Physiks & Chimie

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Physique et Chimie D.S. n°1 – Correction

Exercice n°1 : L’échographe : comment ça « marche » ? d’après bac Métropole 09/2009 (20 points) 1. Les ondes ultrasonores

1.1. Une onde mécanique est le phénomène de propagation d’une perturbation dans un milieu matériel élastique, sans transport de matière, mais avec déplacement d’énergie (1,5).

1.2. Une onde est qualifiée de « longitudinale » lorsque la direction de la perturbation est parallèle à la direction de propagation de l’onde (1).

1.3. L’oreille humaine est sensible aux fréquences sonores comprises entre 20 Hz et 20.000 Hz. Les ondes dont il est question dans le texte d’introduction sont de fréquences supérieures à 20 kHz (2 à 15 MHz) : elles ne sont pas audibles (1).

2. Vitesse de propagation et milieu de propagation

t =0 s

Figure 7 u (V)

0 0100 200 300 400 500 600 700 800 900 t (µs)

u (V) Signal reçu par le récepteur

dans l'eau Figure 7

Figure 8 Courbe obtenue dans l'air u (V)

00 100 200 300 400 500 600 700 800 900 t (µs)

Signal reçu par le récepteur dans l'air Figure 8

2.1. La propagation des ultrasons est plus rapide dans l’eau que dans l’air. En effet la durée t entre l’émission et la réception dans l’eau est plus courte que dans l’air. Par conséquent, puisque v = l

t, pour une même distance ℓ parcourue et parce que teau < tair, il vient nécessairement veau > vair (1).

2.2. Par définition veau = ℓ

t. La durée t entre l’émission et la réception peut se déterminer, dans l’eau, grâce à la figure 7.

Le début de la réception du signal ultrasonore correspond à 140 s. N.B. : La précision de la mesure implique que le zéro n’est pas significatif. Il est donc souligné ici. On écrira de préférence le résultats sous la forme : 1,4.10² s.

Note du rédacteur : À la première lecture, j’ai estimé la valeur à 150 s. C’est la question 3.3.2. qui m’a incité à revoir cette valeur. Une valeur de 150 s n’est donc pas absurde !

A.N. : veau = 20,0.10^–2

1,4.10^–4 = 1,4.10³ m.s^–1. (d’après la remarque précédente, 2 C.S. semble acceptable).

La célérité des ultrasons dans l’eau est donc de 1,4.10³ m.s^–1 (1,5).

3. Comprendre le principe de l’échographie - Modélisation 3.1.

3.1.1. On compte 7,0 divisions entre l’instant t = 0 et l’instant tR ainsi : tR = 7,020 = 140 s = 1,4.10² s (1).

3.1.2. Entre l’émission et la réception des ultrasons, il s’est écoulé une durée tR – 0. L’onde a parcouru une distance L = 2.D pendant cette durée (1 aller – retour). Par conséquent : tR = L

v  tR = 2.D

v (0,5 pour explication).

3.2.

3.2.1. On remarque que t’R < tR. Par conséquent la vitesse des ultrasons dans le plexiglas^® est plus élevée que dans l’eau, puisque pour une même distance totale parcourue, la durée du parcours est plus courte en présence de plexiglas^® (1 pour explication).

3.2.2. On appelle v’ la vitesse de propagation des ultrasons dans le Plexiglas^®.

a. La longueur L du trajet dans l’eau uniquement correspond à la distance parcourue entre

l’émetteur et la l’objet réflecteur puis de l’objet réflecteur au récepteur situé dans la sonde, soit 2.D à laquelle on doit retrancher la distance parcourue dans le plexiglas

^®

, soit 2.e (e à l’aller + e au retour). Ainsi L = 2.D – 2.e = 2.(D – e) (1).

140 s

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Page 2 sur 2 b. La durée t’R du trajet de l’onde entre l’émetteur et le récepteur est égale à la durée de propagation dans

l’eau uniquement teau et dans le plexiglas uniquement tplexi : t’R = teau + tplexi = 2.(D – e) v + 2.e

v’ (2).

3.2.3. La distance parcourue par l’onde est égale à 2.d lors d’une réflexion en A : tA = 2.d v (1).

3.2.4. Lors d’une réflexion en B, l’onde a parcourue une distance 2.d dans l’eau et 2.e dans le plexiglas. La date correspondant à la réception est donc : tB = teau + tplexi = .d

v + .e v’ (2).

3.3. Exploitation des résultats

À partir des expressions de tR et t’R on montre que ^' ² ²

R R '

e e

t t

v v

   (relation 1)

Vérifions cette expression : tR = .D

v , et t’R = .D – e

v + .e

v’, ainsi tR – t’R = .D v – .D

v + .e v – .e

v’ = .e v – .e

v’ : vérifié ! À partir des expressions de tA et tB on montre que t_B t_A ^e

  2v

' (relation 2) Vérifions cette expression : tB = .d

v + .e

v’, et tA = .d

v , ainsi tB – tA = .d v + .e

v’ - .d v = .e

v’ : vérifié ! 3.3.1. Il faut éliminer le terme v’ entre les deux expressions. De la relation 2 : v’ = .e

tB – tA

Remplaçons v’ par cette expression dans la relation 1 : tR – t’R = e

v – e

e.(tB – tA).

Par conséquent e

v = tR – t’R + tB – tA et donc e = v

.(tR – t’R + tB – tA). (1 explication).

3.3.2. Effectuons l’application numérique : e= 1,4310³

2 .(1,410^–4 – 1,210^–4 + 7,210^–5 – 6,210^–5) = 2,110^–2 m soit 2,1 cm.

En toute rigueur, le nombre de C.S. ne devrait être que de 1 : 1,410^–4 – 1,210^–4 = 0,210^–4 s.

7,210^–5 – 6,210^–5 = 1,010^–5 s soit 0,1010^–4 s et 0,210^–4 + 0,10.10^–4 = 0,3.10^–4 (1décimal).

Par conséquent l’épaisseur e de la plaque de plexiglas est de 2 cm. (2,1 cm est néanmoins accepté) (1).

3.3.3. Nous avons (Q. 3.3.1.) v’ = 2.e tB – tA

soit v’ = 2210^–2

1,0.10^–5 = 4.10³ m.s^–1.

La vitesse des ultrasons dans le plexiglas est de 4.10³ m.s^–1. Cette vitesse est supérieure à celle dans l’eau (1,43.10³ m.s^–1) : le résultat est cohérent (1,5).

3.4. Principe de l’échographie

3.4.1. t’R diminue lorsque la sonde descend. En effet l’épaisseur de plexiglas augmente. La célérité des ultrasons étant plus grande dans le plexiglas, la durée du parcours est plus faible pour une distance totale constante (1).

3.4.2. tB – tA correspond à la durée du parcours dans le plexiglas. Puisque la distance à parcourir augmente, pour une célérité dans le plexiglas fixée, la durée du parcours tB – tA augmente ! (1)