Optimisation de formes

Optimisation de formes

Beniamin Bogosel

CNRS, Centre de Math´ematiques Appliqu´ees

´Ecole Polytechnique

Introduction

l’Optimisation de formes concerne la minimisation d’une fonction objectif J(Ω) qui depend d’une forme Ω dans R

ou R

sous certaines contraintes ce type de probl` eme apparaˆıt souvent en sciences et en nature

aujourd’hui : domaine int´ eressant pour les ing´ enieurs

interface entre math´ ematiques, physiques, ing´ enierie m´ ecanique et calcul scientifique

en plein d´ eveloppement actuellement

Contenu du cours

Le cours est compos´ e de

6h de cours sur les principaux aspects th´ eoriques

des sessions pratiques concernant l’impl´ ementation des algorithmes basiques d’optimisation topologique en FreeFem++

Materiel pour le cours:

http://www.cmap.polytechnique.fr/~beniamin.bogosel/

enseignement.html#ENSTA

Contact, questions

beniamin.bogosel[at]cmap.polytechnique.fr

Contenu du 1er cours

1

Quelques exemples historiques

Probl` eme de Dido et in´ egalit´ e isop´ erim´ etrique Optimisation de forme en nature

Optimisation de formes en architecture Vers l’optimisation de forme moderne

2

Notions de base

C’est quoi un probl` eme d’optimisation de formes?

Exemples et mod` eles

Aper¸ cu rapide de la m´ ethode des ´ el´ ements finis

Quelques exemples historiques

Probl` eme de Dido et in´ egalit´ e isop´ erim´ etrique Optimisation de forme en nature

Optimisation de formes en architecture

Vers l’optimisation de forme moderne

Probl` eme de Dido

le mythe de la fondation de la ville de Carthage

la reine de Tyr arrive en Afrique pr` es de Tunis et demande asile apr` es l’assassinat de son mari

on ne lui conc` ede que ce que pourrait couvrir la peau d’un bœuf

elle utilise la peau de beauf pour obtenir une corde de quelques km

avec ce corde elle encercle un territoire pour fonder la ville de Carthage

Probl` eme de Dido (2)

On arrive donc au probl` eme suivant :

Comment utiliser la corde d’une longueur donn´ ee pour maximiser l’aire de la surface entour´ ee par la corde ?

(gauche) La solution si on peut aussi utiliser le bord de la mer

(droite) La solution en utilisant que la corde pour construire le bord

L’in´ egalit´ e isop´ erim´ etrique

Soit Ω ⊂ R

un domaine avec une fronti` ere r´ eguli` ere ∂Ω. Soit A l’aire de Ω et ` la longueur de ∂Ω. Alors

4πA ≤ `

,

et l’´ egalit´ e est atteinte si et seulement si Ω est un disque

De mani` ere ´ equivalente on peut dire :

Parmi tous les domaines Ω ⊂ R

avec aire prescrite, le domaine avec le p´ erim` etre minimal est le disque

Autres variantes peuvent ˆ etres formul´ ees : si une partie du bord est fix´ ee

(comme le bord de la mer) alors la partie libre est une partie d’un cercle.

L’in´ egalit´ e isop´ erim´ etrique (2)

Une de premi` eres preuves a ´ et´ e donn´ ee en 1838 par Steiner, mais la preuve

´

etait incompl` ete : il a prouv´ e que la forme optimale est un disque en supposant qu’elle existe

Il existe une multitude de probl` emes d’optimisation de formes sans solution, pour des raisons math´ ematiques ou physiques

maximiser le p´ erim` etre ` a volume fixe

trouver la pi` ece avec une r´ esistance maximale sous certains chargements la premi` ere preuve compl` ete en dimension deux : K. Weierstrass 1860 dimension trois : H. Schwarz 1884

Parmi tous les domaines Ω ⊂ R

avec

volume prescrit la boule minimise l’aire de

surface.

