Contribution à l'étude de la propagation sur une ligne hétérogène

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Contribution à l’étude de la propagation sur une ligne

hétérogène

F.-H. Raymond

To cite this version:

CONTRIBUTION A

L’ÉTUDE

DE LA PROPAGATION SUR UNE LIGNE

HÉTÉROGÈNE

Par F.-H. RAYMOND.

Sommaire. - Dans cette étude

l’auteur expose deux méthodes d’intégration par des séries des

équations de propagation sur une _ligne hétérogène. La méthode _préconisée se rattache directement aux

valeurs propres du système différentiel régissant la propagation, c’est-à-dire les constantes de propa-gation, et elle conduit à définir avec _précision et généralité la notion de coefficient de réflexion et de transmission.

L’exposé qui suit _s’applique aux _{régimes permanents} de _{pulsation p} = _j03C9. Utilisant la transformée de Laplace, ses résultats sont applicables à l’étude des régimes transitoires. Le cadre limité de cet article

n’a pas permis à l’auteur d’exposer l’application de la méthode à des problèmes techniques.

1. Introduction. - On _a commè but dans cette

étude de montrer comment on

_peut

obtenir d.e~ux

solutions

_rigoureuses,

de formes

différentes,

de la

propagation

d.’un

_{signal électromagnétique}

sur une

ligne quelconque. L’importance technique

de cette

question

est liée aux

_phénomènes

de

_traînage

et

d’échos résultant des

_{irrégularités}

des câbles

coaxiaux. La méthode

_{exposée s’applique également}

à d’autres

_phénomènes

de

_propagation

dans des milieux

_{hétérogènes.}

Elle

_{s’apparente}

à la méthode

de Sturm utilisée _{pour la} résolution des

_équations

différentielles.

2.

_Équations

de

_{propa,ga.tion}

et leurs solu-tions. - Considérons

une

ligne

bifilaire ou un câble

coaxial dont les coefficients

_linéiques

d’auto-ind,uc-tance, de

_capacité,

de résistance et d.e

_perditance

latérale sont

_{respectivement}

_1,

c, r _{et g.} Ce sont

des fonctions données de l’abscisse x

_comptée

parallèlement

à la

_ligne.

Nous nous _{proposons d’étudier} le fonctionnement d’une telle

_ligne

_supposée

initialement au _repos.

D’ailleurs les résultats que nous obtiendrions donne-ront

immédiatement

la solution

_générale

corres-pondant

à un

_{régime permanent}

d’excitation de la

ligne produit

par une source dont la force électro-motrice a une

_pulsation

co.

Les

_équations

de

_propagation

_sont, comme l’on

sait :

v, i

étant les fonctions de x et de t

_{(le temps)}

repré-sentant la variation du

_potentiel

et du courant. Le sens

_positif

_pour le courant est _{par convention}

le sens des x croissants.

Désignons

par

V(x, p)

et

_{I(x, p)}

les transformées

de

_Laplace

de

_{v(x, t)}

et

_{i(x, t)}

_{respectivement,}

c’est-à-dire que

-

--Si à tout instant t G. o, v = i = o

quel

que

soit x,

les

_équations

₍₁₎

conduisent aux suivantes :

Posons

:-Z =

lp

_{+ x,} c’est

l’impédance isomorphe

de la

_ligne

au

_point

x;

y =

cp + g, c’est l’admittance

isomorphe

de la

ligne

au

_point

x.

On

_{peut, P}

étant le vecteur de

_composantes

V et I et M la matrice suivante :

écrire

₍₃₎

sous la forme vectoriclle

°~

Nous allons chercher à

_exprimer

les éléments de

fonctionnement de la

_ligne

au

_point

x = L,

arbi-traire,

en fonction des éléments au

_{point x}

= o lui

aussi arbitraire.

_Désignons

_par et

_Po

les vecteurs

correspondants.

