Programmationetfonctions INFO1-semaines39à42 GuillaumeCONNAN

(1)

Programmation et fonctions

INFO1 - semaines 39 à 42

Guillaume CONNAN septembre 2015 Iut de Nantes - Dpt d’informatique

(2)

Sommaire

1 Fonctions pures 2 Fonctions impures 3 lambda expressions

4 Composition 5 Récursion

6 Raisonnement par récurrence

(3)

Sommaire

(4)

Départ DOMAINE Arrivée CODOMAINE Une fonction est une relation

C’est donc une partie (sous-ensemble) de DOMAINE ⊗ CODOMAINE

...mais il n’y a pas deux couples ayant le même premier élément

(5)

Départ DOMAINE Arrivée CODOMAINE Une fonction est une relation

C’est donc une partie (sous-ensemble) de DOMAINE ⊗ CODOMAINE

...mais il n’y a pas deux couples ayant le même premier élément

(6)

Départ DOMAINE Arrivée CODOMAINE Une fonction est une relation

C’est donc une partie (sous-ensemble) de DOMAINE ⊗ CODOMAINE

...mais il n’y a pas deux couples ayant le même premier élément

(7)

Départ DOMAINE Arrivée CODOMAINE Une fonction est une relation

C’est donc une partie (sous-ensemble) de DOMAINE ⊗ CODOMAINE

...mais il n’y a pas deux couples ayant le même premier élément

(8)

Départ DOMAINE Arrivée CODOMAINE Une fonction est une relation

C’est donc une partie (sous-ensemble) de DOMAINE ⊗ CODOMAINE

...mais il n’y a pas deux couples ayant le même premier élément

(9)

Départ DOMAINE Arrivée CODOMAINE Une fonction est une relation

C’est donc une partie (sous-ensemble) de DOMAINE ⊗ CODOMAINE

...mais il n’y a pas deux couples ayant le même premier élément

(10)

Départ DOMAINE Arrivée CODOMAINE Une fonction est une relation

C’est donc une partie (sous-ensemble) de DOMAINE ⊗ CODOMAINE

...mais il n’y a pas deux couples ayant le même premier élément

(11)

Départ DOMAINE Arrivée CODOMAINE Une fonction est une relation

C’est donc une partie (sous-ensemble) de DOMAINE ⊗ CODOMAINE

...mais il n’y a pas deux couples ayant le même premier élément

(12)

Départ DOMAINE Arrivée CODOMAINE Une fonction est une relation

C’est donc une partie (sous-ensemble) de DOMAINE ⊗ CODOMAINE

...mais il n’y a pas deux couples ayant le même premier élément

(13)

Donc la fonction double de domaine { 1 , 2 , 3 , ... } est

{( 1 , 2 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 6 ) , ... }

(14)

Donc la fonction double de domaine { 1 , 2 , 3 , ... } est

{( 1 , 2 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 6 ) , ... }

(15)

La fonction addition de domaine { 1 , 2 , 3 , ... } ⊗ { 1 , 2 , 3 , ... } est

{(( 1 , 1 ) , 2 ) , (( 1 , 2 ) , 3 ) , ... (( 5 , 7 ) , 12 ) , (( 5 , 8 ) , 13 ) , ... }

(16)

La fonction addition de domaine { 1 , 2 , 3 , ... } ⊗ { 1 , 2 , 3 , ... } est

{(( 1 , 1 ) , 2 ) , (( 1 , 2 ) , 3 ) , ... (( 5 , 7 ) , 12 ) , (( 5 , 8 ) , 13 ) , ... }

(17)

Mais bon, ça manque un peu de dynamisme.

(18)

(19)

Départ Ð→ Arrivée

(20)

Départ Ð→ Arrivée

(21)

Exemple 1

On veut mettre une chaîne de caractères en majuscules

On commence par créer une fonction qui met une chaîne de longueur 1 en majuscule.

Cela ne concerne que les lettres minuscules.

On manipule les unicodes correspondant.

Les lettres minuscules ont un code entre 97 et 97 + 26

La majuscule correspondant a un code diminué de 2

⁵

La fonction doit retourner une chaîne de longueur 1

(22)

Exemple 1

On veut mettre une chaîne de caractères en majuscules

On commence par créer une fonction qui met une chaîne de longueur 1 en majuscule.

Cela ne concerne que les lettres minuscules.

