Modele petit-signal

1

Cours 8

Modele petit signal CMOS

2

Modele petit-signal

• On aimerait utiliser transistors CMOS comme amplificateur

• Par exemple, entrer signal dans grille et observer la sortie au drain

• Le probleme? CMOS sont non-lineaires.

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4x 10^-3

I_D C’est quoi le probleme

avec la non-linearite?

Allons revoir ca…

V_GS

V_D

3

Modele petit-signal

• Si on appliquait un sinus a l’entrée:

• Le courant I_D sera:

0 0.5 1

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0 0.5 1

0 0.5 1 1.5

2x 10^-3

Le bas est plus gros que

le haut C’est le resultat de la

non-linearite…

Modele petit-signal

• Le probleme: relation V-I n’est pas une ligne droite

• Si on se “rapproche” assez, ca devient droit

• Si V_GS change peu, I_D change peu

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4x 10^-3

V_GS I_D

V_GS I_D

1.36 1.38 1.4 1.42 1.44 4.5

5 5.5 6

x 10^-4

C’est “droit”

5

Modele petit-signal

• On met les resistances et sources pour choisir ou on veut “zoomer”

• Ensuite, on calcule la pente pour savoir comment ∆V_GS devient ∆I_D

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4x 10^-3

V_GS

I_D On fait ca lors de

l’analyse DC

Ca, c’est l’analyse petit-signal

Modele petit-signal

• En BJT, on a deduit le comportement avec la serie de Taylor.

• Ici, la derivation est plus facile…

• Commencons par l’equation du courant:

( )

2 1

TH GS

D V V

L COX W

I = µ −

Constant Constant

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4x 10^-3

I_D

7

Modele petit-signal

• Examinons un cas particulier:

• On applique 1.4v a V_GS qui donne I_D de 0.4mA

• Appliquons un petit signal par dessus le 1.4v

• Ce signal donnera un i_D par dessus le 0.4mA

• Le courant resultant est:

• Developpons la parenthese:

( )

2 1

TH gs

GS OX

d

D V v V

L C W

i

I + = µ + −

(

)

(

)

0.4mA 1.4v

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4x 10^-3

Modele petit-signal

• On regroupe les termes:

• Si v_gs petit, c’est negligeable vs 2(V_GS-V_TH)

• Hypothese “petit signal”

( )

[

] ⁽

⁾

gs v V V V V

v + − + −

(

)

( )

[

]

⁽

⁾

9

Modele petit-signal

• On substitue dans l’equation du courant

• On distribue dans la parenthese:

• On remarque que ca peut se simplifier…

( ) ( )

[

]

2 1

TH GS

TH GS

gs OX

d

D v V V V V

L C W

i

I + = µ − + −

( ) ( ) _^



− +

−

=

+ ²

2 1

TH GS

OX TH

GS gs

OX d

D V V

L C W

V V

L v C W

i

I µ µ

( ) ( ) _^



− +

−

=

+ ²

2 1

TH GS

OX TH

GS gs

OX d

D V V

L C W

V V

L v C W

i

I µ µ

Modele petit-signal

• En enlevant les termes equivalents:

• Si v_gs est petit, V_GS est “constant”

• On applique v_gs et on obtient i_d.

( GS TH ) gs OX

d V V v

L C W

i 



−

= µ

( ) ( ) _^



 − + −

=

+ ²

2 1

TH GS

OX TH

GS gs OX

d

D V V

L C W V

V L v

C W i

I µ µ

( GS TH ) gs OX

d V V v

L C W

i 



−

= µ

11

Modele petit-signal

• Si la section au centre est constante, on peut remplacer par une lettre:

• La constante relie un voltage a un courant:

• C’est un “conductance”

• On applique V pour avoir I a une AUTRE borne:

TRANSconductance: g_m

gs m

d g v

i =

gs

d K v

i = ⋅

( GS TH ) gs OX

d V V v

L C W

i 

 



 −

= µ

Modele petit-signal

• On peut donc voir que g_m est donne par:

• Cette equation ressemble un peu a I_D:

• On pourrait ecrire g_m en fonction de I_D:

( GS TH )

OX

m V V

L C W

g = µ −

( ^ID )

g = 2

( GS TH ) OX ( GS TH )( GS TH )

OX

D V V V V

L C W

V L V

C W

I = µ − = µ − −

2 1 2

1 2

g_m

( ⁻ )

= 1

13

Modele petit-signal

• Pour amplifier on veut etre en saturation

• Pourquoi?

