Résistivité résiduelle et accroissement du pouvoir thermo-électrique des métaux à basse température

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Résistivité résiduelle et accroissement du pouvoir thermo-électrique des métaux à basse température

P. Léonard

To cite this version:

P. Léonard. Résistivité résiduelle et accroissement du pouvoir thermo-électrique des métaux à basse température. Journal de Physique, 1967, 28 (3-4), pp.328-338. �10.1051/jphys:01967002803-4032800�.

�jpa-00206523�

RÉSISTIVITÉ RÉSIDUELLE

ET

ACCROISSEMENT

DU POUVOIR

THERMO-ÉLECTRIQUE

DES

MÉTAUX

A

BASSE TEMPÉRATURE

Par

P. LÉONARD,

Institut de Physique, Faculté des Sciences, Strasbourg.

Résumé. 2014 On calcule les résistivités résiduelles des métaux à

partir

de modèles

simples (électrons

^libres,

potentiel représentant l’impureté

^à

symétrie sphérique).

L’usage

^d’un

potentiel

^en

puits

^{carré n’est} satisfaisant que pour les métaux monovalents, tandis que l’ordre de

grandeur

des résistivités résiduelles des métaux

polyvalents

^{est obtenu}

avec le

potentiel

^{de Hartree, «} self-consistent » au

premier

ordre, ^d’une

charge ponctuelle.

L’accroissement du

pouvoir thermoélectrique

^{associé à la} résistivité résiduelle n’est pas ^correc- tement

expliqué.

En

appendice

l’étude des

déphasages

^{dans le}

potentiel

^de Hartree est donnée en fonction de

l’énergie.

Abstract. ²⁰¹⁴ The residual resistivities of metals are calculated

using simple

^models

(free

electrons,

spherically symmetrical potential

^{for the}

impurity).

The use of a square well

potential

^is

satisfactory only

for monovalent metals, while ^for

polyvalent

metals the order of

magnitude

^is obtained with the first order self-consistent Hartree

potential

^{of a}

point charge.

The increase of the thermoelectric power associated with the residual

resistivity

^{is not}

accurately explained.

In

appendix

^a

study

^of

phase

^{shifts ase a} function of energy is

given

^{for the Hartree}

potential.

I. Introduction. ^- Au

voisinage

^{du zero}

absolu,

la resistivite _p d’un metal dans

lequel

^{on introduit}

des

impuret6s

^en faible concentration est, ^en

general,

la somme de deux contributions :

-

l’une,

Po,

d6pendante

^{de la}

temperature

^{et carac-}

t6ristique

^du metal pur;

-

1’autre, Ap, ind6pendante

^{de la}

temperature, d6pendante

^{de la nature des}

impuret6s

^{et croissant}

proportionnellement

a leur concentration

Cette

regle empirique

^{est la}

r6gle

de Matthies-

sen [1].

Nous calculons dans cet article la r6sistivit6 resi- duelle

Ap

^{des m6taux}

(autres

que les m6taux de ^tran- sition et de terres

rares)

^a

partir

^{de modeles}

simples.

La r6sistivit6 r6siduelle des m6taux nobles a

d6jh

ete calcul6e avec succ6s par

plusieurs

^{auteurs en effec-}

tuant une

analyse

^{en ondes}

partielles

^{avec un}

potentiel

en

puits

^carr6

repr6sentant

1’action de

l’impuret6 :

aux faibles

energies cin6tiques (m6taux monovalents), 1’approximation

^{de Born est} insufhsante et le choix de

ce

potentiel permet

^de

r6pondre

^{assez bien aux condi-}

tions aux limites

impos6es

^{aux fonctions} d’onde elec-

troniques.

L’extension de ce

potentiel

^{aux m6taux}

polyvalents

n’est pas

satisfaisante, I’hypoth6se

^d’une

bande s d6crivant les électrons de ces m6taux n’6tant

plus bonne,

^en

particulier

^au niveau de Fermi. Par contre,

1’emploi

^dans

1’approximation

de Born du

potentiel

de Hartree « self-consistent » d’une

charge ponctuelle

pour

representer

1’action de

l’impuret6

donne l’ordre de

grandeur

des valeurs

expérimentales

pour les m6taux

polyvalents,

^cette

approximation pouvant se justifier

par

1’6nergie cin6tique

relativement 6lev6e des electrons de conduction de ces m6taux.

Nous calculons

egalement

1’accroissement du pou- voir

thermoélectrique

associe a la r6sistivit6

Ap.

^{Il n’est}

explique

correctement par ^aucun des mod6les

simples

choisis.

II.

