Calcul d’aires « entre courbes »

(1)

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AB Beran - Aires-Volumes-EntreCourbes.DOC Intégrales – Exercices – Cours - 1 -

Calcul d’aires « entre courbes »

Dans les exemples suivants, il s’agit de calculer l’aire de la partie (finie) du plan délimitée par les deux courbes des fonctions données et les bornes de l’intervalle donné. Au cas où cet intervalle est Iaire

 

a b^; , vous êtes censé prendre pour a et b les bornes d’intersection « extérieures » de la partie du plan enfermée.

Celles-ci se déterminent par le calcul (et se laissent aisément contrôler dans Geogeabra).

Exercice 1

     

3 2

2 3

*

2

1) 2 2 2 ;

2) 2 2 3 ;

3) 1 3 1 ;

4) 4 ;

1 1;9

ln 3 ;1

5) 6)

aire aire aire aire aire

aire

f x g x x x x I a b

f x x g x x x x I a b

f x x g x I

x

f x x I e

      

    

       

    

    

   

Exercice 2 Devoir 2008-09-1D-Données-II-2

Figure 1:

 

¹ ³ ² ²

f x 4x x 

 Etablissez l'équation de la droite à partir de la figure;

 Déterminez, par le calcul, les bornes d'intégration;

 Calculez ensuite l'aire de la surface coloriée.

Figure 2:

Lisez les bornes sur le graphique et déterminez l'aire de la surface coloriée, sachant que :

 

¹₂



³ ³ ²



²

^{ }

¹₂

^

¹

^ ^{ }

¹₂ ² ³₂ ²

f x  x  x  g x  x h x   x  x

Le corrigé de cet exercice se trouve soit sous forme du corrigé de devoir, soit dans Devoirs-Type-Aires.pdf

(2)

Calcul d’aires et volumes « entre courbes »

Dans les exemples suivants, il s’agit de calculer aussi bien une aire qu’un volume de rotation autour de l’axe

 

^Ox à partir de la donnée de deux fonctions enfermant une partie du plan.

Exercice 3

       

     

3 2

2 3 2

**

1) 1 2 1 ; 0; 2

2) 2 2 2 3 2 ; 2;0

3) 2 3 2 ; 0; 2

4) 5 4 5 ; 0; 2

5) 1 1; 4

6) ln 3 ;

aire vol

aire vo

f x g x x x x I a b I

f x x g x x x x I a b I

f x x g x I

x

f x x I e e I

       

        

        

       

    

    l  



^2;e



(3)

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Exercice 3.5 Calcul de l’aire

 Positions des deux courbes :

   

0 : 0 1 0 1 0 1

0 1 4

0

f g g g

g f f f

x f x g x x x x

x x

f x g x

Positions Int

             

    

C C C C

 Primitive pour le calcul d’aire :

     

   

1 1

2 2

1 2

3 2

2 3

3

H x f x g x dx x dx x dx x dx x x x k

x

H x x x k

  

              

   

  

  





 Aire cherchée :

 

₁⁴

 

¹

 

⁴ ² ^{1 2 2}

 

¹ ⁸ ^{. .}

3 3

Aire H x   H H           u a Calcul de volume

Toutes les deux fonctions étant négatives sur l’intervalle considéré et C_f est plus éloignée de

 

^Ox ^que

Cg¹, ce que l’on peut déduire de la position relative des deux courbes, il faut calculer l’intégrale suivante pour obtenir le volume : ⁴ ²

 

²

 

1

π

Volume 



f x g x dx

 Primitive pour le calcul de volume:

 

²

 

²

 

¹ ^{ }^1;4 ¹ ² ^ln

  

2

x

H x f x g x dx x dx x x k

x

  

 

          







 Volume = ^π

 

₁⁴ ^π ⁸ ¹



^{ln 4}

 

⁰



¹⁵ 2ln 2 π 6,11371 π 19,21 . .

