Interpolation des opérateurs de Radon–Nikodym et des espaces <span class="mathjax-formula">$L_\Lambda ^p$</span>, <span class="mathjax-formula">$\mathbf{h}_\Lambda ^p$</span>

ANNALES

DE LA FACULTÉ DES SCIENCES

Mathématiques

MOHAMMAD DAHER

Interpolation des opérateurs de Radon–Nikodym et des espacesL^p_Λ,h^p_Λ

Tome XXVI, n^o1 (2017), p. 1-22.

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pp. 1-22

Interpolation des opérateurs de Radon–Nikodym et des espaces L

, h

Mohammad Daher⁽¹⁾

RÉSUMÉ. — SoientA0,A1deux espaces de Banach eti:A0→A1une injection continue d’image dense. Soient 0< α < β <1 etp∈]1,+∞[ ; l’injectioniinduit une injectionAα,p→Aβ,pentre les espaces d’interpo- lation réels [4]. Dans la première partie, on montre que sii:Aα,p→Aβ,p

est un opérateur de Radon–Nikodym, alorsAα,pa la propriété de Radon–

Nikodym. Le théorème 2.2 montre que ce résultat est faux pour l’inter- polation complexe.

On montre ensuite qu’il existe deux espaces de Banach B0, B1 et i:B0 →B1 une injection de Radon–Nikodym tels que pour tous 0<

α < β < 1, l’injection i : Bα → Bβ ne soit pas un opérateur de Radon–Nikodym. On introduit l’espace d’interpolationA⁺_θ, θ ∈ ]0,1[, et on montre queA^θest un sous-espace isométrique deA⁺_θ.

Soit (B0, B1) un couple d’interpolation tel queB0∩B₁est dense dans B0etB1. Dans la deuxième partie, on montre queL^p(T, B^θ) est un sous- espace isométrique de [L^p(T, B0), L^p(T, B1)]^θ, pour tout p ∈ [1,+∞[.

Pourp =∞, on montre queL^∞(T, B^θ) est un sous-espace isométrique de [L^∞(T, B0), L^∞(T, B1)]^θ. On retrouve notre résultat antérieur [10]

concernant l’interpolation des espaces de Hardy vectoriels.

ABSTRACT. — Let A0, A1 be two Banach spaces, i :A0 →A1 a continuous injection with dense range and 0< α < β <1. In the first part of this work, we show that ifi:Aα,p→Aβ,pis a Radon–Nikodym operator, thenAα,p has the Radon–Nikodym property. We show that this result is false for complex interpolation (Theorem 2.2). We also show that there are two Banach spacesB0, B1 and i : B0 → B1 a Radon–

Nikodym injection such that for 0< α < β < 1,i :Aα →Aβ is not a Radon–Nikodym operator. We introduce the interpolation spacesA⁺_θ, θ∈]0,1[, and show thatA^θis an isometric subspace ofA⁺_θ.

(*)Reçu le 24 novembre 2015, accepté le 24 février 2016.

Mots-clés :Interpolation des espacesh^petL^p. Classification math. :45B70, 46B22, 46B28.

(1) 16 square Albert Schweitzer, 77350 Le Mée-sur-Seine, France — m.daher@orange.fr

Article proposé par Fabrice Gamboa.

In the second part of the article, we consider a regular interpola- tion pair (B0, B1) and show thatL^p(T, B^θ) is an isometric subspace of [L^p(T, B0), L^p(T, B1)]^θfor everyp∈[1,+∞[. Moreover, we show that the spaceL^∞(T, B^θ) is an isometric subspace of [L^∞(T, B0), L^∞(T, B1)]^θ. We retrieve our result from [10] concerning the interpolation of Hardy spaces of vector valued functions.

1. Introduction

On note D⊂ Cle disque unité ouvert de C, m la mesure de Lebesgue normalisée sur le toreT. Pour tout espace de BanachX, on note (x, x^∗) = x^∗(x) quandx∈X,x^∗∈X^∗.

Définition 1.1. — Soient X un espace de Banach et Λ ⊂ Z. On dit que la fonctionu:D→X est une fonction harmonique à spectre dansΛs’il existe une suite(xk)k∈Λ dansX vérifiant

u(z) =X

k∈Λ

r^|k|e^ikθxk, z=re^iθ∈D, et si cette série converge uniformément sur tout compact deD.

Pour tout p∈ [1,+∞], on désigne par h^p_Λ(D, X) l’espace des fonctions u:D→X harmoniques à spectre dans Λ, bornées si p= +∞, ou vérifiant sip∈[1,+∞[ que

kuk^p_hp(D,X)= sup

0<r<1

Z

T

ku(re^it)k^p_Xdm(t)<+∞.

