Circuits électriques dans l’ARQS

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Circuits électriques dans l’ARQS

Julien Cubizolles

Lycée Louis le Grand

Vendredi 25 septembre 2021

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Grandeurs électrocinétiques Caractéristiques de dipôles Lois générales des circuits électriques Association de dipôles Exemples d’utilisation

Ï phénomènes électrostatiques connus depuis l’antiquité : électrisation par frottement (mécanique)

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Ï au XVIII^esiècle : machines électrostatiques (de Ramsden, de Wimshurst) capables de produire des tensions× V

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Ï Galvani : production chimique de cette électricité statique (1776).

Contractions d’une patte de grenouille mise en contact avec deux métaux différents

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Ï Volta¹: première pile électrochimique (1800). Générateur électrique délivrant en continu de l’énergie par uncourant électrique

sous licence ttp reative ommons or li enses by-n -n 2 r 7/94

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Code python

from sympy importsymbols, solve, pprint u, i, i3 = symbols( u i i3 ) # Inconnues E1, E2, eta = symbols( E1 E2 eta ) # Donnees R1, R2, R3, R4 = symbols( R1 R2 R3 R4 ) # Donnees sol = solve((R3 * i3 - u,

E2 - R2 * (i - i3) + R4 * (eta - i),

R3 * i3 + E2 - R2 * (i- i3) - E1 - R1 * (eta - i3)), u, i, i3)

pprint(sol)

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1. Grandeurs électrocinétiques

2. Caractéristiques de dipôles

3. Lois générales des circuits électriques 4. Association de dipôles

5. Exemples d’utilisation

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Courant électrique Tension électrique Puissance électrique

1. Grandeurs électrocinétiques 1.1 Courant électrique

1.2 Tension électrique 1.3 Puissance électrique

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Charge électrique

Définition (Charge électrique)

Ï lacharge électrique(notée ) est une grandeur physique caractéristique des objets physiques, exprimée en coulombs, de symbole .

Ï la charge de tout objet est un multiple entier (relatif) de lacharge élémentaire = , · ⁻ C (par définition)

Dans le cas d’un objet de taille macroscopique, le nombre de particules chargées sera toujours très grand devant (on note À ), et la charge très grande devant la résolution des appareils de

mesure, on considérera donc que la chargevarie continûment, sera alors un réel.

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Conservation de la charge

Loi de la conservation de la charge

La charge électrique est une grandeurconservative. Les variations de la charge _V contenue dans un volumeV délimité par une surface ferméeS sont uniquement dues à l’entrée dansV ou à la sortie de V, à traversS de particules chargées, nomméesporteurs de charge (PDC).

Ï la charge ne peut êtreni créée ni détruite

Ï on peut former deux objets chargés+et−à partir d’un objet

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Courant électrique

Définition (Courant électrique)

Ï On nommecourant électriqueun mouvement d’ensemble de porteurs de charge. Lesens conventionnel du courantest le sens de déplacement des porteurs de charges positives.

Ï L’intensité du courant à travers une surfaceS orientée est la chargenettetraversantS par unité de temps dans le sens positif défini par l’orientation de la surfaceS. Si la charge netteδ infinitésimale traverseS dans le sens positif pendant la durée infinitésimale , on a :

=δ .

Ï L’intensité du courant électrique s’exprime en ampères, de symbole A.

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Courant électrique

Définition (Ampère)

L’Ampèreest l’unité du courant électrique. Sa valeur est définie en fixant la valeur numérique de la charge élémentaire à exactement

, · ⁻ quand elle est exprimée en A·s, ce qui correspond à des C.

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Courant électrique

Définition (Ampère)

L’Ampèreest l’unité du courant électrique. Sa valeur est définie en fixant la valeur numérique de la charge élémentaire à exactement

, · ⁻ quand elle est exprimée en A·s, ce qui correspond à des C.

