Université Paris-Sud
Ecole Doctorale de Mathématiques
(ED n
◦142)
Discipline : Mathématiques
Thèse de doctorat
Soutenue le 24/09/2014 par
Haoyu HU
Ramification et cycles proches pour
les faisceaux `-adiques sur un
schéma au-dessus d’un trait
Directeur de thèse : M. Ahmed ABBES (IHES)
Co-directeur de thèse : M. Lei FU (Université de Nankai)
Composition du jury :
Directeur de thèse : M. Ahmed ABBES (IHES)
Co-directeur de thèse : M. Lei FU (Université de Nankai)
Rapporteur : M. Takeshi SAITO (Université de Tokyo)
Examinateurs : M. Gérard LAUMON (Université Paris-Sud)
M. Fabrice ORGOGOZO (École Polytechnique)
M. Yichao TIAN (Centre Morningside)
Invité : M. Luc ILLUSIE (Université Paris-Sud)
Rapporteur absent le jour de la soutenance :
Thèse préparée au
Département de Mathématiques d’Orsay Laboratoire de Mathématiques (UMR 8628), Bât. 425 Université Paris-Sud 11
Dans cette thèse, on étude le complexe des cycles proches d’un faisceau `-adique sur un schéma au-dessus d’un trait en utilisant la théorie de ramification d’Abbes et Saito. La pre-mière partie est consacrée à une nouvelle preuve d’une formule de Deligne et Kato qui calcule la dimension du complexe des cycles proches d’un faisceau `-adique sur une courbe relative lisse au-dessus d’un trait strictement local. Deligne a considéré le cas où le faisceau n’a pas de ramification verticale, et Kato a traité le cas général. Notre approche est basée sur une notion locale de cycle caractéristique définie grâce au conducteur de Swan raffiné d’Abbes et Saito. Dans la deuxième partie, on démontre une formule qui calcule le conducteur de Swan de la co-homologie du complexe des cycles proches d’un faisceau `-adique sur une variété lisse au-dessus d’un trait d’égale caractéristique, vérifiant une certaine condition de ramification. Tsushima a introduit la classe caractéristique raffinée du faisceau et il a démontré qu’elle calcule le con-ducteur de Swan de la cohomologie du complexe de ses cycles proches par une formule du type Lefschetz-Verdier. On calcule la classe caractéristique raffinée comme un produit d’intersection sur le fibré cotangent logarithmique de la variété faisant apparaître le cycle caractéristique du faisceau défini par Abbes et Saito et la section nulle.
Mots-clefs: Cycles proches, Théorie de la ramification, Conducteur de Swan raffiné, Formule du conducteur, Cycle caractéristique, Class caractéristique (raffinée).
Ramification and nearby cycles for `-adic sheaves on a scheme over a trait
Abstract
In this thesis, we study the nearby cycle complex of an `-adic sheaf on a scheme over a trait, using ramification theory of Abbes and Saito. The first part is devoted to a new proof of a formula of Deligne and Kato that computes the dimension of the stalks of the nearby cycle complex of an `-adic sheaf on a smooth relative curve over a strictly local trait. Deligne considered the case where the sheaf has no vertical ramification and Kato extended the formula to the general case. Our approach is based on a local notion of characteristic cycle defined using the refined Swan conductor of Abbes and Saito. In the second part, we prove a formula that computes the Swan conductor of the cohomology of the nearby cycle complex of an `-adic sheaf on a smooth variety over a trait of equal characteristic, satisfying a certain ramification condition. Tsushima introduced the refined characteristic class of the sheaf and he proved that it computes the Swan conductor of the cohomology of its nearby cycle complex by a Lefschetz-Verdier type formula. We compute the refined characteristic class as an intersection product on the logarithmic cotangent bundle of the variety, involving the characteristic cycle of the sheaf defined by Abbes and Saito and the zero section.
Keywords: Nearby cycles, Ramification theory, Refined Swan conductor, Conductor formula, Characteristic cycle, (Refined) characteristic class.
Je tiens tout d’abord à exprimer ma gratitude la plus profonde envers mes directeurs de thèse, Ahmed Abbes et Lei Fu. Ahmed Abbes a consacré beaucoup de temps à dis-cuter avec moi, à lire, à vérifier, et à corriger mes textes mathématiques et non math-ématiques, avec beaucoup de gentillesse et une grande patience. Je souhaite également le remercier vivement pour ses encouragements constants pendant la préparation de ma thèse. Lei Fu m’a guidé dans un domaine mathématique très intéressant pendant mes trois ans d’études à l’Université de Nankai. Avec sa recommandation, j’ai eu la chance précieuse d’étudier les mathématiques à Paris.
Je souhaite remercier chaleureusement Martin Olsson et Takeshi Saito, qui m’ont fait l’honneur d’accepter d’être rapporteurs de cette thèse. Ils ont fait des corrections et m’ont donné des conseils stimulants. Je remercie sincèrement Gérard Laumon, Fabrice Orgogozo, et Yichao Tian pour leur participation à mon jury de thèse. Je remercie aussi Luc Illusie pour sa présence à ma soutenance.
Je remercie tous les members de l’Institut des Hautes Études Scientifiques et du Département de Mathématiques d’Orsay où j’ai effectué la majeure partie de mon travail de thèse. En particulier, je suis reconnaissant à Christophe Breuil pour sa sollicitude. J’ai été soutenu par le Fonds Chern et la Fondation Mathématique Jacques Hadamard pendant mon séjour en France. Je les remercie cordialement. Je remercie aussi l’Institut de Mathématiques Chern pour son soutien pendant mes études à l’Université de Nankai. J’adresse des remerciements sincères à mes amis en France, pour leur chaleureuse présence : Yang Cao, Yiwen Ding, Lie Fu, Ziyang Gao, Yunlong Jiao, Yang Lan, Yongqi Liang, Chunhui Liu, Shinan Liu, Ye Lu, Zhe Sun, Junyi Xie, Songyan Xie, Daxin Xu, Cong Xue, Yue Yu et Yeping Zhang, en particulier, Yang Cao, Chunhui Liu et Yeping Zhang pour leur aide mathématique et non mathématique.
J’exprime ma reconnaissance du fond du cœur à mes parents et à mes grands-parents pour leur soutien constant. Enfin, je remercie Xiaoling Liu pour tout ce qu’elle est pour moi.
Introduction 3
1. Théorie de la ramification d’Abbes-Saito 3
2. Ramification et cycles proches pour les faisceaux `-adiques sur
une courbe relative 7
3. Classe caractéristique raffinée et formule du conducteur 9
Réferences 13
I. Ramification and nearby cycles for `-adic sheaves on relative curves 15
1. Introduction 15
2. Notation 18
3. Kato’s Swan conductors with differential values 18
4. Abbes-Saito’s ramification theory 22
5. Ramification of extensions of type (II) 26
6. Tubular neighborhoods and normalized integral models 29 7. Isogenies associated to extensions of type (II): the equal
characteristic case 30
8. Isogenies associated to extensions of type (II): the unequal
characteristic case 35
9. The refined Swan conductor of an extension of type (II) 42 10. Comparison of Kato’s and Abbes-Saito’s characteristic cycles 44 11. Nearby cycles of `-adic sheaves on relative curves 47
Réferences 51
II. Refined characteristic class and conductor formula 53
1. Introduction 53
2. Notation 55
3. Preliminaries on étale cohomology 56
4. Cohomological correspondences 60
5. Ramification of `-adic sheaves 64
6. Clean `-adic sheaves and characteristic cycles 68
7. Tsushima’s refined characteristic class 73
8. The conductor formula 77
Réferences 85
Le complexe des cycles proches d’un faisceau `-adique sur un schéma au-dessus d’un trait (strictement local) a été défini par Grothendieck comme un complexe sur la fibre spéciale muni d’une action du groupe de Galois du corps des fonctions du trait [6, XIII]. On s’intéresse à deux invariants de ce complexe : sa caractéristique d’Euler-Poincaré et la somme alternée des conducteurs de Swan de ses groupes de cohomologie. La première partie de cette thèse [Hu1] est consacrée à une nouvelle démonstration de la formule de Deligne-Kato qui calcule la dimension du complexe des cycles proches d’un faisceau `-adique sur une courbe relative. Dans la deuxième partie [Hu2], on montre une formule du conducteur qui calcule la somme alternée des conducteurs de Swan des groupes de cohomologie du complexe des cycles proches d’un faisceau `-adique vérifiant une certaine condition de ramification.
Après un bref rappel de la théorie de la ramification d’Abbes-Saito [2, 3, 5] qui joue un rôle important dans ce travail, on présente les principaux résultats de [Hu1] et [Hu2].
1. Théorie de la ramification d’Abbes-Saito
1.1. Soient K un corps de valuation discrète complet, OK son anneau d’entiers, mK
l’idéal maximal de OK et F le corps résiduel de OK. On suppose que F est de type
fini sur un corps parfait de caractéristique p > 0. Soient K une clôture séparable de K, OK la clôture intégrale de OK dans K, F le corps résiduel de OK, v la valuation de
K normalisée par v(K×) =Z et GK le groupe de Galois de K/K. Soient ` un nombre
premier inversible dans F et Λ une Z`-algèbre artinnienne locale. On fixe un caractère
additif non-trivial ψ : Fp → Λ×.
