenbar nicht maximal

_vollgesaugt

ist.

Damitstehen

_{folgende Erscheinungen}

in unmittelbarem

Zusammen-hang.

Schneidet man einen

Papierstreifen

während des

Einsaugens

von der Wasserzufuhr

ab,

indem man ihn etwa

durchschneidet,

so wandert die Fheßfront trotzdem noch eine Strecke weiter. Ferner beobachtet man, daß der

Fließvorgang

nicht

aufhört,

wenndie

Fließ-frontamEnde des Streifens

angelangt

ist.Esist diesander

spiegelnden

Wasserfläche,

die allmählich _{die ganze}

_Länge

_überzieht,

zu erkennen.

Das Nachfließen läßt sich aber auch direkt sichtbar

_machen,

indem

mandas

Papier

nach dem

Stop

der Fließfront mitTusche

betupft.

Es entstehen dann

_je

nachdem Abstandder

_Tupfe

vom

Papierende

mehr

oder

_weniger

_lange

Tuschestriche

_(Abb.lH).

Es

_geht

daraus

_hervor,

daß auch hinter derFließfront noch

_{Kapillarkräfte}

wirksam sindund daß demnach das Ersatzmodell eines Bündels von

Kapillaren,

das nur an der Fheßfront

Kapillarität

voraussetzt,

die Verhältnisse zum min-destenfürdünne

_Prüfobjekte

nicht

_{vollständig wiedergeben}

kann. Die

Gültigkeit

des

_{quadratischen}

_Gesetzes,

sowie der

_Umstand,

daß für 2r

Werte der

_richtigen

_{Größenordnung}

_gefunden

_werden,

deuten aber

daraufhin,

daß bei

_größeren

Fließstreckenwährend des

_{Fließvorganges}

doch mit einem konstanten

Querschnitt

gerechnet

werden kann. Auf kurzen Strecken tritt

_allerdings

der Einfluß der Wasserhaut hervor.

Nichtnur, daß der

Querschnitt

vergrößert

ist,

die

Bewegung

der

Fließ-front wird zudem durch das Fließen an der Oberfläche

beschleunigt.

B. Radiale

_Strömung.

Die der Abb. 3

_{entsprechende Anordnung}

wurde so

realisiert,

daß man _{in der Mitte eines}

kreisförmigen

Lösch-blattes einen Kreis von

R0

= 1 cm

aussparte

und die Wasserzufuhr durch einen dort

_{hineingesteckten Wattepfropf besorgte,}

der seiner-seits in ein Glas Wassereintauchte.

Ähnlich

wurde mit einem

Tonplätt-chen verfahren

_(R0

=

0,5

cm).

Das Resultat war in Kürze

folgendes:

Für-——

_ergaben

sich ähnliche Kurven wie für

_x2/t

bei

_einseitiger

t

Strömung.

Die Werte waren aber sowohl für

Löschpapier

wie für das

Tonplättchen

nur etwa halb so

groß.

Die

Strömung

erfolgte

also

wesentlich

_langsamer

alsin

_{Papierstreifen.}

Fernerblieb dieKurveauch bei

_{größeren Wegstrecken}

leicht

_geneigt,

so daß das

quadratische

Gesetz nur unvollkommen erfüllt war. Die

Verhältnisse

können also nicht durch dasoben

_besprochene

radiale

_{Kapillarmodell}

_{wiedergegeben}

werden. Die

_{geringere Fließgeschwindigkeit}

bei radialer

_Anordnung

dürfte mit dem schon erwähnten Vorhandensein von

Kapillarkräften

hinter der Fließfront

_{zusammenhängen}

bzw. mit dem

_Umstand,

daß

die hinter der

Fließfront

nachzufüllende Fläche beiradialer

_Anordnung

mit dem

_Quadrat,

bei

_einseitiger

abernur

proportional

zunimmt. Die

kapillaren

7500

1000

radiale

_Anordnung

läßt im

_übrigen

unmittelbar die

Fließgeschwindig-keit in allen

_Richtungen

überblicken. Die

_{Verschiedenheit,}

wie sie bei

Chromatographiepapier ja

bekannt

ist,

zeigte

sich auch beiLöschblatt.

Die

_elliptische

Front

_ergab

einAchsenVerhältnisvonetwa 9:10.

Fließen unter

_Wirkung

von

Kapillar-

und Schwerkraft

In Abb.6 sind drei Kurven

_{wiedergegeben,}

wie sie für die

Fließge-schwindigkeit

in

_{aufsteigender (f)}

und in

_absteigender

_(j)

im

Ver-gleich

zu der in horizontaler

Richtung

(->)

gefunden

wurden. Die

Versuche sindmit

Lösch-papier

von 3 cm Breite

und

_0,6

mmDicke

ausge-führt. Bei

_Verwendung

dieses dickeren Materials

undbei derrelativhohen

Luftfeuchtigkeit

von ca.