Une autre application

Optimiser le coˆ ut des fortifications : Ancien Paris

Quelques exemples historiques

Probl` eme de Dido et in´ egalit´ e isop´ erim´ etrique Optimisation de forme en nature

Optimisation de formes en architecture

Vers l’optimisation de forme moderne

Le nid d’abeilles

probl` eme isop´ erim´ etrique pour une partition

la partition en hexagones r´ eguliers ` a la longueur minimale parmi les

partitions en cellules de mˆ eme aire

Le nid d’abeilles sph´ erique

Si on fixe les aires des patchs noirs et blancs, la structure classique d’un ballon de football minimise la longueur des r´ egions de couture

? pas de preuve math´ ematique : simulations num´ eriques

Les boules de savon

Les boules de savon essaient de prendre la forme qui minimise la surface totale

englobant toujours un volume fixe

Quelques exemples historiques

Probl` eme de Dido et in´ egalit´ e isop´ erim´ etrique Optimisation de forme en nature

Optimisation de formes en architecture

Vers l’optimisation de forme moderne

A la recherche des designs optimaux

? Th´ eor` eme de Hooke

”As hangs the flexible chain, so but inverted will stand the rigid arch.”

A la recherche des designs optimaux (2)

? A. Gaudi fait le plan de l’´ eglise de Colonia Guell ` a l’envers en suspendant des

poids sur des membranes.

A la recherche des designs optimaux (3)

? des techniques modernes d’optimisation de formes sont utilis´ ees pour concevoir des bˆ atiments

Quatar National Convention Center

A la recherche des designs optimaux (4)

? design des ponts optimaux

le pont de Bayonne

Quelques exemples historiques

Probl` eme de Dido et in´ egalit´ e isop´ erim´ etrique Optimisation de forme en nature

Optimisation de formes en architecture

Vers l’optimisation de forme moderne

Vers l’optimisation de forme moderne

? des m´ ethodes d’optimisation de formes plus avanc´ ees ont ´ emerg´ e apr` es 1960

Le d´ eveloppement des outils num´ eriques pour simuler des ph´ enom` enes complexes (la m´ ethode des ´ el´ ements finis)

L’apparition des ordinateurs plus puissants

? Un domaine important d’int´ erˆ et est

l’a´ eronautique, o‘u les ing´ enieurs veulent optimiser le profil des ailes pour

minimiser la traˆın´ ee

maximiser la portance

Vers l’optimisation de forme moderne (2)

? assistance ordinateur : applications ing´ enierie civile et m´ ecanique

Vers l’optimisation de forme moderne (3)

? L’optimisation de formes et topologique est utilis´ ee en industrie avec des applications tr` es vari´ ees

? Plusieurs logiciels industriels sont disponibles : OptiStruct, Ansys, Tosca...

? Des structures complexes ne pouvaient pas ˆ etres fabriqu´ ees dans le pass´ e

? ... aujourd’hui tout est possible (enfin, presque tout) en utilisant la fabrication

additive

Exemple industriels

? Airbus: optimiser la structure d’une aile : ´ economiser 1000kg par avion

? Renault: optimisation structure int´ erieure hayon, optimisation supports

moteur, etc.

Quelques m´ ethodes en optimisation topologique

”aller-retour” entre ing´ enieur et responsable simulation : processus tr` es lent optimisation g´ en´ etique : si peu de param` etres rentrent en jeu

optimisation avec algorithme de gradient : beaucoup plus efficace mais n´ ecessite quelques calculs th´ eoriques

−→ [G. Allaire, Conception optimale de structures]

optimisation avec diff´ erentiation automatique : il n’est pas n´ ecessaire de calculer le gradient ` a la main mais n´ ecessite des travaux pouss´ es en informatique

−→ [Mohammadi, Pironneau, Applied Shape Optimization for Fluids]

D´ eveloppements r´ ecents : optimisation topologique tr` es rapide sur les

GPU, encore des challenges de codage

Dans ce cours...

comprendre l’impact des questions d’existence des solutions sur l’approche num´ erique

voir comment calculer la d´ eriv´ ee de forme dans certains cas standard observer des impl´ ementations basiques en 2D en FreeFem++ : voir comment cr´ eer vos propres cas d’optimisation, observer l’impact des param` etres sur le design final

vers la fin, voir quels sont les difficult´ es en 3D sur des cas test standard Disclaimer

Ce cours se veut une introduction ` a l’Optimisation Topologique. L’objectif est de comprendre quelques exemples standard et de vous former une id´ ee de ce que les logiciels font quand ils optimisent des formes.