Description

^des modèles et

techniques

^{de calcul} utilisds. ^- Les

alliages

que ^nous consid6rons sont des

alliages

de substitution tres dilu6s. Les électrons de conduction sont assimil6s a des electrons

libres,

^les

surfaces

d’6nergie

^{constante 6tant des}

sphères.

Si Z est la difference de valence entre 1’atome du solvant et atome de

solute,

^{nous faisons}

1’hypoth6se

que le

potentiel électrostatique

cree par ^cet exc6s de

charge 6lectronique

^{est A}

sym6trie sph6rique.

^La

port6e

de ce

potentiel

^est de l’ordre de

grandeur

^{des dimen-}

sions

atomiques.

Les atomes

d’impureté

^se

comportent

^{comme des}

centres diffuseurs pour les electrons de conduction de

1’alliage.

^{Dans le}

phenomene

^de conduction seuls

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01967002803-4032800

interviennent les electrons situ6s au niveau de Fermi :

nous avons donc a traiter un

probl6me

de diffusion

simple (alliage dilue), élastique,

^d’ondes

planes repre-

sentant les electrons situ6s au niveau de Fermi par le

potentiel

choisi pour

representer l’impuret6.

^{Si T est}

le

temps

de relaxation du

phenomene

de collision et

kF

^{le vecteur} d’onde relatif a

1’energie

^{de Fermi}

ki/2,

la r6sistivit6

s’6crit,

^{en unites}

atomiques

^{de Har-}

tree

(1) [2] :

-

Si 0

et 9

^sont les coordonn6es

angulaires

^{de la}

direction du vecteur d’onde

diffusé,

P(kF, 0)

^{sin 0 d8}

dcp

^la

probabilite’-"

^{par unite de}

temps

qu’un

electron de vecteur d’onde

k, d’énergie kF/2

soit diffuse d’un

angle

^{0 dans}

F angle

^solide

sin 0 dO

dcp :

Le taux de transition ^{P sera} calcule soit dans

1’approximation

^de

Born,

soit par la m6thode des ondes

partielles.

1. APPROXIMATION ^DE BORN AU PREMIER ORDRE

[1].

- P est

proportionnel

^au carr6 de la transformée de Fourier du

potentiel

^diffuseur

V(r) :

ou n est le nombre d’atomes par unite de volume

du cristal,

c la concentration des atomes

d’impuret6,

effectu6e sur tout le volume du cristal.

2. METHODE DES ONDES PARTIELLES

[3], [4].

^{- La}

sym6trie

^du

potentiel permet

^de

d6composer

^les

fonctions d’onde

6lectroniques

^{diffusées en} ondes par- tielles. Si _1)z est le

d6phasage

de l’onde I

pris

^{au niveau}

de Fermi dans le

potentiel V, (1)

^devient

ou

QO

^{est le volume}

atomique

^{de la matrice.}

Les valeurs de

kF

^sont d6termin6es _par la densite d’états par unite de volume des electrons libres.

Si _r8 est le rayon de la

sphere atomique

de la matrice de valence A :

La formule

(4)

^{s’6crit alors :}

(1) e

^{= m = A =} 1, ^{une unite}

atomique

de r6sistivit6 vaut 21,8

(LOcm.

^On utilisera, sauf avis contraire, ^ces unites.

LE JOURNAL DE PHYSIQUE. ^{- T.} 28. N* 1. MARS-AVRIL 1967.

Ajoutons

que si 1’atome de

l’impuret6

^{et l’atome de}

la matrice n’ont pas ^meme volume

atomique,

^{il s’en-}

suit une distorsion du reseau du metal _pur. Blatt

[5],

suivant une

suggestion

^{de W. A.}

Harrisson,

^{a tcnu} compte ^{de cet} effet de taille en calculant la

charge

effectivement 6crant6e _{Z’ par} le _gaz d’electrons à

partir

des valeurs

experimentales

de la variation rela- tive du volume de la cellule

occup6e

par

l’impuret6.

Nous calculons la

charge

^{Z’ de la}

faqon

^{suivante :}

Si a est le _rayon

d’6quilibre

de 1’atome

d’impuret6

dissous dans la

matrice,

rA ^et rB des rayons des

spheres atomiques

^{de la ma-}

trice et de

l’impuret6,

xA et

XB les

compressibilités

^de la matrice et de l’im-

puret6,

v le coefficient de Poisson relatif a Ja

matrice,

^la

theorie

classique

de 1’elasticite donne

[6]

La

charge

effectivement 6crant6e _par le _gaz d’élec-

trons est :

Les

charges

effectives relatives aux

alliages

^consi-

deres

figurent

dans le tableau I. Les valeurs

exp6ri-

mentales des r6sistivit6s seront

port6es

^{avec ces}

charges

effectives.