La relation entre

Pr

et

_Po

est

linéaire,

en vertu du

_principe

de

_{superposition,}

lequel

d’ailleurs n’est _que la traduction

_physique

d,u caractère linéaire des

_{équations (3).}

On

_peut

donc écrire

P.~; = 7’Po,

(6)

T étant une matrice d’ordre 2 dont les

_quatre

éléments sont des fonctions de x et p.

Rempl açons

P,x. par sa valeur dans

_(5),

on a

aussitôt

équation

intrinsèque

de fonctionnement de la

_ligne.

3. Première solution. -

S’inspirant

de la

méthode de

Sturm,

cherchons une solution de la forme

172

telle que

T,

est donc une constante _par

_rapport

à a. Comme on

peut

écrire T =

T,

₊

T2 (x,

p) -~-...,

pour x = o, on à

_simplement

donc

_Z’1

se réduit à la matrice unité

On eu déduit

et ainsi de suite.

Finalement

_{l’expression}

due l’ est donnée _{par le}

développement

en série suivant

On

_développe

facilement cette matrice et l’on trouve les _{relations obtenues par} M. Parodi

₍₁₎

en

_régime

_permanent.

(Pour

_passer au

_régime

permanent

il

suffit,

comme l’on

sait,

de _{faire p}

_{= j r,),}

j

=

B/=7.)

Nous

renvoyons d’ailleurs à un article récent de M. M. Parodi

₍₁₎

où les

_composantes

A, B,

C et D de la matrice T sont

_{explicitement}

donnée et _{utilisées par les auteurs.}

4. Deuxième solution

_(à).

- Nous avons en vue

de mettre en évidence dans la solution

_générale

du

_problème

examiné

ici,

les

_phénomènes

de réflexion résultant des variations de

_{l’impéd.ance}

itérative de la

_ligne.

Il est démontré dans les traités

_classiques

d’électrotechnique,

que si deux

lignes homogènes

. sont mises bout à

bout,

au

_point

de

_jonction

il y a

réflexion et réfraction des ondes

_susceptibles

de

se _propager dans les deux sens sur l’ensemble des

deux

_lignes.

En

_désignant

_{par r,}

_{et 2}

les

impé-dances itératives de chacune des deux

_lignes,

le

coefficient de réflexion est

suivant le sens de

propagation

de l’onde subissant

la réflexion. Le coefficient de transmission 7 est

égal

à I - ,~.

La _{méthode que} nous _{allons exposer}

_permettra

de démontrer ce résultat dans toute sa

_{généralité}

(1) Maurice PARODI, C. Ii...tcad. Sc., 1943, 216, p. 8~6; Il. et 31. PAPODI, R. G. E., 53, 1944, p. 22;.

1’) F. H.AY:B10ND, C. _{Sc., Ig/Í5,} 220.

et

_permettra

d’établir de

_façon

_rigoureuse

_que le

coefficient de réflexion en

chaque point

d’une

ligne

hétérogène

est

donnant ainsi une

_{justification}

_rigoureuse

de

_l’opinion

des auteurs de

_publications

récentes sur ce

_{sujet (3).}

Supposons

tout d’abord une

_{ligne homogène.}

La solution est connue et la matrice T a _pour

expression

où l’oil a

_posé

qui

représentent

rcspectivement

la constante de

propagation

et

_{l’impédance}

itérative

_isomorphes

d’une

ligne

uniforme.

-Pour mettre en évidence les deux ondes se

propa-geant

en sens inverses sur une telle

_{ligne, l’opération}

mathématique

à

_laquelle

on a recours consiste à ramener la matrice M à la forme

_diagonale.

C’est

ce _que nous _exposerons

_ci-après.

Nous ferons la _remarque

_{préliminaire}

_que la

traduction

_{géométrique}

d’un

_problème

d’électro-technique

est

_{toujours possible.}

Il suffit de

_préciser

la

_inélrique

de

_l’espace

dans

_lequel

on

_opère.