On manipule les unicodes correspondant.

Les lettres minuscules ont un code entre 97 et 97 + 26

La majuscule correspondant a un code diminué de 2

⁵

La fonction doit retourner une chaîne de longueur 1

(23)

Exemple 1

On veut mettre une chaîne de caractères en majuscules

On commence par créer une fonction qui met une chaîne de longueur 1 en majuscule.

Cela ne concerne que les lettres minuscules.

On manipule les unicodes correspondant.

Les lettres minuscules ont un code entre 97 et 97 + 26

La majuscule correspondant a un code diminué de 2

⁵

La fonction doit retourner une chaîne de longueur 1

(24)

Exemple 1

On veut mettre une chaîne de caractères en majuscules

On commence par créer une fonction qui met une chaîne de longueur 1 en majuscule.

Cela ne concerne que les lettres minuscules.

On manipule les unicodes correspondant.

Les lettres minuscules ont un code entre 97 et 97 + 26

La majuscule correspondant a un code diminué de 2

⁵

La fonction doit retourner une chaîne de longueur 1

(25)

Exemple 1

On veut mettre une chaîne de caractères en majuscules

On commence par créer une fonction qui met une chaîne de longueur 1 en majuscule.

Cela ne concerne que les lettres minuscules.

On manipule les unicodes correspondant.

Les lettres minuscules ont un code entre 97 et 97 + 26

La majuscule correspondant a un code diminué de 2

⁵

La fonction doit retourner une chaîne de longueur 1

(26)

Exemple 1

On veut mettre une chaîne de caractères en majuscules

On commence par créer une fonction qui met une chaîne de longueur 1 en majuscule.

Cela ne concerne que les lettres minuscules.

On manipule les unicodes correspondant.

Les lettres minuscules ont un code entre 97 et 97 + 26

La majuscule correspondant a un code diminué de 2

⁵

La fonction doit retourner une chaîne de longueur 1

(27)

Exemple 1

On veut mettre une chaîne de caractères en majuscules

On commence par créer une fonction qui met une chaîne de longueur 1 en majuscule.

Cela ne concerne que les lettres minuscules.

On manipule les unicodes correspondant.

Les lettres minuscules ont un code entre 97 et 97 + 26

La majuscule correspondant a un code diminué de 2

⁵

La fonction doit retourner une chaîne de longueur 1

(28)

In [62]: ?chr Docstring:

chr(i) -> Unicode character

Return a Unicode string of one character with ordinal i; 0 <= i <= 0x10ffff.

Type: builtin_function_or_method

In [63]: ?ord Docstring:

ord(c) -> integer

Return the integer ordinal of a one-character string.

Prelude Data.Char> :t chr chr :: Int -> Char

(29)

ord(c) -> integer

(30)

ord(c) -> integer

(31)

def car_en_maj(car) : ascii = ord(car)

if 97 <= ascii <= 97 + 26: return chr(ascii - 32) else :

return car

if 97 <= ascii <= 97 + 26: return chr(ascii - 32) return car

(32)

if 97 <= ascii <= 97 + 26: return chr(ascii - 32) else :

return car

if 97 <= ascii <= 97 + 26: return chr(ascii - 32) return car

(33)

Sommaire

(34)

Print

Et pourquoi pas print ?

ord prend un argument de type string , retourne un argument de type int ET NE FAIT QUE ÇA.

C’est une fonction PURE

(35)

Print

Et pourquoi pas print ?

ord prend un argument de type string , retourne un argument de type int ET NE FAIT QUE ÇA.

C’est une fonction PURE

(36)

Print

Et pourquoi pas print ?

ord prend un argument de type string , retourne un argument de type int ET NE FAIT QUE ÇA.

C’est une fonction PURE

(37)

Print

Et pourquoi pas print ?

ord prend un argument de type string , retourne un argument de type int ET NE FAIT QUE ÇA.

C’est une fonction PURE

(38)

(39)

Print

In [34]: type(print(2)) 2

Out[34]: NoneType In [35]: print(print(2)) 2

None

In [36]: print(print(2),print(’GNU’)) 2

GNU None None

(40)

In [37]: [ print(a) for a in range(5) ] 0

1 2 3 4

Out[37]: [None, None, None, None, None]

(41)

In [38]: b = [ print(a) for a in range(5) ] 0

1 2 3 4

In [39]: b

print est IMPURE !