60°/0

durfte der

Verdun-stungseffekt

während des sec

Einsaugens

der

Flüssig-keit als

_belanglos

ange-nommenwerden. Um

ver-gleichbare

Kurven zu

erhalten,

wurden die

Pa-pierstreifen

nebeneinan-der aus demselben Mate-rial

_{herausgeschnitten.}

Die

_{Reproduzierbarkeit}

der Verhältnisse wurde durch

_Wiederholung

des

Fließversuchsin

horizon-taler

_Richtung

noch be-sonders

_geprüft.

Für eine

Fließ-Strecke von 10 cm

ergab

sich beim einenStreifen404 s, beim

anderen 423 s. Der Versuch für das

Aufsteigen

der

Flüssigkeit

war

leichtzu

realisieren,

indemmandasuntereEnde des Streifenszueinem

gegebenen

Zeitpunkt

eintauchte. Bei dem für

_{Abwärtsbewegung}

brachtemandas

Papier

dadurch inKontakt mit

Wasser,

daß man das eine

_umgebogene

Ende des StreifensüberdenRand eines

_Becherglases

legte.

Dieses war zur

Vermeidung

unerwünschter

Kapillarwirkung

500

Abb.6.

_{Fließgeschwindigkeit}

in

_Löschpapier

für die drei

_{Richtungen f}

1->

paraffiniert

und nur bis ca.

1/2

cm vom Rand mit Wasser

gefüllt.

Als

Nullpunkt

für die nach untenführendeFließ-Streckewurde derhöchste Punkt des Streifens

_gewählt.

Dem unerwünschten

_Umstand,

daß das Wasser bis zu diesem Punkte erst

einige

mm

aufsteigen

mußte,

wurde dadurch nach

_{Möglichkeit begegnet,}

daß man noch _{einen dicken} ins

Wasser eintauchenden

_{Löschpapierstreifen}

auf den

Kulminations-punkt auflegte.

Wie ersichtlich fallen die 3 Kurven bis etwa 5 cm _wegs

praktisch

zusammen. Sie sind daher auch erst von dort an

eingezeichnet.

Im

übrigen ergibt

sich dasselbe

_typische

Kurvenbild wie bei

_Kapillaren

(Abb. 2).

Es kann indessen nicht ohneweiteres ersehen

werden,

ob die Resultate auch

_quantitativ

übereinstimmen. Die

_Prüfung

dieser

_Frage

läßt sich

_{folgendermaßen}

durchführen. Aus

₍₁₁₎

und

₍₁₂₎

_gewinnt

man eine einfache

_Beziehung,

wenn man die

Fließgeschwindigkeit

X im selben Abstand x einmal bei Abwärts- und einmal bei

Aufwärts-bewegung

betrachtet. Nennen wir diese

_X\

und

_X\,

sohaben wir

Xx

—

X2

= 2_a oder da X\ =

-£-

und

X\

= ~-1 _h 2 _h xx — x2 = 2ah .

Aus

₍₁₀₎

und

₍₆₎

_folgt

ferner

_ x2

J_

a

— t

'2h2'

so daß wir erhalten

• • x2

L

*i x2

— - h

.

Bezeichnenwir die konstante Größe

_x2/t

mit

k,

so erhaltenwirfür die

Steighöhe

den Ausdruck

Danach kann also h aus der

Fließgeschwindigkeit

in den 3

Rich-tungen

f

1 ->-, d.h. nach einer

_dynamischen

_Methode,

_gefunden

wer-den. Auf unseren Fall

angewendet,

wäre zu

prüfen

1. ob

gemäß

(21)

xx—x2 einen

konstanten Wert

_aufweist,

2.

_ob,

wenn

ja,

sich für h ein brauchbarer Wert

_ergibt.

Die erste

_Bedingung

istnun offenbar

erfüllt,

wenn man

größere

Fließ-Strecken ins

Auge

faßt. Da die Kurven dort

kapillaren

xx

—

x2 konstant. Hierfür

ergibt

sich

_ungefähr

0,0037

cm/s.

Da man ausder Kurve -^für

x2/t

den Wert

0,24

findet,

soberechnetsich für die

Steighöhe

65 cm. Direkte

Beobachtung ergab

andererseits,

daß Wasser in 1 Stunde 23 _cm, in 2 Stunden 30cm hoch

stieg.

Der nach

(21)

gefundene

Wert dürfte daher vom

richtigen

nicht allzu weit entfernt

sein. Für den zuzuordnenden

_{Kapillarradius}

_ergibt

sich

_allerdings

der relativ hohe Wert von

2,3

• 10-3_cm. Die Resultate

zeigen

somit,

daß das

_{Kapillarmodell}

die Verhältnisse nur teilweise

quantitativ

zu erfassen_vermag.