• Imaginons qu’on est en region lineaire:

V_GS V_D I_D

( GS TH ) DS OX

D V V V

L C W

I = µ −

1. Si V_GS augmente 2. I_D va augmenter 3. V_DS va baisser

Baisse de V_DS va faire BAISSER I_D

Tout est encore bon

Pour gros gain, on veut I_D independent de V_DS: Saturation

I_D

V_DS

Modele petit-signal

• Derivons le modele petit signal:

• Premierement, aucun courant n’entre dans la grille

• Grille sera circuit ouvert

• Il y a un courant entre drain et source: i_d

• Ce courant est donne par g_mv_gs

• Le modele petit signal se resume donc a:

Grille Drain

g_mv_gs

15

Modele petit-signal

• En saturation l’equation du courant ne depend pas de V_DS

• En realite, le V_DS affecte I_D (un peu)

• On modelise ca avec une resistance de sortie: r_o

I_D

V_DS -V_A

I_D

V_DS

Modele petit-signal

• On calcule la valeur avec:

• V_A: Tension de Early

• λ: coefficient de modulation de canal

Grille Drain

g_mv_gs ^ro

D D

A

o I I

r V

λ

= 1

=

L’un ou l’autre sera donne

17

Exemple

• Trouver le gain v_out/v_in:

• Utilisez µC_OX(W/L)=0.05 et V_A=100

• Etapes suggerees:

• Analyse DC

• Trouver I_D

• Calculer g_m

• Calculer r_o

• Analyse petit signal

R_G1=4K

R_G2=1K

R_D=2K VDD=5

Exemple

• Hypothese: on est en saturation

• On veut le courant. L’equation c’est:

• Pour trouver I_D, il faut V_GS:

• V_S = 0 (connecte au ground)

( )²

2 1

TH GS

OX

D V V

L C W

I = µ −

connu connu

R_G1=4K

R_G2=1K

R_D=2K VDD=5

19

Exemple

• Pour trouver V_G:

• Courant I_G=0

• V_G: diviseur de tension

• Puisque V_S=0, V_G=V_GS:

R VDD R

V R

G G

G G

2 1

2

= +

R VDD R

V R

G G

G GS

2 1

2

= +

R_G1=4K

R_G2=1K

R_D=2K VDD=5

20

Exemple

• On re-ecrit l’equation du courant I_D:

• On substitue avec les chiffres:

• On verifie V_D pour la saturation:

2

2 1

2

2

1 







 −

= + _TH

G G

G OX

D VDD V

R R

R L

C W

I µ

( )

K

I_D K 5 0.7 2.25 5

05 1 . 2 0

1 ²

=



 



 −

=

(

)

5− ⋅ =

= mA K

V_D ^VGD=1-0.5 < 0.7 : saturation

21

Exemple

• Avec I_D, on peut calculer les parametres petit signal:

• On dessine le circuit:

( ²⁻ ) ^{= 0.015}

=

TH GS

D

m V V

g I = = 44444Ω

D A

o I

r V

R_G

g_mv_gs

r_o R_D

v_in

Exemple

• Pour trouver v_out

• On sait que iout est genere par la source:

(

)

gs m

out g v R r

v = − ||

+ - i_out

(

)

out

out i R r

v = − ||

R_G

g_mv_gs

r_o R_D

v_in

23

Exemple

• On sait que v_gs=v_in. v_OUT devient donc:

• Le gain devient:

• En substituant avec les chiffres:

(

)

in m

out g v R r

v = − ||

(

)

m in

out g R r

v

v = − ||

(

)

015 .