(42)

In [38]: b = [ print(a) for a in range(5) ] 0

1 2 3 4

In [39]: b

print est IMPURE !

(43)

(44)

print renvoie toujours None mais a un EFFET SECONDAIRE ( side

effect ) qui affiche quelque chose dans le monde extérieur.

(45)

def plus_chaine(x) : global a

return x + ’ ’ + a

(46)

In [102]: a = ’Dave’

In [103]: plus_chaine(’Bonjour’) Out[103]: ’Bonjour Dave’

In [104]: a = ’HAL’

In [105]: plus_chaine(’Bonjour’) Out[105]: ’Bonjour HAL’

(47)

In [102]: a = ’Dave’

In [103]: plus_chaine(’Bonjour’) Out[103]: ’Bonjour Dave’

In [104]: a = ’HAL’

In [105]: plus_chaine(’Bonjour’) Out[105]: ’Bonjour HAL’

(48)

(49)

(50)

(51)

Sommaire

(52)

Les fonctions sont des expressions comme les autres.

(53)

def transforme_une_lettre(transformation, lettre) : return transformation(lettre)

In [119]: transforme_une_lettre(car_en_maj, ’g’) Out[119]: ’G’

def cesar(lettre) :

return chr( ord(lettre) + 3 )

In [120]: transforme_une_lettre(cesar, ’g’) Out[120]: ’j’

(54)

def cesar(lettre) :

(55)

def cesar(lettre) :

(56)

def cesar(lettre) :

(57)

λ -expressions

(58)

x ↦ 2 x + 1

λx ⋅ 2 x + 1

lambda x : 2*x + 1

"Une fonction qui prend x et retourne 2*x + 1"

In [121]: (lambda x : 2*x + 1)(5) Out[121]: 11

(59)

x ↦ 2 x + 1

λx ⋅ 2 x + 1

lambda x : 2*x + 1

In [121]: (lambda x : 2*x + 1)(5) Out[121]: 11

(60)

x ↦ 2 x + 1

λx ⋅ 2 x + 1

lambda x : 2*x + 1

In [121]: (lambda x : 2*x + 1)(5) Out[121]: 11

(61)

x ↦ 2 x + 1

λx ⋅ 2 x + 1

lambda x : 2*x + 1

In [121]: (lambda x : 2*x + 1)(5) Out[121]: 11

(62)

In [1]: transforme_une_lettre(lambda c : chr( ord(c) + 5 ), ’a’) Out[1]: ’f’

(63)

def cesar(decalage) :

return lambda lettre : chr( ord(lettre) + decalage )

In [127]: cesar(3)

Out[127]: <function __main__.cesar.<locals>.<lambda>>

In [128]: cesar(3)(’a’) Out[128]: ’d’

In [129]: cesar(5)(’a’) Out[129]: ’f’

(64)

In [127]: cesar(3)

In [128]: cesar(3)(’a’) Out[128]: ’d’

In [129]: cesar(5)(’a’) Out[129]: ’f’

(65)

In [127]: cesar(3)

In [128]: cesar(3)(’a’) Out[128]: ’d’

In [129]: cesar(5)(’a’) Out[129]: ’f’

(66)

Sommaire

(67)

Composition de fonctions

Défi ISI n

^o

1 :

On attendra dimanche 27 septembre ;-)

(68)

Dans un vrai langage de programmation :

(.) :: (b ->c) -> (a -> b)-> a -> c f . g = \x -> f (g x)

(69)

Défi

Écrire une fonction qui renvoie la longueur du mot le plus long d’une chaîne de caractères donnée en argument.

In [1]: long_mot_plus_long("Vos beaux yeux d’amour mourir me font Belle Marquise")

↪

Out[1]: 8

(70)

Il faudrait une fonction qui éclate la phrase en liste de mots

Il faudrait une fonction qui renvoie la liste des longueurs de ces mots

Il faudrait une fonction qui calcule le maximum des éléments d’une liste

(71)

Il faudrait une fonction qui éclate la phrase en liste de mots

Il faudrait une fonction qui renvoie la liste des longueurs de ces mots

Il faudrait une fonction qui calcule le maximum des éléments d’une liste

(72)

Il faudrait une fonction qui éclate la phrase en liste de mots

Il faudrait une fonction qui renvoie la liste des longueurs de ces mots

Il faudrait une fonction qui calcule le maximum des éléments d’une liste

(73)

