ici un corrigé complet

Questions pour un champion en ligne Corrigé du problème 1.

1. Etude de deux exemples (n = 2 et 3).

Cas n = 2 :

1. Pour tout entier k ≥ 1 :

[ ]

₁

2 1 = 1₋

= k

Xk

P et en conséquence :

[ ]

₁

2 1 1

2 = − ₋

= k

Xk

P .

L’espérance mathématique de Xk est : E

( )

Xk _{k k k}

2 2 1 2

1 1 2 2

1

1

1 = −



 



 − +

= _{− −}

Pour tout entier k :

(

1

)

1

( )

_{2 1}

2 1 2 1 2 1 1

1 1= − −

− = × = = × =

= ₋

k k k

X k

k P X P X

p k

Cas n = 3 :

2. Une fois facilement établie la loi de X2, à savoir :

3 ] 2 2 [ 3 ; ] 1 1

[X₂ = = P X₂ = =

P , on peut construire la

loi de X3 : [ ] 9

1 3 1 3 ] 1 1 [ ]

1 [ ] 1

[ _{3 2 1 3}

2 = = × =

×

=

=

= P X P ₌ X

X

P _X

[ ] [ ] 9

6 3 2 3 1 3 2 3 ] 2 2 [ ]

1 [ ] 2 [ ]

2 [ ] 2

[ _{3 2 2 3 2 1 3}

2

2 = + = × = = × + × =

×

=

=

= P X P ₌ X P X P ₌ X

X

P _{X X}

[ ] 9

2 3 1 3 ] 2 3 [ ]

2 [ ] 3

[ _{3 2 2 3}

2 = = × =

×

=

=

= P X P ₌ X

X

P _X

Puis celle de X4 : [ ] 27

1 3 1 9 ] 1 1 [ ]

1 [ ] 1

[ _{4 3 1 4}

3 = = × =

×

=

=

= P X P ₌ X

X

P _X

[ ] [ ] 27

14 3 2 9 1 3 2 9 ] 6 2 [ ]

1 [ ] 2 [ ]

2 [ ] 2

[ _{4 3 2 4 3 1 4}

3

3 = + = × = = × + × =

×

=

=

= P X P ₌ X P X P ₌ X

X

P _{X X}

[ ]

[ ]

27 12 9 2 3 1 9 3 6 ]

3 [ ]

2 [ ] 3

[ _{4 3 2 4 3}

3 = + = = × + =

×

=

=

= P X P ₌ X P X

X

P _X .

Les espérances mathématiques de ces variables sont respectivement :

( )

3 5

2 = X

E puis

( )

9 19

3 = X

E puis

( )

27 65

4 = X

E .

Il apparaît par ailleurs que :

3

; 2 3 1

2

2 = q =

p .

[ ] [ ] 9

5 3 2 3 2 3 1 3 ] 1 2 [ ]

2 [ ] 1 [ ]

1

[ _{2 1 3 2 2 3}

3 =P X = ×P ₂₌ X = +P X = ×P ₂₌ X = = × + × =

p _{X X}

[ ] [ ] 27

19 9 2 3 2 9 6 3 1 9 ] 1 3 [ ] 2 [ ]

2 [ ] 1 [ ]

1

[ _{3 1 4 3 2 4 3}

4 =P X = ×P ₃₌ X = +P X = ×P ₃₌ X = +P X = = × + × + =

p _{X X}

Les probabilités qi s’en déduisent.

3. Etude du cas général.

1. P

(

X1=¹

)

=¹ et compte tenu de la relation :

( ) ( )

_{[ ]}

( ) ( )

X n P X

P X

P X

P _{k k X k k}

k

1 1 1

1

1 _{1 1 1}

1 = = = ×

×

=

=

= _{− −= −} ,

( )

X n

P 1

2 =1 = et plus généralement par une récurrence évidente, pour tout entier k ≥ 1 :

(

k ⁼¹

)

^{= 1}_k−1

X n

P .

2. En conséquence de

( )

X n

P 1

2 =1 = :

( )

n X n

P 1

2 2

= −

= et compte tenu de la relation, légitime pour n

k≤

≤

2 :

( ) ( )

_{[ ]}

( ) ( )

n k k n

X P k X P

k X P k X

P _{k k Xk k k k} 1

1

1 _{1 1}

1 1

+

× −

−

=

=

=

×

−

=

=

= _{− = − −}

− , par une récurrence

évidente :

( ) ( ) ( )

1

1 ...

