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Développement d’une expression algébrique I Développements avec la distributivité

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Academic year: 2022

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Développement d’une expression algébrique

I Développements avec la distributivité

Développer une expression algébrique consiste à la transformer en retirant les « enveloppes », c’est-à- dire les parenthèses.

Définition

k(a+b)=k a+k b k(a−b)=k a−k b

Propriété fondamentale (distributivité)

Exemple: 2(x+3)=2x+2×3=2x+6 On en déduit le développement suivant :

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

Démonstration: (a+b)(c+d)=(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd=ac+ad+bc+bd

RemarqueQuand on a des signes -, on développe comme ci-dessus et on tient compte de la règle des signes : (cara−b=a+(−b))

Exemple :(2x−3)(3x−5)=2x×3x−2x×5−3×3x+3×5=6x2−10x−9x+15= 6x2−19x+15

II Identités remarquables

Il y a trois développements particuliers que l’on retrouve sans arrêt, qu’on appelle identités remarquables :

• (a+b)2=a2+2ab+b2

• (a−b)2=a2−2ab+b2

• (a+b)(a−b)=(a−b)(a+b)=a2−b2

Propriété

Exemples :

A =(2x+3)2=(a+b)2avec

½ a=2x b=3

=a2+2ab+b2=(2x)2+2×2x×3+32= 4x2+6x+9 B =(7x+5)(7x−5)=(a+b)(a−b) avec

½ a=7x b=5

=a2−b2=(7x)2−52= 49x2−25 C =(p

7−p

3)2=(a−b)2avec

½ a=p 7 b=p

3

=a2−b2=p 72−p

32=7+3= 4

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