ECP Math´ematiques 2 2e Ann´ee 2004-2005
Analyse, s´eance 4 : exercices
LES FORMULATIONS VARIATIONNELLES
Question 1
• D´efinir une formulation variationnelle et un principe du minimum pour le probl`eme ellip- tique suivant :
−d2u
dx2 +u = q(x) sur [0,1]
u(0) = u(1)
du
dx(0) = du dx(1)
(1)
• D´efinir une solution approch´ee avec des fonctions continues affines par morceaux sur un d´ecoupage de pash de l’intervalle [0,1].
• D´ecrire les fonctions de base et calculer compl`etement la matrice de raideur du syst`eme obtenu (on calculera les int´egrales de fonctions du second degr´e par la formule de Simpson).
Comparer avec les ´equations obtenues par diff´erences finies.
Noter le caract`ere automatique de la construction du syst`eme d’´equation, d`es que l’espaceVh
et une base ont ´et´e choisis, cela sera mis `a profit pour construire des logiciels tr`es g´en´eraux (Cf. s´eance 4).
•Pourquoi ce probl`eme est-il ´equivalent `a la recherche d’une solution p´eriodique de l’´equation diff´erentielle (ce qui sugg`ere une mani`ere plus naturelle de construire les formulations) ? Question 2
Cas des charges concentr´ees
Sous les hypoth`eses du probl`eme de diffusion vu en cours, on suppose qu’un laser fournit en un pointM une quantit´e de chaleurQ (par unit´e de temps).
•Montrer qu’il faut modifier la formulation faible pour en tenir compte en ajoutant Q v(M) dans L(v). Noter que l’on ne peut plus choisir dans ce cas u ∈ C1(Ω) car u admet une singularit´e logarithmique au pointM, on laissera de cˆot´e cette difficult´e th´eorique.
• Quelle modification tr`es simple faut-il effectuer sur les ´equations siM est un noeudi ? Question 3
Supposons que l’espace d’approximation Vh dans (??) v´erifie la propri´et´e de consistance
2 Math´ematiques 2
suivante :
∃Πhu, Πhu∈Vh p
a(u−Πhu, u−Πhu)≤C(h)
qui signifie que l’on peut approcher `a h pr`es (au sens d’une norme hilbertienne) la solution exacte et r´eguli`ere u par une fonction de l’espaceVh.
• En d´eduire une majoration de l’erreur :
pa(u−uh, u−uh) =O(h)
Cette estimation automatique de l’erreur est une propri´et´e fondamentale de l’approximation par ´el´ements finis d’un probl`eme elliptique. Il reste cependant `a pr´eciser le lien entre la norme pa(u, u) et les normes usuelles kuk∞ou kuk2, ce qui est plus d´elicat.
Question 4
Formulations variationnelles de probl`emes non lin´eaires
On consid`ere le probl`eme, correspondant `a un probl`eme de diffusion avec une loi d’´echange non lin´eaire sur les faces d’une plaque :
½ −∇.(k∇u) +f(u) = q sur Ω
u = 0 sur Γ (2)
SoitV0 l’espace des fonctions continues et “C1 par morceaux”, nulles sur le bord Γ. On pose : a(u, v) =
Z
Ω
k∇u .∇v dΩ et :
L(v) = Z
Γ
q v ds
• Montrer que la solution de (2) est aussi solution du probl`eme variationnel :
u ∈ C2(Ω) (3)
∀v∈V0 a(u, v) + Z
Ω
f(u)v dΩ =L(v) (4)
On note F(v) une primitive de f(v). On pose : J(v) = 1
2a(v, v) + Z
Ω
F(v)dΩ− L(v) (5)
• Montrer qu’une fonction u∈V est solution de la formulation faible (4) si et seulement si DJ(u) = 0, i.e. si et seulement u v´erifie :
∀v∈V0, DJ(u).v = d
dλJ(u+λv)|λ=0= 0
•Montrer que sif(v) est strictement croissante la fonctionJ(v) est une fonction strictement convexe (i.e. J(u+λv) est une fonction strictement convexe deλ∈R) et queu est alors le
S´eance 4 3
minimum deJ(v).
•Montrer que ce r´esultat peut ˆetre utilis´e pour la d´efinition d’une approximation et conduit `a la r´esolution d’un syst`eme d’´equations non lin´eaires ´equivalent `a un probl`eme d’optimisation.
Noter le r´esultat : les probl`emes de type (2) sont toujours ´equivalents `a la recherche d’un point stationnaire d’une fonction potentielle, certains d’entre eux (f0(v)>0) sont ´equivalents
`a la recherche du minimum d’une fonction strictement convexe, ces derniers ont donc au plus une solution.
Toutes ces situations ont un sens physique, la prise en compte du rayonnement correspond
`a une fonction convexe (et donc une solution unique), tandis que la prise en compte d’une r´eaction exothermique correspond `a une fonction non convexe, et `a la pr´esence d’une multi- plicit´e de solutions ou `a l’absence d’´equilibre.
S.L
