1 Lycée 15 Novembre 1955 Sfax
Siala---B.Mahfoudh
Devoir de contrôle n°1 Classe 4ème Sciences 11 – 11 – 2011 Durée 2h
Exercice 1 ( 3 points) Choisir la réponse correcte.
I. Soient A et B deux points du plan d’affixes
respectives :zA rei3 et zB r ei4 avec r et r .
1) Une mesure de
OA,OB
est :7
a) b) c)
12 12 12
.
2) l’ensemble des points A quand r décrit est :
a) Une droite privée d'un point b) un cercle c) Une demi droite privée d'un point
II. Soit f la fonction définie par : 2x 1 f(x) x 1
et h la fonction définie sur 0, par h(x) f 1
2 cos x
.
x 2
1) La lim f 1 est égale à : cos x
a) b) 2 c) 1
2) Pour tout x 0, on à : 2
2 2
1 sin x 1 sin x 1
a) h (x) f b) h (x) f c) h (x) f
cos x cos x cos x cos x cos x
Exercice 2 ( 3 points)
Soit f une fonction définie sur et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé
O,i, j .Cf admet une branche parabolique de direction
O, j au voisinage de et au voisinage de .
2 1) Déterminer f (2) .
2) Déterminer
x 1
f(x) f(1) lim x 1
.
3) Donner une équation cartésienne de la tangente à Cf au point A.
4) Déterminer
x x x
lim f(x) ; lim f(x) et lim f(x)
x .
5) Déterminer f
2,1 et f 1,
Exercice 3 ( 7 points)
Soit
0, .On considère dans l’équation
E : z2 (1 2cos )z 1 cos isin 0. 1) Résoudre dans l’équation 3
(E ).
2) a) Vérifier que pour tout
0, on a : 4cos2 4isin 3 (1 2isin )2. b) Résoudre dans l’équation (E ) .3) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct = (O,u, v) , on considère les points A et B d’affixes respectives zA e i et zB 1 ei .
a) Ecrire zB sous forme exponentielle.
b) Déterminer l’ensemble des points B lorsque décrit
0, .c) Déterminer l’affixe du point C tel que OACB soit un parallélogramme.
d) Déterminer pour que OACB soit un rectangle.
4) Calculer AB. Pour quelle valeur de
AB est maximale.Exercice 4 ( 7 points)
Soit f la fonction définie sur par :
x2 3 3 si x ,1
f(x) 2
2x 3 cos x si x 1,
x 2
1) Calculer
x
lim f(x) et lim f(x)
x
2) Montrer que l’équation f(x)0 admet au moins une solution
dans
1,33) Soit g la fonction définie sur
0,1 par : g(x) f 1 sin x2
.
Montrer que g est continue sur
0,1 .4) a) Calculer
x 1
f(x) f(1)
lim ( On pourra poser h x 1)
x 1
b) Etudier la dérivabilité de f en 1 et interpréter graphiquement les résultats.
c) Justifier que f est dérivable sur chacun des intervalles