0 = −

−

= K K

v v

in out

R_G

g_mv_gs

r_o R_D

v_in

+

- v_gs

Exemple (seul)

• Exemple (seul):

• V_A=100

• µC_OX(W/L)=0.05

• Trouvez I_D

• Calculez g_m et r_o

• Trouvez le gain (entrée grille)

RD=2K RFB=200K

VDD=5

25

Exemple (seul)

• Hypothese: On est en saturation

• On cherche le courant:

• Sachant que I_G=0,

• V_GS=V_G=V_D:

( )²

2 1

TH GS

OX

D V V

L C W

I = µ −

D D D

G

GS V V VDD I R

V = = = −

connu connu

RD=2K RFB=200K

VDD=5

Exemple (seul)

• Il ne reste qu’a trouver I_D:

• On substitue par les chiffres:

• On developpe:

( )²

2 1

TH D

D OX

D VDD I R V

L C W

I = µ − −

(

)

40 1

D

D KI

I = −





− +

= MI KI

I 1 17.2

1 4 49

.

1 18 2

Attention: c’est facile de faire des erreurs avec K et M

27

Exemple (seul)

• On reformatte sous une forme “classique”:

• Equation du 2e ordre. Solution:

• Avec nos chiffres:

D

D I

KI 431 100

46225 .

0

0 = + ² −

a

ac b

b

2

2 − 4

±

−

( )( )

mA K mA

2 3 . 2 200000

46225 .

0 100

4 431

431 ²

− =

±

Exemple (seul)

• Prenons la premiere solution I_D=2.3mA

• On obtient V_D=V_GS=0.4 < 0.7: cut-off

• Cut-off et I_D=2.3mA?: Contradiction.

• Prenons la deuxieme solution I_D=2mA

• On obtient V_D=V_GS=1: On est correct.

• V_GD=0: on est en saturation

• Avec I_D, on calcule parametres petit signal

( ) ( )

( )^{20.3 0.013}

2

2 = =

= − mA

V V

g_m I^D = = KΩ

I

r_o V^A 50

29

Exemple (seul)

• On dessine le circuit petit signal

• Pour l’analyser on ecrit les equations:

D o

out in

m FB

out FB

in

R r

v v R g

v R

v

+ ||

=

−

Exemple (seul)

• v_in a gauche et v_out a droite:

• On regroupe les v_in et les v_out:

• On isole v_out/v_in:



 +







 −

=

m FB

in out

R g v

v

1 1

1

D o

out FB

out in

m FB

in

R r

v R

v v R g

v

+ ||

=

−







 +

 =







 −

D o

FB out

m FB

in g v R r R

v R

||

1 1

1

31

Exemple (seul)

• En substituant avec les valeurs:

• Le gain devient:



 



 +



 



 −

=

K K

K K v

v

in out

200 1 2

||

50 1

013 . 200 0

1

75 .

−24

=

in out

v v

Configurations d’amplificateur

• 3 configurations d’amplificateur CMOS:

• Source commune

• Grille commune

• Drain commun

• Caracteristiques: gain, R_IN et R_OUT

• On va deriver ces caracteristiques pour chaque configuration.

• Considerez ca comme 3 exemples d’analyse de circuits…

(Emetteur commun) (Base commune) (Collecteur commun)

33

Amplificateur Source Commune

• Equivalent a l’emetteur commun.

