Dérivation
I- Introduction
Objectifs :
t Notion de tangente (partie1)) t Notion de nombre dérivé (partie2)) 1) Notion de tangente
Au sommet d’un terril de 25 m de haut se trouve planté un bâton de 1 m de haut. On admet que la ligne de pente de ce terril est une portion de la parabole d’équationy=−x2+ 25.
À quelle distance minimale du pied du terril faut-il se placer pour apercevoir le bout du bâton de 1 m de haut ? a) Partie expérimentale
1) Reproduire la figure en s’aidant du protocole de construction.
Nom Commande
Fonction f f=Fonction[−x∧2 + 25,−1,5]
Point S S=(0, f(0)+1) Point A A= Point[axeX]
d d=Droite[S,A]
Règlages :OptionspuisGraphiques axeX : axeY = 1 : 2
• Le point S représente le sommet du bâton,
• le point A représente l’observateur.
2) Il existe un point de l’axe des abscisses tel que la direction du regard « frôle » le flanc du terril.
a. Déterminer les coordonnées de ce point (Faire des zooms pour obtenir le plus de précision, le pointApou- vant être hors écran et être toutefois déplacé par les flèches du clavier en sélectionnant ce point dans la fenêtre algèbre).
b. Quelle est la particularité de cette droite ?
c. La fenêtrealgèbrede GeoGebra donne une équation cartésienne de cette droite. En déduire une approxi- mation de son coefficient directeur.
Dans la fenêtre d’algèbre, on pourra à l’aide d’un clique droit sur l’équation cartésienne de d faire appa- raître son équation réduite.
b) Partie théorique
Cette droite porte en mathématique un nom particulier : c’estune tangenteà la courbe def.
Ce nom doit vous évoquer un petit souvenir de collégien. . . rappeler la définition de la tangente vue en collège et faire une correspondance avec la tangente vue dans ce TP.
2) Nombre dérivé
Dans la partie précédente, nous avons défini une nouvelle notion : la tangente à la courbe d’une fonctionf en un point. Reste à savoir comment déterminer cette tangente, c’est à dire comment la formaliser mathématiquement.
a) Partie expérimentale
Dans une nouvelle fenêtre suivre les instructions suivantes :
1) Tracer la paraboleP représentant la fonctionf définie parf(x) =x2−2x.
2) Créer un curseur nomméa,min=-5,max=5etIncrément=0.1 3) Placer le point A surP d’abscisseaet d’ordonnéef(a) .
4) GeoGebrapermet de représenter la tangente à la courbe def passant par A par la commande :tangente[A,f]. Tracer cette tangente.
On note m son coefficient directeur. On dit alors que m est le nombre dérivé def au point d’abscisse a où a désigne l’abscisse du point A. On note alorsf′(a) =m.
5) A l’aide du logiciel et en déplaçant le curseur compléter le tableau suivant : a -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 f′(a)
Dans la suite on placera le curseurasur 1.5.
6) Créer un curseur nomméhet tel quemin=0,max=3etIncrément=0.01
Placer le point M deP de coordonnées M(a+h, f(a+h)) et tracer la droite (AM).
7) En déplaçant le curseurh, on obtient une famille de droites ayant toutes pour point commun le point A.
Que font ces droites lorsque M se rapproche de plus en plus de A? Vers quelle valeur tendh? 8) Que pensez vous alors des coefficients directeurs de ces droites lorsquehtend vers 0 ?
Dans la fenêtre d’algèbre, on pourra à l’aide d’un clique droit sur l’équation cartésienne de (AM) faire apparaître son équation réduite.
b) Partie théorique
1) Démontrer que le coefficient directeur de la droite (AM) est égal à 2a−2 +h.
2) En déduire alorsf′(a).
II- Dérivation en un point
1) Définition Définition :
Soitf une fonction définie sur I etaun élément de I, soithun nombre réel différent de 0.
Si le rapport f(a+h)h−f(a) admet une limite finie L lorsquehtend vers 0, alors :
• On dit quef est dérivable ena.
• On appelle nombre dérivé cette limite et on la notef′(a) = L.
Ainsi,si la fonction est dérivable enaon af′(a) = limf(a+h)−f(a)
Exemple 1 :
On considère la fonction définie surRparf(x) =x2. Déterminerf′(a).
➔ le taux d’accroissement def entreaeta+hest : f(a+h)−f(a)
h = (a+h)2−a2
h =a2+ 2ah+h2−a2
h =2ah+h2
h = 2a+h.
➔ donc,f′(a) = lim
h→0(2a+h) = 2a.
➔ En particulier,f′(3) = 6,f′(0) = 0...
2) Interprétation géométrique
Si la fonctionf est dérivable enala droite passant par A(a;f(a)) et de coefficient directeurf′(a) est appelée tangente à la courbe représentative def au point d’abscissea.
f(a)
Cf A
(TA)
a 3) Équation de la tangente
Théorème :
La tangente au point d’abscisseaa pour équationy=f′(a)(x−a) +f(a)
Démonstration
Exemple 2 :
Lire graphiquementf(1),f(2),f′(1)etf′(2).