TABLEAU I

TABLEAU DES CHARGES EFFECTIVES

SOLVANTS

Le tableau I donne les valeurs de Z’ cal- cul6es ^en utilisant les constantes xA, xB, v tir6es de

l’ouvrage

de Friedel

[6].

Ne

poss6dant

pas les constantes

pr6cit6es

pour

1’arsenic,

^le mercure, le

bore,

^nous prenons, pour les

alliages

^{contenant ces}

impuret6s,

^{Z’ =}

Z;

^{dans ce}

cas, les valeurs

expérimentales

des r6sistivit6s

figurent

entre

parentheses

^{sur les}

planches.

III. Rdsultats obtenus avec les différents

potentiels

utilisds :

1. POTENTIEL DE COULOMB ECRANTE DONT LE RAYON

D’ECRAN EST DETERMINE PAR LA CONDITION DE FRIE-

DEL

[7].

^{- Friedel a} 6tudi6 la diffusion des electrons par ^un

potentiel

de Coulomb ecrante

ou Z est la difference de valence entre

l’impuret6

^et

la

matrice,1 jA

^le rayon d’6cran du

potentiel

^determine

par la

r6gle

^{de somme suivante :}

Cette

regle implique

que la

charge

^d’écran

d6plac6e

dans le _gaz d’électrons _par la

perturbation

^{est bien}

6gale

^{a Z et fixe}

univoquement

^X.

Les valeurs des r6sistivit6s calcul6es _par ^cette m6- thode sont en bon accord avec les valeurs

exp6rimen-

tales pour

l’argent, l’or

^{et le cuivre}

( fig. 1, 2, 3).

2. POTENTIEL ^{EN PUITS} CARRE. ^- Daniel

[8)

^a

montre que l’on

peut,

^{avec une bonne}

approximation, representer

^un electron de conduction d’un

alliage

^à

matrice monovalente par ^une fonction d’onde

produit

de la fonction d’onde de bas de bande de conduction

(a sym6trie sph6rique)

par ^une onde

plane.

^{11 suffit}

dans ce cas d’étudier la diffusion de l’onde

plane

^dans

un

puits

^{carr6. La}

largeur

^du

puits

^est

prise 6gale

^au

rayon

atomique

^{de la}

sphere

^de

Wigner-Seitz

^{de la}

matrice,

^la

profondeur

^est

ajust6e

par la condition d’6cran

(8)

^de

faqon

que le

potentiel d6place

^dans

le _gaz d’61ectrons une

charge 6lectrique 6gale

^{a la}

difference de valence entre la matrice et

l’impuret6.

Plusieurs auteurs ont utilise ce mod6le _pour les

alliages

^{a matrice} monovalente. En

particulier :

- de

Faget

^de

Casteljau

^{et Friedel}

[4]

^{ont calcul6}

les r6sistivit6s r6siduelles dues a des

impuret6s polyva-

lentes dans le cuivre.

- Blatt

[5]

^a utilise le meme modèle en modifiant la condition d’écran pour tenir

compte

d’un effet de taille entre la matrice et

l’impuret6

^{comme cela a 6t6}

indique

^au

chapitre

^II.

Nous calculons les r6sistivit6s r6siduelles des m6taux suivants :

avec ce mod6le de

potentiel.

^Les

d6phasages

YJz s’ex-

priment

^a

partir

des fonctions de Bessel et Neumann

sph6riques

^{d’ordre 1}

[9] :

Les

cinq premiers d6phasages

^sont calcul6s a la calculatrice IBM 1620 de l’Institut de Recherches Nucl6aires de

Strasbourg

pour

et y

compris

^entre

0,5

^et

3,5

variant de

0,05

^en

0,05 (voir

^formule

(5)).

"114 ^reste inferieur a 8 X 10-3 rd.

Les r6sistivit6s sont calcul6es avec la relation

(6)

^et

sont

repr6sent6es

^{sur les}

figures 1, 2, 3, 4, 5,

6 pour

FiG.l

R6sistivit6s r6siduelles des

alliages

a matrice

d’argent.

Fic.2

R6sistivit6s r6siduelles des

alliages

a matrice d’or.

FIG. 3

R6sistivit6s r6siduelles des

alliages

a matrice de cuivre.

FIG. 4. ^- R6sistivit6s r6siduelles des

alliages

a matrice de

magnesium.

