HAL Id: jpa-00247138
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Submitted on 1 Jan 1995
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Section efficace de photoionisation dans les semiconducteurs Polaires
I. Zorkani, Y. El Hasnaoui, Y. Lepine, E. Kartheuser
To cite this version:
I. Zorkani, Y. El Hasnaoui, Y. Lepine, E. Kartheuser. Section efficace de photoionisation dans les semiconducteurs Polaires. Journal de Physique I, EDP Sciences, 1995, 5 (10), pp.1311-1316.
�10.1051/jp1:1995199�. �jpa-00247138�
Classification
Physics
Abstracts78.20-e 78.50-w 71.38+1
Section efficace de photoionisation dans les semiconducteurs Polaires
1.
Zorkani(~),
Y. ElHasnaoui(~),
Y.Lepine(~)
et E.Kartheuser(~)
(~) Département
dePhysique,
Faculté des Sciences Dhar Mehraz, B.P1796, Atlas, Fès Maroc(~)
Université deMontreal,
CP6128,SucA, P.Q.H3C3J7 Quebec
Canada(~)
Institut dePhysique,
Université deLiège,
Sart Tilman85-4000, Belgique
(Reçu
le 8 février 1995, révisé le 7juin
1995,accepté
le 19juin 1995)
Résumé. Des
expressions théoriques
de la section efficace dephotoionisation
sontdevelop- pées
pour les étatsd'impuretés servi-profonds
en fonction del'énergie
duphoton.
Dans cemodèle,
nous tenons compte de l'interaction porteur de
charge-phonon
ainsi que de la correction de cellulecentrale par le moyen d'un modèle
analytique
dupotentiel
del'impureté.
Les résultats obtenus sontcomparés
avec les donnéesexpérimentales
etthéoriques.
Abstract. Theoretical expression for the
photoiomzation
cross section ofsemi-deep
levelimpunty
isdeveloped
as a function ofphoton
energy. In this modelwe take account to the inter-
action between the
charge
carriers and thelongitudinal optical phonons
ofpolar
semiconductors and the influence of central-cell correctionby
means of aservi-empirical
short rangepotential.
The results obtained are
compared
withreported experimental
and theoretical results.1. Introduction
La section efficace de
photoiomsation
est l'une des méthodes de mesuresoptiques
utilisées pour caractériser les étatsd'impuretés
dans un semi-conducteur. Les mesures qui nous intéressent fournissent le spectre de la section efficace dephotoionisation
en fonction de lafréquence
d'exci- tation duphoton
incident. Dans lalittérature,
différents modèles sontproposés
pourexpliquer
lecomportement
duspectre
de la section efficace dephotoionisation
des semi-conducteursdopés [1-7].
Ces modèles diffèrentprincipalement
par la nature dupotentiel
del'impureté.
Lucovsky [ii
aproposé
pour lesimpuretés profondes
un calculsimple
de la section efficace dephotoionisation a(&w)
basé sur un modèle danslequel
lepotentiel
à courteportée
de l'ion(potentiel Delta)
estresponsable
del'énergie
de liaison de l'état fondamental et où tous les effets àlongue portée
dupotentiel
de coulomb sontnégligés.
Pour améliorer cemodèle,
Grimmeisset ai. [3] ont introduit une masse de l'électron
piégé
mR différente de la masse de bande m*.J. Petit et ai. [6] ont étudié la fonction
a(&w)
des défautsprofonds
dansl'approximation
dela liaison forte et en utilisant le formalisme de la fonction de Green. En
s'appuyant
sur laQ
Les Editions dePhysique
19951312 JOURNAL DE
PHYSIQUE
I N°10Méthode du Défaut
Quantique (M.D.Q),
Gonzalez et ai. [7] ont calculé la section efficace dephotoionisation
en tenantcompte
de l'effet de nonparabolicité
des bandes.Cet article se
présente
comme suit nous allons d'abord exposer unpremier
modèlethéorique qui
tientcompte
de l'interactionporteur
decharge-phonon,
facteur trèsimportant
dans la famille des semi-conducteurspolaires.
