LYCEE SAID BOU BAKKER MOKNINE PROF: HANNACHI SALAH

(1)

EXERCICE N1:

Le plan étant orienté dans le sens direct. On donne trois vecteurs non nuls 𝑢⃗ , 𝑣 et 𝑤⃗⃗ tels que : (u⃗ , v⃗ ̂ )≡^3𝜋₅[2𝜋] et (−u⃗ , ŵ )≡⃗⃗⃗ ^2𝜋₃ [2𝜋]

Déterminer la mesure principale de chacun des angles orientés suivants : (𝑤⃗⃗ ,𝑢⃗ ) et (𝑣 ,𝑤⃗⃗ )

EXERCICE N2 :

Le plan étant orienté dans le sens direct. On donne Le triangle ABC rectangle en B, le point D de la droite (BC) tel que (AD⃗⃗⃗⃗⃗ , A⃗⃗ ̂ B)≡^𝜋₃[2𝜋] et le point E tel que le triangle AEC est rectangle et isocèle en A.

1) Vérifier que le réel −^13π₂ est une mesure de l’angle orienté (BD⃗⃗⃗⃗⃗ , BÂ ).⃗⃗⃗⃗⃗

2) Déterminer la mesure principale de chacun des angles orientés suivants : (DA⃗⃗⃗⃗⃗ , BD̂ ) ; (EA⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , AB̂ ) et (D⃗⃗ A,EA⃗⃗⃗⃗⃗ ̂ ) ⃗⃗⃗⃗⃗

EXERCICE N3 :

Le plan P étant orienté dans le sens direct. On donne un triangle ABC tel que : AB=4cm, (AB⃗⃗⃗⃗⃗ , AĈ )≡⃗⃗⃗⃗⃗ ^𝜋₂[2𝜋] et (BC⃗⃗⃗⃗⃗ , BÂ )≡⃗⃗⃗⃗⃗ ^25𝜋₄ [2𝜋].

1) Déterminer la mesure principale de l’angle orienté (BC⃗⃗⃗⃗⃗ , BA⃗⃗⃗⃗⃗ ). En déduire la nature du triangle ABC.

2) Soit M et N deux points distincts du plan P tels que :

AM=AN=3cm , (AB⃗⃗⃗⃗⃗ , AM̂ )≡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ^−𝜋₄ [2𝜋] et (AC⃗⃗⃗⃗⃗ , AN̂ )≡⃗⃗⃗⃗⃗ ^𝜋₄[2𝜋]

a) Déterminer une mesure de l’angle orienté (AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , AN⃗⃗⃗⃗⃗ ). En déduire que A est le milieu de [MN].

b) Déterminer une mesure de l’angle orienté (MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , BC⃗⃗⃗⃗⃗ ). En déduire que (MN)∥(BC).

EXERCICE N4 :

Soit un carré ABCD tel que (AB⃗⃗⃗⃗⃗ , AD̂ )≡⃗⃗⃗⃗⃗ ^𝜋₂[2𝜋] (Faire un schéma). Construire à l’intérieur du carré un triangle équilatéral ABF et à l’extérieur du carré un triangle équilatéral BCE.

1) Montrer que (BE⃗⃗⃗⃗⃗ , BF̂ )≡⃗⃗⃗⃗ ^𝜋₂[2𝜋].

2) Montrer que (BE⃗⃗⃗⃗⃗ , EF̂ )≡⃗⃗⃗⃗ ^3𝜋₄[2𝜋].

3) Montrer que (EC⃗⃗⃗⃗ , ED̂ )≡⃗⃗⃗⃗⃗ ₁₂^𝜋[2𝜋]. En déduire que E, F et D sont alignés.

4) Déterminer (EC⃗⃗⃗⃗ , AB̂ ). En déduire que les droites (EC) et (AF) sont perpendiculaires. ⃗⃗⃗⃗⃗

EXERCICE N5:

Dans le plan orienté dans le sens direct on donne deux cercles 𝒞 et 𝒞′ de centres respectifs O et O’ et sécants en I et J.

Soit A un point de 𝒞 et A’ un point de 𝒞′ tels que : (OI⃗⃗⃗⃗ , OÂ ) ≡ 𝛼[2𝜋] et (O′I⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , O′Â⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ′) ≡ 𝛼[2𝜋] ; 𝛼 ∈IR 1) Montrer que (JA⃗⃗⃗ , JI⃗⃗ ̂) ≡^−𝛼₂ [𝜋]

2) a) Montrer que (JA⃗⃗⃗ , JA′̂⃗⃗⃗⃗⃗ ) ≡ 0[𝜋].

b) En déduire que les points J, A et A’ sont alignés.

LYCEE SAID BOU BAKKER MOKNINE PROF: HANNACHI SALAH

« 𝟑^𝐄𝐌𝐄MATHS »

2013/2014

SERIE D’EXERCICES

ANGLES ORIENTES

(2)

EXERCICE N6:

Dans un plan orienté dans le sens direct, on donne un cercle 𝒞 de centre O.

[AB] est une corde de 𝒞 et [CD] est un diamètre de 𝒞 perpendiculaire à (AB).

On désigne par I le point d’intersection de [AB] et [CD]. Soit E un point de [AB]

distinct de A, B et I. La droite (CE) recoupe 𝒞 en F.