Si Λ = N, on note h^p

N(D, X) = H^p(D, X) et h^p

Z(D, X) = h^p(D, X). On désigne parL^p_Λ(T, X), 16p6∞, l’espace des fonctionsf ∈L^p(T, X) telles quefb(k) = R

Te^−iktf(t)dm(t) = 0 pour tout k /∈Λ. Pour Λ = N, on note L^p_Λ(T, X) =H^p(T, X).

Le noyau de PoissonPzau pointz=re^iθ∈Dest défini par Pz(t) = Re (e^it+z)/(e^it−z)

= (1−r²)/|1−ze^−it|²

=Pr(θ−t) =X

k∈Z

r^|k|e^ik(θ−t), t∈[0,2π].

On désigne par L^p+(T) le cône des fonctions de L^p(T) à valeurs dans R⁺. Alors [11] V B^p(T, X), 1 < p 6 +∞, désigne l’espace des opérateurs T :L^p0(T)→X, tels qu’il existe g^T ∈L^p+(T) vérifiant

kT fk_X6 Z

T

|f(t)|g^T(t)dm(t), f ∈L^p0(T), (1.1)

oùp⁰ désigne l’exposant conjugué dep, 1/p+ 1/p⁰= 1. Cet espace est muni de la norme

kTk_{V B}p(T,X)= inf

kg^TkL^p .

L’espace V B^∞(T, X) coïncide avec l’espace des opérateurs bornés de L¹(T) dans X. L’espace L^p(T, X) s’identifie isométriquement à un sous espace fermé de V B^p(T, X) [5, Corollary 14]. L’espace V B^p(T, X^∗) est le dual deL^p0(T, X), lorsque 1< p6∞[11, Chapter II, 13.3, Corollary 1.1].

D’après [9, lemme 3.2], on aV B^p(T, X) =h^p(D, X) isométriquement. Pour f ∈ h^p(D, X) on note T_f ∈ V B^p(T, X) l’opérateur associé à f, qui vérifie T_f(P_z) =f(z) pour toutz∈D.

Soient B = (B0, B1) un couple d’interpolation complexe au sens de [4, Chapter II] et θ ∈ ]0,1[. Soient S = {z∈C; 06Re(z)61} et S₀={z∈C; 0<Re(z)<1}. On noteF(B) l’espace des fonctionsF:S→ B₀+B₁,F continue bornée surS, holomorphe surS₀, telle que l’application τ →F(j+iτ) soit continue de Rà valeurs dansB_j et kF(j+iτ)k_Bj →0 quand|τ| → ∞, pourj∈ {0,1}. SiF ∈ F(B) on pose

kFk_F(B)= max sup

τ∈R

kF(iτ)kB₀,sup

τ∈R

kF(1 +iτ)kB₁ .

L’espace d’interpolation complexe (B₀, B₁)θ = Bθ est égal à l’ensemble F(θ); F ∈ F(B) . C’est un espace de Banach [4, Theorem 4.1.2] pour la norme définie par

kak_Bθ = inf

kFk_F(B); F(θ) =a .

Toute fonction F ∈ F(B) est représentée à partir de ses valeurs au bord grâce à la mesure harmonique [4, Sections 4.3, 4.5] :

F(z) = Z

R

F(iτ)Q0(z, iτ)dτ+ Z

R

F(1 +iτ)Q1(z,1 +iτ)dτ, z∈S0. (1.2) On noteG(B) le quotient par les constantes (à valeurs dansB₀+B₁) de l’espace des fonctionsgà valeurs dansB0+B1, continues surS, holomorphes dansS0et telles que

(C) sup

z∈S

kg(z)kB₀+B₁

1 +|z| <+∞,

(C⁰) on ag(j+iτ)−g(j+iτ⁰)∈B_j, pour tousτ, τ⁰∈R,j∈ {0,1}et la quantité suivante est finie :

kgk_G(B)= max

"

sup_τ6=τ0∈R

kg(iτ)−g(iτ⁰)kB0

|τ−τ⁰|

, sup_τ6=τ0∈R

k(g(1+iτ)−g(1+iτ⁰)kB1

|τ−τ⁰|

# .

L’espace (B₀, B₁)^θ = B^θ =

g⁰(θ); g∈ G(B) est de Banach [4, Theo- rem 4.1.4] pour la norme définie par

kak_Bθ = inf

kgk_G(B); g⁰(θ) =a .

Soitp∈[1,+∞]. L’espace d’interpolation réelBθ,p est défini par Bθ,p=n

a∈B₀+B₁; kakB_θ,p =hZ

R⁺

K(a, t)/t^θp

dt/ti1/p

<+∞o , où

K(a, t) = inf{ka0kB₀+tka1kB₁; a=a0+a1, aj∈Bj, j= 0,1}. L’espaceB_θ,p, muni dek.k_Bθ,p, est un espace de Banach [4, Theorem 3.4.2].