1.2. Abbes et Saito ont défini une filtration décroissante Gr
K,log (r ∈ Q>0) de GK,
appelée la filtration de ramification logarithmique [2]. Pour tout nombre rationnel r> 0, on pose Gr+
K,log=
S
b>rGbK,log. Alors, P = G 0+
K,log est le sous-groupe d’inertie sauvage de
GK [2, 3.15]. Pour tout nombre rationnel r > 0, le quotient
GrrlogGK = GrK,log
Gr+K,log
est abélien, annulé par p ([18, 1.24], [19, Theorem 2]) et est contenu dans le centre de P/Gr+K,log [3].
1.3. Soit L une extension finie séparable de K. Pour tout nombre rationnel r> 0, on dit que la ramification logarithmique est bornée par r (resp. par r+) si Gr
K,log
(resp. Gr+
K,log) agit trivialement sur HomK(L, K) via son action sur K. Le conducteur
logarithmique c de L/K est défini comme la borne inférieure des nombres rationnels r > 0 tels que la ramification logarithmique de L/K soit bornée by r. Alors, c est un nombre rationnel et la ramification logarithmique de L/K est bornée par c+ [2, 9.5]. Si c > 0, la ramification logarithmique de L/K n’est pas bornée par c.
4 1. THÉORIE DE LA RAMIFICATION D’ABBES-SAITO
1.4. Soit M un Λ-module sur lequel P = G0+
K,log agit Λ-linéairement par un
quo-tient fini discret. Notons l’action ρ : P → AutΛ(M ). Alors, M admet une unique
décomposition en somme directe
M = M
r∈Q>0
M(r) (1.4.1)
dont les composantes M(r) sont P -stables, telles que M(0) = MP et pour tout r > 0,
(M(r))GrK,log = 0 et (M(r))G r+
K,log = M(r).
Si r > 0, M(r) = 0 sauf pour un nombre fini de nombres rationnels r pour lesquels
ρ(Gr+K,log) 6= ρ(Gr
K,log) [16, 1.1]. La décomposition (1.4.1) est appelée la décomposition
en pentes de M. Les valeurs r> 0 pour lesquelles M(r) 6= 0 sont appelées les pentes de
M. On dit que M est isocline s’il n’a qu’une seule pente. 1.5. Soit M un Λ-module sur lequel P = G0+
K,log agit Λ-linéairement par un quotient
fini discret, qui est isocline de pente r > 0. L’action de P sur M se factorise donc à travers le groupe P/Gr+
K,log. Soit X(r) l’ensemble des classes d’isomorphisme des
carac-tères finis χ : Grr
logGK → Λ×χ tels que Λχ soit une Λ-algèbre finie étale, engendrée par
l’image de χ et ayant un spectre connexe. Alors, M admet une unique décomposition [5, 6.7]
M = M
χ∈X(r)
Mχ. (1.5.1)
Chaque Mχ est un Λ-sous-module P -stable sur lequel Λ[GrK,log] agit à travers Λχ. De
plus, il y n’a qu’un nombre fini de caractères χ ∈ X(r) pour lesquels Mχ 6= 0. La
décomposition (1.5.1) est appelée la décomposition en caractères centraux de M. 1.6. On définit le F -espace vectoriel Ω1
F(log) par
Ω1F(log) = (Ω1F ⊕ (F ⊗ZK×))/(da− a ⊗ a ; a ∈ OK×),
où a est la classe résiduelle de a ∈ OK dans F . On a alors une suite exacte canonique
de F -espaces vectoriels de dimensions finies
0→ Ω1F → Ω1F(log)−→ F → 0,res (1.6.1) où res((0, a ⊗ b)) = a · v(b) pour a ∈ F et b ∈ K×. Pour tout nombre rationnel r, on
pose
mrK ={x ∈ K ; v(x) > r} et mr+K ={x ∈ K ; v(x) > r}.
Pour tout nombre rationnel r > 0, on a une injection canonique ([18, 1.24], [19, Theo-rem 2])
rsw : Hom(GrrlogGK,Fp)→ HomF(mrK/m r+ K , Ω
1
F(log)⊗ F ), (1.6.2)
appelée conducteur de Swan raffiné.
1.7. Soient k un corps parfait de caractéristique p > 0, X un k-schéma connexe et lisse de dimension d, D un diviseur à croisements normaux simples sur X, {Di}i∈I les
composantes irréductibles de D, U = X − D et j : U → X l’injection canonique. On note (X ×kX)0 l’éclatement de X ×k X le long de {Di ×k Di}i∈I et X
∗
kX l’ouvertcommplémentaire des transformées strictes de D ×kX et X ×kD dans (X ×kX)0 [18,
§2.3]. D’après la propriété universelle des éclatements, l’application diagonale δ : X → X ×k X se relève en une immersion fermée eδ : X → X
∗
kX. On considère X∗
kX1.8. Un diviseur rationnel effectif sur X à support dans D est un élément R = P
i∈IriDi, où ri ∈ Q>0 pour tout i ∈ I. On appelle points génériques de R les points
génériques des Di tels que ri 6= 0. On note bnRc le diviseur Pi∈IbnricDi sur X, ou
bnric est la partie entière de nri. Soit R un diviseur rationnel effectif sur X à support
dans D. On note ej : pr−1
2 (U ) = U ×k U → X
∗
kX l’injection canonique et IX lefaisceau d’idéaux de OX
∗
kX associé à eδ. On appelle dilatation de X∗
kX le long de eδd’épaisseur R, et l’on note (X
∗
kX)(R), le schéma affine au-dessus de X∗
kX, défini parla (OX
∗
kX)-sous-algèbre quasi-cohérente de ej∗(OU×kU)X
n>0
pr∗2(OX(bnRc)) · IXn.
On a une section canonique δ(R) : X → (X
∗
kX)(R) relevant eδ : X → X
∗
kX [5, 5.26].La dilatation s’insère dans un diagramme canonique cartésien U δU // j U ×kU j(R) X δ(R) //(X
∗
kX)(R) (1.8.1)où j(R) est une immersion ouvert et δ
U est l’application diagonale.
r X D rD ? X X X×kX r eδ(X) X
∗
kX δ (R)(X) (X∗
kX)(R)1.9. Soient F un faisceau localement constant et constructible en Λ-modules sur U, R un diviseur rationnel effectif sur X à support dans D et x un point géométrique de X. On pose H = H om(pr∗
2F , pr∗1F )sur U ×kU. Alors, le morphisme de changement
de base
α : δ(R)∗j∗(R)(H )→ j∗δ∗U(H ) = j∗(E nd(F )) (1.9.1)
relativement au diagramme cartésien (1.8.1) est injectif [5, 8.2]. On dit que la ramifica-tion of F en x est bornée par R+ si F satisfait aux condiramifica-tions équivalantes suivantes (loc. cit.) :
(i) la fibre αx du morphisme α en x est un isomorphisme;
(ii) l’image de idF dans j∗(E nd(F ))x est contenue dans l’image de αx.
On dit que la ramification de F le long de D est bornée par R+ si la ramification de F en x est bornée par R+ pour tout point géométrique x ∈ X [5, 8.3].
1.10. Soient F un faisceau localement constant et constructible en Λ-modules sur U, R un diviseur rationnel effectif sur X à support dans D, ξ un point générique de D, ξ un point géométrique localisé en ξ, X(ξ) la localisation stricte de X en ξ, η son point générique, η un point géometrique localisé en η et Gη le groupe de Galois de η sur η.
Le conducteur de F en ξ est la borne inférieure de l’ensemble des nombres rationnels r> 0 tels que F|η soit trivialisé par un revêtement étale fini η0 de η et la ramification
6 1. THÉORIE DE LA RAMIFICATION D’ABBES-SAITO
logarithmique de η0/η soit bornée par r+ (1.3). Le conducteur de F relativement à X
est le diviseur rationnel effectif sur X à support dans D dont la multiplicité en chaque point générique ξ de D est le conducteur de F en ξ.
On dit que F est isocline en ξ si la représentation Fη de Gη est isocline (1.4) et que
F est isocline le long de D s’il est isocline en tout point générique de D [5, 8.22]. 1.11. Soit F un faisceau localement constant et constructible en Λ-modules sur U qui est isocline le long de D. Abbes et Saito ont introduit la condition d’être ”clean”∗
pour F , qui est une condition forte sur sa ramification ([18, §3.2] et [5, 8.23]). Dire que F est clean le long de D revient à dire que sa ramification le long de D est contrôlée par sa ramification en les points génériques de D. Sous cette condition, ils ont défini la classe caractéristique comme suit.
