Optimisation de la commande Floue Multivariable par l'algorithme d'optimisation par essaim particulaire.

Œg±"ŒŒCIŒmŒ9VT

Tout d'abord je remercie profiondémerïi Dieu le tout puissoim qui m'a dormé Le mnximum de volonté, et de patierùce pour accomplir ce travoril.

Je témoigne ma recorïnaissoince ei je tie"i à reiinercier viwetinerti mon encadreur M"" N. Tübi pour son otide, sa diporibiliié, ses conseils et ses

EncourQtgerrtents qu'elLe ma sQins cesse prodigués.

Je tiens à rei'nercier égalemerti les membres de jury, pour owoir accepté De juger ce mémoire.

Je remercie éi]idemmerït les enseignef'nents Œvec qui j 'ai eu plodsir à âtudier

Durant ces derrières o[mées .. S. Dïb, 0. Takkouk, H.MordSana, Z.Santouh En pariiculier ,. Mr A. Soukkou pour ses encouragements, qu'ils

Trouweni ici l'expression de mon profiond respect et sincère gmtitude.

Mes remerciements sont adressés également œ u chef du départei'nent d'électronique Mr. T. Ben Kdideh

Erïftn, mes remerciemenis à tous ce:ux qui i!t!ion uidé de près ou De loin même par le Simple mot d' encouroigemeïti.

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qm®IcflŒ#

Je dédie ce trœ vœ il :

A mes chères pQ[rerïts mon Père et m mère ; pour leur po[tience, leurs amur, leurs Soulien et leur encouragei'nenl, que dieu leur gœ rde pour nous.

A celui que j'di't'ie beoucoup ei qui m'a beo[ucoup encourœ gé toui q[u long de ce Projet ..

Ameschersfirères«Œib[»et«oussam»

A mes chers sœ urs que j'Qiiiine beœ ucoup

« Widotd  , Rq[tïba   Merlem, , wufim ,fiofia  ei Souad » A toules iii'ies copines en pariiculier :

«MeTiem, FouzÈa, Meriem, Noura, Seliina, Ines ,Zahra et  Soumia »

A tous ceux qui j'œ ime et tous ceux qui m'oimeïït.

A iinon très chère binôme « 9{flfÆfI »

A tous les étudient de l'électrorique de l'urtiversité de Jüel promotion 2016 A tous ceux qui, de près ou de loin n'oru cessé de m'œ pporter leur

Souilen dwaru rnes études.

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Je dédie ce trœ yœ il ..

A mes chères parents mon p`ere et ma mère ,. pour leur putience, leurs a:mour, leuTs Soutien et leur encourQigei!rœ rïl, que dieu leur garde pour nous.

A la mémoire mes chères grœ nds parenls.

A celui que j'o[i:me beo[ucoup ei qui m'a beq[ucoup encoumgé toui u[u long de ce Projet ; Monfia[ncé « Yœ dd »

A rnw}n très chère frères « ALbd Nasser » A tous n'ies f irères et mes sœ urs que j'Q[ime beoiucoup ..

« Ilyes, Yahia, Sabrina, Nouria, Hassina, Mouœ de, Salii'i'b Salah, Aya, Sœ :iiiiia:r » A iina sœ ur « Lo[:tinn:i » et son époux « Zahir » ei ses eïïfiowtis :

« ALbd Raoufi Jad, Iyoid »

A tous mes oncles, tantes, cousins et cousines.

A toules mes copines en particulier :

« No[ima, Lila, Houda, Khadîdja, Souad, Chahinez, Foutia, Merièm, Futima, Zahira, Noura, Seli'im, Ahlœ i'b Khalissa, Ines, Zahra »

A tous ceux qui j'a[ime et tous ceux qui m'œ i:i!nerït.

A mon très chère binôme « JLrimLa, »

A toui l'étudieni de l'électrorique de l'uriversité de Jüel promotion 2016

A tous ceux qui, de près ou de loin n'ont cessé de m'œ pporter leur Soutien durant mes études.

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Table des matières

Introduction généra]e ... 1

Chapitr€ I : La commande F]oue ... „ ... „ ... 4

1.1 Introduction ... 4

1.2 Théorie des sous­ensemb]es flous  ... 5

1.2.1 Sous­ensemble flou 1.2.2 Caractéristiques d'un sous­ensemble flou 1.3 Bases généra]e de la ]ogique floue ... 6

1.3.1 Variables floues 1. 3.2 Fonction d' appartenance 1.3.3 Règles d'inférence 1.3.4 Intervalles flous 1.3.5 0pérateus 1.4 La commande floue  ... 12

1.4.1 Configuration générale d'un contrôleu flou a. Méthode du centre de gravité (COG)

b. Méthode de moyenne des maximuins QÆM) 1.4.2 Les différents modèles du contrôleu flou

a. Contrôleu flou de type Mamdani

b. Contrôleu flou de type Takagi ­Sugeno (TS)

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Table des nutièTes 1.4.3 Avantages et inconvénients de la commande floue