Pour toutθ∈[0,1] et toutp∈[1,∞[, on désigne parB_θ^∗(resp.B^∗_θ,p) le dual deB_θ (resp. le dual deB_θ,p), avec la convention queB_j =B_j,p,j= 0,1.

Les espaces d’interpolation ont les propriétés suivantes :

(i) Pour tout p ∈ [1,∞[, l’intersection B₀∩B₁ est dense dans B_θ [4, Theorem 4.2.2] et dansB_θ,p[4, Theorem 3.4.2].

(ii) L’espaceBθ est un sous-espace isométrique deB^θ [3].

(iii) Le dual deBθs’identifie isométriquement à l’espace (B₀^∗, B^∗₁)^θsiB0∩B1

est dense dansB0 et dansB1[4, Theorem 4.5.1].

(iv) Le dual de B_θ,p, 1< p < ∞, s’identifie isomorphiquement à l’espace (B₀^∗, B^∗₁)_θ,p⁰, siB₀∩B1est dense dansB₀et dansB₁[4, Theorem 3.7.1].

D’après [4, Theorem 3.5.2 et (1), p. 49], il existe une constante C > 0 telle quekakB_θ,1 6 Ckak^1−θ_B

0 kak^θ_B

1, pour tout a ∈ B0∩B1. D’autre part, d’aprè s le théorème 3.4.1-(b) de [4],B_θ,1 s’injecte continûment dans B_θ,p, donc il existe une constanteC >0 telle que

kakθ,p6Ckak^1−θ_B

0 kak^θ_B1, ∀a∈B0∩B1. (1.3) Dans cet article, A0, A1 désignent deux espaces de Banach, A0 étant un sous-espace dense deA1. On notei:A0→A1l’injection identité définie par i(a) =a,a∈A0, qu’on suppose de norme 1.

2. Interpolation des opérateurs de Radon–Nikodym

Soient 0< α < β <1 etp∈]1,+∞[. Dans cette partie, nous montrons que sii:A_α,p→A_β,p est un opérateur de Radon–Nikodym, alorsA_α,p a la propriété de Radon–Nikodym. Nous verrons que l’énoncé correspondant est faux pour l’interpolation complexe. Dans la suite, nous introduisons l’espace d’interpolationA⁺_θ, θ∈]0,1[. Nous montrons que (A^∗₀, A^∗₁)⁺_θ = (A^∗₀, A^∗₁)^θet queA^θest un sous-espace isométrique de A⁺_θ.

Définition 2.1. — Soient X, Y deux espaces de Banach etT :X →Y un opérateur borné. L’opérateurT est un opérateur de Radon–Nikodym (resp.

de Radon–Nikodym analytique) si pour toutef ∈h^∞(D, X)(resp. pour toute f ∈H^∞(D, X)), la fonction r 7→(T(f(re^it)))_r∈[0,1[ admet une limite dans Y lorsquer tend vers 1, pour presque toutt∈T.

L’espace X a la propriété de Radon–Nikodym (resp. de Radon–Nikodym analytique) si l’identité deX a la propriété correspondante.

L’espace X a la propriété de Radon–Nikodym dès qu’on a l’égalité h^p(D, X) =L^p(T, X) pour un p∈ ]1,+∞] ; l’égalité a alors lieu pour tout p∈]1,+∞]. L’espace X a la propriété de Radon–Nikodym analytique si on a H^p(D, X) =H^p(T, X) pour un p∈[1,+∞], et l’égalité a alors lieu pour toutp∈[1,+∞], voir [7].

Siψest une fonction convexe croissante sur [0,+∞[ et telle queψ(0) = 0, l’espace d’OrliczL^ψ([0,1]) =L^ψ est défini par

L^ψ =n

f ∈L⁰([0,1]);

Z 1

0

ψ(ε⁻¹|f(t)|)dt <+∞pour unε >0o , oùL⁰([0,1]) désigne l’espace des fonctions mesurables définies (presque par- tout) sur [0,1] à valeurs dansC. C’est un espace de Banach [14, III 3, Theo- rems 3 and 10] pour la norme définie par

kfk_Lψ = infn ε >0;

Z 1

0

ψ(ε⁻¹|f(t)|)dt61o .

Théorème 2.2. — Il existe deux espaces de BanachB0, B1 eti:B0→ B1 une injection de Radon–Nikodym tels que i:Bα→Bβ est un opérateur de Radon–Nikodym pour tous0< α < β <1, maisBα n’a pas la propriété de Radon–Nikodym analytique.

Lemme 2.3. — Soientδ, θ∈]0,1[tels que δ > θ. AlorskakA_δ 6kak_Aθ, pour touta∈A^θ.