Pour aller plus loin consultez la liste de r´ ef´ erences fournie.

Notions de base

C’est quoi un probl` eme d’optimisation de formes?

Exemples et mod` eles

Aper¸ cu rapide de la m´ ethode des ´ el´ ements finis

Optimisation de formes

Formulation typique

Ω∈A

min F(Ω) t .q. C (Ω) ≤ 0

Ω ⊂ R

est une forme ou une variable de design F est une fonction objectif, coˆ ut qui d´ epend d’Ω

Exemples : volume, p´ erim` etre (surface), compliance, etc.

C(Ω) est une fonction contrainte A est l’ensemble des formes admissibles

informations sur les ensembles Ω contient des ´ eventuelles contraintes

? En m´ ecanique et application physiques, J (Ω) et C(Ω) d´ ependent souvent d’Ω via une fonction d’´ etat u

, solution d’une EDP sur Ω.

−→ ´ equation de la chaleur, ´ elasticit´ e lin´ earis´ ee, ´ equation de Stokes, etc

Description du processus d’optimisation

Plusieurs ingr´ edients :

un mod` ele physique, souvent sous la forme d’une EDP pour d´ ecrire le comportement des formes

une description math´ ematique des formes et leurs variations (un jeu de param` etres, fonction densit´ e, etc...)

une description num´ erique des formes (maillage, repr´ esentation splines, etc)

? ces choix sont inter-connect´ ees et sont guid´ ees par chaque application particuli` ere

? trois cat´ egories principales : optimisation param´ etrique, g´ eom´ etrique et topologique

? points de vue diff´ erents sur le probl` eme

? les approches math´ ematiques et num´ eriques ont des points en commun

Point de vue th´ eorique

Probl` eme

min

Ω∈A

F(Ω), C (Ω) ≤ 0 existence des solutions

conditions d’optimalit´ e, r´ egularit´ e des solutions trouver explicitement la solution (souvent impossible) propri´ et´ es qualitatives

approximation num´ erique

Quelques id´ ees concernant l’existence des solutions

Cas classique - f : K ⊂ R

→ R min

x∈K

f (x) R´ esultat classique

Une fonction continue sur un compact atteint ses valeurs extr´ emales

Approche classique en optimisation

? continuit´ e + compacit´ e = ⇒ existence des solutions Questions d´ elicates en optimisation de formes

quelle topologie choisir sur l’ensemble de formes ? compacit´ e - peu d’ensembles ouverts

continuit´ e - beaucoup d’ensembles ouverts

Point de vue applicatif

Probl` eme

Ω∈A

min F(Ω),

peut-on diminuer F(Ω) tout en pr´ eservant les ´ eventuelles contraintes avoir des m´ ethodes num´ eriques et algorithmes efficaces pour automatiser la recherche des domaines meilleurs

l’existence et la r´ egularit´ e de la solution ne posent pas de probl` emes pour

les applications en pratique, mais peuvent expliquer un comportement

bizarre d’un algorithme num´ erique

Optimisation param´ etrique

Les formes sont d´ ecrites par un jeu de param` etres physiques : ´ epaisseur, points de contrˆ ole, etc

description d’une aile par des NURBS;

les param` etres p

sont les points de contrˆ ole

Description d’une plaque par son

´

epaisseur h : S → R

Optimisation param´ etrique (2)

Les param` etres qui d´ ecrivent les formes sont les seules variables d’optimisation, et le probl` eme d’optimisation de formes devient

min

(p_i)∈Pad

J(p

, ..., p

), o` u P

est l’ensemble des param` etres admissibles

Dans l’optimisation param´ etrique il est facile de voir la variation de la forme par rapport ` a chaque param` etre p

(p

)

→ (p

+ δp

)

.