Chapitre 11 : L'Optimisation par Essaim Particu]aire ... 18

11.1 Introduction  ... 18

H.2 Les Métaheuristiques ... 19

11.2.1 Définition 11.2.2 Classification des métaheuristiques 11.3 L'Optimisation par Essaim de particules ... 22

11.3.1 Définition 11. 3.2 Description infomelle 11.3.3 Fomalisation 11.3.4 Fonction d'adaptation 11.3.5 Configuration de la méthode 11.3.6 Algorithme standard de l'OEP 11.3.7 Critères d'arrêt H.4 Avantage et inconvénient de I'algorithme d'optimisation par essaim de particulcs 11.5 Conclusion 22 23 25 26 26 29 29 Chapitre 111 : Simulations et lnterprétations ... 32

m.1 Introduction  ... 32

m.2 Le modèle mathématique du doub]e pendule inversé ... 33

m.3 La Commande Floue du Double Pendule lnversé ... 34

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Table des nutièTes

111.3.1 Critères d'arrêt

111.3.2 Structure de la commande 11.3.3 Résultats de la simulation

11. 3.4 Interprétation des résultats de simulation

34 34 36 41

111.4 0ptimisation de la commande floue décentralisée par ]'algorithme d'optimisation

par essaim particulaire (OEP) ... 41

111.4.1  Stratégie d'optimisation

111.4.2 0rganigramme général de l'algorithme d'optimisation par essaim pafticulaire  ... 43 111.4.3 0ptimisations de la Commande floue du double pendule inversé   ... 44 111.4.4 Interprétation des résultats de simulation

m.4 Conclusion  ... 50

Conclusion générale et perspectives ... 51 Bib]iographie...53

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Liste des tablet"

Tableau 1.1 :  Symboles d'intervalles

Tableau IH.1 : Table des règles floues du contrôleur flou (333) Tableau 111.2 : PaŒ.amètres des prémisses optimaux obtemus par l'OEP Tableau IH.3 : Paramètres des conclusions optimales des règes floues du CF1 Tableau m.4 : Paramètres des conclusions optimales des règles floues du CF2

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Liste des ftgures

flgure

Figure l.1 :    Propriétés d'un ensemble flou Figure L2 :     Variables linguistiques

Figure l.3 :    Fome de la fonction triangulaire Figure l.4 :    Forme de la fonction trapézoïdale Figure l.5 :    Fome de la fonction gaussienne Figure l.6 :    Fome de la fonction sigmoïde Figure l.7 :    L'opérateur d'urion

Figure l.8 :    L'opératem d'intersection Figure l.9 :    L'opérateu de complément Figure 1.10 :   Structure d'un controleu flou Figure 1.11 :  Méthode de centre de gravité

Figure 1.12 :  Méthode de moyenne des maximums Figure H.1 :   Principe général des métaheuristiques Figure H.2 :   Classification des métaheuristiques Figure H.3 :   Structure du Voisinage

Figure H.4 :   Déplacement d'une particule Figure H.5 :   Topologie en étoile

Figure H.6 :   Topologie en anneau Figure H.7 : Topologie en rayon

Figure m.1 : Structure du double pemdule inversé

Figure m.2 : Structue de commande décemtralisée du double pemdue invca.sé Figure IH.3 : Fome des fonctions d'appartenances

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Llsœ  des ftgures Figure m.4 : 1es réponses du double pendule soumis au contrôleu obtenues pou les paramètres nominaL]x du système et les conditions initiale (xl= 1.9 et x2= ­1.9)

Figure IH.5 : 1es réponses du double pendule soumis au contrôleur   obtemues pom une variation des conditionsinitialesxl= [1.4   0.5   0.22] etx2= [ ­1.4 0.5   ­0.22]

Figure m6 : 1es réponses du double pendule soumis au contrôleur obtenues pour une variation

delalongueu   11 =12=[0.10.5    0.64].

Figure 111.7 : les réponses du double pendule soumis au contrôleur obtenues pou une variation de la masse ml= [0.2   3 8] ; m2= [0.13 8]

Figure m.8 : Partition des entrées du contrôleur flou Figure m.9 : Structure d'optimisation des contrôleus flous

Figure 111.10 : Organigramme de l'àlgorithme d'optimisation par essaim particülaire  ... 43 Figure m.11 : Evolution de la fonction coût

Figure m.12 : Disposition et formes des fonctions d'appartenance des prémisses et des conclusions du CF l après optinrisation

Figure m.13 : Disposition et fomes des fonctions d'appartenmce des prémisses et des conclusions du CF2 après optimisation

Figure m.14 : Réponses du double pcmdule soumis aux deux contrôleus optimai]x obtenues pour un

changement des conditions initiales xl = [2.1  1.2 0.5] et x2[ ­2.1 ­1.1 ­0.5].

Figure 111.15 : Réponses du double pemdule soumis aux doux contiôleurs optimaux obtenues pom un chamgement de la longueu 11 et 12 = [0.1 0.5 0 0.64]

Figure 111.16 : Réponses du double pendule soumis aux doux contrôleurs optimatK obtenues pou un changement de la masse ml = [1.5 2 4], m2= [2 2.5 4]

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Introduction Générale

L'évolutiondessystèmesdeproductionindustrielsestactuellementsynonyme de  l'ïntégration  de  procédés  très  sophl.stiqués,   compmenant  très  sensïble  et  des systèmes  a  dynamiques  complexes.  Ces  systèmes  sont  en  majorité  non  ljnéaires, multivariables,etdesgrandesdimensions.Certainsprocédéssontcaractériséspardes équations différentielles linéaires ou non linéaires reliant les entrées, les états et les sorties.Lecontrôledecessystèmesexigeladisporibilitéd'unmodèlemathématique qui  doit  refléter  le  miem  possible  le  comportement  du  système,  du  moins  pou certaines techriques de commande.  Le développement de modèles de processus de forme   mathématiquement   exploitable   est  justement   la   problématique   de   toute approche d'identification ou de modélisation

Les  systèmes  flous  sont  capables  de  modéliser  des  systèmes  d'aïde  à  des solutionssimplesetqüsont:non­linéaïresetquelquesfoisimpossiblededécrirepar unfomalismemathématique.Cependant,lechoixoptimaldestructueetparamètres de   la   classification   flou   (les   fonctions   d'appartenance,   les   règles   flou ,... etc.) représentemetâchetiièsdifficile.Cettetacherequieftdutemps,del'expérienceetde l'hablleté  de  la  paft  de  l'expérimentateu.  En  principe,  ïl  n'y  a  pas  de  méthode générale  pour l'ajustement  de  la classification  floue  même  si  des  méthodes  méta­

heuristiquesetïtérativesontétéproposéesdanslïttératuepourajusterlesfonctions d'appartenance.