Fließen unter

_alleiniger

_Wirkung

der Schwerkraft

Hängt

man einen

Löschpapierstreifen

an _{einem Ende über den} Rand eines mit Wasser

_{gefüllten Becherglases,}

so beobachtet man

zunächstdasWandern der Fließfrontunter

_Wirkung

von

Kapillar-

und

Schwerkraft zusammen. Ist die Front am _unteren Ende

angelangt,

so

fließt weiterhin Wasser unter reiner

_{Schwerewirkung}

_nach,

und es findet

_{Tropfenbildung}

statt. Denken wiruns das

Prüfobjekt

durch ein Bündel von

Kapillaren

ersetzt,

in denen Poiseuillesche

Strömung

stattfindet,

so können wir

gemäß

Formel

(13)

den

entsprechenden

Kapillarradius

bestimmen. Es ist für die n Röhrchen

T,. 7irlp

Vlt

=

-8rJ-'n-Da das

_{Druckgefälle}

_p/l

im Schwerefeld _gg

_beträgt

und der

Quer-schnitt q=

nnr2,

so

folgt

V/t

=

?M1

(22)

r2=SrLVI1_

Q91

und damit

Indem man nach Bechhold

(1. c.)

_q aus _dem Leerraum des

porösen

Materials

_ableitet,

läßt sich r berechnen. Man kann aber

schon,

wenn man _{q durch den}

größeren

Querschnitt

Q

des

Objekts

ersetzt,

wenig-stens eine untere Grenze für r

angeben

undschreiben

r >

t-^

•

<23>

So wurde für ein

_{Löschpapier (Länge}

_18,5

cm, Breite 3 cm, Dicke

ergibt

sichr >

7,8

• IO-4

cm.

Vergleichsweise

wurdeamselben Streifen

auch der horizontale Fließversuch

_{durchgeführt.}

Aus dem hiernach

gefundenen

Wert

_x2/t

=

0,3

ergab

sich indessen _r=

0,8

• 10~4

cm. Dieser Wert

_entspricht

etwa den

_Angaben,

die Bechhold über die

Porengröße

von

Filterpapier

macht. Der nach der

Durchströmungs-methode

_gefundene

Wert

_liegt

somit um eine

Größenordnung

höher. Eine

_Erklärung

hierfür liefert der

Umstand,

daß der

_{Papierstreifen}

während des

_Abtropfens

mit einer mehr oder

_weniger

dicken

Wasser-schicht

_überzogen

ist,

erkennbar an der

spiegelnden

Oberfläche. Wenn nun ein Teil des Wassers über diese

herabfließt,

so ist dies

gleich-bedeutend mit einer

_{Vergrößerung}

der mittleren Rohrweite. Wie dick

die Wasserhaut

ist,

hängt weitgehend

von der

Anordnung

ab. Sowohl die HöhedesWasserniveau im Glas als diePartie des

_Streifens,

dieam Rande des Glases

_aufliegt,

_spielt

eine Rolle. Wennmanden Rand nicht

etwadurch

_{Paraffinierung}

wasserabstoßend

_macht,

kann die

Abtropf-geschwindigkeit

umein Vielfaches

vergrößert

sein.Dies machtesauch

verständlich,

daßmannichtohneweiteres

reproduzierbare

Verhältnisse erhält.

Dies

_zeigte

sich auchbei der

_Prüfung

der

_Frage,

ob die

_abtropfende

Wassermenge

von der

Länge

des

herabhängenden

Streifens

abhängt.

Danach Poiseuille bzw. nach

₍₂₂₎

die

_Länge

des

_{Kapillarrohrs}

keine Rolle

_spielt,

wäre eine

_{gleichbleibende Tropfenzahl}

zu erwarten

gewesen. Indemman nun denselben

Löschpapierstreifen

nacheinander einmal 12cm und dann 6cm etc.

herabhängen

ließ,

wurden

folgende

Zeiten für die

_Bildung

eines

_Tropfens

_gemessen

Länge

Mittel

12cm 91 80 74 82 sec

6 cm 103 91 86 93 sec

Es

_ergaben

sich also trotz der

_{Regelmäßigkeit,}

mit der bei

_jeder

Ein-stellung

die

_Tropfen

_fielen,

_{unregelmäßige Schwankungen}

der

Meß-werte. Indessen

_sprechen

die Zahlen doch

_dafür,

daß die

Strömungs-geschwindigkeit

in

_langen

und kurzen Streifen

_praktisch

dieselbe ist.