Ï Anotationδpour une grandeurinfinitésimalequelconque : elle est petite devant la résolution des mesures, on la fera tendre vers

dans les calculs

Ï notation pour unevariationinfinitésimale d’une grandeur entre deux états

Ï avant c’était :L’ampère est l’intensité d’un courant constant qui, maintenu dans deux conducteurs parallèles, rectilignes, de longueur infinie, de section circulaire négligeable et placés à une distance de 1 mètre l’un de l’autre dans le vide, produirait entre ces conducteurs une force égale à · − Npar mètre de longueur.

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Algébrisation du courant

Ï C vont de gauche à droite et C de droite à gauche et− C de droite à gauche

Ï la charge nette est C

Ï on a un courant de C de gauche à droite,− C de droite à gauche

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Ordres de grandeur

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Ordres de grandeur

Ï l’agitation thermique est de l’ordre de · m·s⁻ , dans toutes les directions, dans un conducteur (Cu), même quand =

Ï quand 6= , déplacement global à' mm·s⁻

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Ordres de grandeur

Ï l’agitation thermique est de l’ordre de · m·s⁻ , dans toutes les directions, dans un conducteur (Cu), même quand = Ï quand 6= , déplacement global à' mm·s⁻

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Ordres de grandeur

Ï mesure avec unampèremètre, qui donne l’intensité qui le traverse

Ï la valeur indiquée est celle circulantdu + vers la borne COM Ï branché ensérie

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Ordres de grandeur

Exemple (Ordres de grandeur)

Domaine Ordre de grandeur

signaux nerveux µA

signaux électroniques mA

intensité létale mA

ampoule à incandescence A

plaques du cuisson A

Alimentation d’un train A

Éclair kA

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Ordres de grandeur

Ï régimestationnaire = (pile, alimentations d’appareils électroniques), sigle DC dit « courant continu »

Ï régime sinusoïdal établi (ou permanent), = cos(ω +ϕ)(EDF à Hz), sigle AC, dit « courant alternatif »

Ï régimesvariablesquelconques

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Ordres de grandeur

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Ordres de grandeur

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Ordres de grandeur

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Analogie hydraulique

Ï l’intensité du courant est un débit de charge à travers une surface, analogue du débit de masse d’un fleuve sous un pont

Ï la conservation de la charge est l’analogue de la conservation de la masse

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Analogie hydraulique

Ï l’intensité du courant est un débit de charge à travers une surface, analogue du débit de masse d’un fleuve sous un pont Ï la conservation de la charge est l’analogue de la conservation de

la masse

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Types de courants

Définition (Types de courants) On peut observer des courants :

particulaires constitués de particules chargées se déplaçant dans le vide.

de convection constitués de particules chargées solidaires d’un milieu matériel mobile.

de conduction constitués de particules chargées se déplaçant au sein d’un milieu matériel fixe.

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Types de courants

Tube de Crookes, tube cathodique

gouttes d’eau électrisées, baguette

chargée en mouvement

électrons dans un métal ou autre

conducteur

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Conducteurs et isolants

Définition (Milieu conducteur)

Un milieu est ditconducteursi on peut y provoquer un courant électrique de conduction. Il estisolantdans le cas contraire.

Les milieux conducteurs diffèrent suivant la nature des porteurs de charge. On distingue :

les métaux dans lesquels la conduction est assurée par des électrons ditsde conduction ou libres, de charge

= − < .

les solutions électrolytiques dans lesquelles les porteurs de charge sont des cations et anions de charge différente de

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Conducteurs et isolants

les gaz qui sont isolants dans les conditions usuelles, mais dont l’ionisation des atomes en cations libère des électrons pour une température suffisamment élevée ou un champ électrique suffisamment intense. On obtient alors unplasmadans lequel les porteurs de charge sont les cations et les électrons de charge de signe opposé, se déplaçant donc en sens inverse.

les semiconducteurs qui sont isolants aux températures usuelles mais dans lesquels des électrons de conduction apparaissent aux températures plus élevées. Les porteurs de charge sont alors ces électrons de

conduction et les « trous », de charge positive, qu’ils ont laissés dans la répartition des charges du solide.

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Conducteurs et isolants

Ï gaz : ionisation de l’air pour' kV·cm⁻

Ï 1/2 conducteurs : silicium, germanium…à la base des diodes, transistors

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Analogie hydraulique

Ï qu’est-ce qui fait couler l’eau ?

