Relations d’équivalence
Exercice 1. Congruence des carrés modulo 5
On définit la relation∼surZparx∼y⇔x2≡y2(mod 5).
1) Déterminer l’ensemble quotient.
2) Peut-on définir une addition quotient ? une multiplication quotient ? Exercice 2. Produit cartésien
Soient deux relations d’équivalence : RsurE, etS surF.
On définit sur E×F : (x, y)∼(x0, y0)⇔xRx0 et ySy0. 1) Vérifier que∼est une relation d’équivalence.
2) Soitϕ:
E×F −→ (E/R)×(F/S) (x, y) 7−→ ( ˙x,y)˙
Démontrer queϕest compatible avec∼, et que l’application quotient associée est une bijection.
Exercice 3. X∪A=Y ∪A
SoitE un ensemble etA⊂E. On définit la relation surP(E) : X ∼Y ⇔X∪A=Y ∪A.
1) Montrer que c’est une relation d’équivalence.
2) Soitϕ:
P(E) −→ P(E\A) X 7−→ X\A.
Montrer queϕest compatible avec∼, et que l’application quotient associée est une bijection.
Exercice 4. Équivalences surEE
SoitE un ensemble non vide. On considère les relations surF =EE:
f ∼g⇔ ∃n∈N∗ tqfn=gn, f ≈g⇔ ∃m, n∈N∗ tqfn =gm, f ≡g⇔f(E) =g(E).
1) Montrer que∼,≈,≡sont des relations d’équivalence.
2) Pourf ∈F, on notef∼,f≈,f≡ les classes d’équivalence def modulo∼,≈, ≡.
a) Comparerf∼,f≈.
b) Montrer que toute classe d’équivalence pour≈est réunion de classes d’équivalence pour∼.
c) Que pouvez-vous dire def s’il existe g∈f≈ injective ? surjective ? d) Même question avecf≡.
Exercice 5. Relation d’équivalence quotient
Soient Ret S deux relations d’équivalence sur un ensembleE telles que : ∀x, y∈E,xRy⇒xSy.
On définit ˙S surE/Rpar : ˙xS˙y˙ ⇔xSy.
Vérifier que ˙S est une relation d’équivalence, puis définir une bijection entre (E/R)/S˙ et E/S.
Exercice 6. Complétion d’une relation réflexive et transitive
SoitRune relation binaire sur un ensembleE réflexive et transitive. On définit les deux relations :
xSy⇔(xRy etyRx), xTy⇔(xRy ouyRx).
Est-ce queS et T sont des relations d’équivalence ? Exercice 7. Parties saturées pour une relation d’équivalence
Soit∼une relation d’équivalence sur un ensembleE. PourA⊂E, on définit s(A) =S
x∈Ax.˙ 1) ComparerA ets(A).
2) Simplifiers(s(A)).
3) Montrer pourx∈E : (x∈s(A))⇔( ˙x∩s(A)6=∅). En déduire s(E\s(A)).
4) Démontrer ques S
i∈IAi
=S
i∈Is(Ai) ets T
i∈IAi
⊂T
i∈Is(Ai).
5) Donner un exemple d’inclusion stricte.
equiv.tex – mardi 29 juin 2010