1.12. On note
T∗X(log D) = Spec(Sym(Ω1
X/k(log D)∨)) (1.12.1)
le fibré cotangent logarithmique de X, σ : X → T∗X(log D)la section nulle, pour i ∈ I,
ξi le point générique de Di, Fi le corps résiduel de OX,ξi, Si = Spec(OKi)la hensélisation
de X en ξi, ηi = Spec(Ki) le point générique de Si, Ki une clôture séparable de Ki
et Gi le groupe de Galois de Ki sur Ki. Soient F un faisceau localement constant et
constructible en Λ-modules libres sur X et R le conducteur de F . On suppose que F est isocline et clean le long de D. On note Mi le Λ[Gi]-module associé à F |ηi. Comme
F est isocline le long de D, Mi n’a qu’une seule pente ri. On pose Iw ={i ∈ I; ri > 0}
et S =Pi∈IwDi. Pour i ∈ Iw, soit Mi =⊕χMi,χla décomposition en caratères centraux
de Mi (1.5). Notons que Mi,χ est un Λ-module libre de type fini pour tout χ. Étendant
Λ, on peut supposer que Λχ = Λ pour tout caractère central χ de Mi. Chaque χ se
factorise uniquement en Grri
logGi → Fp ψ
−→ Λ×, où ψ est le caractère additif non-trivial
fixé dans 1.1. On note encore χ : Grri
logGi → Fp le caractère ainsi défini et
rsw(χ) : mri Ki/m ri+ Ki → Ω 1 Fi(log)⊗FiFi
son conducteur de Swan raffiné (1.6.2). Soit Fχ le corps de définition de rsw(χ), qui
est une extension finie de Fi contenue dans Fi. Le conducteur de Swan raffiné rsw(χ)
définit une droite Lχ dans T∗X(log D)×X Spec(Fχ). Soit Lχ la clôture de l’image de
Lχ dans T∗X(log D). Pour i ∈ Iw, on pose
CCi(F ) = X χ ri· rkΛ(Mi,χ) [Fχ: Fi] [Lχ], (1.12.2)
qui est un d-cycle sur T∗X(log D) ×
X Di. On définit un d-cycle CC∗(F ) sur
T∗X(log D)×
X S par
CC∗(F ) =X
i∈Iw
CCi(F ). (1.12.3)
On définit enfin le cycle caractéristique de F , noté CC(F ), comme un d-cycle sur T∗X(log D) par ([18, 3.6] et [5, 1.12])
CC(F ) = (−1)d(rkΛ(F )[σ(X)] + CC∗(F )) . (1.12.4)
2. Ramification et cycles proches pour les faisceaux `-adiques sur une courbe relative
2.1. Soient R un anneau de valuation discrète strictement hensélien et excellent de caractéristique résiduelle p > 0, S = Spec(R), s (resp. η, resp. ¯η) le point fermé (resp. le point générique, resp. un point géométrique générique) de S, X une courbe relative lisse au-dessus de S, x un point fermé de la fibre spéciale Xs, X la localisation stricte de
X en x, U un sous-schéma ouvert non-vide de Xη et u : U → Xη l’injection canonique.
Soient Λ un corps fini de caractéristique ` 6= p et F un faisceau localement constant et constructible en Λ-modules sur U. Les espaces des cycles proches de F
Ψix(u!F ) = Hiét(Xη¯, u!F ) (i> 0)
s’annulent lorsque i > 2 ([6, XIII], [9, 9.2.2]) et la dimension de Ψ0
x(u!F ) peut être
calculée facilement.
2.2. Soient p le point générique de la fibre spéciale Xs et κ(p) le corps résiduel de
X en p, qui est le corps des fractions d’un anneau de valuation discrète strictement hensélien. On suppose que F peut s’étendre comme un faisceau localement constant et constructible fF sur un ouvert eU de X contenant p. Alors, Deligne a calculé la dimension de Ψ1
x(u!F ). Soient swx( fF ) le conducteur de Swan de l’image réciproque de
f
F sur Spec(κ(p)) en x et
ϕ(s) = swx( fF ) + rkΛ(F ).
Par ailleurs, pour chaque t ∈ Xη¯− Uη¯, soient swt(F )le conducteur de Swan de l’image
réciproque de F sur Spec(OXη¯,t)×X U et
ϕ(η) = X
t∈Xη¯−Uη¯
(swt(F ) + rkΛ(F )).
La formule de Deligne est ([17, 5.1.1])
dimΛΨ0x(u!F )− dimΛΨ1x(u!F ) = ϕ(s)− ϕ(η). (2.2.1)
2.3. Kato a généralisé la formule de Deligne pour tout F . Sa formule a la même forme que (2.2.1). La définition de l’invariant ϕ(η) est la même que ci-dessus, mais ϕ(s) ne peut pas être défini de la même façon. Kato a donné deux définitions de ϕ(s). L’une utilise une théorie de la ramification des anneaux de valuation de rang deux [13], qui l’a développée pour ce but. L’autre utilise la notion du conducteur de Swan à valeurs différentielles [14], qui lui est aussi due. Dans la première partie de cette thèse [Hu1], on définit l’invariant ϕ(s) en utilisant la théorie de la ramification d’Abbes-Saito (§1) et on donne une nouvelle démonstration de la formule de Deligne-Kato. Le cas où F est de rang 1 est dû à Abbes et Saito [4, Appendix A].
2.4. Soient K un anneau de valuation discrète complet, OK son anneau d’entiers,
F le corps résiduel de OK que l’on suppose de type fini au-dessus d’un corps parfait de
caractéristique p > 0, K une clôture séparable de K et GK le groupe de Galois de K sur
K. On fixe un caractère additif non-trivial ψ : Fp → Λ×. Soit M un Λ-espace vectoriel
de dimension finie sur lequel P = G0+
K,log agit à travers un quotient discret fini (1.2),
M =⊕r∈Q>0M(r)
la décomposition en pentes de M (1.4.1), et pour tout nombre rationnel r > 0, M(r)=⊕χMχ(r)
82. RAMIFICATION ET CYCLES PROCHES POUR LES FAISCEAUX `-ADIQUES SURUNE COURBE RELATIVE
la décomposition en caractères centraux de M (1.5.1). Étendant Λ, on peut supposer que pour tout nombre rationnel r > 0 et pour tout caractère central χ de M(r), Λ = Λ
χ.
Comme Grr
logGK est abélien et annulé par p, χ se factorise uniquement en GrrlogGK →
Fp ψ
−
→ Λ×. On note encore χ : Grr
logGK → Fp le caractère ainsi défini. On fixe une
uniformisante π de OK. On définit le cycle caractéristique d’Abbes-Saito de M, noté
CCψ(M ), comme la section suivante [Hu1, 4.12.1]
CCψ(M ) = O r∈Q>0 O χ∈X(r) (rsw(χ)⊗ πr)dimΛMχ(r) ∈ (Ω1 F(log)⊗F F )⊗ dimAM/M (0) . C’est bien défini grâce au théorème de Hasse-Arf ([18, 1.26] et [19, 4.4]), malgré qu’on utilise la notation formalisée πr. C’est une version locale du cycle caractéristique d’un
faisceau `-adique défini dans (1.12.4).
2.5. On suppose que p n’est pas une uniformisante de K (c’est-à-dire, soit K est de caractéristique p, soit K est de caractéristique 0 et p n’est pas une uniformisante de OK). Soit L une extension galoisienne finie de K de groupe G. On suppose que l’indice
de ramification de L/K est 1 et que l’extension des corps résiduels est non-triviale, purement radicielle et monogène. Une telle extension est dite de type (II) [14, 1.5]. On voit que l’ordre de G est une puissance de p.
Proposition 2.6. ([Hu1, 5.7 and 5.10]). Soit M un Λ-espace vectoriel de dimen-sion finie muni d’une action Λ-linéaire et non-triviale de G. Alors, pour tout nombre rationnel r > 0 et pour tout caractère central χ : Grr
logGK → Fp de M(r), on a rsw(χ)∈ Ω1 F ⊗F m−rK /m−r+K ⊂ ΩF1(log)⊗F m−rK /m−r+K . En particulier, on a CCψ(M )∈ (Ω1F ⊗F F )⊗m, où m = dimAM/M(0).
2.7. Soit M un Λ-espace vectoriel de dimension finie muni d’une action Λ-linéaire et non-triviale de G. Utilisant la théorie du conducteur de Swan à valeurs différentielles de Kato, on peut définir le cycle caractéristique de Kato KCCψ(1)(M ) ∈ (Ω1F)m de M,
où m = dimAM/M(0) [Hu1, 3.7.1]. Notre principal résultat dans [Hu1] est le suivant.
Théorème 2.8. ([Hu1, 10.4]). Soit M un Λ-espace vectoriel de dimension finie muni d’une action Λ-linéaire et non-triviale de G. Alors, on a
CCψ(M ) = KCCψ(1)(M )∈ (Ω1F)m,
où m = dimAM/M(0).
C’est un théorème de type Hasse-Arf pour les cycles caractéristiques d’Abbes-Saito. Saito [20, 3.10] et Xiao [24] ont montré indépendamment des résultats analogues pour des variétés lisses au-dessus d’un corps parfait.