Ï ladifférence de potentiel, outension électriqueentre deux points est l’analogue de la différence d’altitude dans un circuit

hydraulique

Ï à lahauteurd’un point en hydraulique correspond lepotentiel électrique

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Analogie hydraulique

hydraulique

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Analogie hydraulique

hydraulique

Ï à lahauteurd’un point en hydraulique correspond lepotentiel électrique

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Lien avec l’énergie des PDC

on admet pour l’instant

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Lien avec l’énergie des PDC

on admet pour l’instant

Définition (Potentiel et tension)

Ï il existe une grandeur scalaire nomméepotentiel électrique au point , notée ( )et définie en tout point ,telle que l’énergie potentielle électrique d’un porteur de charge de la charge au point estEpot,élec( )= ( ).

Ï on nommetension ou différence de potentiel, notée entre deux points et la différence = ( )− ( ).

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Lien avec l’énergie des PDC

Définition (Potentiel et tension)

Ï il existe une grandeur scalaire nomméepotentiel électrique au point , notée ⁽ ⁾et définie en tout point ,telle que l’énergie potentielle électrique d’un porteur de charge de la charge au point estEpot,élec( )= ( ).

Ï on nommetension ou différence de potentiel, notée entre deux points et la différence = ( )− ( ).

Ï £ ¤

=£ Epot¤

: V= J·C⁻ Ï Epot,élecest l’analogue deEpot=

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Mesure et ordres de grandeur

Ï tension mesurée avec un voltmètre branché entre deux points Ï la tension indiquée est = (+)− (COM⁾

Ï branché enparallèle

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Mesure et ordres de grandeur

Ï tension mesurée avec un voltmètre branché entre deux points Ï la tension indiquée est = (+)− (COM⁾

Ï branché enparallèle

voltmètre

analogique voltmètre

numérique

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Mesure et ordres de grandeur

plus petite tension mesurable fV

influx nerveux humain mV

pile AAA (chimique) ^, V

EDF domestique (~) V

anguille V

métro V

étincelles (vêtements) kV défibrillateur/clôture bétail kV EDF centrale (induction~) kV

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Ï l’énergie solaire évapore de l’eau, la pluie tombe sur une montagne

Ï l’écoulement de la rivière fait fonctionner un moulin

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Ï l’écoulement de la rivière fait fonctionner un moulin

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dans un circuitélectrique

Ï lesPDClafournissent à un récepteurqui la convertit en une autre forme d’énergie (mécanique/thermique/lumineux/chimique)

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Ï ungénérateur convertit de l’énergie

(mécanique/thermique/solaire/chimique) enénergie électrique en la communiquant auxporteurs de charge

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Ï ungénérateur convertit de l’énergie

(mécanique/thermique/solaire/chimique) enénergie électrique en la communiquant auxporteurs de charge

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Réseau électrique

on va brancher différents éléments

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Réseau électrique

Définition (Constitution d’un réseau électrique)

Unréseauélectrique est un ensemble de conducteurs reliés les uns aux autres. C’est uncircuit électriques’il comporte au moins une boucle fermée. Il est constitué de :

fils ce sont des conducteurs filiformes,

dipôles ce sont des composants reliés par deux fils au reste du réseau,

tripôles ce sont des composants reliés par trois fils au reste du réseau,

quadripôle ce sont des composants reliés par quatre fils au reste du réseau.

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Réseau électrique

dipôles résistors, diode, bobine, condensateur tripôles triode, transistor

quadripôles câble électrique, amplificateur, alimentation

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Réseau électrique

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Expression générale de la puissance

Expression de la puissance

La puissance instantanéeP reçuedes porteurs de charge par un dipôle soumis à une tension et traversé par un courant _→ est :

P = → .

P ≡ → = − → = −P est la puissancefourniepar le dipôle aux porteurs de charge.

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Expression générale de la puissance

Expression de la puissance

La puissance instantanéeP reçuedes porteurs de charge par un dipôle soumis à une tension et traversé par un courant →

est :

P = → .