Les méta­heuristiques  sont des algorithmes  d'optimisation visant à résoudre

des  problèmes  d'oDtimj.qati.nn  rii.ffi^]­ia  rA_ .... __L  :_ _         1d'optimisation diffici|e (sduvent issus àre;

domaines de la recherche

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opératiomelle,  de  l'ingénierie  ou  de  l'intelligence  artificielle)  pou lesquels  on ne comait   pas   de   méthode   classique   plus   efficace.   Les   méta­heuristiques   sont généralement des algorithmes stochastiques itératifs, qui progressent vers un optimum global,  c'est­_à­dire  l'extremum  global  d'me  fonction,  par  échantillomage  d'une fonction objective. Elles se compor[ent comme des algorithmes de recherche, tentant d' apprendre les caractéristiques d'un problème afin d'en trouver une approximation de la meilleue solution.

Les méta­heuristiques qui s'inspirent de phénomènes naturels; par exemple, 1es algorithmes génétiques et les algorithmes des Fourmis et l'optimisation par essaim particulier s'inspirent respectivement de la théorie de l'évolution et du comportement de fourmis et d'essaim à la recherche de nourriture.

L'objectif de notre travail est la génération et l'optimisation de la commande floue multivariable par l'Algorithme d'optimisation par Essaim particulaire, qui est une procédure de recherche basée su une population d'individus, appelés particules, qui changent lem position (état) avec le temps selon des règles prédéfinies, en vue d'atteindre me solution globale  soühaitée.  Pour ce faire  , ce mémoire est organisé comme suit :

Dans le premier chapitre, nous décrivons les principes de base de la logique floue.  Nous introduisons la théorie des éléments de base de la logique floue et les différentes opérations nécessaires à la commande floue.  Ensuite, nous présentons la structure d'm contrôleur flou (Fuzzification, inférence et la défiizzification), ainsi que leurs caractéristiques.  Puis nous présentons les deux types de contrôleus flous les plus utilisés (Mamdani, et Takagi­sugeno). On termine le chapitre par les avantages et les inconvénients de la logique floue.

Dans le deuxième chapitre, on a présenté l'origine des méta­heuistiques , et leus  classifications,  formalisation.  Ensuite, 1'algorithme  d'optimisation par Essaim particulaire et ses différentes caractéristiques est détaillé.  Finalement, 1e chapitre est clôtué  les avantages et les inconvénients de l'algorithme de base d'optimisation par essaim de particules.

Le demier chapitre.  est consacré dans un premier temps, à la mise au point d'une  commande  floue  multivariable  décentralisée  de  type  Takagi­sugeno  d'ordre zéro  pou  la  stabilisation  du  double  pendule  inversé.  La partie  qui  suit   traité  de

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l'optimisation des  paramètres  des  contrôleurs  flous  de type  Takagi­sugeno  d'ordre zéro par  l'Algorithme d'optimisation par Essaim particulaire. Nous nous intéressons aux  centres  des  fonctions  d'appartenance  des  entrées  du  contrôleu  flou  (valeur modale) ainsi aux conclusions des règles (les sorties). L'optimisation consistera donc à,  minimiser un  critère  d'erreu  entre  les  consignes  et  les  softies  du  système.  Le chapitre  illustre  les réponses  du  double pendule  et  les tests  de robustesses via les changements de paramètres de fonctionnement et des conditions initiales.

Enfin, ce mémoire est clôturé par une conclusion générale et des perspectives.

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Chapitre I

La Commande Floue

1.1 Introduction

La   logique floue est une nouvelle méthode de traitement pou les problèmes de réglage et de prise de décision établit en 1965 par le professeur Lotfi Zadeh. Les systèmes d'inférence floue (SIF)  sont une  des  applications les plus  courantes   de  la logique  floue.  La première génération  des  SIF  (Mamdani,  Assilian,)  s'appuyait  sur  la  capacité  de  la  logique  floue  à modéliser  le  langage  naturel.  Puis  une  deuxième  approche ;  celle(Takagi­Sugeno)  qui  a proposé des algorithmes d'apprentissage automatique à partir des données.  [1]

Le principe du réglage par logique floue part du constat suivant : dans les  problèmes de régulation auxquels il est confronté, l'homme ne suit pas un modèle mathématique mais il utilise des termes tels que « m peu trop chaud, aller beaucoup plus vite, freiner à fond, etc » ainsi que ses propres connaissances qu'il a dans le domaine.

Initialement, cette théorie était appliquée dans des domaines non techniques tels que le commerce, la médecine dans le but de compléter les systèmes experts qui fonctiomaient à l'aide d'ordinateur manipulant des variables exactes  (1  et 0).  Les premières applications au niveau de réglage n'ont apparu qu'en 1975.  [2]

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1.2 Théorie des sous­ensembles flous

1.2.1     Sous­ensemble flou [3]

Dans la théorie des ensembles classiques, il n'y a que deux situations acceptables pou un élément, appartenir ou ne pas appartenir à m sous­ensemble. Le principe était de sortir de la logique booléeme en introduisant la notion d'appartenance pondérée, c.­à­d. pemettre des graduations dans l' appartenance d'un élément à un sous ensemble.