En déduire les équations des tangentes aux points d’abs- cisse 1 et 2 à la courbeCf ci-contre.
1 2 3 4 5
−1
−2
1 2 3 4 5 6
−1
−2
Cf
bA
(TA)
bB
(TB)
4) Interprétation cinématique
On considère un objet en mouvement. On note t la durée en secondes de son parcours, ety(t) la distance en mètres, parcourue aprèstsecondes.
On notet1ett2deux instants : le quotient y(t2t)−y(t1)
2−t1 est la vitesse moyenne de l’objet entre les instantst1ett2. Définition :
Dans les conditions précédentes, la limite quandhse rapproche de 0 de la vitesse moyenne entre les instantst ett+h(c’est à dire le nombre dérivé deyent) est appeléevitesse instantanéede l’objet à l’instantt.
V(t) = lim
h→0
y(t+h)−y(t) h
Exemple 3 :
On lache un objet en chute libre. On notex(t)la distance parcourue (en m) aprèstsecondes. On admet que la distance parcourue s’exprime en fonction du temps de parcours parx(t) = 4,9t2. Calculer la vitesse instantanée de l’objet après une chute det secondes.
On exprime la vitesse moyenne de l’objet entre les instantstett+h : v=x(t+h)−x(t)
h = 4,9(t+h)2−4,9t2 h
En développant, réduisant et simplifiant, on obtient :
v=4,9(t2+ 2th+h2)−4,9t2
h =9,8th+ 4,9h2
h = 9,8t+ 4,9h Lorsquehtend vers 0, ce quotient se rapproche de9,8t :lim
h→0(9,8t+ 4,9t) = 9,8t.
Donc la vitesse instantanée de l’objet en chute libre est donnée par l’expressionv(t) =x′(t) = 9,8t.
Après 5 secondes de chute libre, la vitesse est de9,8×5 = 49m/s. (soit 179,4 km/h).
III- Fonction dérivée
Définition :
Soitf une fonction dérivable en tout pointxd’un intervalle I, alors la fonction qui àxassocief′(x) est appelée fonction dérivéedef sur I. On notef′ cette fonction.
Exemple 4 :
On considère la fonctionf définie parf(x) =x2etaun nombre réel.
Dans l’exemple1on a déterminerf′(a), on peut alors en déduire la fonction dérivée def. f′ :x7→2x
1) Dérivées des fonctions de référence
f est dérivable sur f(x) = dérivéef′(x) =
R k(constante)
R x
R x2
R xn,nentier naturel ]− ∞;0[∪]0;+∞[ 1x
]0;+∞[ √
x
2) Opérations sur les dérivées a) Dérivée d’une somme
Définition :
Soituetvdeux fonctions dérivables sur un intervalle I.
La somme des fonctionsuetvest dérivable sur I et sa dérivée (u+v)′est définie parx7→u′(x) +v′(x)
b) Dérivée du produit d’une fonction par une constante
Définition :
Soituune fonction dérivable sur I etkune constante réelle.
La fonctionk×uest dérivable sur I et sa dérivée (k×u)′ est définie parx7→k×u′(x).
c) Dérivée d’un produit
Définition :
Soituetvdeux fonctions dérivables sur un intervalle I.
Le produit des fonctionsuetvest dérivable sur I et se dérivée (u×v)′est définie parx7→u′(x)×v(x)+u(x)×v′(x).
d) Dérivée d’un inverse
Définition :
Soitvune fonction dérvable sur I, et ne s’annulant pas sur cet intervalle.
L’inverse de la fonctionv est dérivable sur I et sa dérivée1 v ′
est définie parx7→ −v′(x) v2(x).
e) Dérivée d’un quotient
Définition :
Soituetvdeux fonctions dérivables sur un intervalle I, avecvne s’annulant pas sur cet intervalle.
Le quotient de la fonctionupar la fonctionvest dérivable sur I.
Sa dérivéeu v ′
est définie parx7→u′(x)×v(x)−u(x)×v′(x) v2(x)
f) Résumé
uetvsont des fonctions sif s’ecrit alorsf est dérivable sur I définies et dérivables sur I etf′est égale à
Somme u+v u′+v′
Produit par une constante k×u k×u′
Produit u×v u′×v+u×v′
Inverse avecv(x),0 sur I 1
v − v′
v2
Quotient avecv(x),0 sur I u v
u′×v−u×v′ v2
Exemple 5 :
Calculer les dérivées des fonctions suivantes : 1) f(x) =x3+x−5
2) g(x) = 7x2
3) h(x) = 4x2−3x+ 2 4) i(x) = (4x−1)(3x+ 7) 5) j(x) = 1
−4x+ 2 6) k(x) =3x2+ 1 5x−2