1

−

+

−

×

×

= −

= _k

k n

k n k n

X

P pour 2≤k≤n

3. Lorsque 1< j<k≤n, l’évènement «

[

^Xk = ^j

]

» est la réunion disjointe :

[ ] [ ]

(

X_k = j ∩ X_k−1= j

)

∪

( [

X_k = j

] [

∩ X_k−1= j−¹

] )

, ce qui permet l’expression de sa probabilité :

(

^{X j}

) (

^{P X j}

)

^P[ ]

(

^{X j}

) (

^{P X j}

)

^P[ ]

(

^{X j}

)

P _{k k X j k k X j k}

k

k = + = − × =

×

=

=

= ₋1 _{−1= −}1 1 _{−1= −}1

D’où la relation :

( ) ( ) ( )

n j j n

X n P j j X P j X

P _{k k k} 1

1 1

1

+

× −

−

= +

×

=

=

= _{− −} (R1)

3. X3 prend les valeurs 1, 2 et 3 avec respectivement les probabilités :

( ) ( )( )

2 2

2

2

; 1 1

; 3 1

n n n n

n n

−

−

−

X4 prend les valeurs 1, 2, 3 et 4 avec les probabilités :

( ) ( )( ) ( )( )( )

3 3

3 3

3 2

; 1 2 1

; 6 1

; 7 1

n n n n n

n n n

n n

−

−

−

−

−

−

4. L’évènement « tirer une boule noire à l’instant k » est la réunion disjointe des évènements :

[ ] [ ]

(

^Xk₋1= ^j ∩ ^Xk = ^j

)

pour j=1,...,k −1.

La probabilité pk s’exprime par :

∑

⁻

( )

= − = ×

= ¹

1 1 k

j k

k n

j j X P

p .

Successivement :

( ) ( )( )

3 2 2

2 4 2

3 2 2

1

1 3 3 3 2 1 2

1 3 1

; 1 1 2 2 1 1

; 1

; 1

0 n

n n n n

n n n n

n n n

n p n n n n n p n

p n

p = = = × + − × = − = × + − × + − − × = − +

Et :

( ) ( )( ) ( )( )( )

4 2 3 3

3 3

5 3

1 4 6 4 4 3 2 1 4 3 2 1 6 2 1 7 1 1

n n n n n n

n n n n n

n n n n

n n n

p = × + − × + − − × + − − − × = − + −

On remarque que, lorsque n=3, on retrouve les valeurs

27

; 19 9 5

4

3= p =

p . On remarque également que les

numérateurs sont les développements de

(

ⁿ⁻¹

)

^k−1 privés du terme n^k−1 En conséquence, pour 1≤k≤5, on obtient facilement :

( )

1

1 1

1 ₋

− −

=

−

= _{k k} ^k

k n

p n q

Supposons plus généralement que, à un certain rang k, il soit vérifié que :

( ) ( )

1 1 1

1

1

1

−

−

−

= − = × − = −

=

∑

^k _k ^k

j

k

k n

n n

j j n

X P q

Au rang suivant :

( ) ( ( ) ) ( ) ( )

n k n n

k n n

n j j n

X n P

n n n

j j n

X P

q k

k

j k k

k

j k k

× − +

−

×

× + −











 = × −

− +

×

− =

×

=

= ⁻ ₋

− =

+

∑

=

∑

¹ ₁

1 2 1

1

1 ...

1 1

1

Si on applique la relation de récurrence (R1) à chaque terme de la somme intermédiaire :

( ) ∑ ( ) ( )

∑

⁻

= − −

−

=

× −



 



 = × + = − × − +

− =

×

= ¹

2

1 1

1

2

1 1

k

j

k k

k

j

k n

j n n

j j n

X n P j j X n P

j j n

X P

Par séparation en deux sommes : et un changement d’indice :

( ) ∑ ( ) ( ) ∑ ( ) ( )( )

∑

⁻

= −

−

= −

−

=



 



 = − × − + −

+



 



 = × −

− =

×

= ¹

2 1 2

1

2 1 2

1

2

1 1

k

j

k k

j

k k

j

k n

j n j j n

X P n

j n j j X n P

j j n

X

P .