2.9. On donne une nouvelle définition de ϕ(s) pour tout F utilisant les cycles caractéristiques d’Abbes-Saito (2.4). D’abord, en vertu d’un résultat d’Epp [8], on peut se réduire au cas où F est trivialisé par un revêtement galoisienne connexe étale fini U0
de U tel que la fibre spéciale de la normalisation X0 de X dans U0 soit réduit. On note
b
OX,p le complété de OX,p, Kp le corps des fractions de bOX,p et Fp la représentation de
Gal(Kpsep/Kp)associée à l’image réciproque de F sur Spec( bOX,p)×XU. Cette dernière se
factorise à travers le groupe de Galois d’une extension galoisienne finie Lpof Kp, qui est
R. On a toujours CCψ(Fp)∈ (Ω1κ(p))⊗m [Hu1, 10.7]. On note ordp la valuation de κ(p)
normalisée par ordp(κ(p)×) = Z et encore ordp : Ω1κ(p)− {0} → Z l’application définie
par ordp(αdβ) = ordp(α), si α, β ∈ κ(p)× et ordp(β) = 1. Cette dernière peut s’étendre
de façon unique à (Ω1
κ(p))⊗r − {0} pour tout entier r > 1. On note Fp la restriction
à Spec(κ(p)) de l’image directe de Fp par l’application Spec(Kp) → Spec( bOX,p). On
obtient ainsi une représentation de Gal(κ(p)/κ(p)) notée encore Fp. L’invariant ϕ(s)
est défini par
ϕ(s) =− ordp(CCψ(Fp)) + swx(Fp) + rkΛ(Fp). (2.9.1)
Cet invariant est stable par tout changement de base par un morphisme fini de traits S0 → S. En fait, la définition ϕ(s) de Kato utilisant la théorie du conducteur de Swan à valeurs différentielles [14, 4.4] est obtenue en remplaçant CCψ(Fp) par KCCψ(1)(Fp)
dans (2.9.1). On en déduit alors que la formule de Deligne-Kato (2.2.1) est valable pour notre définition [Hu1, 11.9].
3. Classe caractéristique raffinée et formule du conducteur
3.1. Soient k un corps parfait de caractéristique p > 0, f : X → Y un morphisme propre et plat de k-schémas connexes et lisses et d la dimension de X. Soient y un point fermé de Y , y un point géométrique localisé en y, Y(y) la localisation stricte de
Y en y et η un point géométrique de Y(y). On pose W = Y − {y}, V = f−1(W ) and
Q = f−1(y). On suppose que dim Y = 1, que la projection fV : V → W est lisse et
que Q est un diviseur à croisements normaux de X. Soit D un diviseur à croisements normaux simples de X contenant S = Qred tel que D ∩ V soit un diviseur à croisements
normaux simples relativement à W . On pose U = X − D et soit j : U → X l’injection canonique. On considère le diagramme
U ν // fU V // fV X f Q oo fQ W //Y oo y (3.1.1)
où ν est l’injection canonique et fU = fV ◦ ν. On fixe un nombre premier ` inversible
dans k et une Z`-algèbre Λ locale artinienne. Soit F un faisceau localement constant
et constructible en Λ-modules libres satisfaisant aux conditions suivantes : (i) F est modérément ramifié le long du diviseur D ∩ V relativement à V ;
(ii) le conducteur R de F est effectif à support dans S (1.10) et F est isocline et clean le long de D [5, 8.23].
La condition (i) implique que fV est universellement localement acyclique relativement
à ν!(F ) ([7, Appendice de Th. Finitude], [20, 3.14]). Comme fV est propre, tous les
groupes de cohomologie de RfU !(F ) sont localement constants et constructibles sur W .
On pose [7, Rapport 4.4] rkΛ(RΓc(Uη, F|Uη)) = Tr(id; RΓc(Uη, F|Uη)), (3.1.2) swy(RΓc(Uη, F|Uη)) = X q∈Z (−1)qswy(RqΓc(Uη, F|Uη)), (3.1.3) dimtoty(RΓc(Uη, F|Uη)) = rkΛ(RΓc(Uη, F|Uη)) + swy(RΓc(Uη, F|Uη)), (3.1.4)
où swy(RqΓc(Uη, F|Uη))est le conducteur de Swan de R
qΓ
c(Uη, F|Uη) en y.
Comme F satisfait à la condition (ii), la partie verticale CC∗(F ) du cycle
carac-téristique de F , est bien définie comme un d-cycle sur T∗X(log D)×
10 3. CLASSE CARACTÉRISTIQUE RAFFINÉE ET FORMULE DU CONDUCTEUR
Théorème 3.2. ([Hu2, 1.3]). Conservons les notations et hypothèses de 3.1 et supposons que S = D (i.e., U = V ) ou que rkΛ(F ) = 1. Alors, pour toute section
s : X → T∗X(log D), on a l’égalité suivante dans Λ
dimtoty(RΓc(Uη, F|Uη))−rkΛ(F )·dimtoty(RΓc(Uη, Λ)) = (−1)
d+1deg(CC∗(F )∩[s(X)]).
(3.2.1) Le cas où rkΛ(F ) = 1 est dû à Tsushima [22, 5.9]. On suit la même méthode pour
les faisceaux de rangs supérieurs, mais la situation est techniquement plus compliquée. Notre approche requiert l’hypothèse S = D.
3.3. Pour montrer 3.2, on suit la stratégie de Saito pour la démonstration d’une formule d’indice pour les faisceaux `-adiques sur des variétés propres et lisses [18]. Cette dernière est schématiquement divisée en deux étapes. la première étape utilise la théorie des correspondances cohomologiques due à Grothendieck et Verdier pour associer une classe de cohomologie au faisceau `-adique, appelée la classe caractéristique, qui calcule sa caractéristique d’Euler-Poincaré par la formule de Lefschetz-Verdier [10, III]. La deuxième étape est plus géométrique. Elle consiste à calculer la classe caractéristique par une formule d’intersection utilisant la théorie de la ramification d’Abbes-Saito (§1). 3.4. L’approche analogue pour la démonstration de la formule du conducteur (3.2.1) a été initiée par Tsushima [22]. Il a raffiné la classe caractéristique du faisceau `-adique en une classe de cohomologie à support dans le lieu sauvage, appelée dans cette thèse la classe caractéristique raffinée. Il a prouvé une formule de Lefschetz-Verdier pour cette classe [22, 5.4], qui revient à dire qu’elle commute avec l’image directe propre. Sur une courbe lisse, la classe caractéristique raffinée donne le conducteur de Swan [22, 4.1]. Le but principal de la deuxième partie de cette thèse [Hu2] est de prouver une formule d’intersection calculant la classe caractéristique raffinée.
3.5. Plus précisément, avec les notations et hypothèses de 3.1, la classe caractéris-tique raffinée CS(j!(F ))de j!(F ) est définie dans H0S(X, KX). La formule de
Lefschetz-Verdier implique la relation suivante
swy(RΓc(Uη, F|Uη))−rkΛ(F )·swy(RΓc(Uη, Λ)) = −f∗(CS(j!(F ))−rkΛ(F )·CS(j!(ΛU)))
(3.5.1) dans H0
{y}(Y, KY) ∼
−→ Λ, où f∗ est l’image directe propre H0S(XKX) → H0{y}(Y, KY)
[Hu2, 7.12].
Théorème 3.6. ([Hu2, 8.2]). Conservons les notations et hypothèses de 3.1 et supposons que D = S ou que rkΛ(F ) = 1. Alors, on a
CS(j!(F ))− rkΛ(F )· CS(j!(ΛU)) (3.6.1) = (−1)drk Λ(F )· cd Ω1X/k(log D)⊗OX OX(R)− Ω 1 X/k(log D) X S ∩ [X] ∈ H 0 S(X, KX),
où cd(−)XS est une classe bivariante qui provient des classes de Chern localisées [Hu2,
2.4] et le terme de droite est considéré comme un élément de H0
S(X, KX)par l’application
de cycle.
Proposition 3.7. (cf. [Hu2, 8.23]). Avec les notations et hypothèses de 3.1, on a l’égalité des classes de cycles suivante :
CC∗(F )∩[s(X)] = rkΛ(F )·cd ΩX/k1 (log D)⊗OX OX(R)− Ω
1
X/k(log D)
X
3.8. Conservons les notations et hypothèses de 3.1 et supposons que D = S ou que rkΛ(F ) = 1. En vertu de 3.6 et 3.7, on obtient la formule d’intersection pour les classes
caractéristiques raffinées
CS(j!(F ))− rkΛ(F )· CS(j!(ΛU)) = (−1)dCC∗(F )∩ [s(X)] ∈ H0S(X, KX). (3.8.1)
C’est évident que l’application composée CH0(S)
cl
−→ H0S(X, KX)→ H0{y}(Y, KY)−→ Λ,∼
où la deuxiéme flèche est l’image directe proper, est le degré des 0-cycles. Alors,
f∗(CS(j!(F ))− rkΛ(F )· CS(j!(ΛU))) = (−1)ddeg(CC∗(F )∩ [s(X)]). (3.8.2)
Comme F est modérément ramifié le long de D ∩ V relativement à V , on a [11, 2.7] rkΛ(RΓc(Uη, F|Uη)) = rkΛ(F )· rkΛ(RΓc(Uη, Λ)). (3.8.3)
La formule du conducteur (3.2.1) résulte de (3.5.1), (3.8.2) et (3.8.3).
3.9. Conservons les notations et hypothèses de 3.1 et suppose que D = Q (i.e., U = V et Q est réduit). En observant que X ×Y Y(y) est semi-stable au-dessus du trait
Y(y), le groupe de cohomologie H∗(Uη, Λ) = H∗c(Uη, Λ) est modéré [12, 3.3]. Par suite,
swy(RΓc(Uη, Λ)) = 0. En vertu de (3.5.1) et (3.8.2), on a
swy(RΓc(Uη, F|Uη)) = (−1)
d+1deg(CC∗(F )∩ [s(X)]).