Fic.5

R6sistivit6s r6siduelles des

alliages

^{a matrice} d’aluminium.

FIG. 6

R6sistivit6s r6siduelles des

alliages

a matrice de

plomb

les differents m6taux. Les valeurs

expérimentales

pour

Ag, Au, Cu, Mg

^et

Al,

^{sont celles}

r6pertori6es

par Pawlek ^et Reichel

([10]

^et

[11]).

^{Nous avons}

ajoute

les valeurs de Das ^et Gerritsen

[12]

pour

Mg.

^Les

valeurs de Pb sont celles de Kuz’menko

[13].

Il _y a un bon accord ^entre les valeurs

exp6rimen-

tales et les valeurs calcul6es des r6sistivit6s des m6taux monovalents avec un

potentiel

^en

puits

^{carr6. Dans}

la mesure ou ce

potentiel

^{et le}

potentiel

^{de Coulomb}

écranté

(7)

^sont

déterminés]par

la condition

d’écran,

ils donnent sensiblement les memes résultats pour les m6taux monovalents. Par contre, les résistivités des m6taux

polyvalents

^{calcul6es avec le}

potentiel

^en

puits

carr6 sont en mauvais accord avec les valeurs

experi-

mentales : les valeurs calcul6es sont

beaucoup plus

faibles. Dans les m6taux

polyvalents,

^le

caract6re p

^des

fonctions d’onde

6lectroniques

de conduction est

prononcé

^et il n’est pas evident que dans ^{ce cas} l’on

puisse

^encore

justifier

^de

l’usage

^d’un

potentiel

^en

puits

^carr6.

3. POTENTIEL ^DE HARTREE « SELF-CONSISTENT » AU PREMIER ORDRE D’UNE CHARGE PONCTUELLE. ^-

a) Approximation

^{de Born. - On considère une}

impu-

ret6

ponctuelle

^de

charge

^{Z dont le}

potentiel

^de

Coulomb

Zlr

cree dans le _gaz d’61ectrons libres une

redistribution de

charge.

^La

perturbation V,

^somme

du

potentiel Zlr

^{et d’un}

potentiel d’6cran,

^{est calcul6e}

d’une mani6re « self-consistente » par

1’equation

^de

Poisson dans

laquelle

la densite de

charge

^{est d6ter-}

minee _par les fonctions d’onde

6lectroniques

pertur- b6es au

premier

^ordre

[14}.

Si

ou Q est le volume du cristal

TABLEAU II

LES RESISTIVITES DANS L’APPROXIMATION ^DE BORN

DU POTENTIEL DE THOMAS-FERMI ET DU POTENTIEL DE HARTREE

où

les formules

(1), (2)

^et

(3)

^nous

permettent

^{de cal-} culer

Ap

^dans

1’approximation

^{de Born :}

Les résultats

num6riques

obtenus a la

r6gle

^{a calcul}

figurent

^{dans le} tableau II. Ils sont

comparables

^à

ceux deduits dans

l’approximation

^{de Born} pour le

potentiel

de Thomas-Fermi

[15].

Bien que contrai-

rement au

potentiel

de Hartree le

potentiel

^{de Tho-}

mas-Fermi ne

comporte

pas d’oscillations ^a

longue distance,

^{ce dernier}

repr6sente

d’autant mieux le

potentiel

de Hartree dans la

region

^{ou il est}

important

que la densite du gaz d’61ectrons libres est 6lev6e. Les deux

approximations

de Born donnent des résultats du meme ordre

(voir , fig. 1, 2, 3, 4, 5, 6) :

pour les m6taux monovalents les valeurs sont

trop grandes

alors que pour les m6taux

polyvalents

^{nous obtenons}

l’ordre de

grandeur

des valeurs

eXpérimentales.

b)

Mithode des ondes

partielles.

^{- March et Mur-}

ray

[16]

^ont calculé le

potentiel

de Hartree V « self- consistent ^{» au}

premier

ordre d’une

charge ponctuelle immerg6e

^{dans un} gaz d’61ectrons libres.

a)

Obtention des

déphasages.

^{- Notre m6thode}

consiste essentiellement a chercher le

premier

^n0153ud

de la

partie

^radiale

R,

^{de la fonction d’onde}

sup6rieur

a

10, ayant pris

^{V ==}

0 lorsque x

⁼

kF r

^est

sup6rieur

ou

6gal

^{a 10}

(ce qui

^est

justifi6

6tant donne la

pr6ci-

sion avec

laquelle

^{on connait}

V).