Vorausgesetzt

ist

_dabei,

daß die

_Steighöhe

vom Niveau im Glas bis zum höchsten Punkt als verschwindend klein angenommen werden darf. Im anderen Fall ist zu

berücksichtigen,

daß nur der

kapillaren

hydrostatischen

Druck

liefert,

daß aber andererseits der

Reibungs-widerstand auf der ganzen Strecke vom oberen eintauchenden Ende biszumunteren zuüberwinden ist. Bezeichnetmandiese ganze

Länge

mit L und die

_Steighöhe

mit

_l,

so ist die nach

₍₂₂₎

sich

ergebende

t_o/ o₇

Abflußmenge

daher mit—=—=

1-^zu

multiplizieren.

Hängt

der

Streifen nur bis auf Niveauhöhe

herab,

d.h. ist L =

21,

_so

saugt

sich

zwarder Streifen mitWasser

voll,

es findet aber kein

Abtropfen

mehr

statt. Dies tritt indessen z.B. wieder

ein,

wenn man einen auch nur

kurzen nassen

Papierstreifen

mittels

Kapillarkraft

anhängt.

_Ferner kann man

beobachten,

daß bei

Schrägstellung

des

Papierstreifens

die

Tropfenbildung

sich

_{entsprechend verlangsamt,}

und hebt man das Ende auf die Höhe des

_{Wasserniveau,}

so setzt die Funktion dieses

Kapillarhebers

ebenfalls ganz aus.

Strömungslinien

Bei der

_Behandlung

des

_{Fließvorgangs}

in

_porösen

_Körpern

wurde

stillschweigend

vorausgesetzt,

daß man es mit einer

gerichteten

Strömung

zu tun habe. Inwieweit dies

_zutrifft,

soll anhand

_einiger

Fließbilder,

die mit der einfachen

_Anordnung

der Abb.4

_hergestellt

wurden,

_gezeigt

werden

_(Abb.

_7).

Zu diesem Zwecke brachte man

während des

_Einsaugens

des Wassersan4bis 7

äquidistanten

Punkten

(Abstand

5 bis 9

_mm)

mit Hilfe einer Schreibfeder

_Tuschetupfen

auf.

Dies in

_einigen

cm Abstand von der

Einsaugstelle,

um _ein Zerfließen

der Tusche in der mit Wasser bedeckten Oberfläche zu

vermeiden,

auch nicht vor dem Versuch oder unmittelbar nach

Durchgang

der Fließfront. Diese ließ man erst

einige

cm weit

vorrücken,

damit das Wandern der Tusche dann nach

_Erreichung

des stationären

Fließzustandes vor sich

gehen

konnte. Wie aus Abb.7

ersichtlich,

erhält man so

ausgeprägte

Stromlinienbilder,

wie sie einer freien laminaren

_{Flüssigkeitsströmung entsprechen.}

Während des Versuches kannmanauch sehr schön

beobachten,

daß die Fließfront sich

jeweils

_|_

zur

Strömung

einstellt. EinVersuch dauertim

allgemeinen weniger

als

10 Minuten. Bild C ist mit Whatman

_4,

alle

_übrigen

Aufnahmen sind

mit

_{Löschpapier hergestellt.}

Umnichtnur das Strömen in verschieden

geformten

Kanälen,

sondern auch um Hindernisse herum zu

zeigen,

wurden in Streifen F 2 Einschnitte

_gemacht,

und bei G war das

Papier

auf einer Partie in der Größe eines Frankenstückes

_{paraffiniert.}

Bemerkt

_sei,

daß nicht

_jedes

Färbemittel verwendbar

ist,

da diese

gewöhnlich

gemäß

dem

_{papierchromatischen}

Trennverfahren

_gänzlich

mitgeführt

werden,

während schwarze Tusche deutliche

_Wegspuren

hinterläßt. Man erkennt im

_übrigen,

daß die so erzielten

Strömungs-linien sichmit Zunahme der

_Wegstrecke

etwas

_verbreitern,

indem sich

Abb.7. Das Fließen in porösemMaterial,

dargestellt

durch Stromlinienbilder. ABCDE:

_Strömung

inverschieden

_geformten

Kanälen, F G: umHindernisse,

kapillaren

zu der

gerichteten Strömung

eine fortschreitende seitliche Diffusion

zugesellt.

Der Effekt ist indessen nichtso

groß,

daßmannicht brauch-bare Stromlinienbilder von über 10cm

Länge

erhalten kann. Das

Verfahren dürfte daher auch für Demonstrationszwecke im

Physik-unterricht

_gute

Dienste

_tun,

besonders

_dann,

wenn ein PoHLscher

Stromlinienapparat

nicht zur

Verfügung

steht. Es besitzt diesem

gegenüber

noch den

Vorteil,

daß die Bilder nach

_Herstellung

leicht fixiertwerden können. Man hat nur die nassen _Proben mit der Rück-seite aufein

_Fließpapier

zu

legen

und siemiteinem

gewöhnlichen Papier

leicht anzudrücken.