3.10. On termine cette introduction générale par un bref rappel de l’histoire de la formule du conducteur. Comme mentionné plus haut, l’idée principale de notre approche est due à Tsushima, qui a traité le cas de rang 1 [22, 5.9]. Abbes a donné une formule du conducteur pour un faisceau `-adique sur une surface arithmétique sous l’hypothèse que le faisceau n’a pas de ramification féroce [1]. Vidal a montré que la somme alternée des conducteurs de Swan des groupes de cohomologie à support compact d’un faisceau `-adique sur un schéma normal au-dessus d’un corps local ne dépend que du rang et de la ramification sauvage [23]. Pour un faisceau `-adique sur un schéma lisse au-dessus d’un corps local de caractéristique mixte, Kato et Saito ont défini sa classe de Swan, une classe de 0-cycle à support dans le lieu sauvage, qui calcule le conducteur de Swan des groupes de cohomologie à support compact [15]. Dans un récent travail [21], Saito a défini le cycle caractéristique d’un faisceau `-adique sur une surface lisse sur le fibré cotangent sans condition ”clean”. Lorsque la surface est fibrée au-dessus d’une courbe lisse, il a montré une formule du conducteur conjecturée par Deligne [21, 3.16].
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Ramification and nearby cycles for `-adic sheaves on relative
curves
1. Introduction
1.1. Let R be an excellent strictly henselian discrete valuation ring of residue char-acteristic p > 0, S = Spec(R), s (resp. η, resp. ¯η) the closed point (resp. the generic point, resp. a geometric generic point) of S. Let X be a smooth relative curve over S, x a closed point of the special fiber Xs, X the strict henselization of X at x, U a
non-empty open sub-scheme of Xη, and u : U → Xη the canonical injection. Let Λ be
a finite field of characteristic ` 6= p, and F a locally constant constructible étale sheaf of Λ-modules on U. The spaces of nearby cycles of F
Ψix(u!F ) = Hiét(Xη¯, u!F ) (i> 0)
vanish when i > 2 ([8, XIII], [10, 9.2.2]) and the dimension of Ψ0
x(u!F ) is easy to
compute. The aim of this article is to reprove a Deligne-Kato’s formula that computes the dimension of Ψ1
x(u!F ) [18, 14, 15] using Abbes-Saito’s ramification theory [2, 3].
1.2. Let p be the generic point of the special fiber Xs. We denote by κ(p) the
residue field of p, which is the fraction field of a strictly henselian discrete valuation ring. Assume first that F can be extended to a locally constant constructible sheaf fF on an open sub-scheme eU of X containing p. Then Deligne computes the dimension of Ψ1
x(u!F ). Let swp( fF ) be the Swan conductor of the pull-back of fF on Spec(κ(p)) and
let
ϕ(s) = swp( fF ) + rank(F ).
On the other hand, for any t ∈ Xη¯ − Uη¯, let swt(F ) be the Swan conductor of the
pull-back of F on Spec(OX¯η,t)×X U, and let
ϕ(η) = X
t∈Xη¯−Uη¯
(swt(F ) + rank(F )).
Then, Deligne’s formula is ([18, 5.1.1])
dimΛΨ0x(u!F )− dimΛΨ1x(u!F ) = ϕ(s)− ϕ(η). (1.2.1)
1.3. Kato generalized Deligne’s formula for any F . His formula has the same form as (1.2.1). The definition of the invariant ϕ(η) is the same as above, but ϕ(s) cannot be defined by the same method. He provided two definitions of ϕ(s). The first one uses a ramification theory for valuation rings of rank two, which he developed for this purpose [14]. The second one uses his notion of Swan conductors with differential values [15]. Both methods rely on Epp’s partial semi-stable reduction theorem [9]. In this article, we define the invariant ϕ(s) in terms of ramification theory of Abbes and Saito [2, 3]. The case when F has rank 1 is due to Abbes and Saito ([5, Appendix A]).
This chapter reproduces an article that has been accepted for publication at Tohoku Journal of Mathematics.
16 1. INTRODUCTION
1.4. Let K be a complete discrete valuation field, OK its integer ring, mK the
maximal ideal of OK and F the residue field of OK. We assume that F is of finite
type over a perfect field F0 of characteristic p. We denote by K a separable closure
of K, by OK the integral closure of OK in K, by F the residue field of OK, by v the
valuation of K normalized by v(K×) = Z and by G
K the Galois group of K/K. Abbes
and Saito defined a decreasing filtration Gr
K,log (r ∈ Q>0) of GK, called the logarithmic
ramification filtration. For any rational number r > 0, we put Gr+ K,log =
S
b>rGbK,log.
Then P = G0+
K,logis the wild inertia subgroup of GK ([2, 3.15]). For any rational number
r > 0, the graded piece
GrrlogGK = GrK,log
Gr+K,log is abelian and killed by p ([22, 1.24], [23, Theorem 2]).
For any r ∈ Q, we denote by mr
K (resp. m r+
K ) the set of elements of K such that
v(x)> r (resp. v(x) > r). Let Ω1
F(log) be the F -vector space
Ω1F(log) = (Ω1F/F0 ⊕ (F ⊗ZK×))/(d¯a− ¯a ⊗ a ; a ∈ OK×),
where ¯a is the residue class of a in F . We have a canonical exact sequence of finite dimensional F -vector spaces
0→ Ω1F → Ω1F(log) → F → 0.
For any rational number r > 0, there exists a canonical injective homomorphism ([22, 1.24], [23, Theorem 2]), called the refined Swan conductor,
rsw : HomFp(Gr
r
logGK,Fp)→ Ω1F(log)⊗F m−rK/m−r+K .
Let M be a finite dimensional Λ-vector space on which P acts through a finite discrete quotient,
M =⊕r∈Q>0M(r)
the slope decomposition of M (cf. Lemma 4.5), and for any rational number r > 0, M(r)=⊕χMχ(r)
the central character decomposition of M(r), where the sum runs over finitely many
characters χ : Grr
logGK → Λ×χ such that Λχ is a finite extension of Λ (cf. Lemma 4.7).
Enlarging Λ, we may assume that for all rational number r > 0 and for all central characters χ of M(r), Λ = Λ
χ. We fix a non-trivial character ψ0 : Fp → Λ×. Since
GrrlogGK is abelian and killed by p, χ factors uniquely through GrrlogGK → Fp ψ0
−→ Λ×.
We denote abusively by χ : Grr
logGK → Fp the induced character. We fix a uniformizer
π of OK. We define Abbes-Saito’s characteristic cycle of M and denote by CCψ0(M )
the following section (4.12.1) CCψ0(M ) = O r∈Q>0 O χ∈X(r) (rsw(χ)⊗ πr)dimΛMχ(r) ∈ (Ω1 F(log)⊗F F )⊗ dimAM/M (0) . 1.5. In the following, we assume that p is not a uniformizer of K (i.e. either K has characteristic p or K has characteristic zero and p is not a uniformizer of OK). Let L
be a finite Galois extension of K of group G. We assume that L/K has ramification index one and that the residue field extension is non-trivial, purely inseparable and monogenic ; we say that the extension L/K is of type (II) (cf. Subsection 3.3). Let M be a finite Λ-vector space on which GK acts through G. We prove that, for any
rational number r > 0, and any central character χ : Grr
logGK → Fp of M(r), we have
(Proposition 5.7)
Hence, we have CCψ0(M )∈ (Ω
1
F ⊗F F )⊗m, where m = dimΛM/M(0) (Corollary 5.10).
On the other hand, using Kato’s theory of Swan conductors with differential values, we can define Kato’s characteristic cycle KCCψ0(1)(M ) (3.17.1). Our main result (10.7.4)
is the following equality
CCψ0(M ) = KCCψ0(1)(M ). (1.5.1)
Using Kato’s theory, we deduce a Hasse-Arf type theorem (Corollary 10.5) CCψ0(M )∈ (Ω
1
F)m ⊂ (Ω1F ⊗F F )m,
and an induction formula (10.6.1) for Abbes-Saito’s characteristic cycle.
1.6. Under the assumptions of subsection 1.1, we can now give a new definition of ϕ(s). Firstly, by Epp’s results [9], we can reduce to the case where F is trivialized by a Galois étale connected covering U0 of U such that the special fiber of the normalization
X0 of X in U0 is reduced. We denote by bO
X,p the completion of OX,p, by Kp the
fraction field of bOX,p and by Fp the representation of Gal(Kpsep/Kp) corresponding to
the pull-back of F on Spec( bOX,p)×X U. The latter factors through the Galois group
of a finite Galois extension Lp of Kp, which is of type (II) over an unramified extension
of Kp. We fix a uniformizer π of R and a non-trivial character ψ0 : Fp → Λ×. We
still have CCψ0(Fp) ∈ (Ω
1
κ(p))⊗m (cf. Remark 10.7). We denote by ordp the valuation
of κ(p) normalized by ordp(κ(p)×) = Z and abusively by ordp : Ω1κ(p) − {0} → Z the
map defined by ordp(αdβ) = ordp(α), if α, β ∈ κ(p)× and ordp(β) = 1. The latter can
be uniquely extended to (Ω1
κ(p))⊗r − {0} for any integer r > 1. We denote by Fp the
restriction to Spec(κ(p)) of the direct image of Fp by the map Spec(Kp)→ Spec( bOX,p).