Si xo ^{est ce} noeud :

Les

d6phasages YJI(kF, Z)

^{sont calcul6s a} la calcula- trice IBM 1620 pour I ⁼

0, 1, 2, 3,

-

4 %

Z

4,

Z variant de

0,2

^en

0,2.

^Les

d6pha-

sages relatifs aux rayons de Fermi des m6taux ^sont calcul6s _par

interpolation

^{sur les}

d6phasages precedents

obtenus _pour

kF

⁼

0,5, 0,75,

1. Les r6sistivit6s

Ap(Z)

sont calcul6es par la formule

(6)

^et

repr6sent6es

^sur

les

figures 1, 2, 3, 4, 5,

^6.

fin) ^Étude

^de

la forme

des courbes

Ap(Z).

^{- Les cour-}

bes

Ap(Z) présentent

^des

pics

que ^nous

expliquons

en

prenant 1’exemple

^d’un gaz d’61ectrons d6fini par le _rayon de Fermi

kF

⁼

0,5.

^Les

figures 12, 13,

¹⁴

donnent a, 11, 112 ^au niveau de Fermi.

Lorsque

^{Z est} voisin de

0,8,

o ^vaut sensiblement

n/2,

111 ^et 112 ^sont

petits :

^le

pic

^de

Ap correspondant provient

^{de la diffusion de l’onde s.}

Lorsque

^{Z est voisin de}

2,6,

₁₀ ^et 111 valent

respecti-

vement

57r/4

^et

7T/2

alors que 112 ^est

petit :

^le

pic

de

Ap correspondant provient

^surtout de la diffusion de l’onde

p.

y) ^gcart

^{a la «}

self-consistence »

^du

potentiel

de Hartree.

- La

charge

effectivement 6crant6e par le

potentiel

de Hartree est reli6e aux

d6phasages

par la

r6gle

^de

somme de Friedel

(8).

^La

figure

⁷

repr6sente

pour les rayons de Fermi

correspondant

^{aux m6taux}

choisis.

(2)

^On

proc6de

^en

appendice

^{a 1’etude des}

déphasages

en fonction de

1’energie.

FIG. 7. ^-

Charge

d’écran dans le

potentiel

^{de Hartree}

pour ^une

charge ponctuelle

^Z

immerg6e

^{dans un} gaz d’61ectrons libres dont le rayon de Fermi

correspond

a l’or et

l’argent (kF

⁼

0,639),

^{au cuivre}

(kF = 0,720), au magnesium (kF

⁼

0,727),

a l’aluminium

(kF = 0,927),

au

plomb (kF

⁼

0,835) (la

courbe relative a kF ⁼ 0,720 ^est confondue avec celle relative a kF ⁼ 0,727 ^{sur la}

figure).

Nous effectuons un

premier

^{pas vers} le r6tablisse-

ment de la « self-consistence )> du

champ

^en choisissant pour le

potentiel

^de

l’impuret6

^celui

qui d6place

^la

charge

^{d’6cran correcte Z*. Les}

figures 1, 2, 3, 4, 5,

⁶

repr6sentent Ap(Z*)

pour les diff6rents m6taux.

Les courbes

Ap (Z*)

^sont

plus

6tal6es que les courbes

Ap(Z),

^les

pics s

^sont

61argis,

^les

pics p dispa-

raissent. Elles sont

plus symetriques

par

rapport

^à 1’axe Z ⁼ 0 que les courbes

dp(Z) :

^la

perturbation

d6finie _{par Z}

d6place

^une

charge plus grande

^ou

moins

grande

que Z suivant que ^{Z est}

positive

^ou

negative.

^{Tant que Z est} inferieure a

1,

la resistivite

Ap(Z*)

^est

plus proche

de la r6sistivit6 calcul6e dans

l’approximation

^{de Born que de la} r6sistivit6

Ap(Z).

8) Comparaison

^des risultats obtenus avec le

potentiel

^en

puits

carré et le

potentiel

de Hartree. ^- Soient

Ap(P.C.)

et

dp (H)

les’resistivites calcul6es dans le mod6le avec

potentiel

^en

puits

^{carr6 et}

potentiel

de Hartree.

Pour les m6taux monovalents :

- dans la

region

^{du «}

pic »

^{s :}

dp(H)

^est

beaucoup plus grande

que

Ap(P.C.) ;

- au-delh de ^cette

region : Ap (H)

^{est du meme}

ordre de

grandeur

que

A p (P.C.) (exemple fig.

^{3 relative}

au

cuivre).

Pour les m6taux

polyvalents :

Ap(H)

^est

partout beaucoup plus grande

que

AP(P.C.).