Utiliser une telle m´ ethode impose une restriction importante sur les designs

possibles et n´ ecessite une connaissance a priori du design optimal souhait´ e

Optimisation g´ eom´ etrique

La topologie de la forme est fix´ ee (le num´ ero de trous en 2d)

La variable d’optimisation est toute la fronti` ere ∂Ω de la forme Ω

L’optimisation g´ eom´ etrique donne plus de

libert´ e que l’optimisation param´ etrique

Optimisation topologique

Dans beaucoup d’applications la topologie des formes n’est pas connue, et est sujet d’optimisation

Dans ce cadre on prefere souvent de ne pas decrire les frontieres des formes et d’utiliser des representations qui permet

naturellement des changements de topologie

une possibilit´ e est de d´ ecrire Ω par des

fonctions densit´ e h : D → [0, 1].

Notions de base

C’est quoi un probl` eme d’optimisation de formes?

Exemples et mod` eles

Aper¸ cu rapide de la m´ ethode des ´ el´ ements finis

Exemple acad´ emique

Une cavit´ e D ⊂ R

est remplie par un mat´ eriel ayant conductivit´ e thermique h : D → R

.

Une r´ egion Γ

⊂ ∂D est tenue ` a temp´ erature 0 Un flux de chaleur g est appliqu´ e sur

Γ

= ∂D \ Γ

Une source de chaleur ou puits f : D → R actionne ` a l’int´ erieur de D

La temp´ erature u

: D → R dans la cavit´ e est la solution de l’´ equation de la chaleur :







− div(h∇u

) = f dans D

u

= 0 sur Γ

h

= g sur Γ

Probl` eme d’optimisation param´ etrique : la variable de design est la conductivit´ e h ∈ U

, o` u

U = {h ∈ L

(D), α ≤ h(x ) ≤ β, x ∈ D}

Exemple acad´ emique : fonctions objectif

La compliance C (h) de la cavit´ e D : C (h) =

Z

D

h|∇u

|

dx = Z

Γ_N

gu

ds ,

comme une mesure du travail du flux de chaleur sur D

Une erreur type moindres-carr´ es entre u

et la temp´ erature cible u

: D(h) =

Z

D

k(x)|u

− u

|

dx

, o` u α est un param` etre fixe et k (x ) une fonction poids l’oppos´ ee de la premi` ere valeur propre de la cavit´ e :

−λ

(h), avec λ

(h) = min

u∈H¹(D),u=0 sur ΓD

R

D

h|∇u|

dx R

D

u

dx ,

qui caract´ erise le taux instantan´ e de la d´ ecroissance de la chaleur dans D

Exemple acad´ emique : une autre variante

Ce probl` eme admet une variante du type optimisation g´ eom´ etrique : supposons que la conductivit´ e dans D est ´ egale ` a

Une valeur ´ elev´ ee β dans une r´ egion Ω ⊂ D Une valuer faible α dans D \ Ω

Finalement h

= α + χ

(β − α) o` u χ

est la fonction caract´ eristique de Ω.

La temp´ erature u

: D → R est la solution de l’´ equation de la chaleur :







− div(h∇u

) = f dans D

u

= 0 sur Γ

h

= g sur Γ

Probl` eme d’optimisation g´ eom´ etrique : la variable

de design est la forme g´ eom´ etrique Ω ayant la

conductivit´ e plus ´ elev´ ee

Optimisation de formes en m´ ecanique structurelle

On considere une structure Ω ⊂ R

, definie par un domaine born´ e qui est

fix´ e sur une partie Γ

⊂ ∂Ω de sa fronti` ere soumis ` a des chargements surfaciques g appliquees sur Γ

⊂ ∂Ω, Γ

∩ Γ

= ∅

Le champs de d´ eplacement u

: Ω → R

est calcul´ e en r´ esolvant le syst` eme d’´ elasticit´ e lin´ earis´ ee



 



 