1) Montrer que (IE⃗⃗⃗ , ID̂ ) ≡ (FE⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , FD̂ ) [𝜋] ⃗⃗⃗⃗⃗

2) Montrer que (OC⃗⃗⃗⃗⃗ , OF̂ ) ≡ 2(EI⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ , EF̂ ) [2𝜋] ⃗⃗⃗⃗

EXERCICE N7:

Le plan étant orienté dans le sens direct.

On considère deux cercles 𝒞 et 𝒞′ de centres respectifs O et O’

et sécants en A et B. La tangente à 𝒞 en A coupe 𝒞′ en G.

Soit le point E de 𝒞 tel que : (AE⃗⃗⃗⃗⃗ , AĜ ) ≡⃗⃗⃗⃗⃗ ^𝜋₃ [2𝜋].

La parallèle à (AE) menée de G recoupe 𝒞′ en F. On se propose de montrer que les points E, B et F sont alignés.

1) Montrer que (BE⃗⃗⃗⃗⃗ , BÂ ) ≡⃗⃗⃗⃗⃗ ^𝜋₃ [𝜋] et que (BA⃗⃗⃗⃗⃗ , BF̂ ) ≡⃗⃗⃗⃗ ^−𝜋₃ [𝜋]

2) En déduire que les points E, B et F sont alignés.

EXERCICE N8:

Soit (Γ) un demi-cercle de diamètre [AB] du plan orienté dans le sens direct. On pose O le milieu de [AB]. Soit C et D deux points de (Γ) tels que (OC⃗⃗⃗⃗⃗ , OD̂ ) ≡⃗⃗⃗⃗⃗ ^𝜋₄ [2𝜋].

Les droites (AC) et (BD) se coupent en N et les droites (BC) et (AD) se coupent en M. Soit I le milieu de [MN].

1) a) Montrer que (DA⃗⃗⃗⃗⃗ , CB̂ ) ≡⃗⃗⃗⃗⃗ ^3𝜋₈ [𝜋].

b) En déduire que 2(MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , MB̂ ) ≡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ^3𝜋₄ [2𝜋]

2) a) Montrer que (NC⃗⃗⃗⃗⃗ , ND̂ ) ≡ (MC⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , MD̂ ) [𝜋] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

b) En déduire que 2(NA⃗⃗⃗⃗⃗ , NB̂ ) ≡⃗⃗⃗⃗⃗ ^−3𝜋₄ [2𝜋].

3) Montrer que la droite (IC) est tangente à (Γ).

EXERCICE N9:

Le plan étant orienté dans le sens direct.

Soit ABC un triangle inscrit dans un cercle 𝒞 de centre O.

La bissectrice intérieure du secteur [CA,CB] coupe [AB] en D et le cercle 𝒞 en M.

1) Montrer que (CA⃗⃗⃗⃗⃗ , CM̂ ) ≡ (AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , AD̂ ) [2𝜋] ⃗⃗⃗⃗⃗

2) Soit ∆ la tangente à 𝒞 en M. T étant un point de ∆ contenu dans le demi-plan de frontière (MC) et contenant le point A.

Montrer que ∆ et (AB) sont parallèles.

3) Une droite ∆′ passant par M distincte de (MC) et de (MB)

coupe [DB] en F et recoupe 𝒞 en E.

a) Vérifier que (CA⃗⃗⃗⃗⃗ , CD̂ ) ≡ (AM⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , DF̂ ) [2𝜋]. ⃗⃗⃗⃗⃗

b) En déduire que (AC⃗⃗⃗⃗⃗ , AM̂ ) ≡ (DC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , DF̂ ) [2𝜋]. ⃗⃗⃗⃗⃗

c) Montrer alors que C, D, F et E appartiennent à un même cercle.

(3)

EXERCICE N10:

On considère dans un plan orienté un triangle ABC rectangle en A tel que (BC⃗⃗⃗⃗⃗ , BÂ ) ≡⃗⃗⃗⃗⃗ ^𝜋₃[2𝜋] et ∆ la tangente en A au cercle circonscrit 𝒞 au triangle ABC. La parallèle à (AB) menée de C coupe ∆ en T.

1) Déterminer la mesure principale de chacun des angles orientés (CA⃗⃗⃗⃗⃗ , CB⃗⃗⃗⃗⃗ ), (AC⃗⃗⃗⃗⃗ , AT⃗⃗⃗⃗⃗ ), (AB⃗⃗⃗⃗⃗ , AT⃗⃗⃗⃗⃗ ), (CA⃗⃗⃗⃗⃗ , CT⃗⃗⃗⃗⃗ )

2) Soit I le milieu du segment [AT].

a) Montrer que le triangle AIC est équilatéral.

b) Montrer que la droite (IC) est tangente en C au cercle 𝒞.

3) Soit D un point du segment [AB] distinct de A et B. La parallèle à ∆ menée de D coupe [AC] en E.

a) Montrer que (DB⃗⃗⃗⃗⃗ , DÊ ) ≡⃗⃗⃗⃗⃗ ^5𝜋₆ [2𝜋]

b) Tracer le cercle 𝒞’ circonscrit au triangle BCE.

c) Soit 𝐸₁ l’ensemble des points M du plan tels que (MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , MÊ ) ≡ −⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ^𝜋₆[2𝜋]

Montrer que C∈ 𝐸₁. Déterminer alors l’ensemble 𝐸₁

d) Déterminer l’ensemble 𝐸₂ des points M du plan tels que (MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , MÊ ) ≡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ^5𝜋₆ [2𝜋]

e) Vérifier que le point D appartient au cercle

(4)

(5)