Entree

Sortie

Amplificateur Source Commune

• Apres analyse DC, on fait 2 choses:

• On met les sources independantes DC→0

• On remplace le transistor par son modele AC

• Circuit equivalent petit-signal:

35

Amplificateur Source Commune

• Pour trouver le gain, on ecrit l’equation au noeud de sortie:

(

)

gs m

out

g v r R R

v = − || ||

Amplificateur Source Commune

• On ne connait pas v_gs. On le trouve en faisant un diviseur de tension:

• On substitue:

in SIG G

G

gs v

R R

v R

= +

(

)

in SIG

G

G m

out v r R R

R R

g R

v  || ||









− +

=

37

Amplificateur Source Commune

• On isole le gain:

( )









− +

=

SIG G

G L

D o

m in

out

R R

R R R

r v g

v || ||

Gain intrinseque Diviseur de tension a l’entree

Amplificateur Source Commune

• Pour R_IN, on ignore la resistance de la source.

• Resistance a l’entrée se trouve avec:

G IN

IN V R

R = =

39

Amplificateur Source Commune

• Pour R_OUT, on met l’entrée a 0.

• On ignore R_L.

• Resistance a la sortie se trouve avec:

D o

OUT r R

R = ||

r_o

R_D

On passe a la grille commune…

Amplificateur Grille Commune

• Equivalent a la base commune

R_G1

R_G2

R_D

R_SIG

R_L R_S

V

V_OUT

Effet negligeable vs. RIN (J’ai deja fait l’analyse)

41

Amplificateur Grille Commune

• Circuit equivalent petit signal:

• Source DC = 0

• Transistor remplace par modele petit signal

R_D RL

V_IN

V_OUT g_mv_gs

R_SIG On neglige r_o

Amplificateur Grille Commune

• On ecrit l’equation du noeud a la sortie:

out g v

v =

− 0

v_a

R_D RL

V_IN

V_OUT gmvgs

R_SIG

a m

out g v

v = −

−

v_gs= -v_a

43

Amplificateur Grille Commune

• On ne connait pas v_a…

• On ecrit donc une autre equation:

= 0

− +

gs m SIG

a

in g v

R v v

v_gs= -v_a

RD R_L

VIN

VOUT

gmvgs

RSIG

= 0

− −

a m SIG

a

in g v

R v v

Amplificateur Grille Commune

• On met les v_a a droite :

• On factorise:

• Meme denominateur:

SIG a a

m SIG

in

R v v

R g

v = +

a SIG

m SIG

in v

g R R

v 







 +

= 1

m SIG

in R g v

v 





 +

= 1

45

Amplificateur Grille Commune

• Les denominateurs s’annulent

• On isole:

a SIG

SIG m

SIG

in v

R R g R

v 







 +

= 1

a SIG

m

in v

R g

v =

+1

Amplificateur Grille Commune

• On entre v_a dans la premiere equation:

• On isole v_out/v_in:

1

|| = +

SIG m

in m

L D

out

R g

g v R

R v

1

||

= +

SIG m

L D

m in

out

R g

R g R

v v

47

Amplificateur Grille Commune

• Le gain de la grille commune est:

( )

[ ]

out SIG

m

L D

m

v v R

g

R R

g =

+ 1

||

Gain intrinseque

Diviseur de tension a l’entree

(La preuve viendra quand on calcule R_IN)

Justement, allons trouver R_IN…

Amplificateur Grille Commune

• Pour R_IN on ecrit l’equation a l’entree

= 0 + g v

i

i_in v_in=-v_gs

RD RL

V_OUT g_mv_gs

R_IN

49

Amplificateur Grille Commune

• On voit que v_gs=0-v_in

= 0

− _{m in}

in g v

i

i_in

RD RL

V_OUT gmvgs

R_IN

Amplificateur Grille Commune

• La resistance a l’entrée devient:

• Du point de vue de la source, il y a une resistance 1/g_m

m in

in

IN i g

R v 1

=

=

RD RL

VOUT

gmvgs

R_IN

R_IN=1/g_m

51

Amplificateur Grille Commune

• Retournons a l’equation du gain:

• V_a: Diviseur de tension entre R_SIG et R_IN.