La correction de cellule centrale estprise également
en
compte
par le moyen d'un modèleanalytique
dupotentiel
del'impureté proposé
pour lapremière
fois par Munnix et ai. [8].Ensuite,
nous confrontons ce modèle avec les donnéesexpérimentales
dont nousdisposons
dans le cas du GaAs:Mn[9].
2. Modèle
théorique
Dans le cadre de
l'approximation dipolaire électrique, l'expression
de la section efficace dephotoionisation
d'uneimpureté
dans un semiconducteur est donnée par(Lax 1956)
[2]«1&W)
=1(@)
~
)j (a&W ~
ll~b~(r( ~bf)
l~à(&W lEi
+Ef
+ha)) Ii)
f
Où n, e et cx sont
respectivement
l'indice de réfractionoptique,
la constantediélectrique
et la constante de structure fine.Ee~/E
est lerapport
duchamp électrique
effectif au niveau del'impureté
sur lechamp électrique
de l'ondeincidente, quantité qui
reste délicate à déterminer.(~b~) et (~bf) sont
respectivement
la fonction d'onde de l'état fondamental del'impureté
et lecontinuum de la bande de conduction
(ou
la bande de valence pour uneimpureté accepteur).
Les deux termes
qui
vont influencer la forme dea(àw)
sont donc la fonctionenveloppe
utilisée pour décrire l'état initial et la densitéd'énergie
de l'état finalEf(&k~/2m*).
Dans ce travailnous choisissons l'axe Z orienté le
long
de la direction depolarisation
desphotons
incidents.Dans le cadre de
l'approximation
de la masseeffective,
l'Hamiltonien duporteur
decharge
lié à
l'impureté
s'écritH =
Ho+Hep+(c (2.1)
p2
~2~°
2m * cor
~
~ ~~~~~~ ~~'~~
q
Hep
=£[Vqe~~~aq+CC) (2.3)
q
(c
est la correction de cellule centrale et ha estl'énergie
dephonon. m*,
eo, ec~,a(
et aq sontrespectivement
la masse effective duporteur
decharge,
la constantediélectrique statique,
la constantediélectrique optique, l'opérateur
de création etl'opérateur
de destruction.Hep
est l'Hamiltonien de l'interactionporteur
decharge phonon optique longitudinal
etl§
est unemesure de la force d'interaction
porteur
decharge phonon.
Nous utilisonsl'approximation
adiabatique
pour décrire le défautprofond
:
l~b~)
=1~bo)
exP£(gqal (aq)11°) 13)
q
Où (lbo > est la
partie électronique
de la fonction d'onde#o(r)
= exp
(-~)
etôé
aV/pq
~~ ha
a étant le rayon de
l'impureté,
pq étant la transformée de Fourier de la densité decharge électronique
dans l'état fondamental et (0 > est l'état vide dephonon.
L'état final est décrit dans
l'approximation
de Lee Low Pines(L.L.P)
par[loi
ilbf)
=j
exPIl i&k L qataq)rj
exPLifqat iaq)j iinqi
>14)
q q
où
Îq
"VI
~2~2
&2~~
~~ ~
2m* m*
nq sont les
phonons
émis et &k estl'impulsion
duporteur
decharge.
Sous cette
forme, l'intégrale
surl'espace
nepeut
se faire defaçon
raisonnable. Par contre, pour de faibles valeurs du vecteur d'ondek, approximation
valable pour lesporteurs
decharges lents,
nous aboutissons àl'expression
suivante de la section efficace dephotoionisation
pourl'émission d'un
phonon:
l~
2 ~~~2
5 y ~y ~8~7
~~*~~~~°~ Î~ j
3
°~~~~
8
~a~ ~~Î
3x&~
[ii
+
llsi~~ ~iso)
+1~ii°1 Fia, Si )~isi 1 15)
Dans cette
expression
telle que
~ ~
~T(~~~Î ~I~~~Î ~Ù)
j_~
~a3(a2S(
+4)2 a7S)(a2S(
+4)3(a2S(
+1) (4(a~S( +1)(3a~S(
+4)LN(a~S)
+1)
(a~S)
+4)(2a~S) 14a~S) 44a(S) +17a~S) 12)]
+
(a~S) +1)[2a~°S)° 2a~S) 84a~S) 189a~S) 8a~S)
+48]ATAN(asi))
~
(a ~~~~~
+2xo)~
~la ~~~~
+2ro)
~~2S(
=
j(&w
E~n&Q)
est la fonction de
Heaviside,
ro est le rayonquantique
dupolaron,
où est la constante decouplage porteur
decharge phonon
et V est le volume du cristal. Le terme à zérophonon,
c'est-à-dire en absence de
phonon,
est le même que celui obtenu parNing
et Sah[4].