Par changement d’indice sur la deuxième somme :

( ) ( )( ) ∑ ( ) ( )( )

∑

⁻

= −

−

= − 



 



 = × − − −

=



 



 = − × − + − ²

1 1 2

1

2 1 2

1 1 1

k

j

k k

j

k n

j n j j n

X P n

j n j j n

X P

Les deux sommes ont maintenant une indexation commune, à part le premier terme de l’une et le dernier terme de l’autre :

( ) ∑ ( ) ( ) ∑ ( ) ( )( )

∑

⁻

= −

−

= −

−

=



 



 = − × − + −

+



 



 = × −

− =

×

= ¹

2 1 2

1

2 1 2

1

2

1 1

k

j

k k

j

k k

j

k n

j n j j n

X P n

j n j j X n P

j j n

X

P .

Les termes présents dans l’indexation commune ont pour somme

∑

⁻

( ) ( )

= − 



 



 = × −

− ²

2 1

1^k

j

k n

j j n X n P

n

Le premier terme de la deuxième somme est :

( )( )

1 2

2

2 1 2 1 1

−

−

× −

= −

−

× − _k

k n

n n n n

n n n

Le dernier terme de la première somme est :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

n k n

k n n

n k n k n

k n n

k k

1 1 ...

1 1

1 2 ...

1

1 2

2

× − +

−

×

×

= − +

−

× − +

−

×

×

−

−

−

Or :

( ) ( )

^



 



 = × −

− ×

=

×



 



 −

− =

− ×

− +

× _{− − −}

− n

X n n P

n n n

n n

n n n n n

n^{k k k k}

1 1 1

1 1 2

1 1 1

2 1 2 1

1

Et :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n n n k n n

k n n

n k n

k n n

n k n n

k n n

k k

k

1 1 2

...

1 1 1 ...

1 1

...

1

2 1

1

× − +

× − +

−

×

×

= −

× − +

−

×

× + −

× − +

−

×

×

−

−

−

− . Ce qui est

égal à :

( ) ( )

_



 



 = − × − −

− ×

− n

k k n

X n P

n

k

1 1 1

1

On a ainsi « récupéré » au passage les premier et dernier terme de

( )

_^











∑

⁻ = × −

= −

1

1

1 k

j

k n

j j n

X P

Finalement,

( ) ( ) ( )

k k k

k k

k

j k

k n

n n

n n q n n n n

j j n

X n P

q n 1 1 1 1 1

1 1 1

1

1 1

= −

× −

= −

= −











 = × −

= − ⁻ ₋ ⁻

= −

+

∑

^.

La relation

( )

1

1 1

−

− −

= _k ^k

k n

q n est vérifiée pour tous les rangs k tels que 1≤k≤n et en conséquence, pour ces

mêmes rangs :

( )

1

1 1

1 ₋

− −

−

= _k ^k

k n

p n

5. En ce qui concerne l’espérance :

( )

n

n n n X n

E 1 2 1

1 2

2

= −

× − +

= ;

( ) ( ) ( )( )

2 2 2

2 3 2

1 3 3 2 3 1

1 2 3

1

n n n n

n n n

n n

X

E = + × − + × − − = − +

( )

4 ^{3 2}₃

1 4 6 4

n n n X n

E = − + − . Là, on remarque que les numérateurs sont les développements de

(

^{n 1−}

)

^k

privés du terme n ^k

La relation :

( ) ( )

1

1

−

− −

= _k ^k

k n

n n X

E est vérifiée dans chacun des cas. Au passage, on peut remarquer que pour

=3

n on retrouve les résultats de la partie « Exemples ».

Supposons cette relation vérifiée au rang k−1. C'est-à-dire que :

( ) ( )

2 1 1

1

−

−

− = − −_k ^k

k n

n n X

E

Alors au rang suivant :

( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( )

1 1

2 1 1

1 ...