String Ð

^eclate

ÐÐÐ → [ _String ] ÐÐÐÐÐ→ [

^longueurs

_Int ] ÐÐÐÐ→

^maximum

_Int

sÐÐÐ→^eclate _{eclate s}

longueurs

ÐÐÐÐÐ→_longueurs(_{eclate s})ÐÐÐÐ→^maximum _maximum(_longueurs(_{eclate s}))

String Ð

^maximum

ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ

^○ ^longueurs^○ ^eclate

→ _Int

String ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ→

^eclate^∣^longueurs ^∣^maximum

_Int

(74)

String Ð

^eclate

ÐÐÐ → [ _String ] ÐÐÐÐÐ→ [

^longueurs

_Int ] ÐÐÐÐ→

^maximum

_Int

longueurs

String Ð

^maximum

ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ

→ _Int

String ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ→

_Int

(75)

String Ð

^eclate

ÐÐÐ → [ _String ] ÐÐÐÐÐ→ [

^longueurs

_Int ] ÐÐÐÐ→

^maximum

_Int

longueurs

String Ð

^maximum

ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ

→ _Int

String ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ→

_Int

(76)

String Ð

^eclate

ÐÐÐ → [ _String ] ÐÐÐÐÐ→ [

^longueurs

_Int ] ÐÐÐÐ→

^maximum

_Int

longueurs

String Ð

^maximum

ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ

→ _Int

String ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ→

_Int

(77)

def long_mot_plus_long(cs) :

return maximum( longueurs( eclate( cs ) ) )

(78)

In [14]: eclate("Vos beaux yeux") Out[14]: [’Vos’, ’beaux’, ’yeux’]

def eclate(chaine) : return chaine.split()

(79)

In [14]: eclate("Vos beaux yeux") Out[14]: [’Vos’, ’beaux’, ’yeux’]

def eclate(chaine) : return chaine.split()

(80)

In [15]: longueurs([’Vos’, ’beaux’, ’yeux’]) Out[15]: [3, 5, 4]

def longueurs(xs) :

return [ len(x) for x in xs ]

(81)

In [15]: longueurs([’Vos’, ’beaux’, ’yeux’]) Out[15]: [3, 5, 4]

def longueurs(xs) :

return [ len(x) for x in xs ]

(82)

def maximum(xs) : maxi = xs[0]

for elmt in xs[1:] : if elmt > maxi : maxi = elmt return maxi

(83)

def eclate(chaine) : return chaine.split() def longueurs(xs) :

return [ len(x) for x in xs ] def maximum(xs) :

maxi = xs[0]

for elmt in xs[1:] : if elmt > maxi : maxi = elmt return maxi

def long_mot_plus_long(cs) :

return maximum(longueurs(eclate(cs)))

(84)

def compose2(f,g) :

return lambda x: f(g(x))

compose2 = lambda f,g : lambda x : f(g(x))

In [28]: compose2(longueurs,eclate)("un deux trois") Out[28]: [2, 4, 5]

long_mot_plus_long = compose2( maximum, compose2(longueurs, eclate) )

(85)

def compose2(f,g) :

(86)

def compose2(f,g) :

(87)

def compose2(f,g) :

(88)

Sommaire

(89)

(90)

(91)

(92)

(93)

(94)

(95)

(96)

(97)

(98)

(99)

(100)

(101)

(102)

(103)

(104)

(105)

(106)

(107)

(108)

(109)

(110)

(111)

(112)

(113)

(114)

(115)

(116)

(117)

(118)

induction

induction mathématique (raisonnement par récurrence)

fonction récurive et type récursif

(119)

induction

induction mathématique (raisonnement par récurrence)

fonction récurive et type récursif

(120)

induction

induction mathématique (raisonnement par récurrence)

fonction récurive et type récursif

(121)

Le retour de Max

(122)

def max2(a,b) :

return a if a >= b else b

def maxi(xs) :

assert xs != [], "Liste vide !"

if len(xs) == 1 : return xs[0]

return max2( xs[0], maxi(xs[1:]) )

(123)

def max2(a,b) :

return a if a >= b else b

def maxi(xs) :

assert xs != [], "Liste vide !"

if len(xs) == 1 : return xs[0]

return max2( xs[0], maxi(xs[1:]) )