Démonstration du lemme 2.3. — Considéronsa∈A^θetα, γ∈]0,1[ tels queθ = (1−γ)α+γδ, α < δ. D’après [10, lemme 2.6] on akak(A_α,A_δ)^γ 6 kak_Aθ. D’autre part, (Aα, Aδ)^γ ⊂ Aα+Aδ = Aδ et kakA_δ 6 kak(A_α,A_δ)^γ,

donckakA_δ 6kak_Aθ.

Lemme 2.4. — Supposons quei^∗:A^∗₁→A^∗₀soit un opérateur de Radon–

Nikodym. Alors pour tous 0 < α < γ < 1, l’injection i^∗ : (A^∗₁, A^∗₀)^α → (A^∗₁, A^∗₀)_γ est un opérateur de Radon–Nikodym.

Démonstration du lemme 2.4. — D’après [4, Theorem 5.1.2] on sait que L²(T, A₁), L²(T, A₀)

α=L²(T,(A₁, A₀)_α). Ensuite, d’après l’introduction, on a (L²(T, Aj))^∗ = h²(D, A^∗_j), j = 0,1 et (L²(T,(A1, A0)α)^∗ est égal

à h²(D,(A₁, A₀)^∗_α). Ceci implique d’après le rappel (iii) que (L²(T, A₁), L²(T, A₀))^∗_α est égal à

h²(D, A^∗₁),h²(D, A^∗₀)^α , donc h²(D, A^∗₁),h²(D, A^∗₀)^α

=h²(D,(A1, A0)^∗_α) =h²(D,[A^∗₁, A^∗₀]^α).

D’autre part, le lemme 2.3 nous montre que

h²(D, A^∗₁),h²(D, A^∗₀)α

s’in- jecte continûment dans

h²(D, A^∗₁),h²(D, A^∗₀)

γ. Ce dernier espace est égal à L²(T,[A^∗₁, A^∗₀]_γ) d’après [10, proposition 2.3], parce que l’injection i^∗ : A^∗₁ → A^∗₀ est de Radon–Nikodym. Par conséquent, toute fonction dans h²(D,[A^∗₁, A^∗₀]^α) admet des limites radiales presque partout dans [A^∗₁, A^∗₀]_γ. Démonstration du théorème 2.2. — Considéronsψ(t) =tlog(1 +t) pour t∈R⁺, etj:L^ψ→L¹l’injection canonique. SoientB₀= (L¹)^∗=L^∞,B₁= (L^ψ)^∗eti=j^∗:B₀→B₁. Remarquons queiest faiblement compacte (donc iest un opérateur de Radon–Nikodym), carjest uniformément convexifiant d’après [2]. D’autre part, d’après [10, corollaire 1.4], l’espaceBα n’a pas la propriété de Radon–Nikodym analytique. Pour conclure, il suffit d’appliquer le lemme 2.4, en remarquant queBαest un sous-espace isométrique deB^α. Problème 2.5. — Supposons que l’injection i:A₀→A₁soit un opéra- teur de Radon–Nikodym. D’après [10, proposition 2.3], on sait que l’espace [h^p(D, A₀),h^p(D, A₁)]_θ est égal à L^p(T, A_θ) (resp., on sait que l’espace [h^p(D, A₀),h^p(D, A₁)]_θ,p est égal à L^p(T, A_θ,p)), c’est donc un sous-espace fermé de h^p(D, A_θ) (resp., de h^p(D, A_θ,p)), pour tout θ ∈ ]0,1[ et tout p∈]1,+∞[.

Soiti:A0→A1 une injection continue d’image dense. A-t-on la même conclusion ?

Signalons qu’il existe un couple d’interpolation (B0, B1) tel que les espaces B0, B1 ont la propriété de Radon–Nikodym et tel que l’espace [h^p(D, B₀),h^p(D, B₁)]^θ = [h^p(D, B₀),h^p(D, B₁)]_θ soit un sous-espace strict deh^p(D, B^θ) =h^p(D, Bθ), pour toutθ∈]0,1[ et toutp∈]1,+∞[ (cf. [12]).

Remarque 2.6. — Soientθ ∈]0,1[,p∈]1,+∞[ et a∈A_θ,p. Il est clair queK(a, t) =tkak_A1 pour toutt∈]0,1], donc

kak^p_A

θ,p = Z 1

0

(t^1−θkakA₁)^pdt t +

Z ∞

1

K(a, t) t^θ

^pdt t

= kak^p_A

1

(1−θ)p+ Z ∞

1

K(a, t) t^θ

p

dt t . Remarque 2.7. — NotonsNθ,p(a) =kakA₁+ R∞

1 (^K(a,t)_tθ )^{p dt}_t1/p

, pour a∈Aθ,p. La quantitéNθ,p(.) est une norme équivalente surAθ,p.