En

régime

permanent

on a _p

_{= j ~~,}

et le

_principe

de Boucherot conduit à l’invariance de VI* ± _V*I

(V*

=

conjugué

de

_{V) qui}

définit la norme du

vecteur de

_composante

V et I en

_géométrie

unitaire.

Dans le cas des

_régimes

transitoires,

c’est le

’purin-cipe

d.e la conservation de

_l’énergie

étendue à

l’ensemble de la

_{ligne qui}

déterminera la

_métrique

à utiliser. Si l’on écrit

et

_{que l’on}

_pose

on est conduit à définir la norme du vecteur

.P , v,. Ç

par

X2 + Y2;

on est donc en

, ’

B/

géométrie

euclidienne

_(").

(3) J. VILLE Bulletin S. F. E., iioveinbie _{1944 IV,} 11° _41,

p. 230-231 ; 1B1. COTTE, Id., avril _V, 11° _46; lU.

BEN-DAYW, Id.

-(4) Ces considérations manifestent que les notions de tenseurs n’ont _qu’un intérêt limité en _{électrotechnique}

puisque dès qu’une métrique est _définie, les variances d’un

tenseur n’ont plus de caractère absolu (voir par exemple 1,. BRILLOUTN, Les tenseurs en électricité et mécanique, et

Prenons,,- comme unité

_{d’impédance}

et

_remplacons

le vecteur

_{P(V, 1)}

_par le vecteur P’ _de

compo-santes 1

,

et I

_homogènes

à un courant. On

_peut

écrire,

d’après (5)

si la

_ligne

est

_homogène,

étant la matrice suivante

Les valeurs _propres de cette matrice sont + y

et _2013-. Dans ces conditions on

_peut

trouver une

matrice C’ telle que

Q

étant un vecteur de

_composantes

T~

et S,

homo-gènes

à un courant,

_qui

satisfont aux

_équations

La détermination de C’ est

immédiate,

on trouve

(voir Appendice

1)

-En remontant à P on a la relation

avec

Nous

_{adopterons la première}

forme de C. Avec ce

_changement

de

coordonnées,

l’équation (5)

devient

et le lecteur vérifiera facilement _que

L’intégration

des

_{équations auxquelles}

satisfont les courants JR et 15 est

_immédiat;e:

on a

Cette dernière

_peut

aussi

s’écrire,

L étant une

longueur

arbitraire,

En

_régime

_permanent,

est une fonction

complexe multipliée

par e,u", de même

S;, ;

on voit

donc _que R

_dépend

de 1 et de x _{par exp}

_{(i G> 1 2013y~),}

et S _{par exp}

_{[~/2013y(L2013~)]}

mettant ainsi

en

_évidence,

_{pour la}

_première,

une onde se

propa-geant

selon les a.

croissants,

et une onde se

propa-geant

en sens inverse _pour S.

En

_régime

transitoire et dans le cas le

_{plus simple,}

où _{y = B}

_{lc, p,}

_désignons

_par

_ilo

_l’original

de

et _par

_Í20

_l’original

de

_5;,,

_l’original

1 des R a _pour

expression

(5)

et celui de S

ce

_{qui implique}

L

_x; on a

posé v = -’ .

Passana niaintenant au cas d’une

_{ligne quelconque.}

- Sur une telle

_ligne

on

_{peut remplacer}

P _{par le}

vecteur

_Q,

selon

_(16),

mais la matrice C est fonction

de x,

comme _~.

’

Remplaçons

la matrice T _{par la matrice CT’ dans}

l’équation (7);

on a aussitôt

où l’on a

_posé

J - matrice unité

Le , calcul que nous allons

développer

ci-dessous

, . ,

exige

que .

2013

x reste fini. On suppose donc que la

ligne

ne

_présente

_{pas due}

discontinuités,

_pour

d , ,

lesquelles

serait infinie.