1 1

−

−

− =

=

+

−

×

×

× −

 +











 × =

+

=

=

×

=

∑ ∑

^k _k

j k k k

j

k

k n

k n k n

j X P j n

j X P j X

E

Si on applique la relation de récurrence (R1) à chaque terme de la somme intermédiaire :

( ) ∑ ( ) ( )

∑

⁻

= − −

−

=



 



 = × + = − × − +

×

=

=

× ¹

2

1 1

1

2

1 1

k

j

k k

k

j

k n

j j n

X n P j j X P j j

X P j

Par séparation en deux sommes et un changement d’indice :

( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ( )( )

∑

⁻

= −

−

= −

−

=



 



 = × − +

+











 = ×

=

=

× ²

1

1 1

2

2 1

1

2

k 1

j

k k

j

k k

j

k n

j j j n

X n P

j j X P j

X P j

Les deux sommes ont une indexation commune, à part le premier terme de l’une et le dernier terme de l’autre.

Les termes présents dans l’indexation commune ont pour somme

∑ ( ( ) ) ( ) ∑

⁻

( ( ) )

= −

−

= − = + − ² × =

2

1 2

2 1

1

1 ^k

j

k k

j

k j P X j

n j n X n P

Le premier terme de la deuxième somme est :

( )

1

1 2

−

− nk

n

Le dernier terme de la première somme est :

( ) ( ) ( )

n k n

k n n

k

2 2

1 2 ...

1× × − + × −

−

−

Or : ¹1 ²

( )

1^{1 1 1}×

( (

1=¹

) )



 



 + −

− =

+ _{− −}

− k k

k P X

n n n n

n n

Et :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n n n n k n

k n n

n k n

k n n

n k n k n

k k

k

1 1 2

...

1 1

2 ...

1 1 ...

1

2 2

2 1

× −

× − +

−

×

×

= −

× − +

−

×

× + − +

−

×

×

× − _{− − −} . Ce qui est égal

à :

( ( ) ) ( )

^



 



 + − −

×

−

− =

n k n k

X

P _k 1

1 1

1 1 .

Au final, on aboutit à la relation :

( ) ( ) ( ( ) ) (

1

)

1

1

1 1

1

1

1

1 1 ₋

−

= −

−

= × − = = = + −



 



 + −

=

∑ ∑

k

k

j

k k

j

k

k E X

n j n X P j

X n P

jn X

E

C'est-à-dire à la relation de récurrence :

( ) (

1

)

1+ −1 ₋

= _k

k E X

n X n

E

La relation conjecturée :

( ) ( ) ( )

1 2

1 1

1

1 1 _{− −}

− = − −









 − −

+ −

= _k ^k _k ^k

k n

n n n

n n n X n

E est bien héréditaire. Elle est donc

vérifiée pour tout entier k ≤ n.

4. Etude lorsque k > n.

Lorsquek>n, la variable aléatoire Xk prend uniquement les valeurs 1, 2, …, n.

Il n’y a pas lieu de modifier la formule de récurrence :

( ) ( ) ( )

n j j n

X n P j j X P j X

P _{k k k} 1

1 1

1

+

× −

−

= +

×

=

=

= _{− −} (R1) pour les entiers j qui sont strictement

inférieurs à n.

En revanche, on obtient lorsque j=n la relation :

( ) ( ) ( )

n n X P n X P n X

P _{k k k} 1

1 1

1= + = − ×

=

= _{− −}

L’expression de q_k devient

∑

⁻

( )

= − = × −

= ¹

1

1 n

j k

k n

j j n

X P

q puisque si X_n =n il n’y a plus de boule blanche dans l’urne.

Celle de q_k+1 est :

( ) ( ( ) )

_^









 = × −

− +

×

− =

×

=

=

∑ ∑

⁻

− = + =

1

2 1

1 1

1

1 ⁿ

j k k

n

j k

k n

j j n

X n P

n n n

j j n

X P q

On peut appliquer la même démarche que précédemment. Il n’y a pas lieu de changer le raisonnement et la

formule

( )

1

1 1

−

− −

= _k ^k

k n

q n reste toujours vérifiée.

Côté espérance, d’après ce qui précède on dispose de la formule explicite :

( ) ( )

1

1

−

− −

= _n ⁿ

n n

n n X E

Et pour k > n : ^E

(

^X

)

^{j P}

(

^{X j}

)

^{n P}

(

^Xk ⁿ

)

n

j

k

k = ⁻ × = + × ₋ =

= −

−

∑

1

1

1

1

1 tandis que :

( ) ( ) ( ( ) )

_^









 × =

+

=

=

×

=

∑ ∑

− =

=

n

j k k n

j

k

k j P X j

n j X P j X

E

1 2 1

1

En appliquant la relation de récurrence et en tenant compte de la modification à apporter au terme de rang n :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