Pour tenir
compte
dudéplacement chimique,
nous nous sommes intéressés à la correction de cellule centrale au moyen d'un modèleanalytique
dupotentiel
del'impureté proposé
parMunnix et ai.
[8].
Cepotentiel
a étéappliqué
avec succès auxspectres
de recombinaison de1314 JOURNAL DE
PHYSIQUE
I N°10paires donneurs-accepteurs
[8]. Afin de mieux rendrecompte
de la relaxation de la densité decharge électronique
autour del'impureté,
nousremplaçons
donc la constantediélectrique optique
ec~ par une constantediélectrique qui dépend
du vecteur d'onde q. Nous avons choisil'expression analytique
suivante[iii
~~~~
ÎÎÎÎ~ Î
Î~~
~~~dont les limites sont
respectivement e(q)
= ec~ pour q= 0 et
e(q)
= 1 pour q infini.
La valeur de la constante K est obtenue pour différents semi-conducteurs en
ajustant
la formeanalytique (6)
aux calculsnumériques
de la constantediélectrique
effectués par Vinsome et Richardson[12].
Lepotentiel
à courteportée qui
résulte de cette modification dupotentiel
coulombien est alors obtenu par la transformée de Fourier
VIT)
=-4~re~ / []III
qui
devientaprès intégration
V(r)
=--(1+
~2(ec~ -1)e~~~)
eccT
La seconde modification tient
compte
de la différence entre l'ion del'impureté
substitutionnel et celuiqu'il substitue,
pour cette raison la formeÀexp(-ôr)
a été choisie. Leparamètre peut prendre
les valeurs +1 ou -1 suivant laprofondeur
del'impureté
considerée. Les valeurs de a et à sont obtenues en minimisantl'énergie
duporteur
decharge
lié àl'impureté (E)
parrapport
à a et pour différentes valeurs de à enexigeant
que :(E)m;n
=
E]~P
cxo&Q, oùE]~P
est
l'énergie
d'ionisationexpérimentale.
Finalement le
potentiel (c(r)
s'écrit sous la forme :(cjr)
=-jeco 1)£je~~~
+
Àe~~~) ii)
3. Discussion et
comparaison
avecl'experience
Dans ce travail nous avons déterminé la section efficace de
photoionisation
dans un semi- conducteurpolaire
pour unporteur
decharge
lié à uneimpureté.
Nous avons tenu compte de l'interactionporteur
decharge-phonon
enadoptant l'approximation adiabatique
pour l'état initial del'impureté
et la fonction de L-L-P pour l'état final. Parailleurs,
nous avonspris
en considération la naturechimique
del'impureté
à travers une formeanalytique
dupotentiel
del'impureté.
Pour le
Manganèse,
qui est uneimpureté
accepteur dans le cas GaAs[9],
nous avonspris
lesparamètres physiques
suivants ro"
15,17 À,
ED "
12,5,
ec~ =10,9,
m*=
0,45
mûoù "
0,179
et ha=
36,
7 mev[13].
K est une constantecaractéristique
du cristalqui
vaut18,84 a*~~
dans le cas du GaAs(a*
est le rayon de Bohreffectif).
Nous avons ainsi obtenu une
expression analytique simple
de la section efficace dephotoio-
nisation
qui
est très sensible au rayon a del'impureté,
seulparamètre
que nous pouvons variersi on fixe la valeur de
l'énergie
d'ionisation à sa valeurexpérimentale.
En outre, l'intensité re- lative du n~~~'~ terme parrapport
à celui sansphonon
est donnée par :~°°
elle sera n!