717r-,

Cherchons une solution de la forme Y

_{T; ,}

telle que

Déterminons

T’,

de

_façon

_{que pour} x = o on ait

une matrice dont le

_produit

_par C

_{(au point x}

=

o)

soit

_égal

à la matrice

unité;

par

conséquent

joue

le rôle d’une constante

d’intégration.

Si l’on

pose ,

(5) Nous renvoyons pour le passage aux _originaux

174

l’intégration

de la seconde

_{équation (20)}

donne

immédiatement

Calculons

_T’,

en utilisant I a

_méthode

de variation des _constantes, c’est-à-dire

_qu’on

détermine une

solution de la forme

en

_remplaçant

dans la

_{première équation}

_(21),

compte

tenu du _{fait que}

_{:?1 (x)}

satisfait la

seconde,

on a

d’où finalement

posons

on a

La

solution,

pour

T,

prend

donc la forme suivante :

Nous donnons en

appendice

les valeurs

explicites

de cette matrice.

Rappelons

que si A -

T11,

B ~

T,2,

C =

D =

T22’

les termes

A,

B,

C,

D satisfont à deux

équations

différentielles,

dont

_{l’intégration}

directe soulèverait des difficultés. Tout 0.’sabord

l’équa-tion

₍₇₎

_{s’explicite}

comme il suit :

donc

par

conséquent

AD -BC

qui

est constante par

rapport à x,

est

_égale

à l’unité

donc,

en

_régime

fransitoire,

comme en

régime

entretenu le déterminant de la matrice du

_quadripôle

formé par la

ligne

vue des

points =

o et x = L, est

égal

à l’unité.

Par élimination on montre facilement que A et B sont solutions de

et _{que C} et D satisfont

Remarquons

d’ailleurs

_qu’on

obtient ces

équations

par

élimination

de V et I entre les

équations (3);

ainsi _V, A et B sont trois solutions d’une même

équation,

I,

C et D sont solutions d’une autre

équation.

Ces

_équations

ne sont

_intégrables

_que

dans

_quelques

cas

_{particuliers.}

Le

_premier

terme de ~’,

égal

à

s’explicite

comme

suit :

où

0

fait intervenir la valeur _moyenne

de la constante de

_propagation

sur la

_ligne.

_est

l’impédance

itérative

_isomorphe

au

_{point x}

o sa

valeur au

_{point x}

= o.

’

L’étroite

_parenté

de la _{matrice que} nous venons

d’obtenir avec la matrice d’une

_ligne

_homogène

mérite d’être

_signalée.

Le

_premier

terme de T fait donc intervenir les ondes se

_propageant

en sens

inverses avec 1 a constante de

_propagation

_moyenne

_1’l.

5. Notion

_générale

de coefficient de réflexion.

- Considérons deux

points x

et x + dx sur la

ligne.

Au

_{point x}

on a en

_présence

une onde

R,,.

à

_laquelle

est _{liée la valeur propre}

_Y(x)

et une

ondes à

laquelle

est _{liée la valeur propre}

_{- ¡(x)}

de la matrice M

_(ou

de la

matrice

M’).

Au

_point

x ~ dx on a

et une relation

_analogae

_pour

S,.

Or,

_d’après

le numéro

_précédent

on

_peut

écrire

successivement ’

Explicitement,

Q

ayant

pour

composantes

1(,.

et s>,

Par

_conséquent,

On voit _que l’onde

_comporte

une

pro-Y

portion fl

de l’onde

5,..

Et inversement. On

_peut

donc

_{dire qu’après}

un _parcours

dx,

une

_proportion

donnée

d00FF,

de chacune des deux ondes est

_réfléchi.

?

dj

Le

_rapport?

=

l

va d onc définir au

_{point x}

.

2 ,

le coefficient de

réflexion,

le coefflcient de

trans-mission

_{correspondant}

est bien

_{1 - dp,}

ainsi

_qu’en.

témoignent

les

_{équations (35).}

On

_rappelle

_que dans ces relations R et S sont

comptés

en

_grandeur.