^



 



 = + = −

+



 



 = × + = − × − +

×

=

=

× ⁻ _{− −}

= − −

=

∑

∑

^{1 1} 1 ¹ 1 ¹

1

2

1 1

2

n X nP n X P n n

j j n

X n P j j X P j j

X P

j _{k k}

n

j

k k

n

j

k

Par séparation en deux sommes et un changement d’indice :

( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ( )( )

∑

⁻

= −

−

= −

−

=



 



 = × − +

+











 = ×

=

=

× ²

1

1 1

2

2 1

1

2

n 1

j

k n

j

k n

j

k n

j j j n

X n P

j j X P j

X P j

Rien ne change par rapport au cas précédent jusqu’au terme d’indice n−2. Il reste juste à vérifier ce qu’il se passe pour le dernier terme de la première somme (au niveau de l’indice n−1) :

(

¹

) (

¹

) ( )

¹

(

¹

) ( ( ) )

¹

(

¹

) (

1 ¹

)

2 1

1 1

2

1  = −









 + −

+

=

=



 



 = + = −

− +

×

−

= _{− − − −}

− P X n

n n n

X P n n

X nP n X P n n

n n X

P _{k k k k k}

Au final, on aboutit encore à la relation :

( ) ∑ ( )

= × − =



 



 + −

= ⁿ

j

k

k P X j

n jn X

E

1

1

1 1 . C'est-à-dire encore à la

même relation de récurrence :

( ) (

1

)

1+ −1 ₋

= _k

k E X

n X n

E . L’expression de l’espérance est la même pour les valeurs de k > n.

En conclusion, il n’y a rien à modifier du tout.

5. Question pour un champion en ligne.

On peut exprimer l’espérance sous la forme :

( )

_^













 



 −

−

= ^k

k n n

X

E 1

1

1 plus pratique pour la recherche

d’équivalents. On exploite le fait que : _λ

λ

e 1 1 1

∞≈



 



 − ⁿ

n

Pour

500 2n

k= = :

( )









 −

≈











 



 



 −

−

= e

1 1 1 1

1

2 /

n n n

X E

n

k . Or : 1 0,393

1 =







 −

e à 10^-3 près.

L’internaute peut espérer avoir archivé 393 questionnaires.

Pour k=1000=n :

( )

^



 



 −

≈











 



 



 −

−

= e

1 1 1 1

1 n

n n X E

n

k . Or : 1 0,632

1 =



 



 −

e à 10^-3 près.

L’internaute peut espérer avoir archivé 632 questionnaires.

Pour k=1000=n :

( )

^



 



 −

≈















 



 −

−

= e

1 1 1 1

1 n

n n X E

n

k . Or : 1 0,632

1 =



 



 −

e à 10^-3 près.

L’internaute peut espérer avoir archivé 632 questionnaires.

Pour k=2000=n :

( )

^



 



 −

≈















 



 −

−

= ₂

e 1 1 1 1

1

2

n n n

X E

n

k . Or : 1 0,865

1 =



 



 − ₂

e à 10^-3 près.

L’internaute peut espérer avoir archivé 865 questionnaires.

Corrigé du problème 2.

1. Un exemple numérique

1.1. En appliquant la relation de récurrence (R1) :

( ) ( ) ( )

3 1 2 3

2 2

2 ₁

1= = = × + ₋ = ×

+ j j

j P X P X

X P

On a vu dans le problème que :

(

¹

)

₂

3 1 1₋

− = = _j Xj

P . Donc :

1 1

3 2 3

2

+ = j + _j−

j u

u

1.2. Si la suite

( )

vj est définie par : _j

j

j u

v

1

2

3 ⁻



 



= alors :

1 1

1 1

1 2

3 3

2 2

3 2

3 2

3

−

−

− +

+  × = +



 

 +



 



=



 



= ^j _j ^j _j ^j _{j j j}

j u u v

v

Ainsi :

1 1

2 3

+ − _j = _j−

j v

v

1.3. Par un effet de somme télescopique, en sommant ces égalités écrites de 1 à j on obtient :











 



 



−

=

−



 



−

×

=



 



=

∑

⁻ 

= −

j j

j

i i

vj

2 1 1 6 2 1 1

2 1 1 3 2

1 3

1 1 .