P ≡ → = − → = −P est la puissancefourniepar le dipôle aux porteurs de charge.

Ï en Watt : W= J·s⁻ = A·V

Ï ces définitions sontindépendantes de la nature (signe) des porteurs de charge

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Démonstration (HP)

Ï on raisonne sur des électrons (charge = − ) pour simplifier, dans le cas _→ > ,ieles électrons vont globalementde vers

Ï l’intensité est la même en et : chaque électron ressort avec la même vitesse en qu’il avait en : pas de variation d’énergie cinétique, seule l’énergieEpot,élecest à considérer

Ï 1 électron rentre avecEpot,élec= − ( ), sort avec Epot,élec= − ( ): il a donc apporté au dipôle l’énergie

− ( )−(− ( ))= + ( ( )− ( )) Ï le nombre d’électrons traversant pendant est _→ / Ï l’énergiefournie par les PDCpendant , et doncreçue par le

dipôle, est :

δ =∆E_pot,élec× ^→ = → →P = →

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Démonstration (HP)

Ï on raisonne sur des électrons (charge = − ) pour simplifier, dans le cas _→ > ,ieles électrons vont globalementde vers Ï l’intensité est la même en et : chaque électron ressort avec la

même vitesse en qu’il avait en : pas de variation d’énergie cinétique, seule l’énergieEpot,élecest à considérer

Ï le nombre d’électrons traversant pendant est _→ / Ï l’énergiefournie par les PDCpendant , et doncreçue par le

dipôle, est :

δ =∆E_pot,élec× ^→ = → →P = →

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Démonstration (HP)

− ( )−(− ( ))= + ( ( )− ( ))

Ï le nombre d’électrons traversant pendant est _→ / Ï l’énergiefournie par les PDCpendant , et doncreçue par le

dipôle, est :

δ =∆E_pot,élec× ^→ = → →P = →

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Démonstration (HP)

− ( )−(− ( ))= + ( ( )− ( )) Ï le nombre d’électrons traversant pendant est _→ /

δ =∆E_pot,élec× = → →P = →

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Démonstration (HP)

− ( )−(− ( ))= + ( ( )− ( )) Ï le nombre d’électrons traversant pendant est _→ / Ï l’énergiefournie par les PDCpendant , et doncreçue par le

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Signe

P > le dipôle est unrécepteurrecevant une énergie électrique qu’il convertit en énergie :

Ï mécanique (moteur)

Ï électromagnétique (lampe, antenne, radiateur) Ï chimique (cuve à électrolyse)

P > le dipôle est ungénérateurqui produit de l’énergie électrique à partir d’énergie :

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Signe

Ï mécanique (alternateur)

Ï électromagnétique (cellule photovoltaique) Ï chimique (pile)

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Signe

Ï électromagnétique (lampe, antenne, radiateur)

Ï chimique (cuve à électrolyse)

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Signe

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Signe

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Signe

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Signe

Ï électromagnétique (cellule photovoltaique)

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Signe

électromagnétique (cellule photovoltaique)

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Signe

certains dipôles peuvent avoir un comportement tour à tour

générateur en accumulant puis redistribuant de l’énergie électrique

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Ordres de grandeur

Ï mesurée avec un wattmètre (quadripôle)

Ï le compteur EDF est un « joulemètre » qui mesure uneénergie Ï pour du courant alternatif, on s’intéresse à la

moyenne temporellede la puissance

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Ordres de grandeur

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Ordres de grandeur

système nerveux µW

chargeur téléphone W

ampoule basse conso W

dynamo vélo W

antenne relais W

ampoule à incandescence W

machine à laver kW

train MW

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Générateur et récepteur

Définition (Conventions générateur et récepteur)

Enconvention récepteurles flèches orientant le courant dans un dipôle et définissant la tension à ses bornes sont ensens opposés, l’expressionP ≡ représente la puissancereçuedes porteurs de charge par le dipôle.

Enconvention générateurles flèches orientant le courant dans un dipôle et définissant la tension à ses bornes sont dans lemême sens, l’expression,P ≡ représente la puissancefourniepar le dipôle aux porteurs de charge.