It corresponds to a representation of Gal(κ(p)/κ(p)). The invariant ϕ(s) is defined by ϕ(s) =− ordp(CCψ0(Fp)) + sws(Fp) + rank(Fp). (1.6.1)
This invariant is stable by all base changes by a finite morphism of traits S0 → S (11.7).
In fact, Kato’s second definition of ϕ(s) ([15, 4.4]) is obtained by replacing CCψ0(Fp)
by KCCψ0(1)(Fp)in (1.6.1). Hence, from (1.5.1), we deduce that Deligne-Kato’s formula
(1.2.1) holds true with our definition (cf. Theorem 11.9).
1.7. Deligne-Kato’s formula has already had important applications. For instance, Deligne’s formula could be used in Laumon’s work on local Fourier transform ([19, 2.4.3]) and Kato’s formula was recently used in the work of Obus and Wewers on local lifting problem [20]. We would like to mention that Laumon’s formula of the rank of the local Fourier transform is a direct application of the formulation of Deligne-Kato’s formula using (1.6.1). Indeed, it was reproved in ([5, Appendix B]) by reducing to the rank 1 case by Brauer theorem.
1.8. This article is organized as follows. We briefly introduce Kato’s Swan conduc-tors with differential values and Abbes-Saito’s ramification theory in §3 and §4, respec-tively. We study in §5 the ramification of extensions of type (II). We recall tubular neighborhoods and normalized integral models in §6. We study the isogeny associated to an extension of type (II) in §7 in the equal character case and in §8 in the unequal characteristic case. Using the results of these two sections, we prove the main theorem 5.9 in §9. In §10, the heart of this article, we compare Kato’s characteristic cycle and Abbes-Saito’s characteristic cycle. The last section is devoted to Deligne-Kato’s formula by using Abbes-Saito’s characteristic cycle.
18 3. KATO’S SWAN CONDUCTORS WITH DIFFERENTIAL VALUES
Acknowledgement. This article is a part of the author’s thesis at Université Paris-Sud and Nankai University. The author would like to express his deepest gratitude to his supervisors Ahmed Abbes and Lei Fu for leading him to this area and for patiently guiding him in solving this problem. The author is also grateful to Fonds Chern and Fondation Mathématiques Jacques Hadamard for their support during his stay in France.
2. Notation
2.1. In this article, K denotes a complete discrete valuation field, OK its integer
ring, mK the maximal ideal of OK and F the residue field of OK. We assume that the
characteristic of F is p > 0. We fix a uniformizer π of OK. Let K be a separable closure
of K, GK the Galois group of K over K, OK the integral closure of OK in K, F the
residue field of OK and v the valuation of K normalized by v(K×) =Z. We denote by
FÉ/K the category of finite étale K-algebras. For any object K0 of FÉ/K, we denote by
OK0 the integer ring of K0 and by mK0 the radical of OK0.
2.2. For a field k and one dimensional k-vector spaces V1, . . . , Vm, we denote by
khV1, . . . , Vmi the k-algebra
M
(i1,...,im)∈Zm
V⊗i1
1 ⊗ · · · ⊗ Vm⊗im,
and by (khV1, . . . , Vmi)× its group of units. An element of (khV1, . . . , Vmi)× is contained
in some vector space V⊗i1
1 ⊗ · · · ⊗ Vm⊗im. Such an element x will be denoted by [x] and
we adopt the additive notation, i.e. [x] + [y] = [x · y] and −[x] = [x−1]. If for each
16 i 6 m, ei is a non-zero element of Vi, we have an isomorphism
khV1, . . . , Vmi−→ k[X∼ 1, . . . , Xm, X1−1, . . . , Xm−1], ei 7→ Xi,
and hence an isomorphism
(khV1, . . . , Vmi)× ∼−→ k×⊕ Zm. (2.2.1)
3. Kato’s Swan conductors with differential values
3.1. In this section, we fix a finite separable extension L of K of ramification index e contained in K. We denote by OL its integer ring and by E the residue field of OL.
3.2. We denote the group (F hmK/m2Ki)× by RK and the group (EhmL/m2Li)× by
RL (cf. Subsection 2.2). The canonical isomorphisms
E ⊗F (mK/m2K) ∼
−→ meL/me+1L , (3.2.1)
(mL/m2L)⊗e ∼−→ meL/me+1L , (3.2.2)
induce an injective homomorphism of F -algebras
FhmK/m2Ki → EhmL/m2Li
3.3. Kato’s theory applies if the extension L/K is of one of the following types ([15, 1.5]):
(I) L/K is totally ramified (i.e., F = E) ;
(II) the ramification index of L/K is 1 and the residue field extension E/F is purely inseparable and monogenic.
Observe that in both cases, OL is monogenic over OK. These two cases do not cover all
finite separable extensions.
In the remaining part of this section, we assume that L/K is of type (II). We denote by pn the degree of the residue extension E/F . We choose an element h ∈ O
Lsuch that
its reduction ¯h ∈ E is the generator of E/F and a lifting a ∈ OK of ¯a = ¯hp
n
∈ F . Lemma 3.4. Let V be the kernel of the canonical morphism Ω1
F → Ω1E. Denote by % the morphism E → F, b 7→ bpn , by φ the morphism F → F, b 7→ bpn , and by ϕ the morphism E → E, b 7→ bpn .
(i) The F -vector space V is of dimension 1, generated by d¯a. (ii) The E-vector space Ω1
E/F is of dimension 1, generated by d¯h.
(iii) The canonical morphism F ⊗%,EΩ1E/F → Ω1F/φ(F )= Ω1F associated to F → E %
− → F is injective with image V .
(iv) For any 1-dimensional E vector space W , the morphism E⊗ϕ,E W → W⊗p
n
, y⊗ z 7→ yz⊗pn is an isomorphism.
(v) There exists a canonical E-linear isomorphism E⊗F V −→ (Ω∼ 1E/F)⊗p
n
, (3.4.1)
that maps y ⊗ d¯a to y(d¯h)⊗pn
.
Proof. (i), (ii), (iv) are obvious. We have two canonical exact sequences of differ-ential modules corresponding to the extensions φ : F → E −→ F and ϕ : E% −→ F → E,%
F ⊗%,E Ω1E/F β
−
→ Ω1F → Ω1F/%(E) → 0,
E⊗F Ω1F/%(E)→ Ω1E → Ω1E/F → 0.
Since the canonical morphism Ω1
F → Ω1E factors as
Ω1F → Ω1
F/%(E) → E ⊗F Ω1F/%(E)→ Ω1E,
the image of F ⊗%,EΩ1E/F in Ω1E is {0}. Hence the image of β lies in V . Since the kernel
of Ω1
F → Ω1F/%(E) is not zero (as it contains d¯a) and since F ⊗%,E Ω1E/F is of dimension
1, β is injective. Hence β induces an isomorphism β : F ⊗%,E Ω1E/F
∼
−→ V. From (ii) and (iv), we obtain an isomorphism
β0 : E⊗ϕ,EΩ1E/F → (Ω1E/F)⊗p
n
, y⊗ zd¯h 7→ yzpn
(d¯h)⊗pn. We take for (3.4.1) the isomorphism β0◦ (id
20 3. KATO’S SWAN CONDUCTORS WITH DIFFERENTIAL VALUES
3.5. Let V be the kernel of the canonical morphism Ω1
F → Ω1E (Lemma 3.4). We
put (Subsection 2.2)
SK,L = (FhmK/m2K, Vi)× and SL/K = (EhmL/m2L, Ω1E/Fi)×.
From (3.2.1) and (3.4.1), we obtain an injective homomorphism of F -algebras FhmK/m2K, Vi ,→ EhmL/m2L, Ω1E/Fi,
which induces an injective homomorphism
SK,L,→ SL/K. (3.5.1)
3.6. Let L0 be a subfield of L containing K, O
L0 its integer ring and E0 its residue
field. When L0 6= L (resp. L0 6= K), the extension L/L0 (resp. L0/K) is of type (II) ; we
consider SL0,L (resp. SL0/K) as a subgroup of SL/K containing SK,L, by functoriality. If
K 6= L0 6= L, the following canonical maps
ker(Ω1F → Ω1E0)→ ker(Ω1F → Ω1E),
Ω1E/F → Ω1E/E0,
ker(Ω1
E0 → Ω1E)→ Ω1E0/F
are isomorphisms by considering dimensions, which give the following relations: SK,L = SK,L0 ⊂ SL0/K = SL0,L ⊂ SL/L0 = SL/K.
3.7. Let i be the maximal integer such that TrL/K(miL) = OK. The surjective
homomorphism TrL/K : miL/mi+1L → OK/mK = F induces an E-isomorphism
miL/mi+1L −→ Hom∼ F(E, F ), b7→ (a 7→ TrL/K(ab)),
and hence a basis of (mL/m2L)⊗(−i)⊗EHomF(E, F ), that we call Kato’s different of L/K
and denote by D(L/K) ([15, 2.1]).