− div(Ae(u)) = 0 dans D

u = 0 sur Γ

Ae(u)n = g sur Γ

Ae(u)n = 0 sur Γ = ∂Ω \ (Γ

∪ Γ

) o` u e(u) =

(∇u

+ ∇u) est le tenseur de

d´ eformations et A est la loi de Hooke du mat´ eriel

Exemples de fonctions objectif

Le travail des forces exterieures g ou la compliance C(Ω) du domaine Ω : C(Ω) =

Z

Ω

Ae(u

) : e(u

)dx = Z

Γ_N

g .u

ds ,

Une erreur type moindres-carr´ es entre u

et un d´ eplacement cible u

(utile pour le design de micro-m´ ecanismes) :

D(Ω) = Z

Ω

k (x )|u

− u

|

dx

,

o` u α est un param` etre fixe et k (x ) une fonction poids

Exemples de contraintes

Contrainte sur le volume Vol(Ω) ou sur le p´ erim` etre Per(Ω) des formes Vol(Ω) =

Z

Ω

dx, Per(Ω) = Z

∂Ω

ds .

Contrainte sur le tenseur de contraintes : S (Ω) =

Z

Ω

kσ(u

)k

dx, o` u σ(u) = Ae(u) est le tenseur des contraintes Contraintes g´ eom´ etriques :

´

epaisseur minimale et maximale des formes contraintes sur les rayons de courbure contraintes type moulage

telles contraintes sont souvent impos´ ees par les processus de fabrication

Optimisation de formes en m´ ecanique de fluides

Un fluide incompressible avec viscosit´ e cin´ ematique ν occupe un domaine Ω ⊂ R

.

Le flux u

` a travers l’input Γ

est connu

Un profil de pression p

est impos´ e sur la sortie Γ

. Des condition ”no-slip” sont impos´ ees sur la fronti` ere libre Γ = ∂Ω \ (Γ

∪ Γ

)

Si le nombre de Reynolds Re = VL/ν est petit alors la vitesse u

: Ω → R

et la pression p

: Ω → R v´ erifient les ´ equations de Stokes



 

 



 

 



−2ν div(σ(u, p)) = f dans Ω

div(u) = 0 dans Ω

u = u

sur Γ

u = 0 sur Γ

σ(u, p)n = −p

sur Γ

Exemple de probl` eme mod` ele 1

Optimiser la forme d’un tuyau

La forme ` a optimiser est un tuyau qui relie la partie input Γ

au bord Γ

Une fonction objectif possible est le travail total des forces visqueuses dans la forme

J(Ω) = 2ν Z

Ω

D(u

) : D(Ω).

Une contrainte sur le volume Vol(Ω) est

impos´ ee

Exemple de probl` eme mod` ele 2

Reconstruction de la forme d’un obstacle

Un obstacle avec une forme inconnue ω est immerg´ e dans un domaine fixe D rempli avec un fluide

On dispose de la mesure u

de la vitesse u

dans une petite r´ egion d’observation O et on voudrait reconstruire la forme ω

Le domaine optimis´ e est Ω = D \ ω et seulement la partie ∂ω de ∂Ω est optimis´ ee. La fonction objectif ` a minimiser est le crit` ere moindres carr´ es

J(Ω) = Z

O

|u

− u

|

dx.

Autres exemples

Optimiser la section d’une aile pour diminuer la traˆın´ ee est un challenge dans l’industrie de l’a´ eronautique depuis longtemps

Optimiser la microstructure des mat´ eriaux composites

etc ...

Difficult´ es dans l’optimisation de formes

Mod´ elisation : d´ ecrire le probl` eme physique par un mod` ele relevant mais accessible du point de vue analytique et num´ erique

Aspect th´ eorique : pour certains mod` eles les formes optimales n’existent pas, on s’attend ` a obtenir au plus des minima locaux

Aspect th´ eorique et num´ erique : la variable d’optimisation est un domaine.

Il faut d´ evelopper des outils pour d´ eriver des fonctionnelles qui d´ ependent des domaines et bien param´ etrer les formes et leurs variations

Aspect num´ erique : comment repr´ esenter les formes et leurs ´ evolutions ?