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Générateur et récepteur

Comportements générateur et récepteur

Un dipôle a uncomportement générateur(resp.récepteur) à un instant donné s’il fournit (resp. reçoit) de l’énergie aux (resp. des) porteurs de charge.

En convention générateur > ⇔traduit uncomportementgénérateur,

En convention récepteur > ⇔traduit un comportementrécepteur.

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Générateur et récepteur

Ï un même dipôle peut avoir tour à tour les deux comportements (« batterie » de voiture, de téléphone)

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Générateur et récepteur

Ï A lesigne de dépend duchoix fait pour la conventionmais le comportement générateur ou récepteurest

indépendant de toute convention: il traduit une réalité physique.

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Générateur et récepteur

Ï A lesigne de dépend duchoix fait pour la conventionmais le comportement générateur ou récepteurest

indépendant de toute convention: il traduit une réalité physique.

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Définition Conducteur ohmique Sources Condensateur Bobine idéale

Modélisation linéaire des dipôles

1. Grandeurs électrocinétiques 2. Caractéristiques de dipôles

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1. Grandeurs électrocinétiques 2. Caractéristiques de dipôles 2.1 Définition

2.2 Conducteur ohmique 2.3 Sources

2.4 Condensateur 2.5 Bobine idéale

2.6 Modélisation linéaire des dipôles

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Caractéristique statique courant-tension

Définition (Caractéristique statique)

Lepoint de fonctionnement statiqued’un dipôle est le couple( , )de la tension à ses bornes et du courant le traversant en régime

stationnaire.

Lacaractéristique statique courant-tensiond’un dipôle est la courbe représentant l’ensemble de ses points de fonctionnement en régime stationnaire.

Ail faut préciser laconventionchoisie

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Détermination du point de fonctionnement

Détermination expérimentale

Le point de fonctionnement statique du cicuit réalisé en branchant un dipôle sur un dipôle (convention récepteur pour , générateur pour ) est l’intersection des caractéristiques statiques de (en conventionrécepteur) et de (en conventiongénérateur).

on n’aura quasiment toujours qu’un seul point de fonctionnement

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Exemples et propriétés

dipôle symétrique caractéristique symétrique : les deux bornes sont équivalentes

dipôle polarisé les deux bornes sontphysiquement différentes dipôle passif la caractéristique passe par = ; = : le dipôle

ne peut pas fournir de l’énergieà un résistor dipôle actif le dipôlepeut fournir de l’énergie à un résistor: la

caractéristique en convention générateur doit passer dans les quadrants 1 et/ou 3 sans passer par ,

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Modèle

Ï L’équation caractéristique d’un conducteur ohmique est = en convention récepteur.

Ï (resp. = ) est sa résistance (conductance) exprimée en OhmΩ(resp. Siemens S).

Ï son schéma électrique est, enconvention récepteur:

Ï sa caractéristique statique est une droite de pente ^/

Ï microscopiquement : on modélise par des frottements fluides l’interaction avec les défauts du réseau cristallin

Ï analogie hydraulique : vitesse d’écoulement constante à cause des frottements dans une canalisation

Ï aussi appelé « résistor » ou « résistance » par métonymie

(84)

Modèle

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Modèle

Ï microscopiquement : on modélise par des frottements fluides

Ï aussi appelé « résistor » ou « résistance » par métonymie

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Modèle

Ï analogie hydraulique : vitesse d’écoulement constante à cause des frottements dans une canalisation

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Considérations énergétiques

Effet Joule

Un résistor a toujours un comportement récepteur, il reçoitdes porteurs de charge la puissance :

P = = Ê .

l’énergie des PDC estcédée au milieu conducteur du dipôle:

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Ordres de grandeur

Modèle du conducteur cylindrique

Pour un conducteur cylindrique de longueur et section , on a

=ρ/ = /(σ), oùρ(resp.σ=_ρ) est larésistivité électrique(resp.

conductivité électrique) du matériau.