Ainsi pour les r6sistivit6s

r6siduelles,

^{le mod6le}

construit a

partir

^du

potentiel

de Hartree est-il

plus satisfaisant,

^{du moins}

qualitativement,

que celui ^cons- truit a

partir

^du

potentiel

^en

puits

^carr6 pour les

alliages

^{a matrice}

polyvalente.

^A

l’inverse,

^{le mod6le}

en

puits

^carr6

interpr6te

mieux les r6sistivit6s resi- duelles des

alliages

^{a matrice} monovalente que le ^mo- d6le construit a

partir

^du

potentiel

de Hartree. Nous

savons que la convergence de la s6rie donnant le po- tentiel de Hartree ^est d’autant meilleure _que

1’6nergie

de Fermi du gaz d’61ectrons libres ^est elevee Faccord

entre les valeurs calcul6es dans ce

potentiel

^{et les va-}

leurs

expérimentales

^{doit etre}

plus

satisfaisant dans le

cas des

alliages

^{a matrice}

polyvalente (densite

^6lectro-

nique 6lev6e)

que dans le cas des

alliages

^{a matrice}

monovalente

(densite 6lectronique plus faible),

^ce que

nous avons constate.

IV. Accroissement du

pouvoir thermo6lectrique.

- Le

pouvoir thermoélectrique

d’un metal ou d’un

alliage

de r6sistivit6

p est

donne par

[1] :

ou k ^est la ^constante de Boltzmann.

T la

temperature

^absolue.

A 1’accroissement de r6sistivit6

Ap

^{du aux}

impuret6s correspond

^un accroissement de

pouvoir

thermo6lec-

trique

^{AS. Friedel}

[17]

^montre que la variation rela- tive du

pouvoir thermoélectrique peut

^{s’6crire :}

Nous nous int6ressons a la

quantite

^AX

qui

^est

directement li6e aux resistivites r6siduelles. En consi- derant les formules

(1)

^et

(2)

^comme fonction de

1’energie

ou le taux de transition P

peut

^etre calcule dans

1’approximation

^{de Born ou} par la m6thode des ondes

partielles. Remarquons

que

lorsque

^{le courant}

6lectrique

^{circulant en}

presence

^d’un

champ 6lectrique

et d’un

gradient

^de

temperature

^{est determine par}

1’6quation

de Boltzmann

lin6aris6e,

seule la variation du libre parcours moyen des electrons ^en fonction de leur

6nergie

intervient : la

perturbation

^donnant

le

temps

de relaxation doit ^rester constante; les elec- trons de conduction dont les

energies

^{varient autour}

de

1’energie

^{de Fermi sont diffuses par le m6me po-}

tentiel. Cette _remarque s’6tendra a tous nos

calculs,

les derivations n6cessaires _pour atteindre AX 6tant sous-entendues effectu6es a

potentiel

^constant.

1. POTENTIEL EN PUITS CARRE. ^- Nous calculons AX a

partir

de la relation

(4) :

Lorsque

^{Z est}

petit,

^{nous pouvons} considerer les

d6phasages

^dans

rapproximation

^{de Born :}

alors que de

Faget

^de

Casteljau

^{et Friedel}

[4]

^trouvent

Dans le cas

general

^{ou les}

d6phasages

^{sont donn6s}

par les relations

(9)

^et

(10),

^{si on}

appelle 110 et vo

^le num6rateur et le d6nominateur de

tg

YJo,

ui et v, le num6rateur et le d6nominateur de

tg 7 :

Les calculs sont effectu6s en se limitant aux

cinq premiers d6phasages.

^La

figure

⁸

repr6sente

^AX pour les m6taux monovalents. Aux valeurs de AX d6duites par Friedel

[17]

des valeurs

expérimentales,

^nous

avons

ajoute

^les valeurs de Blatt et

Kropschot [18].

FIG. 8. ^- OX pour les m6taux monovalents calcul6e avec le

potentiel

^en

puits

^carr6.

Fie. 9. ^- A.Y pour ^les m6taux

polyvalents

calcul6e avec le

potentiel

^en

puits

^carr6.

La

figure

⁹

repr6sente

^dX pour les m6taux

polyvalents,

les valeurs

expérimentales

pour le

magnesium

^6tant

celles de

Salkovitz,

^{Schindler et Kammer}

[19].

Bien _que les valeurs de AX calcul6es avec le poten- tiel en

puits

carr6 varient avec

Z,

^nous n’obtenons que l’ordre de

grandeur

des valeurs

expérimentales.