2 2

H x      u v

              

Représentation du volume de rotation autour de

 

^Ox sur l’intervalle

 

^1;4

Représentation du volume de rotation autour de

 

^Ox sur l’intervalle



^0,01;4



1 Pour un volume de rotation autour de

 

^Ox , on considère toujours :

le carré de la fonction la plus éloignée – le carré de la fonction la plus rapprochée de

 

^Ox

(4)

(5)

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Exercice 4 Aire entre tangentes à une courbe d’un point extérieur à la courbe et la courbe elle-même.

Ex 207 p. 248

a) Contrôlons si O

 

^0;0 Cf ^:

 

0 0 _f

f   O C

 

   

     

2 2

2

0

' 1

2

' 1 1

2

1 1

' 0 1 et 0 0

2 2

' : 1 solution unique

2

x x

x

f x e x e

f x e x

f f

D où t y x

 





 

     

    

     

 

Par conséquent, il n’existe qu’une seule tangente à la courbe en x₀ 0, ce qui est normal pour un point O appartenant à la courbe elle-même !

b) Contrôlons si A



^1;0



Cf ^: f

 

  ¹ e¹²   e   ⁰ A Cf

Calculons alors de manière générale l’équation de la tangente à la courbe en un point inconnue

d’abscisse x_p :

 

² ^'

 

¹ ²



¹



2

p p

x x

p p p p

f x x e^ et f x   e^  x  D’où l’équation de la tangente en général au point ^{P x}



^p^;^{f x}

 

^p



^:

 

2 2

'

1 1

2

p p

p

p p

x x

x x p p p

f x f x

t _  y x e^   e^  x   x x Or cette droite tangente t doit passer par le point A ! D’où :

     

 

2 2

produit de binômes conjugués

2 2 2

2 2

2 0

; 1 1

2

1 1 0

2

1 2 1 0 2 1 0

2

1 2 1 2 2 solutions 2 tangentes 0

1 0 1

!

p p

p

p p

p

x x

x x p p p

x x

p p

x

p p p p

p p

A t t x e e x x

e x x e

e x x x x

x ou x

 



 





           

      

           

      

 



Ces abscisses trouvées sont les abscisses des points de contact des deux tangentes à la courbe issues du point A extérieur à la courbe. En remplaçant ces valeurs dans l’équation générale de la tangente à cette courbe, on trouve :les deux équations cartésiennes des tangentes passant par A.

     

1 2 1 2

2 2

1 2

1 2 1 2

2 2

1 2

1 1 2 1 1 2 1 2

2

1 2 2 1 2 2 2

2

x

t y e x e

 

 

 

 

              

 

 

          

 

 

(6)

     

2 2

1 2

1 2 1 2

2 2

1 2

1 1 2 1 1 2 1 2

2

1 2 2 1 2 2 2

2

x

t y e x e

 

 

 

              

 

 

          

 

 

Si on veut vraiement « s’amuser », on peut encore calculer l’aire de la partie du plan délimitée par ces tangentes et la courbe. Comme il y deux tangentes, cette aire doit être calculée en deux temps.

Voici l’illustration de la situation

Exercice 5 Examen CD – 09/2015-16

Soit la fonction f définie par ^{f x}

 

^³^^x . Indiquez dom f et calculez ^f^'

 

^x . Montrez qu’il existe une seule tangente au graphique G_f de f passant par l’origine. Trouvez son équation réduite.

Résolution

 

' ' : ' ln 3 3 ^x

dom f  dom f  x dom f f x    ^

Equation d’une tangente à la courbe en x0 a t:  y f a

 

 f'

  

a  x a



 

   

ln 3 3 3

0;0 0 ln 3 3 3 3 0

0 ln 3 1 1

ln 3

a a

a a a

y x a

O t a

a a

 

      

         

      

Comme solution est unique, il n’existe qu’une seule tangente à la courbe passant par l’origine.

L’abscisse de ce point de tangeance est 1 a ln 3 .

 

²^x

f x  x e^