3.8. Following Kato ([15, 2.3]), there is an F -linear map TrE/F : Ω1E → Ω1F
charac-terized by TrE/F dx x = dx pn xpn , TrE/F xidx x = 0,
for any x ∈ E× and 1 6 i 6 pn − 1. Its image is V (Lemma 3.4) and it induces an
isomorphism
Ω1E/F −→ Hom∼ F(E, V ), ω 7→ (a 7→ TrE/F(aω)). (3.8.1)
Hence we obtain a sequence of isomorphisms HomF(E, F )
(3.8.1)
−−−→ Ω1E/F ⊗F V⊗(−1) (3.4.1)−−−→ Ω1E/F ⊗E (Ω1E/F)⊗(−p
n)
= (Ω1E/F)⊗(1−pn), (3.8.2) by which EhmL/m2Li ⊗E HomF(E, F ) is a sub-EhmL/m2Li-module of EhmL/m2L, Ω1E/Fi.
Hence we may consider D(L/K) (Subsection 3.7) as an element of SL/K.
Proposition 3.9. ([15, 2.2]). Let L0 be a subfield of L containing K. If L = L0
(resp. L0 = K), we put D(L/L0) = [1] (resp. D(L0/K) = [1]). Then, we have
D(L/K) = D(L/L0) + D(L0/K)∈ SL/K. (3.9.1)
We consider D(L0/K)∈ S
3.10. In the rest of this section, we assume that the extension L/K is Galois with group G. For any σ ∈ G − {1}, we put
sG(σ) = [d¯h]− [h − σ(h)] ∈ SL/K,
where the term [d¯h] corresponds to the element d¯h in Ω1
E/F and the term [h − σ(σ)]
corresponds abusively to the class of h − σ(h) ∈ (mL/m2L)⊗v(h−σ(h)). The definition of
sG(σ) is independent of the choice of the generator h ([15, 1.8]). We also put
sG(1) =− X σ∈G−{1} sG(σ)∈ SL/K. (3.10.1) We have ([15, (2.4)]) sG(1) = D(L/K). (3.10.2)
Proposition 3.11. ([15, Proposition 1.9]). Let H be a normal subgroup of G. Then for any element τ ∈ G/H − {1}, we have
sG/H(τ ) =
X
σ∈G σ7→τ
sG(σ).
3.12. In the following of this section, let C be an algebraically closed field of char-acteristic zero, ξ a primitive p-th root of 1 in C and eZ the integral closure of Z in C. For any finite group H, we denote by RC(H) the Grothendieck group of finitely generated
C[H]-modules. For an element χ ∈ R(H), let hχ, 1i = 1 ]H
P
σ∈Htrχ(σ).
3.13. For an element χ ∈ RC(G), we put
sG(χ) = X σ∈G sG(σ)⊗ trχ(σ)∈ SL/K⊗ZZ,e ε(ξ) = X r∈F×p⊆E× [r]⊗ ξr ∈ S L/K⊗ZZ.e
Kato defined the Swan conductor with differential values of χ as
swξ(χ) = sG(χ) + (dim χ− hχ, 1i)ε(ξ) ∈ SL/K⊗ eZ. (3.13.1)
For any r ∈ F×
p, we have swξr(χ) = swξ(χ) + (dim χ− hχ, 1i)[r].
Proposition 3.14. ([15, 3.3(1)]). Let H be a normal subgroup of G, ϑ an element in RC(G/H)and ϑ0 the image of ϑ under the canonical map RC(G/H)→ RC(G). Then,
we have
sG(ϑ0) = sG/H(ϑ) and swξ(ϑ0) = swξ(ϑ).
Proposition 3.15. ([15, 3.3(2)]). Let H be a subgroup of G. For any θ ∈ RC(H),
we have
sG(IndGHθ) = [G : H] sH(θ) + dim θ· D(LH/K)
swξ(IndGHθ) = [G : H] swξ(θ) + (dim θ− hθ, 1i) · D(LH/K)
. (3.15.1)
By (3.10.1), (3.10.2) and (3.9.1), equation (3.15.1) can be written as swξ(IndGHθ) = [G : H] swξ(θ)− (dim θ − hθ, 1i)
X σ∈G−H ([d¯h]− [h − σ(h)]) !! . (3.15.2) Theorem 3.16. ([15, 3.4]). For any χ ∈ RC(G), we have
22 4. ABBES-SAITO’S RAMIFICATION THEORY
This is a generalization of Hasse-Arf’s theorem. It can be reduced to the case where G is cyclic of rank ps and χ is 1-dimensional by the induction formula (3.15.1) and
Brauer theorem. Then the proof relies on the higher dimensional class field theory of Kato ([15, 3.6, 3.7]).
3.17. For an element χ ∈ RC(G), the Swan conductor with differential values swξ(χ)
is given by
swξ(χ) =−]G(dimCχ− hχ, 1i)[d¯h] + ∆,
where
∆ = X
σ∈G−{1}
[h− σ(h)] ⊗ (dimCχ− trχ(σ)) + (dimCχ− hχ, 1i)ε(ξ) ∈ RL⊗ZZ.e
From (3.4.1) and theorem 3.16, we have ]G[d¯h] = [d¯a] and ∆ ∈ RK. Hence, we get
swξ(χ) = [πc] + [∆0]− m[d¯a] ∈ SK,L,
where π is the uniformizer of OK fixed in subsection 2.1, c is an integer, m = dimCχ−
hχ, 1i and ∆0 ∈ F such that [πc∆0] = ∆. We define Kato’s characteristic cycle of χ and
denote by KCCξ(χ) the element
KCCξ(χ) = ∆0(d¯a)m ∈ (Ω1F)⊗m. (3.17.1)
Remark 3.18. ([15, 3.15]). If the extension L/K is not of type (II), but there exists a subfield K0 of L containing K such that K0/K is an unramified extension and
L/K0 is of type (II), we define
swξ(χ) = swξ(ResGGal(L/K0)χ).
Denote by OK0 the integer ring of K, mK0 the maximal ideal of OK0 and F0 the residue
field of OK0. Observe that swξ(χ) is fixed by Gal(K0/K) and that the Gal(K0
/K)-invariant part of F0hm
K0/m2K0, ker(Ω1F0 → Ω1E)i is F hmK/m2K, ker(Ω1F → Ω1E)i. Thus
swξ(χ) is still contained in SK,L.
Remark 3.19. ([15, 3.16]). Let A be an algebraically closed field of characteristic ` /∈ {0, p}. We denote by A0 an algebraic closure of the fraction field of the ring of
Witt vectors W (A). Let χ be an element of RA(G) and let ˆχ be a pre-image of χ in
RA0(G) ([26, 16.1 Theorem 33]). We denote by ˆξ the p-th root of unity in A0 lifting of
a primitive p-th root of unity ξ in A. Then we put swξ(χ) = swξˆ( ˆχ).
This definition is independent of the choice of ˆχ because of ([26, 18.2 Theorem 42]) and (3.13.1).
4. Abbes-Saito’s ramification theory 4.1. Abbes and Saito defined two decreasing filtrations Gr
K and GrK,log (r ∈ Q>0)
of GK by closed normal subgroups called the ramification filtration and the logarithmic
4.2. We denote by G0
K the group GK. For any r ∈ Q>0, we put
Gr+K = [ s∈Q>r Gs K and Gr rG K = GrK/Gr+K .
Let L be a finite separable extension of K. For a rational number r > 0, we say that the ramification of L/K is bounded by r (resp. by r+) if Gr
K (resp. Gr+K ) acts trivially
on HomK(L, K)via its action on K. We define the conductor c of L/K as the infimum
of rational numbers r > 0 such that the ramification of L/K is bounded by r. Then c is a rational number and L/K is bounded by c+ ([2, 6.4]). If c > 0, the ramification of L/K is not bounded by c.
4.3. We denote by G0
K,log the inertia subgroup of GK. For any r ∈ Q>0, we put
Gr+K,log= [
s∈Q>r
Gs
K,log and GrrlogGK = GrK,log
Gr+K,log. By ([2, 3.15]), P = G0+
K,log is the wild inertia subgroup of GK, i.e., the p-Sylow subgroup
of G0
K,log. Let L be a finite separable extension of K. For a rational number r > 0, we say
that the logarithmic ramification of L/K is bounded by r (resp. by r+) if Gr
K,log (resp.
Gr+K,log) acts trivially on HomK(L, K) via its action on K. We define the logarithmic
conductor c of L/K as the infimum of rational numbers r > 0 such that the ramification of L/K is bounded by r. Then c is a rational number and L/K is bounded by c+ ([2, 9.5]). If c > 0, the ramification of L/K is not bounded by c.
Theorem 4.4. ([3, Theorem 1]). For every rational number r > 0, the group GrrlogGK is abelian and is contained in the center of P/GrK,log.
Lemma 4.5. ([17, 1.1]). Let M be a Z[1
p]-module on which P = G 0+
K,log acts through
a finite discrete quotient, say by ρ : P → AutZ(M ). Then,
(i) The module M has a unique direct sum decomposition
M = M
r∈Q>0
M(r) (4.5.1)
into P -stable submodules M(r), such that M(0) = MP and for every r > 0,
(M(r))Gr
K,log = 0 and (M(r))Gr+K,log = M(r).
(ii) If r > 0, then M(r) = 0 for all but the finitely many values of r for which
ρ(Gr+K,log)6= ρ(Gr K,log).
(iii) For any r > 0, the functor M 7→ M(r) is exact.
(iv) For M, N as above, we have HomP−mod(M(r), N(r0)) = 0 if r 6= r0.
The decomposition (4.5.1) is called the slope decomposition of M. The values r> 0 for which M(r) 6= 0 are called the slopes of M. We say that M is isoclinic if it has only
one slope.