En effet le courant résultant

est

donné,

d’après ~16),

par

puisqu’on

a

_adopté

_{pour la matrice}

_C,

la

_première

forme

_indiquée

en

_(17).

°

Si l’on suit l’onde

Rx

le coefficient de réflexion

‘00FF

produit

l’onde c’est-à-dire _que dS

"

sera du

_signe

de

S,z

si

_fi

> o,

.1: >

o

puisque

R.2>>

o

est orienté à l’inverse (le o. On est donc amené à

_prendre

comme coefficient de

réflexion.,

en

_grandeur

et en

_{signe :}

L’onde

_produit

l’onde - or si l’on

2~ ~,

mesure la variation

_{d ~}

en orientant les x comme

l’onde

_S,

_{di = -}

_d’,

donc l’onde réfléchie y,

est dR,l

= d

le coefficient de réflexion est

91

d onc bien .

suivant

_{qu’il s’applique}

à l’une ou à l’autre des deux ondes R.,: et

S,~ .

Supposons

maintenant que la

ligne présente

une

discontinuité ail

_{point x}

=

x,. On observe que

sen 1l’ 1 fi IIE’l’(IfLUE’ illodifie

les

_{ccluatiors, puisqu’elle}

intervient seule dans la matrice

_{~Yl (*}

_;3).

Procédons due

_façon

élémentaire.

_Supposons

une

variation de _{r, continue,} mais très

_grande,

dans

Fig. I.

l’intervalle x,

à et _S,,. varient de

_façon

,

x

analogue.

La dérivée

_‘

est aussi _{voisine que l’on}

dx ’

veut de la variation

figurée

par la courbe 2

et E sont des infiniment

_petits

_par

_{rapport à x2}

-

Xl-Dans l’intervalle considéré

donc,

en

_intégrant

et en observant que la variation

de

dR.2

est

_comparable

à

celle de

2013)

d.r * _d.,e

l’intégrale

est aussi _{voisine que} l’on veut de l’aire du

_trapèze

3 dont les ordonnées sont

_multipliées

l l dj

>,

1

C t ,

par la val eur

constante

= ‘’ ‘’ . Cette aire a

dx

pour valeur

176

on a

On en déduit facilement

et une relation

_analogue

_pour

_S2.

on a desrela-tions

_analogues

aux relations

_(35).

Le coefficient de réflexion est

donc,

pour les ondes R,

et le coefficient de transmission

_{correspondant}

est

pour les ondes on a

2’

_{= - o} et le coefficient de

transmission est

’

On démontre ainsi dans toute sa

_{généralité}

un résultat

classique.

,

Appendice. -

I. Nous

_rappelons

_que

_chaque

ligne

de la

matrice

de transformation C

_représente

les

_composantes

_{cl’un vecteur propre}

_{correspondant}

à l’une des valeurs propres y ou _2013y. Si a et b sont

les

_composantes

du vecteur propre

correspondant

à y, on a

. d’où en

rappelant

t

- -= ,

Y

En géométrie

en

rappelant

- == 1 ’," =

V

. En

géométrie

unitaire la norme de ce vecteur est

à ~exp. ~~ arbitraire

près.

En

_géométrie

euclidienne

la

_longueur

de ce vecteur est

T

Pour le second vecteur il suffit de

_changer

y

en _{2013 y. On aboutit} aux matrices C’

(§ 3), qui

sont

valables aussi bien en

_régime

entretenu

qu’en

régime

instaniané;

ceci est

_important.

I I. En effectuant les

_opérations

élémentaires

contenues dans la série

_(28),

on a

_(~)

Dans ces formules on a

_posé

On a l’indice _{y étant}

adopté

0

’

pour bien

séparer

les

_{intégrations}

successives. Enfin le facteur K a _{pour valeur}

on voit que

i

- - K et un calcul _que nous ne

reproduirons

pas, car il est

_{élémentaire,}

conduit à

Comme o

= 1

log

₊

const,

on a

Les

_premiers

termes des coefficients de la

matrice

T

prennent

donc la forme

Les termes

_qui

ne

_{sont pas}

écrits sont des

fonc-tions

_qui

_dépendent

de la loi de

_répartition

des

valeurs

de r

et _~’. Cette méthode

_permet

donc de

distinguer

dans T des termes ne

_dépendant

_que

c

et _{, ",}

= J· n

y

dx,

qui

sont écrits en

₍₂₎

et

.

