Tracé des diagrammes de variation des actions de cohésion

METHODE :

1. Placer un repère de travail s’il n’est pas défini 2. Calculer les actions aux appuis

3. Identifier les zones dans lesquelles l’expression du torseur des actions de cohésion change

4. Rechercher les éléments du torseur des actions de cohésion 5. Exprimer les conditions aux limites

6. Tracer le diagramme de chacun des éléments du torseur des actions de cohésion 7. Vérifier la cohérence avec les points singuliers et la relation de la dérivée des Mf

DEGRE D’HYPERSTATISME :

Une structure est dite isostatique lorsque les réactions de liaison peuvent se calculer par les seules équations d’équilibre

Tracé des diagrammes de variation des actions de cohésion

Considérons un élément de poutre de poids négligeable pris entre deux sections (S) et (S') infiniment voisines, distantes de dx

Soit le torseur des actions de cohésion en G suivant

Si aucun effort concentré ne s'exerce sur la poutre entre les sections (S) et (S'), le torseur des actions de cohésion en G’ s’écrit

Relation entre l’effort tranchant et le moment fléchissant

{ }

z G,xyz

0 0

T (x) 0 0 Mf (x)

 

 

ℑ =  − 

 

 − 

x

(S) x

(d) (g)

(S’) G

G’

y

T_Y

T_Y’ Mf_z

Mf_z’

De même :

dx

z y

z

Mf (x)

Mf (x + dx ) − + T (x) ⋅ d x = 0

Mf (x

dx) Mf (x)

T (x)

dx

+ −

= −

z y

T ( dM f (

x) d x)

= − x

On applique le Principe Fondamental de la Statique au tronçon dx isolé. L’équation des moments au point G’ suivant z donne :

dx ) x ( ) dMf

x (

T

=

{ }

z G ',xyz

0 0

T (x dx) 0 0 Mf (x dx)

 

 

ℑ =  + 

 

 + 

À l’abscisse x

À l’abscisse x +dx

Les équations de chaque zone permettront de tracer les diagrammes de variation des éléments du torseur des actions de cohésion.

A

F₁ F₂

x₁

x₂

B

Pour étudier et représenter les variations des efforts et des moments le long d’une poutre on découpe la poutre en zones.

Une zone est le domaine de la poutre où la variation de l’élément étudié peut-être représentée par une seule équation.

x₂

x₁ D E

C F

F p (en N/m)

Nombre de zones : 2 Nombre de zones : 3

Identification des différentes zones de la poutre

B

x P en N/m

2L L C

y

= λ λ + = A

= + λ + =

∑ ∫

∑ ∫

3.L

A B

0 3.L

A 0 B

M .z p. .d 2.L.Y 0

F.y Y p.d Y 0

+ =

+ + =

2

B

A D

p.9.L 2.L.Y 0 2

Y 3.P.L Y 0

2 Étude Statique :

Nombre de zones :

= −

= −

B

A

Y 9.p.L 4 Y 3.p.L

4

Exemple n°1

Soit le repère (x,y)

Réaction en A -(3/4)pL

Réaction en B -(9/4)pL

= λ + = − −

= λ − λ + − = − − −

∫

∫

3.L

y x B

3.L 2

z x B

T p.d Y p.(3.L x) 9.p.L 4

(3.L x) 9

Mf p.( x).d (2.L x).Y p. (2.L x). .p.L

2 4

Zone [AB[ : Convention du torseur de droite

Zone [BC[ : Convention du torseur de droite

= λ = −

= λ − λ = −

∫

∫

3.L

y x

3.L 2

z x B

T p.d p.(3.L x)

(3.L x)

Mf p.( x).d p.

2 Conditions aux limites :

[BC[

[AB[

Zones

Mf_z T_y Points

0 0

0 C (x=3.L) B (x=2.L)

A (x=0)

Étude du Torseur de Cohésion par zone :

3.p.L

4 −5

4.p.L p.L

1 2

2.p.L

1 2

2.p.L

Exemple n°1

Réaction en A -(3/4)pL

-(5/4)pL

pL (3/4)L

Ty

(½)pL² (-9/32)pL²

Mfz

(3/2)L

A B

x P en N/m

C

2L L

y

Réaction en B -(9/4)pL

A

Exemple n°1

Tracé des diagrammes :

•Attention au repère pour l’expression :

• Quand Ty>0 alors Mfz décroît et inversement

• La variation de Mfz sur un tronçon donné est égale à l'aire du diagramme de Ty sur ce tronçon

• Si Ty est nul ou subit un saut passant par la valeur zéro, alors Mfz a une valeur extrémale

• Si Ty passe par la valeur zéro de façon discontinue, alors le diagramme de Mfz perd son allure monotone

• Si Ty subit un saut, alors le diagramme de Mfz présente un point anguleux, Mfz change de pente

pL (3/4)L

Ty

(½)pL² (-9/32)pL²

Mfz

(3/2)L

Effort ponctuel en A

= -(3/4)pL A O ^Pe B C

nte de la droite = -p

Pente de la droite = -p Effort ponctuel en B

= -(9/4)pL

Aucun effort ponctuel en C

= 0

= +

= + ×

Aire de la surface de droite

pL L 2

= −

= − ×

Aire de la surface de gauche (3 / 4)pL (3 / 4)L

2

dx Ty

dMfz = −

Vérification de la cohérence des résultats :

Exemple n°1

•Le diagramme de Mfz d'un

système symétrique (géométrie et chargement) est symétrique tandis que celui de Ty est antisymétrique

B A

F

x

y ^{L L}

D

Ty

Mfz

Remarque Générale

Exemple n°2

p (en N/m)

L L L

Pente de la droite -p

Pas d’efforts ponctuels

Pas d’efforts ponctuels

X

Y

X

T_Y

-p.L

+p.L/2

-p.L/2

+p.L

X

Mf_z

Efforts ponctuels : Réaction aux appuis (3.p.L/2)

Pas de moments ponctuels

Pas de moments ponctuels T_Ypassage à

zéro donc Mf_zà une tangente horizontale T_Ysaut en

passant à zéro donc Mf_zà un

point anguleux

+p.L²/2 +p.L²/2

Structure et Chargement symétriques impliquent : - T_Yantisymétrique - Mf_zsymétrique

+3.p.L²/8

-Aire de la surface de T_Yà gauche

C

X

A B

Y

P (N/m)

2.P (N/m)

L L L

D

Q = P.L

-p.L

+7.p.L/4

-p.L/4

+p.L²/2

-p.L²/4

-p.L/4

Etude statique :

Etude RdM :

B D

B

M .Z 0 Y 5.p.L

4

F.Y 0 Y 11.p.L

4

= → = −

= → = −

∑

∑

Zone1

Zone 2

Zone 3

Zone1

Zone 2

Zone 3

Y

Y

Y

2 Z

2 2

Z

Z

T p.x

T p.L 2.p.(x L) 11.p.L 4

11 1

T 3.p.L .p.L .p.L

4 4

Mf p.x

2

p.(x L) p.x 11

Mf .p.L.(x L)

2 2 4

Mf 1.p.L.(3.L x) 4

= −

= − − − +

= − + = −

= +

= + − + − −

= − −

Exemple n°3

Nombre de zones : 3