(124)

In [54]: maxi("agfdjuol") maxi <- (’agfdjuol’,)

maxi <- (’gfdjuol’,) maxi <- (’fdjuol’,) maxi <- (’djuol’,) maxi <- (’juol’,) maxi <- (’uol’,) maxi <- (’ol’,) maxi <- (’l’,) maxi -> l maxi -> o maxi -> u maxi -> u maxi -> u maxi -> u maxi -> u maxi -> u Out[54]: ’u’

(125)

a

ⁿ

= a × a × ⋯ × a

´ ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

nfacteursa

⋯ ???

a

⁰

= 1, a

ⁿ

= a × a

ⁿ⁻¹

(126)

a

ⁿ

= a × a × ⋯ × a

´ ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

nfacteursa

⋯ ???

a

⁰

= 1, a

ⁿ

= a × a

ⁿ⁻¹

(127)

a

ⁿ

= a × a × ⋯ × a

´ ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

nfacteursa

⋯ ???

a

⁰

= 1, a

ⁿ

= a × a

ⁿ⁻¹

(128)

a

ⁿ

= a × a × ⋯ × a

´ ¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

nfacteursa

⋯ ???

a

⁰

= 1, a

ⁿ

= a × a

ⁿ⁻¹

(129)

def pow1(a, n) :

assert n >= 0, "L’exposant doit être entier naturel"

if n == 0 : return 1 else :

return a * pow1(a, n - 1)

(130)

pow1(2, 3) 2 * pow1(2, 2)

2 * (2 * pow1(2, 1))

2 * (2 * (2 * pow1(2 , 0))) 2* (2 * (2 * 1))

2 * (2 * 2) 2 * 4

8 Expansion Réduction

(131)

pow1(2, 3) 2 * pow1(2, 2)

2 * (2 * pow1(2, 1))

2 * (2 * (2 * pow1(2 , 0))) 2* (2 * (2 * 1))

2 * (2 * 2) 2 * 4

8 Expansion Réduction

(132)

pow1(2, 3) 2 * pow1(2, 2)

2 * (2 * pow1(2, 1))

2 * (2 * (2 * pow1(2 , 0))) 2* (2 * (2 * 1))

2 * (2 * 2) 2 * 4

8 Expansion Réduction

(133)

pow1(2, 3) 2 * pow1(2, 2)

2 * (2 * pow1(2, 1))

2 * (2 * (2 * pow1(2 , 0))) 2* (2 * (2 * 1))

2 * (2 * 2) 2 * 4

8 Expansion Réduction

(134)

pow1(2, 3) 2 * pow1(2, 2)

2 * (2 * pow1(2, 1))

2 * (2 * (2 * pow1(2 , 0))) 2* (2 * (2 * 1))

2 * (2 * 2) 2 * 4

8 Expansion Réduction

(135)

pow1(2, 3) 2 * pow1(2, 2)

2 * (2 * pow1(2, 1))

2 * (2 * (2 * pow1(2 , 0))) 2* (2 * (2 * 1))

2 * (2 * 2) 2 * 4

8 Expansion Réduction

(136)

pow1(2, 3) 2 * pow1(2, 2)

2 * (2 * pow1(2, 1))

2 * (2 * (2 * pow1(2 , 0))) 2* (2 * (2 * 1))

2 * (2 * 2) 2 * 4

8 Expansion Réduction

(137)

pow1(2, 3) 2 * pow1(2, 2)

2 * (2 * pow1(2, 1))

2 * (2 * (2 * pow1(2 , 0))) 2* (2 * (2 * 1))

2 * (2 * 2) 2 * 4

8 Expansion Réduction

(138)

pow1(2, 3) 2 * pow1(2, 2)

2 * (2 * pow1(2, 1))

2 * (2 * (2 * pow1(2 , 0))) 2* (2 * (2 * 1))

2 * (2 * 2) 2 * 4

8 Expansion Réduction

(139)

pow1(2, 3) 2 * pow1(2, 2)

2 * (2 * pow1(2, 1))

2 * (2 * (2 * pow1(2 , 0))) 2* (2 * (2 * 1))

2 * (2 * 2) 2 * 4

8 Expansion Réduction

(140)

def pow2(a, n) :

def accumule(k, acc) : if k == 0 :

return acc else :

return accumule(k - 1, a*acc) return accumule(n, 1)