0

des termes

_dépendant

de la

_répartition

des valeurs

de ~ et y. Si l’on considère une famille de câbles dont les

_{inxpédances jo}

_{et ~/,}

seraient les _mêmes, les lois

_statistiques

de distribution

_{de §}

_{et ~’} le

_long

de la

_longueur

L influent sur les termes

complé-mentaires de

_(2).

’

En

_{particulier si}

_do

= o, c’est-li-dire si x =

_~o

= _yL,

les

_équations

de

_propagation

sur une

_ligne

_{hétérogène}

telle _que

_{l’impédance}

itérative sont constante en tout

point

et telle _que

seule la

constante de

_propagation

y soif

variable,

sont celles d’une

ligne uniforme

où

l’on

_prendrait

_{pour constante} de

_propagcction

la valeur

moyenne à

~,~"t.

En effectuant les

_{simplifications qui}

résultent des

hypothèses

suivantes : _Y =

const, ~

varie peu autour

d’une valeur moyenne Z,,,, on écrit

ou _encore,

si

Dans ce cas, en

_négligeant

les termes du second ordre en

z- 1 11,

, on a

On aboutit alors à une forme de relation

_{(1) analogue}

à celles obtenues _{par M.} J. Ville

_(loc.

cif.,

p. 22~ de son

_Mémoire),

cet auteur utilisant une voie dont le sens

_physique

est moins direct.

III. Nous terminerons cette étude destinée à

élucider divers

_{points théoriques}

de la

_propagation

sur une

_{ligne hétérogène,}

_en

_explicitant

les

_équations

relatives au

_phénomène

de réflexion et de réfraction. Au nO Y de l’étude

_précédente

nous avons mis en

évidence, à l’aide des relations

_(35),

la notion de

coefficient de réflexion. Si l’on a affaire à un

_régime

entretenu de

_{pulsation ,j,}

on

_remplacera

_p

_{par j}

IJ)

dans les

_{expressions de y}

_{et r}

intervenant dans le

paragraphe

V et les conclusions de notre étude

s’appliquent intégralement.

Explicitons

les

_{équations auxquelles}

satisfont les

_{signaux il et i2}

_{correspondant}

aux

_images

R,.

et S, dans

_{l’hypothèse}

où

_{pour 1}

o on a

_{sûrement il}

et i2

nuls

_quel

que soit x.

Si l’on _passe aux

_images

des

_{équations (34),}

on a

et une relation

_analogue

_{pour z~.} On a

_posé

(le signe D

signifie,

G (t)

est

_l’original

de

_y(p)

ou

est la transformée de

_Laplace

de la fonction

_G(t).

Dans le cas

_simple

où la

_ligne

_{n’a pas} de

_pertes,

r=g=o, on a

’

=

/ -?

donc

d, %

ne

_dépend

_{pas cle p. On} a alors

oans ce cas,

pR

ayant

pour

1

dans ce cas,

pR

ayant

pour

_o-1

*

On en déduit

mettant en évidence comme en

_régime

entretenu

d

le coefficient de réflexion

- ’

On a _pour

_{i2 une}

relation

analogue.

’

On _{voit que la}

_propagation

d’un

_{signal ily)}

ou

i2(t)

fonction

quelconque

du

temps t,

en un

point x

=

xi

donné,

est dans le cas

_général

d’une

ligne

avec

_pertes

_{[relation (1)}

_ci-dessus]

décrite

par une

_{équation intégro-difîérentielle.}

Il

_dépasse

du cadre fixé à cette étude de

_développer

cet

_aspect