Aspect num´ erique : certains probl` emes d’optimisation peuvent ˆ etre sensitifs

par rapport aux erreurs de discr´ etisation

Notions de base

C’est quoi un probl` eme d’optimisation de formes?

Exemples et mod` eles

Aper¸ cu rapide de la m´ ethode des ´ el´ ements finis

Formulation variationnelle

Comme probl` eme mod` ele consid´ erons l’´ equation de Laplace Trouver u ∈ H

(D) tel que

−∆u = f dans D u = 0 sur ∂D o` u f ∈ L

(D) est une source donn´ ee.

Il est possible d’associer une formulation variationnelle : Trouver u ∈ V tel que ∀v ∈ V on a a(u, v) = `(v) o` u

L’espace Hilbert V est l’espace Sobolev H

(D)

a(·, ·) est une forme bilin´ eaire sur V donn´ ee par a(u, v ) = R

D

∇u · ∇vdx

`(·) est une forme lin´ eaire sur V donn´ ee par `(v ) = R

D

fvdx

Le th´ eor` eme de Lax-Milgram montre que la formulation variationnelle

admet une unique solution dans V .

M´ ethode des ´ el´ ements finis

La m´ ethode des ´ el´ ements finis propose de chercher une approximation u

dans un sous-espace de dimension finie V

⊂ V . la formulation variationnelle exacte est remplac´ ee par :

Trouver u

∈ V

tel que ∀v

∈ V

on a a(u

, v

) = `(v

) qui est ` a nouveau bien pos´ ee comme cons´ equence de Lax-Milgram Avantage : V

´ etant de dimension finie, il suffit de choisir une base B = {ϕ

}

et la formulation variationnelle devient un syst` eme lin´ eaire A¯ u = b avec

A = (a(ϕ

, ϕ

)), b = (`(ϕ

)) o` u ¯ u sont les coefficients de u

dans la base B.

Le choix de la base est important : un des objectifs est d’avoir un syst` eme

avec une matrice creuse

Construction de l’espace d’´ el´ ements finis

Le domaine D est discr´ etis´ e en utilisant un maillage T

qui consiste d’une partitions en triangles en 2D et t´ etra` edres en 3D.

Le param` etre h qui indique la convergence de la m´ ethode est typiquement

la taille maximale d’un ´ el´ ement de maillage.

Construction de l’espace d’´ el´ ements finis (2)

Une base {ϕ

, ..., ϕ

} des fonctions ´ el´ ements finis est introduite sur le maillage T

Exemple

N

est le numero de sommets a

, ..., a

du maillage

Pour chaque i = 1, ..., N

, ϕ

est affine sur chaque maille T ∈ T

et

ϕ

(a

) = 1 et ϕ

(a

) = 0 pour i 6= j

Formulation du syst` eme matriciel

On d´ ecompose la solution u

dans la base d’´ el´ ements finis u

=

N_h

X

i=1

u

ϕ

et le probl` eme variationnel devient un syst` eme lin´ eaire de taille N

× N

KU = f o` u

U =





 u

.. . u





 est le vecteur des coefficients

K est la matrice de rigidit´ e d´ efinie par K

= a(ϕ

, ϕ

)

F est le vecteur F = (`(ϕ

))

.

Exemples de r´ esolution sur des diff´ erents maillages

Encore plus loin

La m´ ethode peut ˆ etre appliqu´ ee (avec un peu de travail !) pour d’autres cas :

probl` emes variationnels mixtes comme l’´ equation de Stokes probl` emes aux valeurs propres

EDP non lin´ eaires comme les ´ equations Navier-Stokes ou le syst` eme d’´ elasticit´ e non-lin´ eaire

R´ ef´ erences :

−→ [G. Allaire, Analyse num´ erique et Optimisation]

−→ [A. Ern et J.-L. Giermond, Theory and Practice of Finite Elements]

En pratique il est mieux de faire confiance aux solutions existantes (genre

FreeFem++) que de coder les ´ el´ ements finis soi-mˆ eme