Démonstration. —En effet, pour tout a∈A_θ,p, on a kak_Aθ,p =

kak^p_A

1

(1−θ)p+ Z ∞

1

K(a, t) t^θ

pdt t

^1/p

6 kakA₁

[(1−θ)p]^1/p+Z ∞ 1

K(a, t) t^θ

^p dt t

^1/p

6max 1,[(1−θ)p]^−1/p

Nθ,p(a).

D’autre part, pour touta∈Aθ,p, on a N_θ,p(a) =kak_A1+Z ∞

1

K(a, t) t^θ

pdt t

1/p

6kakA_θ,p+kakA_θ,p = 2kakA_θ,p.

Enfin, on voit quekik(A_θ,p,N_θ,p)→(Aγ,p,N_γ,p)61 quandγ∈]θ,1[.

Pour toutθ∈]0,1[ et toutp∈[1,+∞[, on notera A⁺_θ,p=n

a∈ \

γ>θ

A_γ,p; kak_A⁺

θ,p = sup

γ>θ

N_γ,p(a)<+∞o .

L’espaceA⁺_θ,p est un espace de Banach. Pourθ ∈[0,1[ , désignons par A⁺_θ l’espace

A⁺_θ =n a∈ \

γ>θ

Aγ; kak_A+ θ

= sup

γ>θ

kakA_γ <+∞o ,

et parA⁻_θ le complété de l’espaceN_θ=S

β<θA_β, pour la norme kak_A⁻

θ = inf

kakA_β; a∈Nθ etβ < θ . Remarque 2.8. — D’après le lemme 2.3, on sait que

A⁺_θ =n a∈ \

γ>θ

A^γ; kak_A⁺

θ = sup

γ>θ

kakA^γ <+∞o .

Théorème 2.9. — Soient 0< α < β <1 et p∈[1,∞[. Supposons que l’injectioni:A_α,p→A_β,p soit un opérateur de Radon–Nikodym. AlorsA_α,p a la propriété de Radon–Nikodym.

Lemme 2.10. — Soient θ ∈ ]0,1[ et p∈ [1,+∞[. On a (Aθ,p, Nθ,p) = A⁺_θ,p isométriquement.

Démonstration du lemme 2.10. — D’après la remarque 2.6, A_θ,p se plonge continûment dansA⁺_θ,p. Soienta∈A⁺_θ,pet (θn)n>0une suite décrois- sante dans ]θ,1[ convergeant versθ. Par le lemme de Fatou on a

Nθ,p(a) =kakA₁+Z ∞ 1

K(a, t) t^θ

^p dt t

^1/p

6kakA₁+ lim inf

n→+∞

Z ∞

0

K(a, t) t^θn

^p dt t

^1/p

6kak_A+

θ,p.

Lemme 2.11. — Soienti :A₀ → A₁ une injection de Radon Nikodym, γ ∈]0,1[ et p∈]1,+∞[. Alors i : A₀ →A_γ,p est un opérateur de Radon–

Nikodym.

Démonstration du lemme 2.11. — Soientf ∈h^∞(D, A₀) et (r_n)n>0 une suite dans l’intervalle ]0,1[ telle que r_n → 1 quand n → +∞. Comme i : A₀→A₁est un opérateur de Radon–Nikodym, la suite (f(r_ne^it))_n>0est de Cauchy dansA₁ pour presque toutt ∈T. D’autre part, on a d’après (1.3) pour toutm, n∈Nque

kf(rne^it)−f(rme^it)kA_θ,p

6Ckf(r_ne^it)−f(r_me^it)k^1−θ_A

0 kf(r_ne^it)−f(r_me^it)k^θ_A

1. Comme sup_06r<1kf(re^it)k_A0 < +∞ pour presque tout t ∈ T, la suite (f(rne^it))n>0 est de Cauchy dans Aθ,p pour presque tout t ∈ T, c’est-à -dire quef admet presque partout des limites radiales dansAθ,p.

Démonstration du théorème 2.9.

Étape 1. Considérons γ ∈ ]α, β[ et montrons que i : Aα,p → Aγ,p est un opérateur de Radon–Nikodym. Il existe η ∈ ]0,1[ tel que γ = (1− η)α+ηβ. D’après le théorème de réitération [4, Theorem 3.11.5], Aγ,p = (Aα,p, Aβ,p)η,p. Par hypothèse,i:Aα,p →Aβ,p est un opérateur de Radon–

Nikodym donc, d’après le lemme 2.11, i: Aα,p →(Aα,p, Aβ,p)η =Aγ,p est un opérateur de Radon–Nikodym.