Un sous­ensemble flou 4 dans un univers de discous Xest caractérisé par sa fonction d'appartenance #4/XJ qui associe à chaque élément X de X une valem dans 1'intervalle des nombres réels [0, 1] :

#A:  .Y ­[0,1] ^(1.1)

Ainsi un sous­ensemble flou .4 dans X peut être représenté par un ensemble de couples ordomés

4 ­ t( JX, #A¢)) , X € X) (1.2)

1.2.2    Caractéristiques d'un sous­ensemble flou [4]

Un sous­ensemble flou est complètement défini par sa fonction d'appartenance. A partir d'une telle fonction, un certain nombre de caractéristiques du sous­ensemble flou peuvent être étudiées.

>  Hauteur :  notée   Æ  (4),  est  le  plus  fort degré  avec  lequel  un  élément de X appartient à 4  Fomellement

Æ r2±/  = §#P { UA (A) |  X € X } (1.3)

>  Support : noté  S#pp(4), est l'ensemble de tous les éléments qui lui appartiennent au moins un petit peu. Fomellement :

SaJj2P Ï24J = {X € X |uA (X)  > 0 } (1.4)

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>  Noyau   noté No);  (4),  est  l'ensemble  de  tous  les  éléments  qui  lui  appartiement totalement (avec un degré 1 ). Fomellement :

Àro); t24/ = {X € x iuA (X) =  i } (1.5)

Fig 1.1 : Propriétés d'un ensemble flou

1.3      Bases générales de la logique floue

1.3.1     Variables floues :

Une variable linguistique représente un état dans le système à régler ou une variable de réglage  dans  un  contrôleur  flou.  Sa  valeu  est  définie  dans  des  termes  linguistiques  qui peuvent être des mots ou des phases d'un langage natuel ou artificiel.

La variable linguistique peut être représentée par un triplé ¢, T ¢), U) dans lequel x est le nom de la variable linguistique, T(x)   l'ensemble des valeurs linguistiques de x et U l'univers de discours. La figure 1.1  illustre un exemple de variable linguistique  `v7.fesse ' avec trois temes linguistiques : petite, moyeme et grande [S].

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Vi{Ësse       li!ariabl€ li n giiii s[iqiie

it(V)

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Petile       Moïeniie       Gmnde ­Teiïmes liiigüisîiqties­Fûticîioiisd`apptimiiaii£Q1.î.S7itm,IV'/ff«j

Fig L2 : Variables linguistiques.

1.3.2 Fonction d'appartenance :

Un sous­ensemble flou j4 de X est caractérisé par une fonction d'appartenance #A ¢) qui associe, à chaque point x de .Y un nombre réel dans l'intervalle [0,1], #A¢) représente le degré d'appartenance de x àl4  [3].

On observe les trois cas possibles suivants :

4,A(X)  = 0

#A(X)  < 1

#A(X) = 1

(1.6)

En général, la fome de fonction d'appartenance dépende de 1'apphcation, elle peut être, triangulaire, trapézoïdale, gaussienne ou en forme de sigmo.i.de :

1

I I

1 1

I I

1 1 1 1

I I I

1 1 1 1

I I I

>   Fonction triœ ngulœ ire

E11e est définie par trois paramètre (a,  b,  C), qui déteminent les coordomées des trois sommets.

#(X)  =  max(mz71(  =  ,=  ),o)

i0

1

1

1

a       S      €      rs

Fig 1.3 : Forme de la fonction triangulaire.

>   Foiœ tion trœ pézdïdale

Elle  est définie par quatre paramètres (a, b, C, d).

# (x)  = max (".7L(  =,1,=  ),0)

ïÔ

11

1111

a       b      C      €      JF#

(1.7)

(1.8)

I I I I I

1 1 1 1 1

I I

1 1

I I

1 1

I I I

Fig 1.4 : Fome de la fonction trapézoïdale.

>   Fonction gœ ussieme

Elle est définie par deux paramètre (Cr, m) .

„ ¢) ­ exp (­ ^¢­m)2_2a2

0.60,Û

­­,#\1

rlllllLi­

m        m+ S       Æ*

Fig 1.5 : Fome de la fonction gaussienne.

>   Fomtion signuriïde

Elle est définie par deux paramètre (a, b).

4, (%)­1+exp(­cl(#­c))

0.5

1      `      ­­1`_  _        ­     _       ­05;__J__­___'      1

Œ.9)

(1.10)

I

1 1

I I

1 1

I

1 1

I I I I I I I I I I I

Fig 1 .6 : Fome de la fonction sigmoïde.

L3.3 Règles d'inférence [6]

On appelle règles d'inférence 1'ensemble des différentes règles reliant les Variables floues  d'entrée  d'un  système  aux variables  floues  de  sortie  de  ce  système.  Ces  règles  se présentent sous la fome :

Si condition 1 et/ou condition 2 (et/ou...) alors action sur les sorties.

1.3.4 Intervalles flous

Ces  intervalles  définissent  le  nombre  de  variables  floues  associées  à  une  grandeur d'entrée. De façon générale ils sont caractérisés à 1'aide de symboles tels que ceux présentés dans le tableau :

Symbole Signification

NG Négative Grande

NM Négative Moyeme

EZ Environ Zéro

PM Positive Moyeme

PG Positive Grande

Tableau 1.1 : Symboles d'intervalles.