8a/ro
d'autant
plus grande
que lecouplage électron-phonon
seragrand
et queÎ appo~t
du rayon de
l'impureté
parrapport
au rayonquantique
dupolaron
serapetit. Ainsi,
nous nous sommes3,0
/ ',
1 '
_
',
CN ',
E
U Wî
O
±
a
~3
o,o vo
~w (evi
Fig.
1. Section efficace dephotoionisation
en fonction del'énergie
duphoton
de l'Arséniure de Galliumdopé
avec duManganèse.
La courbe en trait continu est notre modèle sans(a)
et avec(b) phonons,
celle en traits discontinuscorrespond
au modèle deLucovsky
et les cercles sont lespoints
expérimentaux.
[Photoionization
cross section a versus thephoton
energy for the manganese m Gallium Arsenide. The solid fine is ouf model without(a)
and with(b) phonons,
the dashed fineis denved from
Lucovsky's
model and the open circles areexperiments data.]
Tableau I. Les
paramètres
del'impureté
dans GaAs(Mn).
[Parameters
impurity in GaAs(Mn).]
Host
Impurity E]~~
a*a(a*) à(a*~
Crystal (mev [17])
GaAs Mn 110
14,07
0,54159,29
rendu
compte
que l'onpourrait
s'arrêter à la contribution à unphonon.
Afin d'illustrer l'effet desphonons
sur lespectre
de la section efficace dephotoionisation,
nous avonsreprésenté,
sur lafigure 1, a(àw) théorique
de GaAs Mn issue de notre modèle sans(a)
et avec(b) phonon
ainsi que celle de
Lukovsky correspondante.
Le calcul de la section efficace de
photoionisation exige
la connaissance durapport Ee~/E.
Généralement,
ce terme est traité comme unparamètre ajustable.
Il est clairqu'il
n'affecte enaucun cas la
position
enfréquence
du maximum de la section efficace dephotoionisation
maisseulement la hauteur de la courbe.
Pour éviter la
complexité
de la forme réelle de la bande devalence,
nous avons utilisé la valeur de la masse du trou lourd car l'utilisation de la masse du trouléger
nous conduisait à des résultats non raisonnables(Ee~ /E
<1).
Il semblait donc que les transitions de l'étatd'impureté
vers la bande du trou lourd sont nettement favorisées par
rapport
aux transitions vers la bande du trouléger. Certes,
nous avons obtenu un bon accord avec les mesuresexpérimentales
notamment la
position
du pic, mais aux hautesénergies
l'accord avecl'expérience
est moinssatisfaisant du fait que la section efficace de
photoionisation
est très sensible à la forme exacte de la bande de valence.Cette
comparaison
avecl'expérience
nouspermet
d'avoir des informations sur l'état de l'im-pureté
à savoir le rayon del'impureté (voir
Tableau1).
1316 JOURNAL DE
PHYSIQUE
I N°10Bibliographie
[1]
Lucovsky. G.,
Solid State. Commun 3(1965)
299.[2] Lax
M., Proceedings
of the 1954 AtlanticCity
conference onPhotoconductivity (Wiley,
NewYork, 1956).
[3] Grimmeiss H-G- et Lebedo
L.A.,
J.Phys.
ii France 8(1975)
2616.[4]
Ning
T.H. et Sah.C.T., Phys.
Reu. B 4(1971)
3468.[Si Ilaiwi K-F- et Tomak
M.,
J.Phys.
Solids. 51(1990)
361.[6] Petit
J.,
Allan G. et LannooM., Phys.
Reu. B 33(1986)
8595.[7] Gonzales Probles V. et Gonzalez de la Cruz
G.,
Phys. Reu. B 41(1990)
5131.[8] Munmx S. et Kartheuser E., Phys. Reu B 26
(1982)
6776.[9]
Chapman
R.A. et HutchinsonW.G., Phys.
Reu. Lett. 18(1967)
443.[10] Lee LT.
D.,
Low P-E- et PinesD., Phys.
Reu. 90(1953)
297.[Il] Lipan N-O-,
Baldereschi A. et ThewaltMl.W.,
Solid. State. Commun. 33(1980)
277.[12] Vinsome P.K.W. et Richardson D., J.
Phys.
iii 4(1971)
2650.[13]