Étape 2. Montrons queAα,p a la propriété de Radon–Nikodym. Soient g∈h^∞(D, Aα,p) et (βn)n>0une suite décroissante dans ]α, β[ telle queβn→ αquand n →+∞. Fixons n ∈N. L’étape 1 montre quei : Aα,p →Aβn,p

est un opérateur de Radon–Nikodym. Il existe doncψ_n ∈ L^∞(T, A_βn,p) et un ensemble mesurable Ωn dans T tels que m(Ωn) = 1 et g(re^it) →_r→1⁻ ψn(t) dans Aβn,p pour tout t ∈ Ωn. Considérons Ω = T

n>0Ωn et ψ(t) = lim_r→1⁻g(re^it) (dansA1),t∈Ω.

Étape 3-a. Montrons queψ(t)∈A_α,p. Observons que pour tout n∈N et pour presque toutt∈Ton a

sup

06r<1

N_βn,p(g(re^it))6 sup

06r<1

N_α,p(g(re^it))<+∞.

Ceci implique sup_n>0Nβ_n,p(ψ(t)) < +∞, donc ψ(t) ∈ A⁺_α,p pour presque toutt∈T. En appliquant le lemme 2.10, on voit queψ(t)∈A_α,p.

Étape 3-b. Montrons queψ est mesurable à valeurs dansA_α,p. Remar- quons qu’il existe des sous-espaces fermés séparablesC_j de A_j, j ∈ {0,1}, C₁ adhérence dansA₁ deC₀, tels queg est à valeurs dansC_α,p qui est un espace séparable. On peut donc supposer queA_α,p est séparable. Commeψ est mesurable à valeurs dansA₁ et que A_α,p est un espace polonais, ψ est mesurable à valeurs dans Aα,p d’après [1, Theorem 3.2.3 et son corollaire].

En appliquant le résultat de [7], on voit queg(z) =R

Tψ(t)Pz(t)dm(t) dans A1, pour z ∈ D. Cette égalité vaut dans Aα,p puisque ψ est mesurable à valeurs dans Aα,p. Il en résulte que g admet des limites radiales presque

partout dansAα,p [15, Theorem 7.6].

Corollaire 2.12. — Soient α∈ ]0,1[ et p∈ ]1,+∞[. Supposons que A₁ a la propriété de Radon–Nikodym. Alors A_α,p a la propriété de Radon–

Nikodym.

Démonstration. —Soitβ ∈]α,1[. Par un argument analogue à celui du lemme 2.11, on montre que l’injection i : Aα,p → Aβ,p est un opérateur de Radon–Nikodym. Donc d’après le théorème 2.9, Aα,p a la propriété de

Radon–Nikodym.

Corollaire 2.13. — Soientα∈]0,1[etp∈]1,+∞[, et supposons que i^∗ : A^∗₁ → A^∗₀ est un opérateur de Radon–Nikodym. Alors (A^∗₀, A^∗₁)α,p a la propriété de Radon–Nikodym.

Démonstration. —Par un argument analogue à celui du lemme 2.4, on montre que pour tout 1> β >1−α, i^∗ : (A^∗₁, A^∗₀)^∗_1−α,p → (A^∗₁, A^∗₀)_β,p est un opérateur de Radon–Nikodym. D’après le théorème 2.9, l’espace (A^∗₀, A^∗₁)_α,p= (A^∗₁, A^∗₀)_1−α,p a la propriété de Radon–Nikodym.

Remarque 2.14. — Dans le théorème 2.9, on peut remplacer « opéra- teur de Radon–Nikodym » par « opérateur de Radon–Nikodym analytique ».

Donc, dans le corollaire 2.12, on peut remplacer «A1 a la propriété de Radon–Nikodym » par «A1a la propriété de Radon–Nikodym analytique », ce qui améliore [10, corollaire 1.6].

Théorème 2.15. — Il existe deux espaces de BanachB0, B1eti:B0→ B1 une injection de Radon–Nikodym tels que pour tous 0 < α < β < 1, l’injectioni:Bα→Bβ n’est pas un opérateur de Radon–Nikodym.

Lemme 2.16. — Soient 0< α < β < 1 et p∈ ]1,+∞[. Supposons que l’injectioni:A_α→A_β est un opérateur de Radon–Nikodym. Alors il existe θ₀∈]0,1[tel queA_θ0,p a la propriété de Radon–Nikodym.

Démonstration du lemme 2.16. — Soient θ₁ ∈ ]0, α[ et θ₂ ∈ ]β,1[.

D’après [4, Theorem 4.7.2], (A_θ1, A_α)_η,p = A_θ0,p, et (A_β, A_θ2)_η,p = A_δ,p, oùθ₀= (1−η)θ₁+ηα,δ= (1−η)β+ηθ₂. DoncA_θ0,p⊂A_α⊂A_β⊂A_δ,p. Il en résulte que i : Aθ₀,p → Aδ,p est un opérateur de Radon–Nikodym.

En appliquant le théorème 2.9, on voit queAθ₀,p a la propriété de Radon–

Nikodym.