L3.5 0pérateurs [7]

Les règles d'inférences font appel aux opératems et, ou et non, qui s'appliquent aux variables floues. Dans le cas de la logique binaire, ces opérateus sont définis de façon simple et  univoque.  Dans  le  cas  de  la  logique  floue,  la  définition  de  ces  opérateus  n'est  plus univoque et on utilise le plus souvent les relations suivantes :

>    Union

L'opérateu logique correspondant à 1'union d'ensembles est le OU. Le degré de vérité de la proposition « A OU B » est le maximum des degrés de vérité de A et de B :

HAUB(X)=mc"/(HA¢),HB¢))       VX€  U ^(1.11)

1

I I I

1 1

I I I I

1 1

I I I I I I I I I

Tægtii        i_|_ti`     .LL_'ë    æ

1       1      1       1      1       ,,.1      1

­,­1   t   t­­r,+,­l­,

1       1       1       1       lJ      I       1­

­1­_1­_T     ,_1­1

­I­J­    ­L+.,   ­I­J­

1111.,,'111

*   ­1­1   t    r,+r   1­1­,

1      1      `'         1       Ta#ffl,m!

llllllL _ü      .#      .`€      '#,      t`.?       t`ïï*d      t„      .gE      .`:TC_``

Fig 1.7 : L'opérateu d'union.

>   Intersection

L'opérateur logique correspondant à l'intersection d'ensembles est le ET.  Le degré de vérité de la proposition « A ET 8 » est le minimum des degrés de vérité de A et de 8 :

UAnB(X) ­­min ((UA (X), UB(X))        VX  €U       Œ.1Z)

Pûr"cn %uë  de lïünriëfs Éu discûur§

Ù?Æ;     '­i­ü   ­i­,?'¥

1       1       1       1       1       ./1       1

!   ­r­T    T    T    TTl­l­

§    ­r­T­,  ­T­,ii­­l­1111ï+j

111'1

­­­­­111111 ­­­I1

1_1_1­111­­­­

­­­­­­­

11111ImJlm"Jm

1111111

!£         kss         .S         #£€         ï?         €?5         '8         tÊ£         é§ïJ=

EftsÈmbk fbu: 'Fer§ënnÊ pë"€ st mûyÊmef

1111'111

­ r ­ r _ T' _ T _ T _ 1 ­ 1 _ 1

11111111

_ r­r_T_T _l _l_l­l

+­+­i­t­t­i­l­l11

tË        '#         'Ï       æ

Fig 1.8 : L'opérateu d'intersection.

I I I I I I I

1 1 1 1

i

1

I

1 1

I I I

1

>   Complément

L' opérateu loSque correspondant au complément d'un ensemble est la négation.

UÂ(X)­­1­UACX)       VX  E  U (1.13)

P3ftëëï}, fi"`'e  üÈ r`ü\* ,¥Ê!= 1" cjâÊ"rE Ensemole iiolJe : Tefsonnes non peuc§+

¥ËPpeü:i        T        i       i        i   E(ana­,­T­­,­1­..`.,`.­­

*,

_I_J_i_i      i      1      1      i11111111

­1­+    +    1   J+,+­L `:.    ­I­l­t    t­­L­l­l­1

11111,..'      I      1

C, ­1­1­­r,,+T­r ..      1        1       1       1        1       1       1        1`­,`±Æ­­­­­­Z­­­­­­­­­

1111111

C+Cl++S _I_J_     _1_  ,,     1_L {,    _l_J_    _L_L_l_J_J

I      I       I       I       ..,'`1       1      1

11111111

r­I­tt­LTp l    t ­ r L?.`J'    _1_1     T­r_r­I_l­l

I      1       1,'      I      Ta'€imè1111111 _*1111111

I      I­T­r ­|­­|­TæTË=,­f

*       i  ",      ?  E       ,qï.       '   ­­t       t   ,rç      .   ±,      i_楠      + U*      t,æ\      Tt       ,L  #       *`T      `   Ïg      ç  St      4ù:       ,4_±

Fig 1.9 : L'opérateu de complément.

1.4      La commandefloue

La commande floue est un domaine d'application de la théorie des ensembles flous qui a été proposée par L. Zadeh et développée après par plusieurs chercheus comme QÆamdani, Assilian).  Son but est de traiter des problèmes de commande de processus (machines­outils, procédés industriels, véhicules sans pilote. . . ), c'est­à­dire de gérer un processus en fonction d'une  consigne  donnée  par  action  su  les  variables  qui  décrivent  le  processus,  mais  son approche est différente de l'automatique. Elle se sert le plus souvent des connaissances des expefts ou d'opérateus qualifiés travaillants su le processus.  [8]

1.4.1 Configuration générale d'un contrôleur flou

Un contrôleu flou peut être vu comme un système exrx3rt particulièrement simple, fonctionnant à partir d'une représentation des connaissances basée sur les ensembles flous.

I I

1 1

I I

1 1 1 1 1

I I I

1 1

I

1 1

I I

Chapitre 1

Ses particularités sont, d'une part que les règles foumissent directement une conclusion sans avoir besoin de s'enchainer, d'autre part que les observations sont foumies des capteurs et sont donc généralement numériques et précises.

_____­r__EË

Fig 1.10 : Structure d'un contrôleu flou.

La configuration de base du contrôleu flou comprend quatre parties : [9]

>   Fuzzification .. elle permet d'assuer la convention des grandeurs physiques du contrôleur flou en variables linguistiques qui peuvent être traitées par les interfaces, c­à­d, assurer une transfomation d'une valeu numérique en degré d' appartenance flou.

>   Inférence floue : est définie selon le choix des opérateurs flous. Elle présente le cycle de calcul des degrés d'activation de toutes les règles de la base de règles floues ainsi que les conclusions de ces règles.

>   Base des  règles  floues :  Les  systèmes à logique floue utilisent une expertise exprimée sous forme d'une base de règles du type: Si .... A]ors. . .

.ç±±Hio"S<`]SfËæ

Prémis£€s Conjonction      liïïpïieiit iûn      Conclusiûn

\

>   Defuzzification .. consiste à convertir le résultat de combinaisons des règles en une forme numérique  bien  adaptée  au  milieu  du  processeur  à  commander.   Deux  principales méthodes de defi]zzification sont utilisées :

I I I I I I I

1 1

I I I I I

1 1 1

I I I I

a. Méthode du centre de gravité (COG) :

C'est l'abscisse du centre de gravité de la surface sous la courbe résultante.