(141)

pow2(2, 3)

accumule(3, 1)

accumule(2, 2)

accumule(1,4)

accumule(0,8)

8

(142)

pow2(2, 3)

accumule(3, 1)

accumule(2, 2)

accumule(1,4)

accumule(0,8)

8

(143)

pow2(2, 3)

accumule(3, 1)

accumule(2, 2)

accumule(1,4)

accumule(0,8)

8

(144)

pow2(2, 3)

accumule(3, 1)

accumule(2, 2)

accumule(1,4)

accumule(0,8)

8

(145)

pow2(2, 3)

accumule(3, 1)

accumule(2, 2)

accumule(1,4)

accumule(0,8)

8

(146)

pow2(2, 3)

accumule(3, 1)

accumule(2, 2)

accumule(1,4)

accumule(0,8)

8

(147)

(148)

In [24]: pow1(2,3) pow1 <- (2, 3)

pow1 <- (2, 2) pow1 <- (2, 1)

pow1 <- (2, 0) pow1 -> 1 pow1 -> 2 pow1 -> 4 pow1 -> 8 Out[24]: 8

(149)

In [27]: pow2(2,3) pow2 <- (2, 3) accumule <- (3, 1)

accumule <- (2, 2) accumule <- (1, 4)

accumule <- (0, 8) accumule -> 8 accumule -> 8 accumule -> 8 accumule -> 8 pow2 -> 8 Out[27]: 8

(150)

(151)

def pow3(a, n) :

accu = 1 k = 0

while k < n : accu *= a k += 1 return accu

(152)

def pow4(a, n) :

assert n >= 0, "L’exposant doit être un entier naturel"

accu = 1

for k inrange(n) : accu = a*accu return accu

(153)

from functools import reduce def pow5(a, n):

return reduce(lambda accu, k : a*accu, range(n), 1)

(154)

(155)

Le secret de la réduction

(156)

Le secret de la réduction

f ( f ( f (⋯ f ( f ( accu 0 , x

₀

) , x

₁

)⋯) , x

_n−₁

) , x

_n

)

def reduit(f, xs, accu0) : accu = accu0

for x inxs :

accu = f(accu, x) return accu

reduce(f, xs, accu0)

(157)

Le secret de la réduction

f ( f ( f (⋯ f ( f ( accu 0 , x

₀

) , x

₁

)⋯) , x

_n−₁

) , x

_n

)

for x inxs :

(158)

Le secret de la réduction

f ( f ( f (⋯ f ( f ( accu 0 , x

₀

) , x

₁

)⋯) , x

_n−₁

) , x

_n

)

for x inxs :

(159)

Le retour de Max

(160)

maxi = lambda xs: reduce(lambda max_tmp, x: xif x > max_tmp else max_tmp, xs)

max2 = lambda a, b: a if a >= b else b maxi = lambda xs: reduce(max2, xs)

def max2(a,b) :

return a if a >= b else b def maxi(xs) :

return reduce(max2, xs)

(161)

def max2(a,b) :

(162)

def max2(a,b) :

(163)

In [23]: maxi([1,12,5,47,86,9,4]) Out[23]: 86

In [24]: maxi([])

TypeError: reduce() of empty sequence with no initial value

(164)

Défi

Construisez une fonction prend une liste d’entiers et renvoie le produit des carrés des nombres pairs de cette liste. Une réponse en une petite ligne serait appréciée...

Défi

Construisez une fonction compose qui renvoie la composée d’une suite de fonctions :

In [35]: compose(maximum,longueurs,eclate)("Trois deux un") Out[35]: 5

(165)

Défi

Construisez une fonction prend une liste d’entiers et renvoie le produit des carrés des nombres pairs de cette liste. Une réponse en une petite ligne serait appréciée...