Démonstration du théorème 2.15. — D’après [13] il existe deux espaces de BanachX,Y etT :X →Y un opérateur de Radon–Nikodym qui ne se factorise par aucun espace de Banach ayant la propriété de Radon–Nikodym.

ConsidéronsB₀=X/ker(T) etB₁=Y ; il est clair que l’injectioni:B₀→ B₁est un opérateur de Radon–Nikodym qui ne se factorise par aucun espace ayant la propriété de Radon–Nikodym.

Supposons maintenant qu’il existe 0< α < β <1 tels quei:Bα →Bβ

soit un opérateur de Radon–Nikodym. D’après le lemme 2.16, il existeθ0∈ ]0,1[ tel queBθ₀,pa la propriété de Radon–Nikodym pour toutp∈]1,+∞[.

Il en résulte quei se factorise par un espace de Banach ayant la propriété

de Radon–Nikodym, ce qui est impossible.

Le théorème suivant montre que le lemme 2.4 n’est pas vrai si on rem- place « opérateur de Radon–Nikodym » par « opérateur de Radon–Nikodym analytique ».

Théorème 2.17. — Il existe deux espaces de BanachB₀, B₁ et une in- jection continue d’image dense i: B₀ →B₁, tels que B₁^∗ a la propriété de Radon–Nikodym analytique, mais que pour tout 0 < θ < β <1, l’injection i^∗ : (B₁^∗, B₀^∗)θ → (B₁^∗, B₀^∗)β ne soit pas un opérateur de Radon–Nikodym analytique,

Démonstration. —Considérons B0 =`¹(Z), B1 =C(T) eti :B0 →B1

l’injection définie pari(x)(.) =P

k∈Zx_ke^ik(.), pour x= (x_k)k∈Z ∈`¹(Z).

Remarquons que B₁^∗ = M(T) a la propriété de Radon–Nikodym analy- tique. Supposons qu’il existe 0 < θ < β < 1 tels que i^∗ : (B^∗₁, B₀^∗)_θ → (B₁^∗, B₀^∗)_β soit un opérateur de Radon–Nikodym analytique et fixons p ∈ ]1,+∞[. Par un argument analogue à celui du lemme 2.16, il existe θ₀ ∈ ]0,1[ tel que (B₁^∗, B₀^∗)_θ0,p a la propriété de Radon–Nikodym analytique.

D’autre part, d’après le lemme de Pisier [6, Lemma 5.1], l’espace E = (L¹(T), c0(Z))θ₀,p contient c0 isomorphiquement. Or E se plonge isométri-

quement dans

(B₁^∗, B₀^∗)θ₀,p, d’après [10, lemme 3.8]. Il en résulte que (B₁^∗, B₀^∗)θ₀,p n’a pas la propriété de Radon–Nikodym analytique, ce qui est impossible.

Proposition 2.18. — Il existe B₀, B₁ deux espaces de Banach et une injection de Radon–Nikodymi:B₀→B₁ tels quei:B₀→B⁺₀ n’est pas un isomorphisme.

Démonstration. —SoitB0, B1 les espaces du théorème 2.15. Supposons que i : B0 → B₀⁺ est un isomorphisme. On peut supposer que B0 est sé- parable, donc B₀⁺ est séparable. Comme i : B0 → Bβ est un opérateur de Radon–Nikodym pour tout β ∈ ]0,1[ (par un argument analogue à ce- lui du lemme 2.11), par un argument analogue à celui du théorème 2.9, i:B0→B₀⁺ est un opérateur de Radon–Nikodym, donc B₀⁺ a la propriété de Radon–Nikodym, c’est-à-dire quei:B0→B1 se factorise par un espace ayant la propriété de Radon–Nikodym. C’est impossible d’après [13].

Soit (B0, B1) un couple d’interpolation tel queB0∩B1est dense dansB0

et dansB1. NotonsB⁰_j l’adhérence deB^∗₀∩B₁^∗dansB_j^∗,j= 0,1. Il est clair queB⁰₀∩B₁⁰ =B₀^∗∩B₁^∗, isométriquement. D’après [4, Theorem 4.2.2-b)] on a isométriquement, pourθ∈]0,1[,

(B₀⁰, B₁⁰)_θ= (B₀^∗, B₁^∗)_θ. (2.1) Comme B₀⁰ ∩ B⁰₁ est dense dans B_j⁰, le dual de B_θ⁰ = (B₀⁰, B₁⁰)_θ est ((B⁰₀)^∗,(B₁⁰)^∗)^θ [4, Theorem 4.5.1] et, d’après [4, Theorem 2.7.1], on a

(B₀⁰)^∗+ (B₁⁰)^∗= (B₀⁰ ∩B₁⁰)^∗= (B^∗₀∩B₁^∗)^∗= (B₀+B₁)^∗∗.