Sortie ­ /„  "(y).dy L  "(y).dy

Tensjon  de  sortie

10.80.60.40.20

0

\

VO]t(v) 24681

Fig 1.11 : Méthode centre de gravité.

b. Méthode de moyenne des maximums (MM) :

C'est la moyeme des valeus de sorties les plus vraisemblables.

Sortie ­ Js  "ü,).dy fs  uÛ).dy

Ou      S= {yocu/ttoJ)o=sup(u(y))} ,   y€u

(1.14)

(1.15)

I I I I I

1 1

I I I I I I I I I I

1 1

I I

Tension de sOrtie 10.80.60.40.20

0

'

Volt(v)

24681

Fig 1.12 : Méthode de moyeme des maximums.

1.4.2 Les différents modèles du contrôleur flou :

Les contrôleus flous sont principàLement composés de deux t)pes : +   Contrôleu flou de type Mamdani.

+   Contrôleu flou de type Takagi­Sugeno.

a. Contrôleur flou de type Mamdani [10]

En  1974,  E.H Mamdani  avait présenté,  pou la première fois,  la technique  de  commande par logique floue.  Celle­ci  consiste  à déterminer un  ensemble  de règles  qui maîtise le  comportement dynamique  du  gystème  à  commander.  L'obtention  de  ces règles  est  facile  auprès  des  experts  qui connaissent  bien  le  système.  11  avait  utilisé  des  règles  à  prémisses  et  conclusions  symboliques, l'infërence (max, nrin), et la defiizzification par centre de gravité.

La fome de l'implication floue définie par ce type de contrôleu est de la fome :

« Si (xl est A) ET (x2 est 8) Alors y est C »

•    Une règle est activée dès qu'elle a une prémisse ayant une valeur de vérité non nulle.

1

I I

1 1

I

1 1 1 1

I

1 1 1 1

I I

1 1 1

I

Chapitre 1

•    Plusieurs règles peuvent être activées simultanément et préconiser des actions avec diffërents degrés de validités.

•    La conséquence de ce type de système est une valeur floue.

b. Contrôleur flou de type Takagi ­Sugeno (TS)  [11]

Ce type de modèles a été introduit en 1985 par Takagi ­Sugeno. Dans ce modèle, la fome générale d'un jeu de règles à plusieurs entrées est me conclusion numérique polynomiale décrite par la fome suivante :

R{ : S[ txï est Aî , et ¢2est  A± , et...etx„ estAà  ALORS y£=,£tx,     ï=ï ,..., m

Ou :Ï € .X est la variation d'entrée, ); € y est la variation de sortie. R'. désigne la ième règle, et m le nombre de règles floues. A£  est 1'ensemble flou d'antécédent de la £éme    règle définie par une fonction d'appartenance multidimensionnelle    # A{(#): X €   [01]

Lesfonctionsdeconséquenceffestd'écritparlafomelinéairesuivante:y£=a[£X+b!

Où  Œ!  est le vecteur des paramètres et b£ un scalaire de compensation.

La softie résultante de l'ensemble des m règles est domée par la moyeme des sorties individuelles pondérées par le degré d'activation des règles, soit :

zr=ïwzyz

wl ^(1.16)

Avec w` désigne le degré d'actjvatjon de chaque règle i et calculé par l'équation suivante : W£ = H,P=i 4.(A;­).       (1.17)

#(A;.)        désigne la fonction d'appartenance associée à la variable de la prémisse xj.

1.4.3    Avantages et inconvénients de la commande floue :

Gg=   Avantages :

>   Pas de modèles mathématiques requis du procédé à asservir.

>   La théorie est simple et s'applique à des systèmes complexes.

I I

1 1

I

1 1

I I I I

1 1

I I I

I I I

1 1

Chapitre 1

>   Robustesse de la commande floue vis à vis des incertitudes.

>   Possibilités de commande auto­adaptative aux variations du procédé.

cæ  |nconvénients :

>   Manque de directives précises pour la conception d'un régulatem.

>   Approche artisanale et non systématique (il est souvent très difficile d'implanter les connaissances de l ' opérateu).

>   Précision du réglage en général peu élevée.

>   Cohérence des inférences non garantie a priori.

1.5      Con€]usion :

Un  système  flou est une  structure  de traitement parallèle  et de  prise  de  décisions.  Sa structure consiste en quatre parties principales : La Fuzzification, la Base des règles floues, le Mécanisme d'inférences et la Defiizzification.

Pendant  les  vingt  demières  années,  les  systèmes  flous,  dont  les  bases  relèvent  de  la théorie   des   ensembles   flous   proposée   par  Zadeh,   sont   devenus   très   populaires.   Les applications  dans  la  modélisation,  le  contrôle,  le  traitement  de  signal,  la  supervision  des procédés et la prise de décision sont en effet autant d'applications qui démontrent la capacité des  systèmes  flous  à traiter des problèmes hautement non linéaires  grâce à 1'utilisation de connaissances expertes.  La commande floue aide à gérer des systèmes complexes de façon simple et facilement explicitable ` 1'expertise humaine'. La difficulté réside dans sa mise au point  d'une  base  de  comaissance  floue  (structure  &  paramètres  du  contrôleur  flou).  Ce problème  peut  être  résolu  par  l'utilisation  des  méthodes  d'extraction  automatique  des connaissances : Les méthodes analytiques, les métaheuristiques ,... etc.