Ï analogie hydraulique avec un tuyau plus ou moins long, de diamètre plus ou moins grand

Ï ρenΩ·m etσen S^/m

Ï la résistance d’un fil sera négligée : = ∀ et deux points reliés par un fil serontau même potentiel

Ï on modélisera uninterrupteur fermé par un fil(même caractéristique)

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Ordres de grandeur

Modèle du conducteur cylindrique

Pour un conducteur cylindrique de longueur et section , on a

=ρ/ = /(σ), oùρ(resp.σ=_ρ) est larésistivité électrique(resp.

conductivité électrique) du matériau.

Ag Cu Au Al Hg verre

σ( · S/m) , , , , · ⁻

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Sources idéales

Définition (Définition)

Unesource idéalede tension (resp. de courant) délivre une tension ( )(resp. un courantη( ))indépendammentdu reste du circuit.

source idéale de tension caractéristique = ∀ source idéale de courant caractéristique =η ∀

Ï source stationnaire: alimentation stabilisée (peut fonctionner en source de ou en source de dans certains régimes)

Ï source alternative : EDF

Ï il existe aussi des sourcescommandées

Ï une source stationnaire aura un comportement générateur si elle est branchée sur un résistor

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Sources idéales

est branchée sur un résistor

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Sources idéales

Ï une source stationnaire aura un comportement générateur si elle est branchée sur un résistor

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Sources idéales

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Sources idéales

il existe aussi des sourcescommandées

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Modélisation linéaire d’une source réelle

une source idéale de devrait fournir une puissance infinie à un résistor de résistance nulle

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Modélisation linéaire d’une source réelle

Définition (Modèle linéaire d’une source réelle) Une sourceréelle linéaireest caractérisée par sa tension à vide / force électromotrice sa résistance interne

Sa caractéristique est, enconvention générateur:

= −

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Modélisation linéaire d’une source réelle

Définition (Modèle linéaire d’une source réelle) Une sourceréelle linéaireest caractérisée par sa tension à vide / force électromotrice sa résistance interne

Sa caractéristique est, enconvention générateur:

= −

Ï la tension est toujours inférieure à la fem Ï la puissance fournie est bornée

Ï de l’ordre de Ωpour une pile AA

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2.6 Modélisation linéaire des dipôles 3. Lois générales des circuits électriques 4. Association de dipôles

(100)

Modèle linéaire du condensateur

on étudie maintenant des dipôles intéressants uniquement en régime variable, on les utilisera toujours dans l’approximation des régimes quasi stationnaires(voir plus loin)

(101)

Modèle linéaire du condensateur

Définition (Modèle linéaire du condensateur)

Ï un condensateur idéal est un dipôle d’équation caractéristique en convention récepteur : = =

Ï il est caractérisé par sacapacité , exprimée en farads de symbole F. On définit sacharge =

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Modèle linéaire du condensateur

Définition (Modèle linéaire du condensateur)

Ï un condensateur idéal est un dipôle d’équation caractéristique en convention récepteur : = =

Ï il est caractérisé par sacapacité , exprimée en farads de symbole F. On définit sacharge =

Régime stationnaire

Un condensateur est équivalent à uninterrupteur ouverten régime

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Condensateurs réels

constitué par des surfaces conductrices (« armatures » s’il est plan) séparées par un isolant (diélectrique)

(104)

Condensateurs réels

constitué par des surfaces conductrices (« armatures » s’il est plan) séparées par un isolant (diélectrique)

(105)

Condensateurs réels

Ï désigne la charge portée par une armature, l’autre porte− , le condensateur est globalement neutre, sa charge totale est nulle Ï = enveillant aux conventions d’orientation

Ï on montre²qu’il existe une constante telle que : =

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Condensateurs réels

Ï désigne la charge portée par une armature, l’autre porte− , le condensateur est globalement neutre, sa charge totale est nulle

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Condensateurs réels

Ï désigne la charge portée par une armature, l’autre porte− , le condensateur est globalement neutre, sa charge totale est nulle Ï = enveillant aux conventions d’orientation

Ï on montre²qu’il existe une constante telle que : =