2. POTENTIEL ^DE HARTREE. - Dans

l’approximation

de

Born,

les relations

(3), (11), (13) permettent

^de calculer AX :

Ces valeurs sont du meme ordre _que celles trouv6es

avec

l’approximation

de Born du

potentiel

^{de Thomas-}

Fermi

[17] ( fig.

^{8 et tableau}

III).

Avec la m6thode des ondes

partielles,

^nous

op6rons

d’une mani6re

analogue

^{a celle du}

paragraphe prece- dent,

mais ici nous determinons

[dYJ/dk]k

^{= kF en faisant}

passer ^une

parabole

par les trois

d6phasages

^{relatifs à}

k imm6diatement inferieur a

kF kF

k immediatement

superieur

^a

kl,.

TABLEAU III

LES

QUANTITES

^{AX DANS} L’APPROXIMATION DE BORN

DU POTENTIEL DE THOMAS-FERMI

ET DU POTENTIEL DE HARTREE

Ces calculs sont effectués sur la calculatrice IBM 1620 pour les valeurs moyennes des

d6phasages

^{relatives aux}

energies

de Fermi d6termin6es _par

kF

⁼

0,5; 0,75;

¹

(voir appendice).

^La

figure

¹⁰

repr6sente LlX(Z)

^et

FIG. 10. ^- AX calcul6e avec le

potentiel

de Hartree pour kF = 0,75.

AX(Z*)

^pour

kF

⁼

0,75.

^Les

valeurs

calcul6es ^ont meme ordre de

grandeur

^{et meme allure} que celles trouv6es avec le

potentiel

^en

puits

^carr6.

V. Conclusion. ^-

L’approximation

de Born des

potentiels

de Thomas-Fermi et de Hartree donne pour les r6sistivit6s r6siduelles des résultats

equivalents : lorsque 1’energie

de Fermi du _gaz d’61ectrons ^est faible

(m6taux monovalents)

les valeurs calcul6es ^sont trop

grandes,

^mais pour des

energies

^{de Fermi}

plus

^6lev6es

(m6taux polyvalents)

^les valeurs calcul6es donnent l’ordre de

grandeur

^{des valeurs}

experimentales, F approximation

6tant d’ailleurs

plus justifi6e.

La faible

6nergie cin6tique

des electrons de conduc- tion des m6taux monovalents necessite une

analyse

^en

ondes

partielles.

^Cette

analyse

donne de bons résultats pour ^ces m6taux

lorsqu’elle

^{est effectuee sur un poten-}

tiel en

puits

^carr6

qui r6pond

^{assez bien aux conditions}

aux limites

impos6es

^aux fonctions d’onde. Par contre, il n’est _pas evident _que l’on

puisse

pour les m6taux

polyvalents representer

^{1’action des}

impuret6s

^{sur les}

electrons de conduction _par un seul

pseudo-potentiel

a

sym6trie sph6rique.

^{La structure} des fonctions d’onde

6lectroniques

^{et la} surface de Fermi devraient etre

prises

^en consideration si l’on d6sirait obtenir autre

chose

qu’un

^{ordre de}

grandeur

des valeurs

exp6rimen-

tales.

L’analyse

^{en ondes}

partielles

^{effectuée avec le}

potentiel

^{de Hartree}

n’apporte

pas de modification essentielle aux résultats obtenus dans

l’approximation

de Born.

Quant

^au

pouvoir thermoélectrique,

^{l’accord entre}

valeurs calcul6es et valeurs

expérimentales

^est

grossier.

Remarquons

^{tout de} meme que le

potentiel

^en

puits

carr6 et le

potentiel

de Hartree donnent pour les

quantités

^AX des résultats

semblables,

^un peu de la meme mani6re _que le

potentiel

de Thomas-Fermi ^et le

potentiel

^en

puits

^carr6 donnent des r6sistivit6s

6quivalentes lorsque

^ces deux derniers

potentiels

^sont

ajust6s

pour

qu’ils

satisfassent la condition d’écran de Friedel. La consideration de la structure des fonctions

6lectroniques

^{et de la}

géométrie

de la surface de Fermi doit etre

importante

pour le calcul de 1’accroissement de

pouvoir thermoélectrique

^{du aux}

impuret6s, peut-

6tre

plus

^encore que pour les résistivités.

APPENDICE

1. Calcul des

ddphasages 11l (E)

^{crdds par le}

poten-

tiel de Hartree ^« self-consistent » au

premier

^ordre d’une

charge ponctuelle.

^{- Nous} effectuons sur la

partie

^radiale

RL

de l’onde I le

changement

de fonction

yi ^est solution de

1’6quation

differentielle

L’6nergie

des fonctions d’onde

6lectroniques

^est

E ⁼

k2/2, WkF

^{=== rV où Vest le}

^potentiel

^{de Hartree}

relatif a Z = -1

[16].