1

I

1 1

I I

I

1

1

I

1 1 1

I

1 1

I I

1 1 1

Chapitre 11

L'Optimisation par Essaim Particulaire

H.1 Introduction

Les  problèmes  d'optimisation  apparaissent  dans  plusieus  domaines,  tels  que  la conception de systèmes mécaniques, le traitement des images, l'électronique et la recherche opératiomelle. Résoudre un tel problème consiste à donner les bonnes valeurs aux paramètres pou avoir une solution optimale. Ces valeus doivent respecter des contraintes associées au problème.  [12]

11 existe généralement deux approches pour la résolution des problèmes difficiles : une approche de résolution exacte et une approche de résolution approximative. Dans la première, on cherche à trouver la solution exacte d'un problème donné. Pratiquement l'application d'un tel mode de résolution est limitée pour les petites instances des problèmes difficiles.

La deuxième tendance est la résolution approximative ; là, on cherche à trouver de bomes solutions   en  se  basant  sur  des  méthodes   stochastiques  dites  Æe#rjsf7.g2Æes   ;   pami   ces

heuristiques,  on  trouve  des  méthodes  assez  générales  pou  être  appliquées  sur  un  grand spectre de problèmes, ces méthodes sont les Me'fcïÆe#rj.Sf;.g#es. [13]

Ce  chapitre  est  structuré  comme  suit :  dans  la  section  11.2,  nous  présentons  les métaheuristiques    d'optimisation ;    dans   la   section   H.3,   nous   détaillons    l'algorithme

I I I I

1

1

I

1 1

I

1 1 1

I

1 1

I I

1 1

I

d'Optimisation par Essaim Particulaire, qui est l'outil principal d'optimisation dans ce travail de mémoire.

H.2. Les Métaheuristiques

11.2.1 Définition   [14]

Le mot métaheuristiques est composé de deux mots ; le mot méta qui est un préfixe signifiant « cÏ#­c7e/à » ou bien « tzc77zS zm »jveczzf s2tpe'rj.e2# » ; et le mot heuistique qui vient du

verbe heuriskein et qui signifie `fto2"er'   [13]

Une heuristique ou méthode approximative, est un algorithme qui foumit rapidement une  solution  réalisable,  pas  nécessairement  optimale,  pou  un  problème  d'optimisation difficile.  Généralement elle est conçue pou un problème pafticulier,  en s'appuyant su sa structure propre.

Une Métaheuristiques est un algorithme parmi les méthodes génériques pouvant optimiser une  large  gamme  de  problèmes  différents  sans  nécessité  de  changements  profonds  dans l'algorithme employé.  Les métaheuristiques sont en général non déterministes, elles peuvent ne  pas  trouver  de  solution  optimale,  et  encore  moins  prouver  1'optimalité  de  la  solution trouvée.  On  peut  distinguer  les  métaheuristiques  qui  font  évoluer  une  seule  solution  su l'espace  de  recherche  à  chaque  itération  et  les  métaheuristiques  à base  de  population  de solutions.  [14]

A partir de ces définitions, on peut diiie que les métaheuristiques sont des stratégies qui pemettent  de  guider la recherche  d'une  solution  optimale.  Leur but  est de  faire  explorer l'espace de recherche d'une manière efficace pour atteindre des solutions presque optimales.

E11es sont en général non déterministes, généralement, elles contiennent des techniques pom échapper  de  l'optimum  local.  Leus  concepts  de  base  peuvent  être  décrits  de  manière abstraite.  Les  métaheuristiques  sont  souvent  des  algorithmes  utilisant  un  échantillonnage probabiliste et tentent de trouver 1'optimum global  d'un problème d'optimisation difficile, sans être piégé par les optima locaux.

I I I I I

1 1

I I I

1

1 1

I

1

1

I I

1

1

I

Fig m2 : Classification des métaheuristiques.

cF  Emploi de mémoire : l'emploi de la mémoire signifie l'utilisation de l'historique de la recherche  pou  déduire  1'état  couant  de  l'optimisation.  Les  métaheuristiques  dites

"sans mémoire"  où l'état actuel  de la recherche  est déterminé uniquement  suivant l'état précédent, c'est le cas de la descente récusive, le recuit simulé.   Par contre, il existe  des  méthodes  qui  utilisent  l'historique  pou  guider  la recherche  telle  que  la recherche taboue. La mémoire peut être figurée selon différentes fomes, par exemple, on peut considérer que l'ensemble des individus d'un algorithme génétique fome une mémoire,  la  phéromone  dans  l'optimisation  par  colonies  de  foumis  aussi  et  les positions dans l'optimisation par essaim des particules.

cæ  La  source  de  ]a  méthode  :  on  trouve  généralement  deux  classes  :  d'un  côté  les méthodes  inspirées de la nature tel que le recuit simulé,  les algorithmes génétiques, l'optimisation par colonies de foumis et l'optimisation par essaim des particules, et de 1'autre côté, on trouve des méthodes qui ont des origines non naturelles, telle que la recherche taboue.

cgF  Nombre et structure de voisinage  [17] :  le voisinage est l'ensemble des  solutions atteignables à partir de la solution couante ; le voisinage peut être fixe ou variable Les particules à l'intérieur d'm voisinage commuriquent entre­elles selon deux types,

géographiques et sociaux, qui doment aux particules une capacité de perception de leur enviromementproche,selonletype^utilisé.

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>   yoJ.§J.#¢ge ge'ogri¢pÆJ.qœ e :  Le voisinage  géographique d'une particule  j se  compose des particules proches. Pour considérer cette proxjmité, la distance entre la particule z.

et les autiies particules de 1'essaim est utilisée, sachant que le nombre de voisins doit être défiri à l'avance. Le voisinage doit être calculé à chaque itération car les distances entre les particules peuvent changer d'une itération à 1'autre au cours de la recherche.

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Fig H.3 : Structure du Voisinage.