4.6. In the following of this section, we fix a prime number ` different from p, a local Z`-algebra Λ which is of finite type as a Z`-module and a non-trivial character
ψ0 :Fp → Λ×.
Lemma 4.7. ([6, 6.7]). Let M be a Λ-module on which P acts Λ-linearly through a finite discrete quotient, which is isoclinic of slope r > 0. So the P action on M factors through the group P/Gr+
24 4. ABBES-SAITO’S RAMIFICATION THEORY
(i) Let X(r) be the set of isomorphism classes of finite characters χ : Grr
logGK →
Λ×
χ such that Λχ is a finite étale Λ-algebra, generated by the image of χ, and
having a connected spectrum. Then M has a unique direct sum decomposition
M = M
χ∈X(r)
Mχ. (4.7.1)
Each Mχ is a P stable sub-Λ-module such that Λ[GrK,log] acts on Mχ through
Λχ.
(ii) There are finitely many characters χ ∈ X(r) for which Mχ6= 0.
(iii) For a fixed χ ∈ X(r), the functor M → Mχ is exact.
(iv) For M, N as above, we have HomΛ(Mχ, Nχ0) = 0 if χ 6= χ0.
The decomposition (4.7.1) is called the central character decomposition of M. The characters χ : Grr
logGK → Λ×χ for which Mχ 6= 0 are called the central characters of M
([6, 6.8]).
Let P0 be a finite discrete quotient of P/Gr+K,log through which P acts on M and let
C0 be the image of GrrlogGK in P0. By theorem 4.4, we know that C0 is contained in the
center of P0. The connected components of Spec(Λ[C0])correspond to the isomorphism
classes of characters χ : C0 → Λ×χ, where Λχ is finite étale Λ-algebra, generated by the
image of χ, and having a connected spectrum. If pnC = 0, and Λ contains a primitive
pn-th root of 1, then Λ
χ= Λ for every χ such that Mχ 6= 0.
Lemma 4.8. ([17, 1.4], [6, 6.10]). Let A be a Λ-algebra and M a left A-module on which P acts A-linearly through a finite discrete quotient. Then,
(i) In the slope decomposition M = LrM(r), each M(r) is a sub-A-module of M.
For any A-algebra B, the decomposition of B ⊗AM is given by B ⊗A M =
L
r(B⊗AM (r)).
(ii) If M is isoclinic, then in the central character decomposition M = LχMχ,
each Mχ is a sub-A-module of M. For any A-algebra B, the central character
decomposition of B ⊗AM is given by B ⊗AM =Lχ(B⊗AMχ).
4.9. Let V be a finite dimensional F -vector space and we denote by V∗ its dual
space. We consider V as a smooth abelian algebraic group over F , i.e. Spec(Sym(V∗)).
Let πalg
1 (V ) be the quotient of πab1 (V ) classifying étale isogenies. Then π alg
1 (V ) is a
profinite group killed by p and the group Hom(πalg
1 (V ),Fp)is canonically identified with
the dual space V∗ by pulling-back the Lang’s isogeny A1 → A1 : t 7→ tp− t by linear
forms (cf. [24, 1.19]).
4.10. For the rest of this section, we assume that F is of finite type over a perfect subfield F0. We define the F -vector space Ω1F(log) by
Ω1F(log) = (Ω1F/F0 ⊕ (F ⊗ZK×))/(d¯a− ¯a ⊗ a ; a ∈ OK×).
Then we have an exact sequence of finite dimensional F -vector spaces 0−→ Ω1
F −→ Ω1F(log) res
−→ F −→ 0, (4.10.1)
where res((0, a ⊗ b)) = a · v(b) for a ∈ F and b ∈ K×. If K has characteristic p, we put
b
Ω1OK/F0 = lim←−
n
Ω1(OK/mn K)/F0.
We have an exact sequence of F -vector spaces
0→ mK/m2K → bΩO1K/F0 ⊗OK F → Ω
1
If K has characteristic zero and p is not a uniformizer of OK, we denote by OK0 the
ring of Witt vectors W (F0) regarded as a sub-algebra of OK. Then, we put
b Ω1OK/O K0 = lim←− n Ω1(OK/mn K)/OK0.
We have an exact sequence of F -vector spaces
0→ mK/m2K → bΩO1K/OK0⊗OK F → Ω
1
F → 0. (4.10.3)
For any rational number r, we put
mrK ={x ∈ K ; v(x) > r}, mr+K ={x ∈ K ; v(x) > r}, Θ(r)F ,log = HomF Ω1F(log), mrK/m
(r+) K , Ξ(r)F = HomF Ω1F, mrK/m (r+) K . (4.10.4)
When K has characteristic p (resp. characteristic zero and p is not a uniformizer of OK), for any rational number r > 0, we denote by Θ(r)F the F -vector space
Θ(r)F = HomF Ωb1OK/F0 ⊗OK F, m r K/m (r+) K (4.10.5) resp. Θ(r) F = HomF Ωb 1 OK/OK0 ⊗OK F, m r K/m (r+) K .
By (4.10.1), (4.10.2) and (4.10.3), when p is not a uniformizer of K, we have homomor-phisms
Θ(r)F ,log → Ξ(r)F → Θ(r)F . By ([3, 5.12]), we have a canonical surjection
πab1 (Θ(r)F ,log)→ GrrlogGK. (4.10.6)
Theorem 4.11. ([22, 1.24], [23, Theorem 2]). For every rational number r > 0, the canonical surjection (4.10.6) factors through the quotient πalg
1 (Θ (r)
F ,log). In particular,
the abelian group Grr
logGK is killed by p and the surjection (4.10.6) induces an injective
homomorphism
rsw : Hom(GrrlogGK,Fp)→ HomF(mrK/m r+ K , Ω
1
F(log)⊗ F ). (4.11.1)
The morphism (4.11.1) is called the refined Swan conductor.
4.12. Let M be a free Λ-module of finite type on which P acts Λ-linearly through a finite discrete quotient. Let
M = M
r∈Q>0
M(r)
be the slope decomposition of M and for each rational number r > 0, let M(r) = M
χ∈X(r)
Mχ(r)
be the central character decomposition of M(r). We notice that each M(r)
χ is a free
Λ-module. Enlarging Λ, we may assume that for all rational number r > 0 and χ ∈ X(r), Λ = Λχ (Lemma 4.7). Each χ factors uniquely through ψ0 (Subsection 4.6)
GrrlogGK → Fp ψ0
26 5. RAMIFICATION OF EXTENSIONS OF TYPE (II)
We denote abusively by χ the induced character Grr
logGK → Fp. We define the
Abbes-Saito characteristic cycle CCψ0(M )of M by
CCψ0(M ) = O r∈Q>0 O χ∈X(r) (rsw(χ)⊗ πr)dimΛMχ(r) ∈ (Ω1 F(log)⊗F F )⊗ dimΛM/M (0) . (4.12.1) Thanks to the Hasse-Arf theorem ([22, 1.26] and [23, 4.4]), it is well defined although we use the formal notation πr.
5. Ramification of extensions of type (II)
5.1. In this section, we assume that the residue field F of OK is of finite type over
a perfect field F0 of characteristic p. Let L be a finite Galois extension of K of group
G and type (II) (Subsection 3.3), OL the integer ring of L and E the residue field of
OL. We denote by pn the degree of the residue extension E/F . We choose an element
h∈ OL such that its residue class ¯h ∈ E is a generator of E/F . We have OL=OK[h].
Let f(T ) ∈ OK[T ] be the minimal polynomial of h:
f (T ) = Tpn+ apn−1Tp n−1
+· · · + a0. (5.1.1)
Notice that ¯a0 =−¯hp
n ∈ F . We put c = sup σ∈G−{1} v(h− σ(h)) + X σ∈G−{1} v(h− σ(h)), (5.1.2) which is an integer > pn.
For any rational number r > 0, we denote by Gr (resp. Gr
log) the image of GrK
(resp. Gr
K,log) in G ([2, 3.1]). Using the monogenic presentation OL = OK[T ]/(f (T )),
we obtain that, for any rational number r > 1, Gr = Gr
log([2, 3.1, 3.2]) and that the
conductor of L/K is c ([2, 6.6]). By theorem 4.11, the normal subgroup Gc of G is
commutative and killed by p. In the following, we put ]Gc= ps.
5.2. For any integer j > 1, we denote by Dj the j-dimensional closed poly-disc of
radius one over K and by ˚Dj the j-dimensional open disc of radius one over K. For
a rational number r > 0, the j-dimensional closed poly-disc of radius r is denoted by Dj,(r)={(x
1, . . . , xj)∈ Dj; v(xi)> r}. Let
˜
f : D1 → D1, x7→ f(x),
be the morphism induced by f. For any rational number r > 0, it is easy to see that ˜
f−1(D1,(r)) is a disjoint union of closed discs with the same radius, i.e. there exists a
rational number ρ(r)> 0 such that ˜ f−1(D1,(r)) = a 16j6i xj+ D1,(ρ(r)) ,
where the xj’s are zeros of f. The function ρ : Q>0 → Q>0 is called the Herbrand
function of the extension L/K. By ([3, 6.6]), we have ρ(c) = supσ∈G−{1}v(h− σ(h)) and