• Si R_IN=1/g_m, on aurait

SIG m

m in

a

g R v g

v

= +

1 1

( )

[ ]

out SIG

m

L D

m

v v R

g

R R

g =

+ 1

||

Diviseur de tension

RD RL

VOUT

gmvgs

R_IN

R_IN=1/g_m

Amplificateur Grille Commune

• En le manipulant un peu, on obtiendrait:

• On compare avec le gain:

m SIG in

SIG m

m m

m in

a v R g

g R g g

v g

v = +

= +

1

1 1

1

( )

[

]

g =

+ 1

||

Ca confirme que c’est un diviseur de tension

53

Amplificateur Grille Commune

• Pour trouver R_OUT on ecrit l’equation a la sortie

gs m D

out

out g v

R

i = v +

i_out

v_a

RD RL

VIN

VOUT

gmvgs

RSIG

ROUT

0 Puisque R_SIG et V_IN sont 0…

Amplificateur Grille Commune

• L’equation devient donc:

out out

i = v

i_out

RD RL

VIN

VOUT

gmvgs

RSIG

ROUT

out R

R = v =

55

Amplificateur drain commun

• Equivalent au collecteur commun

R_G1

R_G2 R_SIG

R_L R_S

V_IN

V_OUT

Amplificateur drain commun

• Circuit equivalent petit-signal

• Source DC→0

• On remplace le transistor par son modele AC

57

Amplificateur drain commun

• On ecrit l’equation a la sortie

( )

S L

o

s s

g

m r R R

v v v

g − = || ||

v_out g_m(v_g-v_s)

Amplificateur drain commun

• On sait que v_s= v_out

• On ne connait pas v_g, alors on ecrit une 2e equation:

rg

v v =

Diviseur de tension

59

Amplificateur drain commun

• On substitue v_gs dans l’autre equation.

• On met v_out d’un bord et v_in de l’autre:

S L

o

out out

g sig

g in

m r R R

v v r

r v r

g  = || ||









 −

+







 +

+ _g = ^out _{o L S} ^m

sig m g

in g

R R

v r r

r g r

v || ||

1

Amplificateur drain commun

• On sur le meme denominateur (a droite)

• On manipule pour isoler v_out/v_in:







 +

+ = _{o L S}

S L

o m S

L o

out g

sig m g

in r R R

R R

g r R

R v r

r r

g r

v || ||

||

||

||

||

1

(

) ⁽

⁽

⁾

⁾

61

Amplificateur drain commun

• On se dit que certains termes deviennent negligeables:

• On se retrouve avec:

(

) ^[

⁽

⁽

⁾

^{) ]}

1 1

R_G >> R_SIG g_m(r_o||R_L||R_S) >> 1

=1

in out

v v

Amplificateur drain commun

• Le R_IN se trouve par examination visuelle..

R R =

63

Amplificateur drain commun

• Pour trouver R_OUT, on ecrit l’equation au noeud de sortie

( )

S out out

m

out R

v v g

i + 0 − =

Amplificateur drain commun

• En isolant v_out/i_out, on obtient:

• Si R_S >> 1/g_m, ca se simplifie a ceci:







 +

=

=

m S

out out out

R g i

R v

1 1

m out

out

out i g

R v 1

=

=

65

Resume

• Connexion des amplificateurs

Drain Source

Grille DC

Grille Drain

Source GC

Source Drain

Grille SC

Ground Sortie

Entree Configuration

Resume

• Resume des caracteristiques

Faible Faible

Eleve DC

Eleve Eleve

Faible GC

Eleve Eleve

Eleve SC

GAIN ROUT

RIN Configuration

67

Exemple

• Concevez un amplificateur source-

commune avec un gain de 5 avec R_IN de 75Ω si:

• Vous avez une seule source de 15v

• Votre transistor a µC_OX(W/L) de 0.01

• Votre signal a une resistance interne de 75Ω

Exemple

• Pour se simplifier la vie, on va simplement mettre la source au ground

15v

R_SIG