27%25% ! 2 Corrigé et barème du devoir commun (sujet A)

2

^nde

Corrigé et barème du devoir commun (sujet A)

Exercice 3 (8 points)

1) Etude de l’échantillon du lundi a) Tableau 0,5

Temps d’attente x_i (en min) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nombre de clients (effectifs) 14 13 23 9 14 8 12 4 1 2 Effectifs cumulés croissants 14 27 50 59 73 81 93 97 98 100 b) L’effectif total

N = 100

est pair. 0,5

Donc la médiane est égale à la moyenne des valeurs de rangs 50 2

N = et 1 51 2

N + = . 0,5 3 4 3,5

Méd +2

= = . La médiane est égale à 3,5 min. 0,5

c) 25

4

N = . Donc le premier quartile est la 25^ème valeur 0,5. Q₁=2 min. 0,5

3 75

4

N = . Donc le premier quartile est la 75^ème valeur 0,5. Q₃ =6 min. 0,5 d) Il y a

100 81 19 - =

clients qui attendent au moins 7 minutes aux caisses. 0,5

Cela correspond à 19

100=19% des clients.

Puisque

19% 15% >

, le directeur doit ouvrir une nouvelle caisse le lundi. 0,5 2) Etude de l’échantillon du vendredi

Temps d’attente y_i (en min) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Nombre de clients (effectifs) 5 9 13 8 19 10 8 5 11 9 2 1 (ce tableau n’est pas demandé)

5 1 9 2 ... 1 12 568

5, 68

100 100

y ´ + ´ + + ´

= = = calcul : 0,5 ; résultat : 0,5

Le temps d’attente moyen est égal à 5,68 min.

3) Comparaison des deux échantillons

a) Le vendredi, il y a

5 9 13 + + = 27

clients qui attendent 3 minutes ou moins. 0,5 Ce qui correspond à 27

100 =27% des clients.

Puisque

27% > 25%

, l’information est vraie. 0,5

b) Le lundi, il y a 81 clients qui qualifient leur temps d’attente acceptable. 0,25

Le vendredi, il y a

5 9 13 8 19 10 + + + + + = 64

clients qui qualifient leur temps d’attente acceptable. 0,5 Puisque

81 64 ¹

, l’information est fausse. 0,25

Exercice 4 (8 points)

1) Figure.

^A ( ^2;0 )

^,

^B ( ^{4; 4} )

^et

^C ( ^1;3 )

1 (retirer 0,5 par point mal placé)

2) Poser le calcul d’une longueur avec (ou sans) une formule (valoriser le début d’un calcul) : 0,5

( ^{2 1} )

²

( ^{0 3} )

²

^{1 9 10}

CA = - + - = + =

0,5 et

^{CB =} ( ^{4 1 -} )

²

⁺ ( ^{4 3 -} )

²

^{= 9 1 + = 10}

^0,5

Puisque

CA CB =

, on en déduit que le triangle ABC est isocèle en C.

3) On admet que AB= 20.

On a alors AB² =20 et CA²+CB²=10 10+ =20. Ainsi AB²=CA²+CB² 0,5

D’après la réciproque du théorème de Pythagore 0,5, le triangle ABC est rectangle en C.

4) Soit K le milieu de

[ ^AB ]

^{. 2 4 3}

K 2

x +

= = 0,5 et 0 4

2 2 yK +

= = 0,5. On obtient

^K ( ^{3; 2} )

. (Placer K : 0,5) 5) a) On construit le point D symétrique de C par rapport à K. 0,5

b) K est donc le milieu de

[ ^CD ]

^.

Ainsi 1 3

3 et 2 1 6 et 3 4 5 et 1

2x^D 2y^D 0,5 _{D D D D} 0,5

x y x y

+ +

= = Û + = + = Û = = . On obtient

^D ( ^5;1 )

^.

(mettre seulement 0,5 si l’élève calcule les coordonnées du milieu de [CD] et retrouve K) 6) ACBD est un parallélogramme car ses diagonales

[ ^AB ]

^et

[ ^CD ]

se coupent en leur milieu K. 0,5

Puisque le triangle ABC est rectangle en C, ACBD est alors un rectangle. 0,5 Puisque

CA CB =

, on en conclut que ACBD est un carré. 0,5

Exercice 5 (5 points)

1) AF²=5² =25 et AG²+FG²=4²+3²=16 9+ =25 0,5. Ainsi AF²=AG²+FG² 0,5.

D’après la réciproque du théorème de Pythagore 0,5, le triangle AFG est rectangle en G.

2) Puisque les points A, G et E sont alignés, on en déduit que

( ^GF ) ( ^{^ AE} )

^0,5.

Puisque

( ^GF ) ( ^{/ / DE} )

, on en déduit que

( ^DE ) ( ^{^ AE} )

^0,5.

Par conséquent, le triangle ADE est rectangle en E.

3) Les points F, A, B d’une part et G, A, C d’autre part sont alignés dans le même ordre 0,5.

6, 25 1, 25 5

AB

AF = = et 5 1, 25 4 AC

AG = = 0,5. On a donc AB AC AF = AG 0,5.

D’après la réciproque du théorème de Thalès 0,5, on en déduit que

( ^FG ) ( ^{/ / BC} )

^0,5.

(accepter en conclusion une réponse cohérente avec les calculs)

2 3 4 5 6 7 8

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

2 3 4 5

-1 -2 -3 -4 -5 -6

0 1

1

x y

I J

A

B C

D K

O