Défi

Construisez une fonction compose qui renvoie la composée d’une suite de fonctions :

In [35]: compose(maximum,longueurs,eclate)("Trois deux un") Out[35]: 5

(166)

In [29]: %timeit pow5(17,100)

100000 loops, best of 3: 12.3 µs per loop In [30]: %timeit pow4(17,100)

10000 loops, best of 3: 17.8 µs per loop

(167)

def pow6(a, n):

if n == 0 : return 1 if n == 1 :

return a if n % 2 == 0 :

return pow6(a*a, n//2) return a * pow6(a, n-1)

In [42]: %timeit pow6(17,100)

(168)

def pow6(a, n):

if n == 0 : return 1 if n == 1 :

return a if n % 2 == 0 :

return pow6(a*a, n//2) return a * pow6(a, n-1)

In [42]: %timeit pow6(17,100)

(169)

In [45]: pow6(2,10) pow6 <- (2, 10)

pow6 <- (4, 5) pow6 <- (4, 4)

pow6 <- (16, 2) pow6 <- (256, 1) pow6 -> 256 pow6 -> 256 pow6 -> 256 pow6 -> 1024 pow6 -> 1024 Out[45]: 1024

(170)

Défi

Dérécursifiez la fonction pow6

(171)

(172)

OCaml

let rec pow a = function

| 1 -> 1

| n -> a * (pow a (n - 1)) ;;

let powt a n =

let rec pow_iter acc k = if k == 0 then acc

else pow_iter (a*acc) (k-1) inpow_iter 1 n ;;

(173)

# pow 17 100_000;;

Stack overflow during evaluation (looping recursion?).

# powt 17 100_000;;

- : int = -573761023

(174)

Sommaire

(175)

Pour prouver qu’une propriété P

n

dépendant uniquement d’un paramètre n est vraie pour tout n ⩾ n

₀

, il faut vérifier que :

P

_n₀

est vraie (on parle parfois d’initialisation) ;

pour tout n ⩾ n

₀

, P

_n

→ P

_n+₁

(on parle parfois d’hérédité).

(176)

Pour prouver qu’une propriété P

n

dépendant uniquement d’un paramètre n est vraie pour tout n ⩾ n

₀

, il faut vérifier que :

P

_n₀

est vraie (on parle parfois d’initialisation) ;

pour tout n ⩾ n

₀

, P

_n

→ P

_n+₁

(on parle parfois d’hérédité).

(177)

Tours de Hanoi – 1 Disque

1

(178)

Tours de Hanoi – 1 Disque

1 On déplace le disque de la tige 1 vers la tige 3.

(179)

Tours de Hanoi – 1 Disque

1

OK

(180)

Tours de Hanoi – 2 Disques

2

1

(181)

Tours de Hanoi – 2 Disques

2 1

On déplace le disque de la tige 1 vers la tige 2.

(182)

Tours de Hanoi – 2 Disques

1 2

On déplace le disque de la tige 1 vers la tige 3.

(183)

Tours de Hanoi – 2 Disques

2 1

On déplace le disque de la tige 2 vers la tige 3.

(184)

Tours de Hanoi – 2 Disques

2 1

OK

(185)

Tours de Hanoi – 3 Disques

3

2

1

(186)

Tours de Hanoi – 3 Disques

3 2

1 On déplace le disque de la tige 1 vers la tige 3.

(187)

Tours de Hanoi – 3 Disques

3 2 1

On déplace le disque de la tige 1 vers la tige 2.

(188)

Tours de Hanoi – 3 Disques

3 2

1 On déplace le disque de la tige 3 vers la tige 2.

(189)

Tours de Hanoi – 3 Disques

2 1

3 On déplace le disque de la tige 1 vers la tige 3.

(190)

Tours de Hanoi – 3 Disques

1 2 3

On déplace le disque de la tige 2 vers la tige 1.

(191)

Tours de Hanoi – 3 Disques

1 3

2 On déplace le disque de la tige 2 vers la tige 3.

(192)

Tours de Hanoi – 3 Disques

3 2 1

On déplace le disque de la tige 1 vers la tige 3.

(193)

Tours de Hanoi – 3 Disques

3 2

OK 1

(194)

Tours de Hanoi – 4 Disques

4

3

2

1

(195)

Tours de Hanoi – 4 Disques

4 3 2

1 On déplace le disque de la tige 1 vers la tige 2.

(196)

Tours de Hanoi – 4 Disques

4 3

1 2

On déplace le disque de la tige 1 vers la tige 3.

(197)

Tours de Hanoi – 4 Disques

4 3

2 1

On déplace le disque de la tige 2 vers la tige 3.

(198)

Tours de Hanoi – 4 Disques

4 3 2

1 On déplace le disque de la tige 1 vers la tige 2.

(199)

Tours de Hanoi – 4 Disques

4 1

3 2

On déplace le disque de la tige 3 vers la tige 1.

(200)