^{Nous avons} resolu les ^cas suivants :

Nous _prenons

WkF

^{-_- 0}

lorsque x >,

^{10 : si}

x >

10,

^les

d6phasages

s’écrivent

[20] :

Les

d6phasages

^ne

dependent

que des d6riv6es

logarithmiques yi, (x)

^{g q}

x

^{que nous prenons aux}

^points

yz x

^{q P p}

x

= 10 ; 10,6; 11,2; 11,8.

L’intégration

^de

1’6quation

differentielle ^et le calcul des

d6phasages

^{sont effectues a} la calculatrice IBM 1620. La valeur des

d6phasages

^{est la valeur}

moyenne des

d6phasages

^{évalués aux}

quatre points precedents. Lorsque k

⁼

^0, l’int6gration

^de

l’équa-

tion differentielle fournit

(YI’IYI)k=O = (y’lyl)o qui

^est

utilis6e _pour le

comportement

^des

d6phasages

^aux

basses

energies.

2.

Comportement

^des

ddphasages

^aux basses dner-

gies.

^- Nous effectuons dans

chaque

^{cas un}

d6velop-

pement limit6 des formules

(A .1)

^ou

(A. 2)

^{en tenant}

compte ^du

comportement

des fonctions de Bessel et de Neumann

sph6riques

pour les

petits arguments.

DEPHASAGE _"Y]O’

FIG. 11. ^- Allure de _ao en fonction du

potentiel.

Lorsque

^le

potentiel varie,

ao ^a 1’allure

indiqu6e

^sur

la

figure

^11.

1)

^{Si le}

potentiel

^est

petit ao > 0,

o ^est

petit

^et

part

de la valeur 0 en E ⁼ 0 avec une pente + ^oo

(a).

2)

^{Si le}

potentiel

^{est tel} que ao soit

singulier

^ou que

(yo’lyo)o

^soit

^nulle,

^il

apparait

^le

premier

^{6tat lie à}

6nergie

^{nulle :} :"110

part

de la valeur

Tc/2

^{en E = 0 avec}

une

pente

^{- oo}

(b).

3)

^{Si le}

potentiel augmente,

ao devient

negatif,

-o

part

de la valeur n en E ⁼ 0 avec une

pente

^{- oo}

(a).

4) Lorsque

oco devient

nul,

"110

part

de la valeur n

en E ⁼ 0 avec une

pente

^nulle

(c) .

5) Lorsque

ao redevient

positif,

o

part

^{de la va-} leur 7r en E = 0 avec une pente + ^oo

(a),

^etc.

DEPHASAGES

(j 1

> 0 : 1

Lorsque

^le

potentiel varie,

ai ^a la meme allure que ao.

1) Lorsque

^le

potentiel

^est

petit,

oc, >

0,

7

part

^de la valeur 0 en E ⁼ 0 avec une

pente

^nulle

(a).

2) Lorsque

^le

potentiel prend

^{la valeur} correspon- dant a la

singularite

^de ocl ^ou

lorsque

111

part

de la valeur 7r en E ⁼ 0 avec une

pente

- oo

(b).

3) Lorsque

^le

potentiel

augmente

toujours,

oc, de- vient

n6gatif

^et 111

part

de la valeur 7r en E ⁼ 0 avec une

pente

^nulle

(a).

^Etc.

Les

figures 12, 13,

¹⁴

repr6sentent 11o(E), 111(E), YJ2(E) lorsque 1’energie

de Fermi du _gaz est d6finie par

kF

⁼

0,5.

FIG. 12. ^-

Déphasage s

^{dans le}

potentiel

^{de Hartree}

en fonction de

1’energie

pour kF ⁼ 0,5.

Remerciements. ^-

Je

remercie vivement M. le Professeur Daniel pour les nombreuses discussions _que

j’ai

eues avec lui durant 1’elaboration de ce travail.

Je

^remercie

egalement

M. Thomann de l’Institut

FiG. 13. ^-

D6phasage p

^{dans le}

potentiel

^{de Hartree}

en fonction de

l’énergie

pour kF ⁼ 0,5.

FiG. 14. ^-

D6phasage

^{d dans le}

potentiel

^{de Hartree}

en fonction de

1’energie

pour kF ⁼ 0,5.

de Recherches Nucl6aires de

Strasbourg qui

^a pro-

gramm6

^{et effectue} les calculs sur la machine 6lectro-

nique.

Manuscrit requ ^{le 28}

septembre

^1966.

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