En particulier, B₀+B₁ s’identifie isométriquement à un sous-espace fermé de (B₀⁰)^∗+ (B₁⁰)^∗. Soiti_j :B_j⁰ →B_j^∗ l’injection canonique ; la restriction de son adjoint i^∗_j : Bj →(B⁰_j)^∗, j = 0,1, est contractante. Le lemme suivant provient de [8, lemme 1].

Lemme 2.19. — SoitR:G(B0, B1)→ G((B⁰₀)^∗,(B⁰₁)^∗)l’application dé- finie parg(j+i.)→i^∗_j(g(j+i.)),j= 0,1. L’applicationRest une contraction et induit une contraction injective

R^θ:B^θ→((B₀⁰)^∗,(B₁⁰)^∗)^θ, θ∈]0,1[.

Démonstration. —Il est clair que R est une contraction (non injective en général). On identifieB^θ et ((B₀⁰)^∗,(B₁⁰)^∗)^θà des quotients deG(B₀, B₁) etG((B₀⁰)^∗,(B₁⁰)^∗) respectivement. Notant que (R g(.))⁰(θ) =R^θ(g⁰(θ)), on voit que R induit une contraction R^θ sur ces quotients. Notons que, pour a∈B^θ etb∈B₀⁰ ∩B₁⁰ =B^∗₀∩B₁^∗= (B0+B1)^∗, on a

(R^θ(a), b) = (a, b).

Si R^θ(a) = 0, alors (a, b) = 0 pour tout b ∈ B⁰₀∩B₁⁰ = (B0+B1)^∗, d’où

a= 0 dansB0+B1, et donc dansB^θ.

Notons B^θ le complété de R^θ(B^θ) dans ((B⁰₀)^∗,(B₁⁰)^∗)^θ, θ ∈ ]0,1[, cet espace a été introduit dans [8]. Signalons que R^θ(Bθ) est un sous-espace

isométrique de [(B₀⁰)^∗,(B⁰₁)^∗]^θ [8, lemme 4]. Pour tout espace de Banach X, on désigne par Λ(X) l’espace des fonctions f définies sur R à varia- tion bornée, telles que f(t₁)−f(t₂) ∈ X pour t₁, t₂ ∈ R, et kfk_Λ(X) = sup_t

16=t₂kf(t₁)−f(t₂)k_X/|t₁−t₂|<+∞.

Proposition 2.20. — Soitθ∈]0,1[. AlorsA^θest un sous-espace isomé- trique deA⁺_θ.

Proposition 2.21. — Soitθ∈]0,1[. Alors (A^∗₁, A^∗₀)^θ= [A^∗₁, A^∗₀]⁺_θ, iso- métriquement.

Avant de démontrer ces propositions rappelons les lemmes classiques sui- vants (bien connus) :

Lemme 2.22. — Soit(f_n)n>0 une suite de fonctions holomorphes à va- leurs dansC, uniformément bornée surS₀. Sif_n→n→+∞f simplement sur S₀, alorsf est holomorphe surS₀.

Lemme 2.23. — Soit (fn)n>0 une suite comme dans le lemme 2.22.

Alors fn →_n→+∞ f uniformément sur toute boule fermée dans S0 (donc sur tout compact deS0).

Démonstration des lemmes 2.22 et 2.23. — Soientz₀∈S₀ et r >0 tels que la boule fermée de centrez₀et de rayonrsoit contenue dans S₀, ce qui implique r < 1. Notons Γ = {z∈C; |z−z0|=r}. D’après la formule de Cauchy, pour toutn∈Net toutz∈B(z0, r) , on a que

fn(z) = 1 2iπ

Z

Γ

fn(ξ) ξ−z dξ.

En appliquant le théorème de convergence dominée, on voit que pour tout z∈B(z0, r),

f(z) = 1 2iπ

Z

Γ

f(ξ) ξ−zdξ,

par conséquentf est holomorphe dansS0. Il existe donc une suite (ak)k>0

telle quef(z) =P

k>0ak(z−z0)^k,z∈B(z0, r) et pour toutn, il existe une suite (a⁽ⁿ⁾_k )k>0 telle que fn(z) = P

k>0a⁽ⁿ⁾_k (z−z0)^k, z ∈ B(z0, r) . Alors a⁽ⁿ⁾_k −a_k = R

T

f_n(ρe^it+z₀)−f(ρe^it+z₀)

e^−iktdm(t), où ρ ∈ ]0, r[. En appliquant le théorème de convergence dominée, on voit que

sup

k>0

|a⁽ⁿ⁾_k −ak|6 Z

T

|fn(ρe^it+z₀)−f(ρe^it+z₀)|dm(t) −→

n→∞0.

Finalement on a sup

z∈B(z0,r)

|fn(z)−f(z)|6 sup

k>0

|a⁽ⁿ⁾_k −a_k|X

k>0

r^k

n→0−→0.