>   yoJ.§J.#Œge §ocJ.Æ/ : 11 peut êtiie représenté sous la fome d'un graphe, où les particules sont des sommets reliés à leurs voisines par les arêtes du graphe. Le but d'utiliser ce type  de  voisinage  est  d'améliorer  la rapidité  de  convergence  de  l'algorithme.  Cela sigrifie  qu'il  est  nécessaire  de  contrôler  la  propagation  de  l'infoimation  dams  le graphe. Pou ce faire, il s'agit donc déteminer sont les bons paramètres (par exemple, la taille du voisinage, la fome du réseau social, la ou les sotmces d'influence).

11.3 L'Optimisation par Essaim de particules

H.3.1 Définition [19]

L'optimisation par essaim de particules (OEP) ou Pczrrj.c/e Swc7rm Op/7.mz.§cïf7.o# (PSO) en  anglais,  fait  paftie  des  méthodes  heuistiques,  elle  est  basée  sur  la  reproduction  d'ui comportement social. Le principe de l'OEP s'est éloigné du comportement des animaux, pou ne conserver qu'une modélisation basée su des agents simples, appelés particules.

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Elle a été développée en 1995 par Eberhart et Kennedy suite aux travaux de recherche sur la simulation de vols groupés d'oiseaux et de bancs de poissons réalisés par Reynold 1987 et Heppner et Grenander 1990. Les résultats obtenus ont démontré la capacité d'un groupe en mouvement à maintenir une distance optimale entre eux et à suiwe un mouvement global par rapport aux mouvements locaux de leur voisinage.  [18]

Un autre résultat important conceme l'importance du mimétisme dans la compétition qui  oppose  les  particules  à  la  recherche  de  la  nourriture.  Ces  demières  sont  dispersées aléatoirement  dans  un  espace  de  recherche,  et  lorsqu'une  particule  localise  une  source  de nourriture, les autres particules vont alors chercher à le reproduire.

Ce  comportement  social  basé  sur  1'analyse  de  l'environnement  et  du  voisinage représente   réellement  une   méthode   d'optimisation  par   observation   des   tendances   des particules voisines. Le principe impose à chaque particule à chercher à optimiser ses chances en suivant une tendance qu'elle modère par ses propres vécus.  [19]

11.3.2 Description informelle L20J

Un  essaim  est  disposé  de  façon  aléatoire  et  homogène  dans  l'espace  de  recherche  et chaque particule possède la capacité de se déplacer avec une vitesse aléatoire. Ainsi, à chaque pas de temps, chaque particule :

•    Évalue la qualité de sa position et garde en mémoire sa meilleue perfomance, c'est­

à­dire la meilleue position atteinte jusqu'ici (elle peut être la position courante) et sa qualité (la valeu de la fonction à optimiser en cette position).

•    Interroge  un certain nombre de  particules  pour obtenir de chacune  d'entre  elles  sa propre meilleue perfomance.

•    Choisit la meilleue des meilleues perfomances dont elle a connaissance, puis adapte sa vitesse en fonction de cette infomation et de ses propres données et se déplace en conséquence   .

Une  fois  la particule  ayant une meilleure perfomance est localisée,  la modification de  la vitesse est une  simple combinaison linéaire de trois tendances,  à l'aide des coefficients de confiance :

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I I I I I

1 1 1

Fig H.1 : Principe général des métaheuristiques.

H.2.2 Classification des métaheuristiques   [15]  [16]

On peut classer les métaheuristiques selon plusieus points de vue ; par conséquent on peut trouver une métaheuristiques qui appartient aux différentes classes selon le critère de la classification. Donc on a comme critères :

cæ  Le nombre des solutions manipulées à la fois :  selon ce point de vue, on distingue deux classes des métaheuristiques :

>   Les métaheuristiques basées su la maripulation (évaluation et modification) d'une  solution  à la  fois.  On trouve  dans  cette  classe  la méthode  de  recuit simulé, la recherche taboue et autre.

>   Les métaheuristiques basées su la manipulation d'un ensemble de solutions à la fois dite généralement population de solutions ; citons dans cette classe les algorithmes    Génétiques,    1'optimisation    par    colonies    de    fourmis    et l' optimisation par essaim des particules.

cgF  Type de parcours : les métaheuristiques sont des méthodes qui explorent 1'espace de recherche soit avec le déplacement dans l'ensemble de voisinage ou avec l'échange de l'état des individus d'une population. Ce déplacement fome une sorte de parcours.

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•    £¢ fe#d¢#ce ¢vewfwfie#§e : consistant à continuer selon la vitesse actuelle.

•    J¢ fe»d¢»cc co"ervŒfr7.ce : ramenant plus ou moins vers la meilleue position déjà trouvée.

•    £¢    fe"dfl!nce   p¢#wrgï.e##e :    orientant    approximativement   vers    la    meilleu.e infomatrice

Un   essaim    de   particules,    qui   sont   des    solutions   potentielles   au   problème d'optimisation survole dans l'espace de recherche, à la recherche de l'optimum global.

Le déplacement d'une particüle est influencé par les trois composantes suivantes :

æ  Une  composante  d'inertie :       particule  tend  à  suivre  sa  direction  courante  de déplacement.

tæ  Une composante cognitive :  1a particule tend à se diriger vers le meilleu site par lequel elle est déjà passée.

cS­  Une composante sociale : la particule tend à se fier à l'expérience de ses congénères et, ainsi, à se diriger vers le meilleur site déjà atteint par ses voisins.

Fig 11.4 : Déplacement d'une particule.

H.3.3 Formalisation [21]

Chaque  particule  7.  de  l'essaim  est  caractérisée  à  la  fois  par  sa  position  x! et par  un vecteu de changement de position (appelé ve'/ocz.fe' ou vitesse)   V£ .