D’où :

1

3 2 2

1 1 6

−



 



×















 



−

= ^{j j}

uj

2. Par conséquent, pour tout entier k≥3 :

1 1 1

3 2 2 3

2 2

1 1 3 2

1

−

− = − −



 



×











 



 



−

=

×

= ^k _k

k k

k

k u

y

3. L’espérance mathématique de Y est :

( ) ∑ ∑ ∑

^∞

−

∞ −

−

∞ −

− −

−















 



×

−















 



×

=











 × −

=

3

1

3

1

3 1

1

3 2 1

3 2 3

2 2

k

k

k

k

k k

k

k k

k Y

E

On connaît la formule de sommation :

( ) _{( )}

₂

1

1

1 1

q q

k

k

k

= −

∑

^∞ ×

−

− utilisable lorsque q <1. Par conséquent :

( ) _{( )}

^q

q q

k

k

k 1 2

1 1

2 3

1 − −

= −

∑

^∞ ×

−

− . On obtient ici :

( )

2 11 3 1 2 3 1 1 2 1 3 1 4 3 1 2

1

2

2 =





















−

−



 



 −

−





















−

−



 



 −

= Y E

2. Un essai de généralisation.

De façon générale, l’expérience consistant à tirer k −1 fois consécutivement et avec remise une boule de l’urne peut être représentée en considérant l’espace probabilisé Ω constitué par tous les

(

k−¹

)

-uplets de l’ensemble

{

^{1; 2;...;n}

}

muni de l’équiprobabilité. Un élément e=

(

e1,e2,...,ek₋1

)

de Ω appartient à l’évènement «

[

X_k−1=n−¹

]

» si et seulement si l’application s :

{

^{k k}

}

^s

( ) {

^{i n n}

}

i∈1;2;...; −2; −1 a ∈ 1;2;...; −1; atteint une partie de

{

^1;2;...;n

}

de cardinal n−1. 1. Dans le cas particulier où k=n, l’application ⁱ∈

{

^1;2;...;n−^2;n−¹

} ( ) {

a^si ∈^{1;2;...; n}−^{1; n}

}

atteint une partie de

{

^1;2;...;n

}

de cardinal n−1 si et seulement si il s’agit d’une injection (on ne tire jamais deux fois la même boule). Il y a !n telles injections. Donc :

( [

1

] )

₁

1 ₋!

− = − = _n

n n

n n X P

La probabilité ^P

( [

^{Y =n}

] )

peut s’obtenir de deux façons :

Soit

( [ ] ) ( [ ] )

_{[ ]}

( [ ] ) ( [ ] )

n n X P n X P

n X P n Y

P _{n X n n n}

n

1 1

1 _{1 1}

1= − × ₁ = = = − ×

=

= _{− −= − −} soit par dénombrement , car

Y prend la valeur n si et seulement si ⁱ∈

{

^{1;2 ;...;n}−^1;n

} ( ) {

a^{s i} ∈^1;2;...;n−^1;n

}

définie par les n numéros tirés est une bijection de

{

^{1;2 ;...; n}

}

. On obtient :

( [ ] )

_n

n n n Y

P !

=

=

2. Si l’application s : ^i∈

{

^{1;2 ;...;k−2;k−1}

}

^as

( ) {

^{i ∈1;2;...;n−1;n}

}

atteint une partie de

{

^1;2;...;n

}

de cardinal n−1, c’est une surjection de

{

^1;2;...;k−^2;k −¹

}

sur cette partie. Or, il y a n parties différentes de cardinal n−1. Par conséquent :

( [ ] ) ( )

1 1

1 ,

1 1₋

− = − = × −_k −

k n

n k n S n

X P

3.

( [ ] ) ( [ ] )

_{[ ]}

( [ ] ) ( [ ] ) ( )

1 1 1

1

1 , 1 1 1

1 1= − − −

− = − × = = = − × = − −

=

= k X ₋ n k k _k

n n k S n n

X P n X P

n X P k Y

P k

4.

( ) ∑

^∞

( )

= −

−

× −

=

n

k k

n n k k S Y

E 1

1 , 1

Sur la partie gauche on a défini le nombre de surjections (noté ici w) et on a calculé l’espérance pour quelques valeurs de n. On remarque en particulier que pour n=3 on retrouve le résultat de la première partie.

Et voici les résultats suivants.